中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：最值問題

中考第二輪復(fù)習(xí)專題一一線段和(差)的最值問題

一、兩條線段和的最小值。

基本圖形解析：

(一)、已知兩個定點：

1、在一條直線m上，求一點P,使PA+PB最小;

(1)點A、B在直線m兩側(cè)：

A

?---------------------------?m

B

(2)點A、B在直線同側(cè)：

*

B

A、A'是關(guān)于直線m的對稱點。

2、在直線m、n上分別找兩點P、Q,使PA+PQ+QB最小。

(1)兩個點都在直線外側(cè):

*

B

(2)一個點在內(nèi)側(cè)，一個點在外側(cè):

(3)兩個點都在內(nèi)側(cè):

B'

練習(xí)題：

1.如圖，正方形/仇力的邊長為2,￡為形的中點，戶是47上一動點.則廉正的最小值是.

2.如圖，。。的半徑為2,點/、B、C在。0上，OAVOB,N40U6O。，P是06上一動點，則必+QC的最小

值是.

3.如圖，在銳角中，46=42,N必C=45°，/%C的平分線交宓于點。M、/V分別是4。和形上的動

點，則例卅W的最小值是.

第1題第2題第3題

4.如圖，在四邊形46微中，ZABC=9QQ,AD//BC,AD=4,AB=5,"/

6c=6,點戶是46上一個動點，當(dāng)。C+陽的和最小時，陽的長為.----Tv

5.如圖，腑是半徑為1的。0的直徑，點/在。。上，N4W=30°,B為一^

刈/弧的中點，戶是直徑樹上一動點，則必+陽的最小值為.第

5題

6.已知/(—2,3),8(3,1),夕點在x軸上，若以+用長度最小，則最小值為

若以一陽長度最大，則最大值為.

(4)、臺球兩次碰壁模型

變式一：已知點A、B位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線n、m分別上求點D、E點，使得圍成的四邊形ADEB周長

B'

變式二：已知點A位于直線m,n的內(nèi)側(cè)，在直線m、n分別上求點P、Q點PA+PQ+QA周長最短。

練習(xí)題：

1.如圖，ZA0B=45°,P是NAOB內(nèi)一點、,P0=1Q,0、/?分別是2、08上的動點，則△Q。/?周長的最小值為

2.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，48兩點的坐標(biāo)分別為4（2,—3）,6（4,-1）

設(shè)〃〃分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點〃（勿，0）,N（0,"）,使四邊形力喇的周長

最短？若存在，請求出勿=,n=（不必寫解答過程）；若不存在，請說明理由.

中考賞析:

1.著名的恩施大峽谷（心和世界級自然保護區(qū)星斗山（鄉(xiāng)位于筆直的滬渝高速公路彳同側(cè)，/550km、8到

直線，的距離分別為10km和40km,要在滬渝高速公路旁修建一服務(wù)區(qū)P,向4、6兩景區(qū)運送游客.小民設(shè)

計了兩種方案，圖（1）是方案一的示意圖（力p與直線*垂直，垂足為。，0到A8的距離之和S=〃+陽，

圖（2）是方案二的示意圖（點/關(guān)于直線彳的對稱點是4連接班'交直線彳于點0,0到4、6的距離之

和&=PA+PB.

（1）求S、S,并比較它們的大?。?/p>

（2）請你說明S=21+陽的值為最小；

（3）擬建的恩施到張家界高速公路y與滬渝高速公路垂直，建立如圖（3）所示的直角坐標(biāo)系，6到直線Y

的距離為30km,請你在斤旁和V旁各修建一服務(wù)區(qū)只。，使只4B、。組成的四邊形的周長最小.并求出這

個最小值.

2.如圖，拋物線j/=錯誤!寸一錯誤!”+3和y軸的交點為4"為辦的中點，若有一動點只自"點處出發(fā)，

沿直線運動到x軸上的某點（設(shè)為點或，再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設(shè)為點用，最后又沿

直線運動到點4求使點尸運動的總路程最短的點E點廠的坐標(biāo)，并求出這個最短路程的長.

（二）、一個動點，一個定點:

（一）動點在直線上運動：

點B在直線n上運動，在直線m上找一點P,使PA+PB最小（在圖中畫出點P和點B）

1、兩點在直線兩側(cè)：

A

2、兩點在直線同側(cè):

（二）動點在圓上運動

點B在。0上運動，在直線m上找一點P,使PA+PB最?。ㄔ趫D中畫出點P和點B）

1、點與圓在直線兩側(cè)：

（三）、已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側(cè)，且PQ間長度恒定,

在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。（原理用平移知識解）

（1）點A、B在直線m兩側(cè):

4.

?mm

PQ

BB

過A點作AC〃m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即

為所求的點.

(2)點A、B在直線m同側(cè)：

練習(xí)題

2、如圖1,在銳角三角形ABC中，AB=4f,ZBAC=45°,NBAC的平分線交BC于點D,M,N分別是AD和

AB上的動點，則BM+MN的最小值為.

3、如圖，在銳角三角形ABC中，AB=5后，ZBAC=45,ZBAC的平分

線交BC于D,M、N分別是AD和AB上的動點，貝”BM+MN的最小值為

4、如圖4所示，等邊△ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是AC邊上一點。若AE=2,EM+CM

的最小值為.

7、如圖5菱形ABCD中，AB=2,ZBAD=60°,E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小

值為.

10、如圖，菱形ABCD中，AB=2,ZA=120°,點P,Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點,

則PK+QK的最小值為___________________________

11、如圖，正方形切的邊長為2,5為的中點，戶是4C上一動點.則取所的最小值是

12、如圖6所示，已知正方形ABCD的邊長為8,點M在DC上，且DM=2,N是AC上的一個動點，則DN+MN

13、如圖，正方形ABCD的邊長是2,NDAC的平分線交DC于點E,若點P、Q分別是AD和AE上的動點，則

DQ+PQ的最小值為.

14、如圖7,在邊長為2cm的正方形ABCD中，點Q為BC邊的中點，點P為對角線AC上一動點，連接PB、PQ,

則△PBQ周長的最小值為cm.(結(jié)果不取近似值).

15、如圖，。。的半徑為2,點4B、C在。0上，OAVOB,ZA0C=6Q°,戶是如上一動點，則以+QC的最

小值是.

16、如圖8,MN是半徑為1的。0的直徑，點A在。0上，NAMN=30°,B為AN弧的中點，P是直徑MN上一

動點，則PA+PB的最小值為()

(A)2-/1(B)(01(D)2

解答題

1如圖9,正比例函數(shù)y=2x的圖象與反比例函數(shù)y=x(k=#0)在第一象限的圖象交于A點，過A點作x軸

的垂線，垂足為M,已知三角形0AM的面積為1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(點B與點A不重合)，且B點的橫坐標(biāo)為1,在x軸上

求一點P,使PA+PB最小。

PMx

2、如圖，一■元二次方程x?+2x-3=0的二根xi,X2(xi<X2)是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的兩個交

點B,C的橫坐標(biāo)，且此拋物線過點A(3,6).

(1)求此二次函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)此拋物線的頂點為P,對稱軸與AC相交于點Q,求點P和點Q的坐標(biāo)；

(3)在x軸上有一動點M,當(dāng)MQ+MA取得最小值時，求M點的坐標(biāo).

3、如圖10,在平面直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(1,?燈)，AAOB的面積是寸與。

(1)求點B的坐標(biāo)；

(2)求過點A、0、B的拋物線的解析式；

(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使△AOC的周長最小？若存在，求出點C的坐標(biāo)；若不

存在，請說明理由；

3

4.如圖，拋物線卜=￡>2一錯誤!x+3和y軸的交點為4%為勿的中點，若有一動點之，自"點處出發(fā)，沿直

□

線運動到x軸上的某點(設(shè)為點。，再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點(設(shè)為點8,最后又沿直線

運動到點4求使點尸運動的總路程最短的點￡點尸的坐標(biāo)，并求出這個最短路程的長.

5.如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系x分中，直角梯形力死的邊。1在y軸的正半軸上，0C在x軸的正半軸上，

0A=AB=2,OC=3,過點3作BD1BC,交0A于點D.將NA8C繞點3按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交jz軸的

正半軸、x軸的正半軸于點M和F.

(1)求經(jīng)過/、B、C三點的拋物線的解析式；

(2)當(dāng)屬經(jīng)過(1)中拋物線的頂點時，求次的長；

(3)在拋物線的對稱軸上取兩點只。(點。在點夕的上方)，且尸。=1,要使四邊形成的周長最小，求

出P、。兩點的坐標(biāo).

6.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系，46兩點的坐標(biāo)分別為4(2,—3),B(4,-1)若C(a,0),，(尹3,0)是x

軸上的兩個動點，則當(dāng)a為何值時，四邊形力劭C的周長最短.

7、如圖11,在平面直角坐標(biāo)系中，矩形Q4UB的頂點。在坐標(biāo)原點，頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,

0A=3,0B=4,D為邊0B的中點.

(1)若E為邊0A上的一個動點，當(dāng)4CDE的周長最小時，求點E的坐標(biāo)；

(2)若E、F為邊0A上的兩個動點，且EF=2,當(dāng)四邊形CDEF的周長最小時，求點E、F的坐標(biāo)。

二、求兩線段差的最大值問題(運用三角形兩邊之差小于第三邊)

基本圖形解析：

1、在一條直線m上，求一點P,使PA與PB的差最大;

⑴點A、B在直線m同側(cè)：

m

A

解析：延長AB交直線m于點P,根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，P'A—P'B<AB,而PA—PB=AB此時最大,

因此點P為所求的點。

(2)點A、B在直線m異側(cè):

B

解析：過B作關(guān)于直線m的對稱點B',連接AB'交點直線m于P,此時PB=PB',PA—PB最大值為AB'.

練習(xí)題

1.直線2x-y—4=0上有一點P,它與兩定點A(4,—1)、B(3,4)的距離之差最大，則P點的坐標(biāo)

是____________

2.已知A、B兩個村莊的坐標(biāo)分別為(2,2),(7,4),一輛汽車(看成點P)在x軸上行駛.試確定下列情

況下汽車(點P)的位置：

(1)求直線AB的解析式，且確定汽車行駛到什么點時到A、B兩村距離之差最大？

(2)汽車行駛到什么點時，到A、B兩村距離相等？

5(7,4)

/(2,2)

3.如圖，拋物線y=—錯誤!x?—x+2的頂點為與y軸交于

點B.

(1)求點4點8的坐標(biāo)；

(2)若點戶是x軸上任意一點，求證：PA-PB^AB-,

(3)當(dāng)弘一所最大時，求點夕的坐標(biāo).

4O如圖，已知直線p='x+1與jz軸交于點4與x軸交于點，，拋物線y=工x2+bx+c與直線交于力、E

22

兩點，與x軸交于8、C兩點，且8點坐標(biāo)為(1,0).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)在拋物線的對稱軸上找一點加，使I/眼一欣7|的值最大，求出點〃的坐標(biāo).

^00B氣x

5、在直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為(—4,—1)和(-2,—5);點P是y軸上的一個動點，⑴點P

在何處時，PA+PB的和為最?。坎⑶笞钚≈?。

⑵點P在何處時，|PA—PB|最大？并求最大值。

6O如圖，直線y=一錯誤!x+2與x軸交于點C,與y軸交于點6,點力為jz軸正半軸上的一點，。/經(jīng)過點

8和點0,直線宓交。4于點

(1)求點。的坐標(biāo)；

(2)過0,C,。三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使線段。。與外之差的值最大？若存在，

請求出這個最大值和點夕的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

7、拋物線’的解析式為y=+2x+3,交x軸與A與B,交y軸于C,

⑴在其對稱軸上是否存在一點P,使/APC周長最小，若存在，求其坐標(biāo)。

⑵在其對稱軸上是否存在一點Q,使|QB—QC|的值最大，若存在求其坐標(biāo)。

By

8、已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標(biāo)系中，0C=3,BC=2,取AB的中點M,連接MC,把△MBC沿x軸的

負(fù)方向平移0C的長度后得到△DAO.

(1)試直接寫出點D的坐標(biāo)；

(2)已知點B與點D在經(jīng)過原點的拋物線上，點P在第一象限內(nèi)的該拋物線上移動，過點P作PQ±x軸于點

Q,連接0P.

①若以0、P、Q為頂點的三角形與ADAO相似，試求出點P的坐標(biāo)；

②試問在拋物線的對稱軸上是否存在一點T,使得|TO-TB|的值最大？

9、如圖，已知拋物線G的解析式為y=-x?+2x+8,圖象與y軸交于D點，并且頂點A在雙曲線上.

(1)求過頂點A的雙曲線解析式；

(2)若開口向上的拋物線C2與G的形狀、大小完全相同，并且C2的頂點P始終在C1上，證明：拋物線C2

一定經(jīng)過A點；

(3)設(shè)(2)中的拋物線C2的對稱軸PF與x軸交于F點，且與雙曲線交于E點，當(dāng)D、0、E、F四點組成的

四邊形的面積為16.5時，先求出P點坐標(biāo)，并在直線y=x上求一點M,使IMD—MP|的值最大.

10、如圖，已知丁=$2+垃+c經(jīng)過A(3,0),B(0,4),

(1)o求此拋物線解析式

(2)若拋物線與x軸的另一交點為C,求點C關(guān)于直線AB的對稱點C'的坐標(biāo)

(3)若點，是第二象限內(nèi)點，以，為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線46相切于點公F、H,問在拋物線

的對稱軸上是否存在一點一點只使得I夕//一必|的值最大？若存在，求出該最大值;若不存在，請說明理由。

好題賞析:

原型：已知：。是邊長為1的正方形力成力內(nèi)的一點，求/+如+PC的最小值.

例題：如圖，四邊形/仇力是正方形，△力國是等邊三角形，"為對角線劭（不含6點）上任意

一點，將班繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到8M連接MAM,CM.

（1）求證：△4^△日出；

⑵①當(dāng)"點在何處時，4/+O/的值最??；

②當(dāng)"點在何處時，/什必/+掰的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)/加+6%+酸的最小值為錯誤!+1時，求正方形的邊長.

變式：如圖四邊形/86I〃是菱形，且N/6C=60,△/%是等邊三角形，"為對角線劭（不含8點）上任意一點,

將翻繞點8逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到剛連接MAM,CM,則下列五個結(jié)論中正確的是（）

①若菱形ABCD的邊次為1,則47+O/的最小值1;

⑦XAM恒XENB：

③S四邊形AMBFS3邊彩被?”；④連接AN,則ANLBE；

⑤當(dāng)/加+例/+酸的最小值為2錯誤!時，菱形ABCD的近長為

A.①②③B.②④⑤C.①②⑤

三、其它非基本圖形類線段和差最值問題

1、求線段的最大值與最小值需要將該條線段轉(zhuǎn)化到一個三角形中，在該三角形中，其他兩邊是已知的，

則所求線段的最大值為其他兩線段之和，最小值為其他兩線段之差。

2、在轉(zhuǎn)化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上的中線。

3、線段之和的問題往往是將各條線段串聯(lián)起來，再連接首尾端點，根據(jù)兩點之間線段最短以及點到線的

距離垂線段最短的基本依據(jù)解決。

1、如圖，在△/成;中，NU90°,AC=4,80=2,點/、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點4在x軸上運動時，點C

隨之在y軸上運動，在運動過程中，點8到原點的最大距離是(

A.2^/2+2B.275C.276D.6

2、已知：在△ABC中，BC=a,AC=b,以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題:

(1)如圖1,當(dāng)點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，a=b=3,且ZACB=60°,則CD=；

(2)如圖2,當(dāng)點D與點C位于直線AB的同側(cè)時,a=b=6,且ZACB=900,則CD=；

(3)如圖3,當(dāng)NACB變化，且點D與點C位于直線AB的兩側(cè)時，求CD的最大值及相應(yīng)的NACB的度

圖1圖2圖3

3、在RtZk/bC中，N4石=90°,tanN班UL點。在邊4C上(不與4c重合)，連結(jié)劭，F(xiàn)為BD中點.

2

(1)若過點。作巫，48于￡連結(jié)C尸、EF、CE,如圖1.設(shè)CF=kEF,則々=;

(2)若將圖1中的△/既繞點/旋轉(zhuǎn)，使得。、E、6三點共線，點廠仍為劭中點，如圖2所示.

求證:B—De2CF;