中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：反比例函數(shù)應(yīng)用（五大類型）（題型專練）（解析版）

專題02反比例函數(shù)應(yīng)用（五大類型）

版型歸的

【題型1行程與工程應(yīng)用】

［題型2物理學(xué)中的應(yīng)用】

【題型3經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用】

【題型4生活中其他的應(yīng)用】

【題型5反比例函數(shù)的綜合】

敦型專練

【題型1行程與工程應(yīng)用】

1.（2022?濰坊二模）列車從甲地駛往乙地，行完全程所需的時間/（〃）與行駛

的平均速度vCkm/h）之間的反比例函數(shù)關(guān)系如圖所示.若列車要在2.5〃內(nèi)

到達(dá)，則速度至少需要提高到（）km/h.

v(km/h)

A.180B.240C.280D.300

【答案】B

【解答】解：設(shè)列車行駛完全程所需的時間/（丸）與行駛的平均速度v

（而/〃）之間的關(guān)系式為/=上，

V

把v=200時，/=3代入得：3=上，

200

.?"=600,

???列車行駛完全程所需的時間/（丸）與行駛的平均速度v（?）之間的關(guān)系

式為r=600,

V

當(dāng)f=2.5〃時，即2.5=迪,

v

...v=240,

故選：B.

2.（2022秋?渾南區(qū)期末）某工程隊(duì)計(jì)劃修建鐵路，給出了鋪軌的天數(shù)y（d）

與每日鋪軌量x（.km/d'）之間的關(guān)系表：

J（"）120150200240300

x(kmld)108654

根據(jù)表格信息，判斷出y是x的函數(shù)，則這個函數(shù)表達(dá)式是1=儂

【答案】尸31.

X

【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，孫=1200,

.?.V是x的反比例函數(shù)，即3；=絲絲，

X

故答案為：

X

3.（2023春?肇源縣期末）在工程實(shí)施過程中，某工程隊(duì)接受一項(xiàng)開挖水渠的

工程，所需天數(shù)了（天）與每天完成工程量x（米）是反比例函數(shù)關(guān)系，圖象

如圖所示：

（1）求了與X之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若該工程隊(duì)有4臺挖掘機(jī)，每臺挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠30米，問該

工程隊(duì)需要用多少天才能完成此項(xiàng)任務(wù)？

（2）該工程隊(duì)需要用10天才能完成此項(xiàng)任務(wù).

【解答】解：（1）設(shè)ylL,

?.?點(diǎn)（24,50）在其圖象上,

，50=旦

24

.?#=1200,

???所求函數(shù)關(guān)系式為

X

（2）由題意知，4臺挖掘機(jī)每天能夠開挖水渠30X4=120（米），

當(dāng)x=120時，=1200_=10,

120

答：該工程隊(duì)需要用10天才能完成此項(xiàng)任務(wù).

【題型2物理學(xué)中的應(yīng)用】

4.（2021秋?夏津縣期末）已知蓄電池的電壓為定值.使用電池時，電流/（Z）

與電阻火（Q）是反比例函數(shù)關(guān)系，圖象如圖所示.如果以此蓄電池為電源的

電器的限制電流不能超過34那么電器的可變電阻R（Q）應(yīng)控制在（）

A.REB.0VRW2C.心2D.0<7?Wl

【答案】C

【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：/=區(qū)，

R

把（2,3）代入得：左=2X3=6,

...反比例函數(shù)關(guān)系式為：1=殳,

R

當(dāng)/W3時，則反W3,

R

42,

故選：C.

5.（2022?婁底模擬）如圖，取一根長100c機(jī)的勻質(zhì)木桿，用細(xì)繩綁在木桿的

中點(diǎn)。將其吊起來在中點(diǎn)0的左側(cè)，距離中點(diǎn)25cm處掛一個重9.8N的物體,

在中點(diǎn)。右側(cè)用一個彈簧秤向下拉，使木桿處于水平狀態(tài).如果把彈簧秤與

中點(diǎn)。的距離工（單位：cm）記作x,彈簧秤的示數(shù)尸（單位：N）記作外

A.1對B.2對C.3對D.4對

【答案】C

【解答】解：根據(jù)杠桿原理可得，尸吆=25X9.8,

???把彈簧秤與中點(diǎn)。的距離上記作x,彈簧秤的示數(shù)廠記作修

.,.9=245（0<xW50）；

75X49=245,

10X24.5=245,

35X7.1=248.5,

40X6.125=245,

???滿足y與x的函數(shù)關(guān)系式有（5,49）,（10,24.5）,（40,6.125）,共

3對，

故選：C.

6.（2022秋?柳州期末）已知近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）之間

成如圖所示的反比例函數(shù)關(guān)系，則眼鏡度數(shù)了與鏡片焦距x之間的函數(shù)解析

式為（）

【答案】D

【解答】解：根據(jù)題意近視眼鏡的度數(shù)了(度)與鏡片焦距x(米)成反比例,

設(shè)尸K，

X

由于點(diǎn)(0.5,200)在此函數(shù)解析式上，

.?"=0.5X200=100,

??100，

X

故選：D.

7.(2022?山西)根據(jù)物理學(xué)知識，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)?

(Pa)是它的受力面積S(m2)的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示.當(dāng)5=

0.25小時，該物體承受的壓強(qiáng)夕的值為400Pa.

【答案】400.

【解答】解：設(shè)夕=K,

s

?函數(shù)圖象經(jīng)過(0.1,1000),

：.k=100,

當(dāng)S=0.25小時，物體所受的壓強(qiáng)夕=10°=400(Pa),

0.25

故答案為：400.

8.(2022?郴州)科技小組為了驗(yàn)證某電路的電壓。(廠)、電流/(Z)、電阻

R(Q)三者之間的關(guān)系：/=U,測得數(shù)據(jù)如下：

R

R(Q)100200220400

I(A)2.21.110.55

那么，當(dāng)電阻R=55Q時，電流/=44.

【答案】4.

【解答】解：把R=220,/=1代入/=衛(wèi)_得:

R

］二—^-,

220

解得U=220,

.W=220,

R

把R=55代入/=絲1得：

R

/=220,=4,

55

故答案為：4.

9.（2023?鼓樓區(qū)校級模擬）某氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時,

氣球內(nèi)氣體的氣壓夕（單位：千帕）隨氣體體積%（單位：立方米）的變化而

變化，P隨匕的變化情況如表所示.

P1.522.534???

V644838.43224???

（1）寫出一個符合表格數(shù)據(jù)的?關(guān)于廠的函數(shù)解析式等一

（2）當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，依照?）中的函數(shù)解

析式，基于安全考慮，氣球的體積至少為多少立方米？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可得尸r=96,

則「=組

V

故答案為：尸=的；

V

（2）由尸=144時，K=2,

3

.?.PW144時，-22,

3

當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于144千帕?xí)r，氣球?qū)⒈?，為了安全起見，氣球的體積

至少為2立方米.

3

10.(2023?普蘭店區(qū)模擬)竦州市三江購物中心為了迎接店慶，準(zhǔn)備了某種氣

球，這些氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時，氣球內(nèi)氣體的氣壓產(chǎn)

(kPa)是氣體體積「(機(jī)3)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

(1)試寫出這個函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)氣球的體積為2〃時，氣球內(nèi)氣體的氣壓是多少？

(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于120人尸。時，氣球?qū)⒈?為了安全起見，對氣球

的體積有什么要求？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)設(shè)球內(nèi)氣體的氣壓產(chǎn)(kPa)和氣體體積V(掰3)的關(guān)系式

為尸=K,

v

?圖象過點(diǎn)(1.6,60)

???左=96

即。=絲

V

(2)當(dāng)憶=2〃時，0=48(kPa)；

(3)當(dāng)P>120燈a時，氣球?qū)⒈ǎ?/p>

...PW120,即晅W120,

V

-20.8.

.?.氣球的體積應(yīng)大于等于0.8m3.

11.(2022秋?府谷縣期末)蓄電池的電壓為定值，使用此電源時，電流/(Z)

是電阻R(Q)的反比例函數(shù)，其圖象如圖所示.

(1)求這個反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)R=10Q時，求電流/(/).

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）由電流/（Z）是電阻A（Q）的反比例函數(shù)，設(shè)/=上（左

R

W0）,

把（4,9）代入得：左=4X9=36,

?T36

（2）當(dāng)H=10Q時，/=3.64

12.（2023?宜都市一模）古希臘科學(xué)家阿基米德曾說“給我一個支點(diǎn)，我可以

撬動地球”.后來人們把阿基米德的發(fā)現(xiàn)“若杠桿上的兩物體與支點(diǎn)的距離

與其質(zhì)量成反比例則杠桿平衡”歸納為“杠桿原理”.通俗地說，杠桿原理

為：阻力X阻力臂=動力X動力臂（如圖）.小偉欲用撬棍撬動一塊石頭，

已知阻力和阻力臂分別為1000N和1機(jī).

（1）動力廠與動力臂/有怎樣的函數(shù)關(guān)系？當(dāng)動力臂為2米時，撬動石頭至

少需要多大的力？

（2）若想使動力F不超過a）中所用力的一半，則動力臂I至少要加長多少？

阻力動力

,,支點(diǎn)”

------V-------j

阻力臂動力臂

【答案】（1）動力廠與動力臂/的函數(shù)關(guān)系為F若上，動力臂為2米時，撬

動石頭至少需要500N的力；

（2）動力臂至少要加長2M.

【解答】解：（1）由題意可得：ioooxi=&,

則4100°，

1

當(dāng)動力臂為2米時，

則撬動石頭至少需要：F若6=500（N），

答：動力/與動力臂/的函數(shù)關(guān)系為F二*,動力臂為2米時，撬動石頭至

少需要500N的力；

（2）當(dāng)動力R不超過題（1）中所用力的一半，即尸W250,

則華＜250，

解得：/24,

即動力臂至少要加長4-2=2（能），

答：動力臂至少要加長2匹

13.（2022?臺州）如圖，根據(jù)小孔成像的科學(xué)原理，當(dāng)像距（小孔到像的距離）

和物高（蠟燭火焰高度）不變時，火焰的像高了（單位：CM）是物距（小孔

到蠟燭的距離）x（單位：cm）的反比例函數(shù)，當(dāng)x=6時，y=2.

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式.

（2）若火焰的像高為3cm,求小孔到蠟燭的距離.

(2)4cm.

【解答】解：（1）由題意設(shè)：y=K,

X

把x=6,y=2代入，得左=6X2=12,

???夕關(guān)于x的函數(shù)解析式為：歹=絲；

（2）把y=3代入^=衛(wèi)得，x=4）

???小孔到蠟燭的距離為4cm

【題型3經(jīng)濟(jì)學(xué)的應(yīng)用】

14.（2023春?大連月考）某種商品上市之初進(jìn)行了大量的廣告宣傳，其日銷售

量y與上市的天數(shù)x之間成正比例函數(shù)關(guān)系，當(dāng)廣告停止后，日銷售量y與

上市的天數(shù)x之間成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖所示），現(xiàn)已知上市20天時，當(dāng)

日銷售量為200#.

（1）求該商品上市以后日銷售量y（件）與上市的天數(shù)x（天）之間的函數(shù)解

析式；

（2）當(dāng)上市的天數(shù)為多少時，日銷售量為80件？

【答案】（1）當(dāng)0<xW20時，y=lQx；

當(dāng)x220時，y=4000；

X

（2）當(dāng)上市的天數(shù)為8天或50天時，日銷售量為80件.

【解答】解（1）當(dāng)0VxW20時，設(shè)尸由，把（20,200）代入得自=10,

**y=10x；

當(dāng)x?20時，設(shè)^=絲，把（20,200）代入得左2=4000,

X

??*vy=4-0--0--0，.

X

（2）當(dāng)y=80時，80=10%,

解得：x=8,

當(dāng)y=80時，80=400。,

X

解得：x=50,

故當(dāng)上市的天數(shù)為8天或50天時，日銷售量為80件.

15.（2023?未央?yún)^(qū)校級三模）某種商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其日

銷售量歹與上市的天數(shù)x之間成正比例函數(shù)關(guān)系，當(dāng)廣告停止后，日銷售量y

與上市的天數(shù)x之間成反比例函數(shù)關(guān)系（如圖所示），現(xiàn)已知上市20天時,

當(dāng)日銷售量為200件.（1）寫出該商品上市以后日銷售量了（件）與上市的

天數(shù)x（天）之間的表達(dá)式.

（2）當(dāng)上市的天數(shù)為多少時，日銷售量為100件？

（2）10天或40天.

【解答】解⑴當(dāng)0<xW20時，設(shè)尸后x,把（20,200）代入得后=10,

**y=10x；

當(dāng)x》20時，設(shè)歹=絲，把（20,200）代入得左2=4000,

X

?v=4000.

X

（2）當(dāng).=100時,100=10%,

解得：x=10,

當(dāng)y=100時，100=400。,

X

解得：x=40,

故當(dāng)上市的天數(shù)為10天或40天時，日銷售量為100件.

16.（2022秋?阜平縣期末）某企業(yè)生產(chǎn)一種必需商品，經(jīng)過長期市場調(diào)查后發(fā)

現(xiàn)：商品的月總產(chǎn)量穩(wěn)定在600件.商品的月銷量。（件）由基本銷售量與

浮動銷售量兩個部分組成，其中基本銷售量保持不變，浮動銷售量與售價(jià)工

（元/件）GW10）成反比例，且可以得到如下信息：

售價(jià)X（元/件）58

商品的銷售量。（件）580400

（1）求。與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）若生產(chǎn)出的商品正好銷完，求售價(jià)x.

（3）求售價(jià)x為多少時，月銷售額最大，最大值是多少？

【答案】（1）Q=IOO3幽；（2）4.8元/件；（3）當(dāng)x=10時，月銷售額最

X

大，最大值為3400元.

'k

mq=580

【解答】解：（1）設(shè)|^=1[1+上（政）基本銷售量），依題意得：，，

Xm4=400

Lo

解得：卜=100,

lk=2400

?'-Q=100+^^-（x<10）5

X

（2）當(dāng)。=600時有：io。+迎=600，

X

解得：x=4.8,

，售價(jià)為4.8元.

（3）依題意得：月銷售額=0北=100*+2400,

V100>0,

?，.0隨x的增大而增大，

則當(dāng)x=10時，月銷售額最大，最大值為3400元.

17.（2023?沂源縣一模）在新型冠狀肺炎疫情期間，某農(nóng)業(yè)合作社決定對一種

特色水果開展線上銷售，考慮到實(shí)際情況，一共開展了30次線上銷售，綜合

考慮各種因素，該種水果的成本價(jià)為每噸2萬元，銷售結(jié)束后，經(jīng)過統(tǒng)計(jì)得

到了如下信息：

信息1：設(shè)第x次線上銷售水果了（噸），且第一次線上銷售水果為39噸，然

后每一次總比前一次銷售量減少1噸；

信息2：該水果的銷售單價(jià)P（萬元/噸）均由基本價(jià)和浮動價(jià)兩部分組成，其

中基本價(jià)保持不變，第1次線上銷售至第15次線上銷售的浮動價(jià)與銷售場次

x成正比，第16次線上銷售至第30次線上銷售的浮動價(jià)與銷售場次x成反比

信息3：

X（次）2824

P（萬元）2.22.83

請根據(jù)以上信息，解決下列問題.

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)若夕=3.2(萬元/噸)，求x的值；

(3)在這30次線上銷售中，哪一次線上銷售獲得利潤最大？最大利潤是多

少？

【答案】(1)歹與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=40-x；(2)12或20；(3)

在這30次線上銷售中，第15次線上銷售獲得利潤最大，最大利潤37.5萬

【解答】解：(1)設(shè)第x次線上銷售水果y(噸)，

?.?第一次線上銷售水果為39噸，然后每一次總比前一次銷售量減少1噸；

二y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=40-x；

(2)設(shè)第1場?第15場時0與x的函數(shù)關(guān)系式為0=依+6；第16場?第30

場時P與x的函數(shù)關(guān)系式為pl+b，

依題意得2a+b=2.2,解這個方程組得，,

8a+b=8

又當(dāng)x=24時，有3磺+2，解之得，%=24,

當(dāng)14W15時，p±x+2=3.2.

解之得，x=12

當(dāng)164W30時，p^^+2=3.2.

解之得，x=20

(3)設(shè)每場獲得的利潤為力(萬元)，則有

22

當(dāng)14W15時，1//=(40-x)(-^x+2-2)=-^-X+4X=--^-(X-20)+40-

所以當(dāng)x=15時，%最大，最大為37.5萬元；

當(dāng)164W30時，w=(40-x)(—+2-2)^^.24,

當(dāng)x=16時，%最大，最大為36萬元,

所以在這30次線上銷售中，第15次線上銷售獲得利潤最大，最大利潤37.5

萬元

【題型4生活中其他的應(yīng)用】

18.（2023?中山區(qū)模擬）小明要把一篇文章錄入電腦，完成錄入的時間了（分）

與錄入文字的速度x（字/分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖.

（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）小明在19：20開始錄入，要求完成錄入時不超過19：35,小明每分鐘

至少應(yīng)錄入多少個字？

【答案】（l）y與x的函數(shù)表達(dá)式為^=酗；（2）小明每分鐘至少錄入100

X

個字.

【解答】解：（1）設(shè)^=上，

X

把（150,10）代入y=K得，10=

'x150

???左=1500,

???歹與X的函數(shù)表達(dá)式為歹=儂_；

（2）?.,當(dāng)y=35-20=15時，x=100,

'：k>0,

在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

小明錄入文字的速度至少為100字/分,

答：小明每分鐘至少錄入100個字

19.（2023春?姑蘇區(qū)校級期中）某商場銷售一批散裝堅(jiān)果，進(jìn)價(jià)為30元每斤,

在銷售時售貨員發(fā)現(xiàn)堅(jiān)果的日銷量和每斤的利潤正好成反比例關(guān)系，且價(jià)格

調(diào)整為每斤50元時，當(dāng)日銷量為80斤，那么每日該堅(jiān)果的銷量y（單位斤）

與每斤價(jià)格x（單位：元）之間的函數(shù)表達(dá)式為v=1^0-.

x-30

【答案】尸幽.

x-30

【解答】解：???堅(jiān)果的日銷量和每斤的利潤正好成反比例關(guān)系，

與（%-30）成反比例關(guān)系，

設(shè)尸—--（左＞0）,

x-30

?.,%=50時，?=80,

.*—=80,

50-30

解得，左=1600,

與x之間的函數(shù)表達(dá)式為：y=3，

x-30

故答案為：

x-30

20.（2023?乾安縣一模）李老師把油箱加滿油后駕駛汽車從縣城到省城接客人,

油箱加滿后，汽車行駛的總路程y（單位：加）與平均耗油量x（單位：

Llkm）之間的關(guān)系如圖所示.

（1）求了與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）當(dāng)平均耗油量為0.16￡/Am時，汽車行駛的總路程為多少后〃？

（2）當(dāng)平均耗油量為0.16〃府時，汽車行駛的總路程為437.5力〃.

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為

將點(diǎn)(0.1,700)代入，得左=0.1X700=70,

???y與x的函數(shù)表達(dá)式為了用.

JJ

X

（2）當(dāng)x=0.16時，丫=70

y0.1643"b

當(dāng)平均耗油量為0.16〃購時，汽車行駛的總路程為431.5km.

21.（2022?普寧市一模）通過實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在體育課上運(yùn)動能力指標(biāo)

（后簡稱指標(biāo)）隨上課時間的變化而變化.上課開始時，學(xué)生隨著運(yùn)動，指

標(biāo)開始增加，中間一段時間，指標(biāo)保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后隨著體力的消耗，指

標(biāo)開始下降.指標(biāo)》隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)0Wx<

10和10WxV20時，圖象是線段；當(dāng)20WxW40時，圖象是反比例函數(shù)的一

部分.

（1）請求出當(dāng)0Wx<10和20Wx<40時，所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）楊老師想在一節(jié)課上進(jìn)行某項(xiàng)運(yùn)動的教學(xué)需要18分鐘，這項(xiàng)運(yùn)動需要

學(xué)生的運(yùn)動能力指標(biāo)不低于48才能達(dá)到較好的效果，他的教學(xué)設(shè)計(jì)能實(shí)現(xiàn)嗎？

（2）楊老師的教學(xué)設(shè)計(jì)能實(shí)現(xiàn)，理由見解析.

【解答】解：（1）設(shè)0-10分鐘的函數(shù)解析式為了=區(qū)+6,20-40分鐘的函

數(shù)解析式為y*，

X

?f10k+b=60k

lb=4020

：.Sk=2,左=1200,

lb=40

AO-10分鐘的函數(shù)解析式為y=2x+40,20-40分鐘的函數(shù)解析式為

1200.

yp,

(2)楊老師的教學(xué)設(shè)計(jì)能實(shí)現(xiàn)，

理由：將y=48代入y=2x+40中，得x=4,

將y=48代入y3上中，得x=25,

x

V25-4=21>18,

???楊老師的教學(xué)設(shè)計(jì)能實(shí)現(xiàn).

22.(2023?驛城區(qū)二模)某蔬菜生產(chǎn)基地的氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大

棚栽培一種新品種蔬菜.如圖是試驗(yàn)階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，

大棚內(nèi)的溫度y(℃)與時間x(〃)之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段25、BC表

示恒溫系統(tǒng)開啟階段，雙曲線的一部分CD表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段.

請根據(jù)圖中信息解答下列問題：

(1)求這天的溫度y與時間x(0WxW24)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)解釋線段5c的實(shí)際意義；

(3)若大棚內(nèi)的溫度低于10℃時，蔬菜會受到傷害.問這天內(nèi)，恒溫系統(tǒng)最

多可以關(guān)閉多少小時，才能使蔬菜避免受到傷害？

(2)線段3C表示恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20℃；

(3)10小時.

【解答】解：(1)設(shè)線段解析式為y=Ax+b(左W0)

線段48過點(diǎn)(0,10),(3,15),

/fb=10,

l3k+b=15

心

解得k3，

上=10

，線段48的解析式為：y=5x+10(0WxV6),

"3

,.?5在線段ZB上當(dāng)x=6時，y=20,

.?.5坐標(biāo)為(6,20),

二線段8c的解析式為：歹=20—10),

設(shè)雙曲線CD解析式為：丫掃(取戶0),

VC(10,20),

Am=200,

雙曲線CD的解析式為：y圖^(10<x(24)，

X

.\y關(guān)于x的函數(shù)解析式為：

5

Yx+10(0<?:<6)

O

20(6<x：<10),

200

(10<x<24)

(2)線段5c表示恒溫系統(tǒng)設(shè)定恒溫為20C；

(3)把y=10代入y=200中,

X

解得：x=20,

A20-10=10(小時),

.?.恒溫系統(tǒng)最多可以關(guān)閉10小時，蔬菜才能避免受到傷害.

23.(2023?孟津縣一模)西安市某校為進(jìn)一步預(yù)防“新型冠狀病毒”，對全校

所有的教室都進(jìn)行了“熏藥法消毒”處理，已知該藥物在燃燒釋放過程中,

教室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量y（mg）與燃燒時間x（mm）之間的函數(shù)關(guān)

系如圖所示，其中當(dāng)x<6時，y是x的正比例函數(shù)，當(dāng)x>6時，>是x的反

比例函數(shù)，根據(jù)圖象提供的信息，解答下列問題：

（1）求當(dāng)x26時，了與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）藥物燃燒釋放過程中，若空氣中每立方米的含藥量不小于1.5zng的時間

超過30分鐘，即為有效消毒，請問本題中的消毒是否為有效消毒？

也G26）；

X

（2）超過30分鐘，故是有效消毒.

【解答】解：（1）設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=K（左#0）,

X

將（15,4）代入，得15=X.

4

.,#=4X15=60,

...y與x的函數(shù)關(guān)系式為｝；=也GN6）；

X

（2）當(dāng)x=6時歹=皎=10,

x

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為（6,10）；

由4點(diǎn)（6,10）可得。/所在直線表達(dá)式為》=旦=昂，

63

將y=1.5代入得區(qū)=1.5,

33

Ax=0.9,

將y=1.5代入y=也，得皎=1.5,

xx

Ax=40,

A40-0.9=39.1（分鐘）,

超過30分鐘，故是有效消毒.

24.（2022秋?鐵鋒區(qū)期末）為了預(yù)防疾病，某單位對辦公室采用藥熏消毒法進(jìn)

行消毒，已知藥物燃燒時，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量了（毫克）與時間x

（分鐘）成為正比例，藥物燃燒后，了與x成反比例（如圖），現(xiàn)測得藥物8

分鐘燃畢，此時室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量6毫克，請根據(jù)題中所提供的

信息，解答下列問題：

（1）藥物燃燒時與藥物燃燒后，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6毫克時員工方可進(jìn)辦公

室，那么從消毒開始，至少需要經(jīng)過幾分鐘后，員工才能回到辦公室；

（3）研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3毫克且持續(xù)時間不低于

10分鐘時，才能有效殺滅空氣中的病菌，那么此次消毒是否有效？為什么？

1y（毫克）

研8區(qū)分鐘）

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：（1）設(shè)藥物燃燒時了關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為了=左算（白＞0）代

入（8,6）為6=8后

左1=3,

4

設(shè)藥物燃燒后歹關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為丁=絲（后＞0）,

X

,經(jīng)過點(diǎn)（8,6）,

；.6=紅，

8

；.左2=48,

???藥物燃燒時歹關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為尸斗（04W8）藥物燃燒后歹關(guān)于x

4

的函數(shù)關(guān)系式為^=更（x＞8）；

（2）結(jié)合實(shí)際，令^=望中yW1.6得x》30,

X

答：即從消毒開始，至少需要30分鐘后員工才能回到辦公室;

(3)把y=3代入尸氏，得:x~4,

把y=3代入y=超，得：x=16,

x

V16-4=12>10,

所以這次消毒是有效的.

25.(2022秋?陵城區(qū)期末)泡茶需要將電熱水壺中的水先燒到100℃,然后停

止燒水，等水溫降低到適合的溫度時再泡茶，燒水時水溫y(℃)與時間x

(min)成一次函數(shù)關(guān)系；停止加熱過了1分鐘后，水壺中水的溫度y(℃)

與時間x(機(jī)％)近似于反比例函數(shù)關(guān)系(如圖).已知水壺中水的初始溫度

是20℃,降溫過程中水溫不低于20℃.

(1)分別求出圖中所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并且寫出自變量x的取值范圍：

(2)從水壺中的水燒開(100℃)降到90℃就可以泡茶，問從水燒開到泡茶

需要等待多長時間？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)停止加熱時，設(shè)y=K,

X

由題意得：50=區(qū)，

18

解得：左=900,

*?*y--9-0-0，

X

當(dāng)》=100時，解得：x=9,

二。點(diǎn)坐標(biāo)為(9,100),

.??8點(diǎn)坐標(biāo)為(8,100),

當(dāng)加熱燒水時，設(shè)y=ox+20,

由題意得：100=8。+20,

解得：a=10,

...當(dāng)加熱燒水，函數(shù)關(guān)系式為y=10x+20(0WxW8)；

當(dāng)停止加熱，得y與x的函數(shù)關(guān)系式為(1)y=100(8<xW9)；y=駟■

X

(9VxW45)；

(2)把y=90代入^=更幺得x=10,

x

因此從燒水開到泡茶需要等待10-8=2分鐘.

26.(2023春?淮安區(qū)期末)我校的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動程序，開機(jī)加熱

時每分鐘上升10℃,加熱到100℃,停止加熱，水溫開始下降，此時水溫

(℃)與開機(jī)后用時(min)成反比例關(guān)系.直至水溫降至20℃時自動開機(jī)加

熱，重復(fù)上述自動程序.若在水溫為20℃時，接通電源后，水溫了(℃)和

時間x(min)的關(guān)系如圖所示.

(1)a=8,b=40.

(2)直接寫出圖中y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式.

(3)飲水機(jī)有多少時間能使水溫保持在50℃及以上？

(4)若某天上午7：00飲水機(jī)自動接通電源，開機(jī)溫度正好是20℃,問學(xué)生

上午第一節(jié)下課時(8：40)能喝到50℃以上的水嗎？請說明理由.

【答案】(1)8；40.

，10x+20(0<x<8)

⑵尸回(8?4。).

X

(3)學(xué)生在每次溫度升降過程中能喝到50℃以上水的時間有16-3=13分鐘.

(4)學(xué)生上午第一節(jié)下課時(8：40)不能喝到超過50℃的水.

【解答】解：(1)?.?開機(jī)加熱時每分鐘上升10℃,

.?.從20℃至U100℃需要8分鐘，

設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為：y=krx+b,

將(0,20),(8,100)代入「=狂計(jì)6,得果=10,6=20.

.\y=10x+20(0WxW8),

設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為：歹=K,

X

將(8,100)代入，得左=800,

*?*Vy—--8--0-0-，

X

當(dāng)》=20時，代入關(guān)系式可得x=40；

故答案為：8；40.

，10x+20(0<x<8)

(2)由(1)中計(jì)算可得，歹=800

-----(84x440)

1x

(3)在y=10x+20(0WxW8)中，

令y=50,解得x=3；

反比例函數(shù)^=致^中，令y=50,解得：x—16,

x

學(xué)生在每次溫度升降過程中能喝到50℃以上水的時間有16-3=13分鐘.

(4)由題意可知，飲水機(jī)工作時40分鐘為一個循環(huán)，

上午七點(diǎn)到上午第一節(jié)下課時(8：40)的時間是100分鐘，是2個40分鐘

多20分鐘，

.,.822=40(℃),

20

.?.學(xué)生上午第一節(jié)下課時(8：40)不能喝到超過50℃的水.

27.(2023春?東城區(qū)校級期末)工廠對某種新型材料進(jìn)行加工，首先要將其加

溫，使這種材料保持在一定溫度范圍內(nèi)方可加工，如圖是在這種材料的加工

過程中，該材料的溫度y(℃)時間x(機(jī)沅)變化的函數(shù)圖象，已知該材料,

初始溫度為15℃,在溫度上升階段，了與x成一次函數(shù)關(guān)系，在第5分鐘溫

度達(dá)到60℃后停止加溫，在溫度下降階段，y與x成反比例關(guān)系.

(1)寫出該材料溫度上升和下降階段，y與x的函數(shù)關(guān)系式：

①上升階段：當(dāng)0WxW5時，y=9x±15；

②下降階段：當(dāng)x>5時，^=300_.

X

(2)根據(jù)工藝要求，當(dāng)材料的溫度不低于30℃,可以進(jìn)行產(chǎn)品加工，請問在

圖中所示的溫度變化過程中，可以進(jìn)行加工多長時間？

【答案】見試題解答內(nèi)容

【解答】解：(1)①上升階段：當(dāng)0Wx<5時，為一次函數(shù)，設(shè)一次函數(shù)表

達(dá)式為

由于一次函數(shù)圖象過點(diǎn)(0,15),(5,60),

所以產(chǎn)5,

[5k+b=60

解得：。=15,

lk=9

所以y=9x+15,

②下降階段：當(dāng)x25時，為反比例函數(shù)，設(shè)函數(shù)關(guān)系式為：歹=典，

x

由于圖象過點(diǎn)(5,60),所以機(jī)=300.

則尸獨(dú)2；

x

故答案為：9x+15；=300

(2)當(dāng)0WxV5時，j/=9x+15=30,得x=_|",

因?yàn)閥隨x的增大而增大，所以

當(dāng)時，y=^00.=30,

x

得x=10,因?yàn)閥隨x的增大而減小，

所以xV10,

10-立=空，

33

答：可加工至方證.

3

【題型5反比例函數(shù)的綜合】

28.(2023?贛榆區(qū)二模)在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)為=左述+6的圖象

與坐標(biāo)軸分別交于Z(5,0),B(0,1)兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)的

圖象在第一象限內(nèi)交于P,。兩點(diǎn)，連接。尸，△O4P的面積為S.

4

(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(2)當(dāng)了2＞為時，請你直接寫出X的取值范圍；

(3)若C為線段CM上的一個動點(diǎn)，當(dāng)尸C+0c最小時，求△尸0c的面

積.

【答案】(1)一次函數(shù)的解析式為：H=-L+S,反比例函數(shù)的解析式為:

'22

為=2；

X

(2)0<%<1或x>4；

(3)旦.

5

【解答】解：(1)???一次函數(shù)為=g+A與坐標(biāo)軸分別交于Z(5,0),B

(0.5)兩點(diǎn)，

2

5k[+b=0

b4

k=

解得i4

b=f

...一次函數(shù)的解析式為：為=-上什5.

22

?.,△04P的面積為5,

4

.".X*OA*vp=—,

2-4

?.?點(diǎn)尸在一次函數(shù)圖象上，

...令-JLX+S=JL.解得元=4,

222

：.P(4,1).

2

?.?點(diǎn)尸在反比例函數(shù)J2=%的圖象上，

X

.,.左2=4XJL=2.

2

.??一次函數(shù)的解析式為：％=-L+2，反比例函數(shù)的解析式為：m=2.

22x

(2)令一“1一無T-5一.乙■,解得x=l或x=4,

22x

：.K(1,2),

由圖象可知，當(dāng)竺>g時，x的取值范圍為：OVx<l或x>4；

(3)如圖，作點(diǎn)尸關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P,連接0P,線段0P與x軸的

交點(diǎn)即為點(diǎn)C,

2

：.P'(4,-1),

2

：.PP'=1,

???直線QP'的解析式為：y=-Ix+1L,

66

令y=0,解得x=,,

:.c（1Lo）,

5

-'-S^PQc=^-,（xc-xe）*PP'

=1X（IL-1）XI

25

=旦,

5

當(dāng)尸C+QC最小時，APKC的面積為1_.

29.（2022秋?城固縣期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形O4BC的頂點(diǎn)幺

在y軸正半軸上，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,3）,反比例函數(shù)y支@卉0）的圖象經(jīng)

X

過點(diǎn)B.

（1）求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在反比例函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P,使得產(chǎn)的面積等于菱形0Z5C

的面積？若存在，請求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）yW；

X

（2）存在；尸（8,4）或尸（-8,-4）.

【解答】（1）解：延長5C交x軸于點(diǎn)。,

?.?四邊形0Z3C是菱形，

J.OA//BC,OA=OC=BC=AB,

'.BD^x軸，

VC（4,3）,

.?.0D=4,CD=3,0C=V42+32=5-

OA=OC=BC=AB=5,

BD=BC+CD=OC+CD=8,

：.B（4,8）,

?.?點(diǎn)5在雙曲線上，

...左=4X8=32,

...反比例函數(shù)的表達(dá)式為：y衛(wèi)；

X

（2）解：存在；設(shè)尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)為加，

-：S^OABC=BC-OD=5X4=20,

?*,SAOAP=70A-IXpI卷x51ml=20，

.?.加=±8,

當(dāng)加=8時，p（8,—），即：P（8,4）,

8

當(dāng)加=8時，p（-8,—），即：尸（-8,-4）；

綜上，存在點(diǎn)P(8,4)或尸(-8,-4),使△CMP的面積等于菱形045。

30.(2023春?萬州區(qū)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=2x+4與坐標(biāo)

軸分別交于2、8兩點(diǎn)，與反比例函數(shù)在第一象限交于點(diǎn)C(1,a),

點(diǎn)、D(7,b)是反比例函數(shù)一點(diǎn)，連接并延長交X軸于點(diǎn)￡.

X

(1)求6的值；

(2)連接8E,若點(diǎn)尸是線段3E上一動點(diǎn)，連接CP當(dāng)s^pcE今時，求

點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)/是x軸上一動點(diǎn)，點(diǎn)N為平面內(nèi)一點(diǎn)，在(2)的條件下，是否

存在以幺、P、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形？請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).

【答案】(1)6=包

7

(2)P(2,3)；

(3)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(7,3)或(-3,3)或(2,-3)或(-9,3).

8

【解答】解：(1)???點(diǎn)C(1,a)是直線y=2x+4與反比例函數(shù)的交點(diǎn),

X

??a=2+4=6，

:,k=1X6=6,

:點(diǎn)。(7,b)是反比例函數(shù)y工■上一點(diǎn),

.”=旦；

7

(2)過點(diǎn)P作PQLx軸交CD于點(diǎn)Q,

直線CD的解析式為尸-尹竿,

?點(diǎn)E是直線CD與x軸的交點(diǎn)，

：.E(8,0),

直線BE的解析式為尸-lx+4,

設(shè)尸(a,-Afl+4),Q(a,-2,

277

'.PQ=-2升更-(-L+4)=-_§_(/+理

772147

：?S&PCE=S&PQC+S&PQE=Q(xg-Xc)，

."..L(-,5q+2」)—15；

21472

??a=2,

：.P(2,3)；

(3)在直線y=2x+4與坐標(biāo)軸分別交于Z、3兩點(diǎn),

：.A(-2,0),

VP(2,3),

--AP=yj(-2-2)2+32=5'

?.?以4、P、M、N四點(diǎn)為頂點(diǎn)的菱形,

：.AP=AM=5,

：.MX(3,0)或跖(-8,0),

?四邊形4PNM是菱形，

C.PN//AM,PN=AM=5,

：.N1(7,3),M(-3,3)；

：.N3(2,-3),

如圖4,當(dāng)AM=PM,PN〃/河時,

；.NG=3,

過產(chǎn)作PQ±x軸于Q,

：.PQ=3,AQ=4,

設(shè)AM=PM=a,

a2=32+(4-a')2,

?a=25

8

：.AN=^_,

8

.,.^G=^AN2_NG2=Z,

o

：.0G=^-,

8

：.N4（一旦，3）,

8

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（7,3）或（-3,3）或（2,-3）或（-9,

8

3）.

31.（2023春?洛江區(qū)期末）如圖，已知反比例函數(shù)y「kL（x〈o）的圖象與直線

X

y=k[x+b將于交于A（-1,6）、B（-6,m）兩點(diǎn)，直線AB交x軸于點(diǎn)

拉，點(diǎn)C是x軸正半軸上的一點(diǎn)，

（1）求反比例函數(shù)及直線Z8的解析式；

（2）若必居。=25,求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0）,點(diǎn)。為x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線ZC上的

一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)。和點(diǎn)￡,使得以點(diǎn)。、E、A.5為頂點(diǎn)的四邊形為平行

四邊形？若存在，直接寫出￡點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（2）C（3,0）；

（3）存在?點(diǎn)E的坐標(biāo)為（_A,7）或（2，5）或（旦，-5〉

333

【解答】解：（1）將/（-1,6）代入y=上L,得6=也，

X-1

解得：k[=-6,

...反比例函數(shù)的解析式為：歹=-旦；

將B(-6,m)代入y=——>

x

得m—\,

：.B(-6,1),

,直線天=松+》經(jīng)過/(-1,6)、3(-6,1)兩點(diǎn)，

.6=~k2+b

,

…l=-6k2+b

解得：IQ]

lb=7

直線25的解析式為：尸x+7；

(2)在y=x+7中，令y=0,得x=-7,

：.M(-7,0),

???點(diǎn)C是x軸正半軸上的一點(diǎn)，

.?.設(shè)C(x,0)(x>0),

：.MC=x-(-7)=x+7,

.：S”BC=S“MC-S4BMC=25,

：.XMC*(6-1)=25,即$(x+7)=25,

22

解得：x=3；

，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)；

(3)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)。為x軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線NC上的

一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)。和點(diǎn)￡,使得以點(diǎn)。、E、幺、8為頂點(diǎn)的四邊形為平行

四邊形？若存在，直接寫出E點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)存在.點(diǎn)E的坐標(biāo)為(_A,7)或(2，5)或(旦，-5〉

333

設(shè)直線AC的解析式為y=ax+c,

則[6=-a+c,

I0=a+c

解得：卜=-3,

lc=3

??.直線ZC的解析式為：j=-3x+3；

設(shè)。Qt,0)、E(n,-3〃+3),

又4(-1,6)、B(-6,1),

當(dāng)AB、DE為平行四邊形的對角線時，AB、DE的中點(diǎn)重合，

.r-l-6=t+n

I6+l=_3n+3+0

f17

t=~

解得：，

4

,n=T

二E(4‘7)；

o

當(dāng)4D、BE為平行四邊形的對角線時，AD.BE的中點(diǎn)重合，

?ft-l=n-6

I6+0=-3n+3+l

f17

t=

解得-：v

2

n~^3

,?E(4，5)；

o

當(dāng)ZE、5。為平行四邊形的對角線時，AE、的中點(diǎn)重合，

?(n-l=t-6

I0+l=-3n+3+6

f23

千

解得t：

n=

k7

E告，-5)-

綜上所述，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(得，7)或(［，5)或母，-5>

32.(2023?從化區(qū)二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0v中，一次函數(shù)y=ax+6

(aWO)的圖象與x軸交于點(diǎn)Z(-2,0),與反比例函數(shù)y工>(x>0)交于

點(diǎn),B(b,9).

(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式；

(