中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：勾股定理中的最短路線與翻折問題 專項(xiàng)訓(xùn)練

專題2.3勾股定理中的最短路線與翻折問題專項(xiàng)講練

勾股定理中的最短路徑問題

幾何體中最短路徑基本模型如下:

BF

展開L一一十一I

ADE

丙

圓柱長方體

階梯問題將軍飲馬問題

基本思路：將立體圖形展開成平面圖形，利用兩點(diǎn)之間線段最短確定最短路線，構(gòu)造直角三角形，利用勾

股定理求解。

題型1.圓柱有關(guān)的最短路徑問題

【解題技巧】計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最

短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需

要用底面圓周長的一半進(jìn)行計(jì)算。

要點(diǎn)總結(jié)：

1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開一定點(diǎn)一連線一勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；

2）纏繞類題型可以求出一圈的最短長度后乘以圈數(shù)。

例1.（2022?山東青島?八年級期末）如圖，一個(gè)圓桶，底面直徑為16cm,高為18cm,則一只小蟲從下底點(diǎn)

N處爬到上底8處再回到/處，則小蟲所爬的最短路徑長是（）（左取3）

B.40cmC.30cmD.20cm

【答案】A

【分析】先將圓柱的側(cè)面展開為一矩形，而矩形的長就是底面周長的一半，高就是圓柱的高，再根據(jù)勾股

定理就可以求出其值.

【詳解】解：展開圓柱的側(cè)面如圖，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短就可以得知AB最短.

由題意，得40=3x16+2=24,

在用A48C中，由勾股定理，得

AB=y/AC2+BC2=V242+182=30cm.

,?,一只小蟲從下底點(diǎn)/處爬到上底3處再回到/處，

二最短路徑長為60cm.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓柱側(cè)面展開圖的運(yùn)用，兩點(diǎn)之間線段最短的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用.在解答時(shí)將圓

柱的側(cè)面展開是關(guān)鍵.

24

變式1.（2022?吉林長春?八年級期末）如圖，有一個(gè)圓柱，底面圓的直徑N8=—cm,高8C=10cm,在

71

8c的中點(diǎn)P處有一塊蜂蜜，聰明的螞蟻能夠找到距離食物的最短路徑，則螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)P的最短路程

【分析】化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，得到兩點(diǎn)的位置，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理求解即可.

【詳解】將圓柱體的側(cè)面展開，如圖所示：

AB

底面周長=；x%x一=12(cm),BP=3BC=5(cm),

2272

所以4P=,122+52=13（cm）,

故螞蟻從/點(diǎn)爬到P點(diǎn)的最短距離為13cm,

故答案為：13.

【點(diǎn)睛】本題考查最短距離問題，化“曲”為“平”，在平面內(nèi)，利用兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理是常用求解

方法.

4

變式2.（2022?浙江金華初三月考）如圖，圓柱底面半徑為一cm,高為18cm,點(diǎn)/、8分別是圓柱兩底面

圓周上的點(diǎn)，且/、8在同一母線上，用一根棉線從/點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到8點(diǎn)，則這根棉線的長度

最短為（）

A.24cmB.30cmC.2V21cmD.4^/97cm

【答案】B

【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段

最短解答.

【解析】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從/順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動最短路線是：

AC-CD-DB；即在圓柱體的展開圖長方形中，將長方形平均分成3個(gè)小長方形，/沿著3個(gè)長方形的對角

__4__4

線運(yùn)動到2的路線最短；?.,圓柱底面半徑為一cm,.,.長方形的寬即是圓柱體的底面周長：2兀義一=8cm；

nTC

又,圓柱高為18cm，，小長方形的一條邊長是6cm；

根據(jù)勾股定理求得/C=CO=D3=10cm；：.AC+CD+DB=30cm；故選：B.

---------

/

A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓柱的計(jì)算、平面展開--路徑最短問題.圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長方形，此長

方形的寬等于圓柱底面周長，長方形的長等于圓柱的高.本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長方形，“化曲面

為平面”，用勾股定理解決.

題型2.長方體有關(guān)的最短路徑問題想

【解題技巧】計(jì)算跟長方體有關(guān)的最短路徑問題時(shí)，要熟悉長方體的側(cè)面展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短

結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長方體展開圖的多種情況和分類討論。

要點(diǎn)總結(jié)：1）長方體展開圖分類討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；

2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類相同。

例2.（2021?陜西八年級期末）如圖，長方體的棱AB長為4,棱2C長為3,棱2廠長為2,P為HG的中點(diǎn),

一只螞蟻從點(diǎn)/出發(fā)，沿長方體的表面爬行到點(diǎn)P處吃食物，那么它爬行的最短路程是.

I

/B

【答案】5

【分析】利用平面展開圖有3種情況，畫出圖形利用勾股定理求出的長即可.

【詳解】解：分三種情況：如圖1，HP?=（2+3/+2?=29,

如圖2,AP2=（2+2）2+32=25,：.AP=5,如圖3,AP2=（2+3+4）2+22=85,

■■?25<29<85,它爬行的最短路程為5,故答案為：5.

BC

圖3

【點(diǎn)睛】此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題和勾股定理的應(yīng)用，利用展開圖有3種情況分析得出

是解題關(guān)鍵.

變式L（2022?重慶八年級期中）如圖，長方體的底面邊長是1cm和3cm,高是6cm,如果用一根細(xì)線從點(diǎn)

/開始經(jīng)過4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)5,那么用細(xì)線最短需要（）

A.12cmB.10cmC.13cmD.11cm

【答案】B

【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，利用勾股定理

求出所需結(jié)果.

【詳解】解：如圖，將長方體展開，連接/、B',則44，=1+3+1+3=8（cm）,A'B'=6cm,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理得：AB'2=AA'2+A（S，2=82+62=102cm,所以NH=10cm.故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，構(gòu)造直

角三角形運(yùn)用勾股定理解決.

變式2.（2022?陜西咸陽?八年級期末）如圖，在長方體的頂點(diǎn)G處有一滴糖漿，棱/E上的尸處的螞蟻想

沿長方體表面爬到容器G處吃糖漿，已知容器長48=5cm,寬4D=4cm,高/￡=4cm,AP—1cm,那么螞

蟻需爬行的最短距離是cm.（結(jié)果保留根號）

【答案】V74

【分析】求螞蟻爬行的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果.

【詳解】解：???/E=4cm,I尸=lcm,???PE=3cm,如圖1,

如圖2,.?.PG=ylPF2+FG2=7(3+5)2+42=廂(cm)；

如圖3：.PG=J(5+4)2+42=歷(cm),

故螞蟻需爬行的最短距離是Mem.故答案為：V74.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解

答即可.

題型3.階梯中的最短路徑問題

【解題技巧】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段之和最小進(jìn)行解決。

要點(diǎn)總結(jié)：展開一定點(diǎn)一連線一勾股定理

例3.(2021?重慶八年級期末)如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為8而、3dm、2dm,/和2是

這個(gè)臺階上兩個(gè)相對的端點(diǎn)，點(diǎn)/處有一只螞蟻，想到點(diǎn)8處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到

點(diǎn)8的最短路程為dm.

B

A8

【答案】17

【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為8而，寬為（2+3）x3加，

則螞蟻沿臺階面爬行到8點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長.可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到2點(diǎn)最短路程為x加,

由勾股定理得：X2=82+[（2+3）X3]2=172,解得X=17.故答案為：17.

S

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開一最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和

寬即可解答.

變式1.（2022?山西八年級期末）如圖所示，/BCD是長方形地面，長48=20,寬40=10,中間整有一

堵成墻高M(jìn)V=2,一只螞蟻從/點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它必須翻過中間那堵墻，則它至少要走（）

A.20B.24C.25D.26

【答案】D

【分析】將題中圖案展開后，連接NC,利用勾股定理可得ZC長，將中間的墻展開在平面上，則原矩形長

度增加寬度不變，求出新矩形的對角線長即為所求.

【詳解】解：展開如圖得新矩形，連接/C,則其長度至少增加2兒W,寬度不變，

由止匕可得：48=20+4=24,AD=10

根據(jù)勾股定理有：AC=y/AB2+BC2=A/242+102=7676=26D.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖形最短路線問題以及勾股定理得應(yīng)用；解題關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出正確的平

面展開圖.

題型4.將軍飲馬與最短路徑問題

【解題技巧】解決線段之和最小值問題：對稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。

要點(diǎn)總結(jié)：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問題需要先作對稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾

股定理求解。

例4.（2022?重慶初二月考）圓柱形杯子的高為18cm,底面周長為24cm,已知螞蟻在外壁/處（距杯子上

沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm）,則螞蟻從/處爬到8處的最短距離為（）

C.20D.1272

【答案】C

分析：將杯子側(cè)面展開，建立《關(guān)于斯的對稱點(diǎn)?，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知?8的長度即為所求.

【解析】如圖所示，將杯子側(cè)面展開,作/關(guān)于小的對稱點(diǎn)4，

連接，氏則，8即為最短距離，A'B=y/A'D2+BD2=7122+162=20（cm）故選C.

點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識.將圓柱側(cè)面展開，化曲面為平面并作出“關(guān)于郎的對稱點(diǎn)

，是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?山東荷澤?八年級階段練習(xí)）如圖是一個(gè)供滑板愛好者使用的。型池，該。型池可以看作是

一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5m的半圓，其邊緣

AB=CD=20m.小明要在AB上選取一點(diǎn)E,能夠使他從點(diǎn)D滑到點(diǎn)E再滑到點(diǎn)C的滑行距離最短，則

他滑行的最短距離約為（）江（兀取3）

A.30B.28C.25D.22

【答案】C

【分析】根據(jù)題意畫出側(cè)面展開圖，作點(diǎn)C關(guān)于N3的對稱點(diǎn)凡連接。R根據(jù)半圓的周長求得5C,根

據(jù)對稱求得C斤=23C,在RfACDE中,勾股定理求得。下.

【詳解】其側(cè)面展開圖如圖：作點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)尸，連接。R

,?,中間可供滑行的部分的截面是半徑為2.5cm的半圓，

.,-5C=7tT?=2.57t=7.5cm,AB=CD=20cm,CF=2BC=15cm,

在MZiCDF中，DF=y/cF2+CD2=V152+202=25cm,故他滑行的最短距離約為25cm.故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理最短路徑問題，作出側(cè)面展開圖是解題的關(guān)鍵.

變式2.2021?陜西長安?八年級期中）有一個(gè)如圖所示的長方體透明玻璃水缸，高=60cm,水深/E=40cm,

在水面線斯上緊貼內(nèi)壁G處有一粒食物，且￡G=60cm,一只小蟲想從水缸外的A處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)

的G處吃掉食物.（1）你認(rèn)為小蟲應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請你畫出它爬行的最短

路線，并用箭頭標(biāo)注.（2）求小蟲爬行的最短路線長（不計(jì)缸壁厚度）.

【答案】（1）見解析；（2）100cm

【分析】（1）做出/關(guān)于2C的對稱點(diǎn)連接/'G,與BC交于點(diǎn)0,由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)/'G最

短，即/Q+0G最短；（2）/，G為直角A4EG的斜邊，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：（1）如下圖所示，

作點(diǎn)/關(guān)于3c所在直線的對稱點(diǎn)⑷，連接⑷G,4G與8c交于點(diǎn)。,

由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)/'G最短，則/Q+QG為最短路線.

(2)AE=40cm,/.AA'=2AB=120cm,A'E=80cm.

在向A/l'EG中，EG=60cm,/'E=80cm,：.A'G=>JA'E2+EG2=100cm.

由對稱性可知2。=〃。，NQ+QG=4Q+QG=?G=100cm.故小蟲爬行的最短路線長為100cm.

【點(diǎn)睛】本題考查的是利用勾股定理求最短路徑問題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)對稱性作出/的對稱點(diǎn)再根

據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，從而可找到路徑求出解.

課后專項(xiàng)訓(xùn)練：

1.（2021?江蘇八年級月考）將一根24c加的筷子，置于底面直徑為15c加，高8c機(jī)的圓柱形水杯中，如圖所

示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度加加，則〃的取值范圍是（）

A.h<17cmB.h>8cmC.15cm<h<16cmD.7cm<h<16cm

【答案】D

【分析】觀察圖形，找出圖中的直角三角形，利用勾股定理解答即可.

【詳解】首先根據(jù)圓柱的高，知筷子在杯內(nèi)的最小長度是8cm,則在杯外的最大長度是24-8=16cm；

再根據(jù)勾股定理求得筷子在杯內(nèi)的最大長度是NC=4西芯=715^=17,則在杯外的最小長度是

24-17=7cm,所以〃的取值范圍是7cms后16cm,故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，注意此題要求的是筷子露在杯外的取值范圍.主要是根據(jù)勾股定理

求出筷子在杯內(nèi)的最大長度.

2.（2022?河南鶴壁?八年級期末）如圖，在一個(gè)長為9m,寬為6m的長方形草地上，放著一根長方體木塊,

它較長的邊和草地的寬平行且長大于4D,木塊從正面看是邊長為1m的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)/出發(fā)

到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程為（）

A.12mB.Jl57mC.6>f5mD.13m

【答案】B

【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答.

【詳解】由題意可知，將木塊展開，如圖，

長相當(dāng)于是48+2個(gè)正方形的寬，

.?.長為9+2x1=11（加）；寬為6%.

于是最短路徑為：762+ll2=V157（m）.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理求最短距離，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?四川樂山?八年級期末）如圖，一只螞蟻從長為4cm,寬為3cm,高為5cm的長方體紙箱的N點(diǎn)

沿紙箱表面爬到2點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是（）

A.12cmB.V?4cmC.780cmD.790cm

【答案】B

【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，再由勾股定理求解即可.

【詳解】解：將長方體展開，如圖1所示，連接/、2,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，7（3+4）2+52=V74

如圖2所示，J(3+5￥+42=4石cm,

如圖3所示,732+(5+4)2=3VTOcm,

??-V74<475<3770,

???螞蟻所行的最短路線為V74cm.

【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，將長方體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理是解題.

4.（2022?云南昆明?八年級期末）如圖,正方體的棱長為2cm，點(diǎn)3為一條棱的中點(diǎn).螞蟻在正方體表面爬

行，從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B的最短路程是（）

A.VlOcmB.4cmC.V17cmD.5cm

【答案】C

【分析】正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻的起點(diǎn)和終點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，根據(jù)勾股定理可求

出路徑長，

【詳解】解:如圖,

它運(yùn)動的最短路程/2=,（2+2）2+（|>=如cm）,故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開最短路徑問題，掌握兩點(diǎn)之間線段最短，找到起點(diǎn)終點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出是

解題的關(guān)鍵.

5.（2021?山東省鄲城第一中學(xué)八年級階段練習(xí)）如圖所示，有一個(gè)長、寬各2米，高為3米的無蓋長方體

紙盒放在桌面上，一只昆蟲從頂點(diǎn)A要爬到頂點(diǎn)8,那么這只昆蟲爬行的最短路程為（)

A.3米B.4米C.5米D.6米

【答案】C

【分析】分別畫出三個(gè)路徑的示意圖，利用勾股定理求出路程，再從中找出最短路程即可.

【詳解】解：由題意，有以下三個(gè)路徑：

①如圖，路徑一：

則這只昆蟲爬行的路程為J2?+（2+3）2=屈（米）；

②如圖，路徑二:

則這只昆蟲爬行的路程為舟+（2+2）2=5（米）；

③如圖，路徑三：

則這只昆蟲爬行的路程為+（3+2）2=岳（米）；

因?yàn)榍?,

所以這只昆蟲爬行的最短路程為5米，

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確畫出三個(gè)路徑的示意圖是解題關(guān)鍵.

6.（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖，有一長、寬、高分別是5cm,4cm,4cm的長方體木塊，一只螞蟻

沿如圖所示路徑從頂點(diǎn)A處在長方體的表面爬到長方體上和A相對的中點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長

為（）

A.V85cmB.761cmC.797cm

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

^=A/（5+4）2+22=V§5cm,

??.需要爬行的最短路徑長為病cm,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是明確線段最短這一知識點(diǎn)，然后把立體的長方體放到一個(gè)

平面內(nèi)，求出最短的線段.

7.（2022?全國?八年級）如圖，正方體盒子的棱長為2,"為8c的中點(diǎn)，則一只螞蟻從N點(diǎn)沿盒子的表面

B.V13

D.V17

【答案】B

【分析】先利用展開圖確定最短路線，再利用勾股定理求解即可.

【詳解】解：如圖，螞蟻沿路線爬行時(shí)距離最短；

???正方體盒子棱長為2,初為3c的中點(diǎn)，

AD=2,MD=3,

??AM=,2"+3"=A/TS，

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了螞蟻爬行的最短路徑為題，涉及到了正方形的性質(zhì)、正方體的展開圖、勾股定理、兩

點(diǎn)之間線段最短等知識，解題關(guān)鍵是牢記相關(guān)概念與靈活應(yīng)用.

8.（2022?四川省德陽市第二中學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長.寬.高分別為3、2、1的長方

體的/點(diǎn)爬到8點(diǎn)，它爬行的最短路程為（)

A.2亞B.2y/5C.372D.726

【答案】C

【分析】按展開的方式不同，分類討論，將長方體展開，連接點(diǎn)/、B,再利用勾股定理即可求解.

【詳解】按展開的方式不同，分類討論,

第一種情況：當(dāng)按下圖展開時(shí)，

根據(jù)勾股定理可得：/臺3+(2+1)2=3后;

第二種情況：當(dāng)按下圖展開時(shí)，

根據(jù)勾股定理可得：AB=#+(2+3)2=后：

第三種情況：當(dāng)按下圖展開時(shí)，

根據(jù)勾股定理可得：/8=j22+(l+3)2=2退；

■?-3V2<2V5<V26>

???最短路徑為：3也，

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了長方體的展開以及勾股定理等知識，將長方體展開，連接線段N2即是螞蟻爬行

的最短距離，如此得到最短距離是解答本題的關(guān)鍵.

9.（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）如圖是樓梯的一部分，若4D=2,BE=1,AE=3,一只螞蟻在/處發(fā)

現(xiàn)C處有一塊糖，則這只螞蟻吃到糖所走的最短路程為（）

A.75B.3C.屈D.2舊

【答案】D

【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路.將臺階展開得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從4

點(diǎn)到C點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案.

【詳解】解：將臺階展開，如圖，

因?yàn)镈C=AE+BE=3+1=4,AD=2,

所以

所以AC=2y[5,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬是

解題的關(guān)鍵.

10.（2022?安徽宿州?八年級期末）如圖，正四棱柱的底面邊長為4cm,側(cè)棱長為6cm,一只螞蟻從點(diǎn)/出

發(fā)，沿棱柱外表面到。點(diǎn)處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長是（)

A.2V29cmB.14cmC.(2A/13+4)cmD.10cm

【答案】D

【分析】把正四棱柱展開為平面圖形，分兩種情形求出路徑，比較即可解答.

【詳解】解：把正四棱柱展開為平面圖形，分兩種情形：

圖1圖2

如圖1中，AC=>]AB2+BC'2=A/42+102=V116=2A/29>

如圖2中，AC=yjAC2+CC'2=A/82+62-10-

,?,10<2A/29，二爬行的最短路徑是10cm.故選

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，涉及了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后

根據(jù)勾股定理求解.

11.(2022?成都市八年級專題練習(xí))如圖，一個(gè)長方體盒子緊貼地面，一只螞蟻由A出發(fā)，在盒子表面上爬

到點(diǎn)G,已知23=6,BC=5,CG=3,這只螞蟻爬行的最短路程是.

Hc

【答案】10

【分析】將長方體盒子按不同方式展開，得到不同的長方形，求出不同長方形的對角線，最短者即為正確

答案.

【詳解】解：由題意，如圖1所示，M^G=7（6+5）2+32=7130；

如圖2所示，得/G=&+（5+3）2=10,

如圖3所示，AG=^（3+6）2+52=V106,...螞蟻爬行的最短路程是10.故答案為：10.

【解答】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意將長方體盒子展開為平面圖形，根據(jù)勾股定理求出最短路

程進(jìn)行比較是解題關(guān)鍵.

12.（2021?江蘇八年級期中）如圖，矩形/3CD中，AD=3,/3=2.點(diǎn)￡是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上

的任意一點(diǎn)（不與8、C重合），△EAF沿E尸翻折，點(diǎn)3落在B處，當(dāng)。9的長度最小時(shí)，BF的長度為

【答案］叱何

【分析】先確定當(dāng)D,B',E共線時(shí)，。夕的值最小，再根據(jù)勾股定理解題.

【詳解】如圖，連接。E,

,**DB'2DE—EB'，DE=VAE2+AD2=Vl2+32-VTo,EB'=\,?.DB'>VTo—1,

???當(dāng)。，E共線時(shí)，。"的值最小，不妨設(shè)此時(shí)點(diǎn)皆落在。石上的點(diǎn)5〃處，設(shè)BF'=PB"=x,

F'D2=CD2+F'C2^B"D2+B"F'2,22+（3-x）2-（V10-1）'+x2,解得工="即.故答案為：

1+師

【點(diǎn)睛】本道題考查了兩點(diǎn)之間，線段最短、勾股定理（在直角三角形中，兩直角邊的平方之和等于斜邊的

平方）.解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)。，B',E共線時(shí)，。戶的值最小.

13.（2022?河南?鄭州楓楊外國語學(xué)校八年級期末）如圖，一大樓的外墻面4DM與地面4BCD垂直，點(diǎn)尸

在墻面上，若尸/=/3=5米，點(diǎn)尸到4D的距離是4米，有一只螞蟻要從點(diǎn)尸爬到點(diǎn)2,它的最短行程是

【答案】3屈

【分析】可將大樓的墻面/。即與地面/BCD展開，連接尸8,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解

即可.

【詳解】解：如圖，過P作尸G18少于G,連接P8,

■-AG=4,AP=AB=5,■-PG=AP2-AG2=3,BG=9,

PB=^GB2+GP2=3V10故這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是3師故答案為：3A/10

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的

線段長來進(jìn)行解決.

14.（2022?全國?八年級課時(shí)練習(xí)）云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個(gè)雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪

場改造而成的.下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實(shí)景圖和示意圖，該場地可以看作是從

一個(gè)長方體中挖去了半個(gè)圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為1上2m,其邊緣AB=CD=24m，點(diǎn)E在CO

7T

上，CE=4m.一名滑雪愛好者從點(diǎn)/滑到點(diǎn)￡,他滑行的最短路線長為m.

云頂滑雪場U型池實(shí)景圖云頂滑雪場U型池示意圖

【答案】4扃

【分析】根據(jù)題意可得,/。=12加,DE=CD-CE=24-4=20%線段/￡即為滑行的最短路線長.在RfzMOE

中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長.

【詳解】解：如圖，

121

根據(jù)題意可知：AD=2%x-x—=12,DE=CD-CE=24-4=20,

712

線段即為滑行的最短路線長.在77A4DE中，根據(jù)勾股定理，得

AE=4AD2+DE2=V122+202=4734（加）.故答案為：4734

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，利用勾

股定理求最短距離.

15.（2021?新疆伊犁?八年級階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm,高是12cm的長方體紙箱

的/點(diǎn)沿紙箱爬到8點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長是cm.

【答案】V193

【分析】先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，由勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖

圖3

?1-V193<V241<V265

它所行的最短路線的長為：V193

故答案為：V193.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開圖一最短路徑問題，是重要考點(diǎn)，掌握分類討論法是解題關(guān)鍵.

16.（2022?新疆克拉瑪依?八年級期末）如圖，正方體的盒子的棱長為2,BC的中點(diǎn)為一只螞蟻從點(diǎn)M

沿正方體的表面爬到點(diǎn)2螞蟻爬行的最短距離是

【答案】V13

【分析】根據(jù)題意，先將正方體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短求解.

【詳解】解：將正方體展開，連接M、R,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，

MD=MC+CD=l+2=3,

MD,=yjMD2+DD^=A/32+22=而.

MD、=dMC?+CD：==717,

...最短距離為而，故答案為：V13.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開日最短路徑問題，將正方體展開，據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答即

可.

17.（2022?廣東?常春藤國際學(xué)校八年級期中）如圖，一個(gè)圓柱體的底面周長為24,高BD=5,2C是直

徑.一只螞蟻從點(diǎn)。出發(fā)，沿著表面爬到C的最短路程為

【答案】5+—

71

【分析】根據(jù)題意，有2條路線，①先將圓柱體展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解，②

沿。3-C路線求得路程比①更短，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：將圓柱體展開，連接DC,

圓柱體的底面周長為24,則。E=12,

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,

C￡>=^52+122-13.

而走B-D-C時(shí)，路程為5H,

71

24

?.-5+—<13,

兀

24

???螞蟻從點(diǎn)。出發(fā)，沿著表面爬到C的最短路程為5+一.

71

24

故答案為：5H-----.

71

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，將圓柱體展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，運(yùn)用勾股定理解答

即可.

18.（2021?無錫市八年級期中）（1）如圖1,長方體的底面邊長分別為3冽和2冽，高為1冽，在盒子里，可

以放入最長為冽的木棒（2）如圖2,在與（1）相同的長方體中，如果用一根細(xì)線從點(diǎn)4開始經(jīng)過

4個(gè)側(cè)面纏繞一圈到達(dá)點(diǎn)C,那么所用細(xì)線最短需要m；（3）如圖3,長方體的棱長分別為

AB=BC=6cm,44]=14的,假設(shè)昆蟲甲從盒內(nèi)頂點(diǎn)G以2厘米/秒的速度在盒子的內(nèi)部沿棱G。向下爬行，同

時(shí)昆蟲乙從盒內(nèi)頂點(diǎn)/以相同的速度在盒壁的側(cè)面上爬行，那么昆蟲乙至少需要多長時(shí)間才能捕捉昆蟲

甲？

/

圖①

【答案】（1）Vu；（2）VioT；（3）昆蟲乙至少需要日秒鐘才能捕捉到昆蟲甲

【分析】（1）利用勾股定理求出斜對角線的長即可；（2）利用勾股定理求解即可;

（3）由題意的最短路徑相等，設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)沿棱向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)/按路徑

4EfF,爬行捕捉到昆蟲甲需X秒鐘，列出方程求解即可.

【詳解】（1）最長的為斜對角線：V32+22+l2=714;

（2）這根細(xì)線的長為：jF+（3+3+2+2）2:

（3）設(shè)昆蟲甲從頂點(diǎn)G沿棱GC向頂點(diǎn)C爬行的同時(shí)，昆蟲乙從頂點(diǎn)/按路徑/一￡一尸，爬行捕捉到昆蟲

QC

甲需X秒鐘’如圖I在皿B中，3）52+（14-2"”。，解得…F

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形是解題的關(guān)鍵.

三角形和矩形中的翻折、旋轉(zhuǎn)問題

解題技巧：勾股定理在有關(guān)圖形折疊計(jì)算的問題中的共同方法是：在圖形中找到一個(gè)直角三角形，然后設(shè)

圖形中某一未知數(shù)為X,將此三角形中的三邊長用具體數(shù)或含X的代數(shù)式表示，再利用勾股定理列出方程,

從而得出要求的線段的長度。

例1.（2022?江蘇九年級專題練習(xí)）如圖，將矩形紙片/BCD沿所折疊，使。點(diǎn)與3c邊的中點(diǎn)。重

合.若2C=8,CD=6,則C/的長為.

【答案】|

【分析】設(shè)CF=x,在用中利用勾股定理求出x即可解決問題.

【詳解】解：是8。的中點(diǎn)，SC=8,CD=6,：.D'C=^BC=4,

由折疊的性質(zhì)知：DF=D'F,設(shè)CF=x,則。/=。尸=。。一CF=6-x,

在Rt^CFD'中，根據(jù)勾股定理得：D'F2=CF2+CD'2,

即：（6-X）2=X2+42,解得X=：,=故答案為：j

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用翻折不變性解決問題，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，利用

方程的去思考問題，屬于中考?？碱}型.

變式1.（2022?重慶南開中學(xué)八年級月考）如圖，已知ABCD是長方形紙片，CD=3,在CD上存在一點(diǎn)

E,沿直線/￡將A/即折疊，。恰好落在2c邊上的點(diǎn)尸處，且&/所=6,貝IJANE。的面積是（）.

BC

【答案】B

【分析】根據(jù)面積求出8尸、AF,CF,設(shè)DE為x,列方程求出即可.

【詳解】解：N8CD是長方形紙片，.?.N8=CD=3,

S“FB=；AB-BF，：.6=；x3-BF，；.BF=4,:.AF=dAB?+BF?=5，

：.AF=AD=BC=5,CF=\,設(shè)DE為x,EF=DE=x,EC=3-x,

22

x=(3-x)+l,解得，x=：.SMED=^-AD-ED=^-X5X^-=^-,故選：B.

J2236

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與翻折，解題關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)脑O(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程.

例2.(2021?四川成都市?八年級期末)如圖，在長方形紙片/BCD中，AB=4,2C=3,點(diǎn)尸在2c邊上,

將△CDP沿。尸折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，PE,DE分別交48于點(diǎn)G,F,若GE=GB,則。的長為

12

【答案】y

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=D￡、CP=EP,由/EO尸=N3OP、NB=NE、GE=G8可得出4G跖0

△GBP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出GF=GP、EF=BP,設(shè)BF=EP=CP=x,貝l|/尸=4-x,BP=3-x=EF,

DF=DE-EF=4-(3-x)=x+l,在用ZkADF中，依據(jù)/產(chǎn)+/。2=。產(chǎn)，可得到x的值.

【詳解】解：根據(jù)折疊可知：ADCP會ADEP,：.DC=DE=4,CP=EP.

AEGF=乙BGP

在4G砂和AGBP中，\GE=GB,:.△OEF烏AOBP(ASA),:.EF=BP,GF=GP,：.BF=EP=CP,

NE=NB

設(shè)BF=EP=CP=x,貝lJ/F=4-x,BP=3-x=EF,DF=DE-EF=4-(3-x)=x+l,

VZA=90°,.?.RfAAD尸中，AF^+AD^DF2,

121212

(4-x)2+32=(1+x)2,.\x=—,*.CP=-,故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，設(shè)要求的線段長為x,選擇

適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程是解決問題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?江蘇?靖江市靖城中學(xué)八年級期中）如圖，將矩形48a）沿跖折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在48

邊的中點(diǎn)C'上.若48=6,BC=9,則AF的長為

【分析】首先求出8C'的長度，設(shè)出。尸的長，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于線段CE的方程，解方程求出C戶的

長，即可解決問題.

【詳解】???四邊形/BCD為矩形，

."=90°；

???點(diǎn)C為48的中點(diǎn)，AB=6,

.-.BC'=3；

由題意得：（設(shè)為x）,則8/=9-x,

由勾股定理得：

x2=32+（9-x）2,

解得：x=5,

.■■BF=9-5=4.

故答案為4.

【點(diǎn)睛】本題以矩形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用等幾何知識點(diǎn)

為核心構(gòu)造而成；靈活運(yùn)用有關(guān)定理來解題是關(guān)鍵.

例3.（2022?全國?八年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在長方形/8OD中，/8=8,點(diǎn)￡為8c上一點(diǎn)，將

AABE沿/￡折疊，點(diǎn)8恰好落在線段OE上的點(diǎn)尸處，則2E的長為.

【答案】4

【分析】設(shè)3E=x,則CE=10-x,由折疊的性質(zhì)可知〃尸=8,EF=x,在比A4DE中利用勾股定理表示

出Z)尸，在小△(7/)￡t中，利用勾股定理列方程求解X.

【詳解】解：設(shè)BE=x,貝iJC￡=10-x,

由折疊的性質(zhì)可知，AF=AB=8,EF=BE=x,NAFE=NB=90°.

在必AZDF中，DF=yjAD2-AF2=A/102-82=6>

DE=EF+DF=x+6.

在及△CD￡中，CD2+CE2=DE2,BP82+(10-X)2=(X+6)2,

解得x=4.

的長為4.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，折疊的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

變式1.(2022?上海松江?八年級期末)如圖，長方形45CD中，BC=5,45=3,點(diǎn)￡在邊5C上，^ADCE

沿著DE翻折后，點(diǎn)。落在線段4E上的點(diǎn)尸處，那么的長度是.

【分析】由對折先證明。￡=。。二3,￡）。尸￡=90°,￡）?！晔?￡）?！辍??！甓陱S,再利用勾股定理求解4廠，再證明

4E=AD=5,從而求解砂，于是可得答案.

【詳解】解：:長方形NBCD中，BC=5,AB=3,

\AD=BC=5,CD=AB=3,DC=90°,AD//BC,

由折疊可得：DE=DC=3QDFE=90。QDEF=€DEC,CE=EF,

\DAFD=90°,AF=^AD2-DF2=4,

QAD〃BC,

\DADE=DCED,

/ADE=/AED,

\AE=AD=5,

\EF=AE-AF=1,

:.CE=\.

故答案為：1

【點(diǎn)睛】本題考查的是長方形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，求解/尸=4,4E=40=5是解本題

的關(guān)鍵.

例4.（2021?成都西川中學(xué)八年級期中）如圖，在R/A48c中，ZACB=90°,NC=3,8c=4,點(diǎn)E是AB

邊上一點(diǎn).將△CE2沿直線CE折疊到△CER使點(diǎn)2與點(diǎn)尸重合.當(dāng)C尸，48時(shí)，線段E2的長為

【答案】2

【分析】設(shè)C尸與N2交于點(diǎn)〃，利用勾股定理求出AB,利用面積法求出Cff,求出HF和設(shè)

BE=EF=x,在△"小中利用勾股定理列出方程，解之即可.

【詳解】解：設(shè)CF與AB交于點(diǎn)H,

VZACB=90°,AC=3,BC=4,：.AB=^32+42=5,

11ACBCABCH12

XXXX，即3X4=5XCH,:.CH=一,

?'?SAAB^22=^5

8

由折疊可知：CF=CB=4,：.HF=CF-CH=~,

在△2CH中，BH=qBdH。弋,設(shè)BE=EF=x,則￡77=3-工，

55

在△麗中，EH2+FH2=EF2,+(|)=x2，解得：x=2,：.EB=2,故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用折疊的性質(zhì)得到相等線段，利用勾股定理

列出方程.

變式1.（2021?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)九年級）如圖，在放A4BC的紙片中，ZC=90°,AC=1,AB=

25.點(diǎn)。在邊8c上，以/。為折痕將A/OB折疊得到A/AB',4B'與邊BC交于點(diǎn)、E.若△。班，為直角

三角形，則3。的長是.

【分析】由勾股定理可以求出BC的長，由折疊可知對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，當(dāng)ADEQ為直角三角形時(shí),

可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出BD的長.

【詳解】解：在RtAABC中，BC=y)AB2-AC2=^625-49=24,

(1)當(dāng)NEZW90。時(shí)，如圖1,過點(diǎn)9作交NC的延長線于點(diǎn)廠，

由折疊得：AB=AB'=25,BD=B'D=CF,設(shè)AD=x,則B7)=CF=x,B'F=CD=24-x,

在RtAAFB，中，由勾股定理得：(7+爐+(24-療=252,

即：X2-17X=0,解得：%=0(舍去)，x?=17,因此，BD=17.

(2)當(dāng)NDEB=90。時(shí)，如圖2,此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合，

由折疊得：4B=AB'=25,貝IJHC=25-7=18,設(shè)BD=x,貝ljB7)=x,CD=24-x,

在瓦△BQ中，由勾股定理得：(24-X)2+182=X2,解得：x=；,因此BD=?.故答案為：17或7.

444

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是：分類討論思想的應(yīng)

用注意分類的原則是不遺漏、不重復(fù).

例5.2022?貴州遵義?八年級期末)在RtZ\/8C中，Z5=90°,AB=8,BC=4,點(diǎn)、E、尸分別是直角邊

和斜邊/C上的點(diǎn)，把A/BC沿著直線E尸折疊，點(diǎn)A恰好落在5c邊的中點(diǎn)。上，則線段BE的長度為

（）

【答案】B

【分析】由折疊的性質(zhì)可得則DE=8—3E,在RtABDE中,利用勾股定理構(gòu)建方程求出BE即

可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得

ZB=90°,AB=8,BC=4,點(diǎn)。是2C邊的中點(diǎn)，.?.￡>￡=/￡=8—BE,BD==BC=2,

2

,15

22

在出△8OE中，BD+BE-=DE,即2?+防2=（8一5石）-，解得：BE=—,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，利用勾股定理得出關(guān)于3E的方程是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?北京市第一六一中學(xué)八年級期中）如圖，RMABC中,/8=90。,/8=4,8。=6,將ANBC折

疊，使點(diǎn)C與48的中點(diǎn)。重合，折痕交/C于點(diǎn)交BC于點(diǎn)、N,則線段CN的長為（）.

10

C.3D.

T

【答案】D

【分析】由折疊的性質(zhì)可得DN=CN,根據(jù)勾股定理可求ON的長，即可得出結(jié)果.

【詳解】解：,??￡>是/B中點(diǎn)，AB=4,.-.AD=BD=2,

???將A48C折疊，使點(diǎn)、C與AB的中氤D重合，；.DN=CN,；.BN=BC-CN=6-DN,

在RtADBN中,DN2=BN2