中考數(shù)學復習：圓重難點題型專訓（十大題型）（解析版）

專題09圓重難點題型專訓（十大題型）

旨【題型目錄】

題型一圓的基本概念辨析

題型二求圓中弦的條數(shù)

題型三求過圓內一點的最長弦

題型四圓的周長和面積問題

題型五點與圓的位置關系

題型六三角形的外接圓

題型七確定圓的條件

題型八圓中角度的計算

題型九圓中線段長度的計算

題型十求一點到圓上點距離的最值

【知識梳理】

41經典例題一圓的基本概念辨析】

【例1】（2023秋?河北保定?九年級統(tǒng)考期末）下列說法：（1）長度相等的弧是等?。唬?）相等的圓周角所

對的弧相等；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】利用等弧的定義、圓周角定理、弧的定義及弦的定義分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；

（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故錯誤；

（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；

（4）直徑是圓中最長的弦，正確，

綜上所述，四個說法中正確的只有1個，

故選：A.

【點睛】本題考查圓中有關定義，能夠熟練掌握圓的有關知識是解答本題的關鍵.

■【變式訓練】

1.0023春?安徽?九年級專題練習）圓。的直徑4B=26cm,點C是圓。上一點（不與點/、5重合），作CO，43

于點若CZ）=12cm,則4。的長是（）

A.8cmB.18cmC.8cm或18cmD.16cm

【答案】c

【分析】分兩種情況畫出圖形，由勾股定理求出5cm,則可得出答案.

【詳解】解：當點。在03上，如圖，連接OC,

圓。的直徑AB=26cm,

0A=OC=13cm,

CD1AB,

???NODC=90。,

DO=yj0C2-CD2=A/132-122=5(cm),

.?.4D=O/+OD=13+5=18(cm)；

當點。在線段04上時，如圖，

同理可得出ND=/O-OD=13-5=8（cm）,

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理，圓的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

2.（2023春?山東濟南?九年級校考開學考試）如圖，正方形中，AB=4,￡點沿線段40由/向。

運動（到。停止運動），尸點沿線段由C向3運動（到3停止運動），兩點同時出發(fā)，速度相同，連接

EF,作8PLE產于P點，則在整個運動過程中尸點的運動軌跡長為

【答案】岳

【分析】連接8。，交EF于點O,利用全等三角形的判定與性質得到點。為正方形的中心，利用8尸，￡尸

得到整個運動過程中尸點的運動軌跡為以為直徑的半圓，再利用圓的周長的公式解答即可.

【詳解】解：如下圖，連接8。，交EF于點O,

由題意得：AE=CF,

???四邊形23CD為正方形，

二.AD=BC,AD\\BC,

乙m0=乙FBQ乙CEO=ABFQAD-AE=BC-CF,

DE=BF,

“EH^xBFO,

:.OD=OB,OE^OF,

-O為正方形ABCD的中心，

正方形ABCD中，AB=4,

BC=CD=%ABCD=90°,

BD=Ja：2+B=J42+42=472，

BO=2桓，

■：BP1EF,

ABPO=90°,

整個運動過程中P點的運動軌跡為以05為直徑的半圓,

???整個運動過程中P點的運動軌跡：;X2也r=也兀,

故答案為：及?！?/p>

【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形的全等的判定與性質，點的軌跡的性質，圓，利用正方形的性

質和全等三角形的判定與性質確定出點的軌跡是解題的關鍵.

3.（2023春?廣東河源?九年級校考階段練習）如圖所示，48為。。的直徑，CD是O。的弦，AB,的

延長線交于點E,已知=ZAEC=20°.求//OC的度數(shù).

【答案】60°

【分析】連接。D.由=4B=2OD可得OD=DE,根據(jù)“等邊對等角”得到NOOE=NE=20。，

Affif^CDO=ADOE+AE=40°.又OC=OD,得到/C=/ODC=40。，進而求得4OC=/C+/E=60。.

【詳解】連接OD.

AB=IDE,AB=2OD,

OD=DE,

ZDOE=ZE=20°,

ZCDO=ZDOE+ZE=40°.

OC=OD,

ZC=NODC=40°,

:.ZAOC=ZC+ZE=60°.

【點睛】本題主要考查圓的直徑與半徑關系，等腰三角形的性質，三角形的外角，熟練運用等腰三角形等

邊對等角的性質是解題的關鍵.

,31經典例題二求圓中弦的條數(shù)】

【例2】（2023?浙江?九年級假期作業(yè)）如圖，點A,O,。，點C,D,E以及點B,O,C分別在

一條直線上，則圓中弦的條數(shù)為（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【答案】A

【分析】根據(jù)弦的定義進行分析，從而得到答案.

【詳解】解：圖中的弦有BC,CE共2條.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了弦的定義，理解弦的定義是解決本題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023秋?江蘇?九年級專題練習）點A、0、D與點B、O、C分別在同一直線上，圖中弦的條數(shù)為（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】試題分析：弦是連接圓上任意兩點的線段，根據(jù)定義作答.

解：由圖可知，點A、B、E、C是OO上的點，

圖中的弦有AB、BC、CE,一共3條.

故選B.

考點：圓的認識.

2.(2023秋?九年級課時練習)如圖，圓中有一條直徑，—條弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有—條，劣

弧有一條.

A

【答案】1344

【詳解】圓中有AB一條直徑，AB、CD、EF三條弦，圓中以A為一個端點的優(yōu)弧有四條，劣弧有四條,

故答案為1,3,4,4.

3.(2023?浙江?九年級假期作業(yè))如圖，08c是。。內接三角形，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求

(1)在圖1中，畫山一條與8c相等的弦；

(2)在圖2中，畫出一個與。3C全等的三角形.

【答案】(1)見解析；(2)見解析

【分析】(1)連結CO并延長交。。于￡,連接20并延長交。。于。，連結ED,再證/WOC三

(SAS),可得8c=?！?；

(2)連結/。并延長交。。于04=04,連結2。并延長交。。于9，OB=OBr,連結CO并延長交。O

于C\OC=OC',利用邊角邊判定方法先證△BOC三△夕OC(SAS),可得BC=B，C；同理可證△80/三△夕O?

(SAS),可得48=，夕，同理可證ZUOC三八4。。(SAS),可得NC=/。，利用三邊對應相等判定方法可

證A42C三(SSS).

【詳解】解：(1)如圖1,DE為所作；

連結C。并延長交。。于E,連接30并延長交。。于。，連結ED,

：OB=OD=OE=OC,

在△BOC和ZiDOE中,

OC=OE

</COB=ZEOD,

OB=OD

:△BOSADOE(SAS),

(2)如圖2,為所作.

連結NO并延長交。。于4,OA=OA\連結8。并延長交。。于"，OB=OBr,連結CO并延長交。。于C,

oc=oc,

在△BOC和△皮OC中，

oc=oc

<ZCOB=/C'OB，,

OB=OB'

???△B0CW0C(SAS),

:?BC=BC；

同理可證△BCM三△BOZ'(SAS),

：,AB=AB,

同理可證ZUOC三(SAS),

:.AC=AC,

在A4BC和A4577中，

AB=A,B,

<AC=A,C,,

BC=B'C

.-.ZU5C=A^^V(SSS).

B,

圖2

【點睛】本題考查僅用無刻度的直尺畫線段，畫三角形，三角形全等判定與性質，圓的性質，掌握圓的性

質與三角形全等判定與性質是解題關鍵.

1經典例題三求過圓內一點的最長弦】

【例3】(2023秋?全國?九年級專題練習)如圖，點8的坐標分別是/(4,0),B(0,4),點C為坐標

平面內一動點，2C=2,點M為線段NC的中點，連接則0M的最大值為()

A.72+1B.V2+—C.2A/2+1D.2A/2--

【答案】C

【分析】根據(jù)同圓的半徑相等可知：點C在半徑為2的02上，通過畫圖可知，C在2。與圓2的交點時,

(W最小，在。3的延長線上時，最大，根據(jù)三角形的中位線定理可得結論.

【詳解】解：如圖，

???點C為坐標平面內一點，BC=2,

；.C在03上，且半徑為2,

取。D=O/=4,連接8,

■.■AM=CM,OD=OA,

；.0M是&ACD的中位線，

：.OM*CD,

當（W最大時，即CD最大，而D,B,C三點共線時，當C在。8的延長線上時，0M最大,

?：0B=0D=4,乙8OD=90°,

:?BD=A6,

??.CZ）=4亞+2,

.-.OM=^CD=2y/2+\，即（W的最大值為2a+1；

故選：C.

【點睛】本題考查了坐標和圖形的性質，三角形的中位線定理等知識，確定0M為最大值時點C的位置是

關鍵，也是難點.

【變式訓練】

1.（2023秋?浙江?九年級專題練習）A、8是半徑為5c加的。。上兩個不同的點，則弦的取值范圍是

（）

A.AB>0B.0<AB<5C.0<AB<10D.0<^5<10

【答案】D

【分析】根據(jù)圓的基本性質可直接進行求解.

【詳解】???圓中最長的弦為直徑，

.-.0<J5<10.

二故選D.

【點睛】本題主要考查弦的概念，正確理解圓的弦長概念是解題的關鍵.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）下列說法中正確的有_（填序號）.

（1）直徑是圓中最大的弦；（2）長度相等的兩條弧一定是等弧；（3）半徑相等的兩個圓是等圓；（4）面積

相等的兩個圓是等圓；（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧.

【答案】（1）（3）（4）

【分析】根據(jù)弦、等圓、等弧的定義分別分析即可.

【詳解】解：（1）直徑是圓中最大的弦，說法正確；

（2）長度相等的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，在同圓或等圓中，能夠完全重合的兩段弧為等弧，不但長

度相等，彎曲程度也要相同；

（3）半徑相等的兩個圓是等圓，說法正確；

（4）面積相等的兩個圓是等圓，說法正確；

（5）同一條弦所對的兩條弧一定是等弧，說法錯誤，同一條弦所對的兩條弧不一定是等弧，除非這條弦是

直徑.

故答案為：（1）（3）（4）.

【點睛】本題考查了圓的有關概念，熟練掌握弦、等圓、等弧的定義是解題的關鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖所示，48為。。的一條弦，點C為。。上一動點，且

NBG4=30。，點E,尸分別是4C,8C的中點，直線E尸與。。交于G,H兩點,若。。的半徑為7,求

GE+FH的最大值.

【答案】GE+FH的最大值為受.

【分析】由GE+切和E尸組成的弦G”,在。。中，弦G〃最長為直徑14,而E尸可求，所以GE+W

的最大值可求.

【詳解】連結4。，BO,

■：NBC4=30°ZBOA=60°

為等邊三角形，AB=7

■:點E,尸分別是4C,8c的中點

17

.-.EF=-AB=~,vG〃為。。的一條弦

721

??.G〃最大值為直徑14.?.GE+9的最大值為14-/=5.

【點睛】利用直徑是圓中最長的弦，可以解決圓中一些最值問題.

二31經典例題四圓的周長和面積問題】

【例4】（2023春?山東泰安?九年級校考期中）如圖兩個半徑都是4cm的圓外切于點C,一只螞蟻由點/開

始依/、B、C、D、E、F、C、G、/的順序沿著圓周上的8段長度相等的路徑繞行，螞蟻在這8段路徑上

不斷爬行，直到行走2006兀cm后才停下來，則螞蟻停的那一個點為（）

A.。點B.E點、C.尸點D.G點

【答案】A

【分析】先求出螞蟻爬行一圈所走的路程，再根據(jù)停下來時重復的圈數(shù)和余數(shù)，進而求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，每段長度為四分之一的圓周長，即9x2x7rx4=27icm,又知繞行8段為一循環(huán),

4

則爬行一圈的路程為2兀x8=16兀cm,

v2006K=125x16KKK6TI,6兀+2兀=3,

???行走200671cm后才停下來，那一個點為D點，

故選：A.

【點睛】本題考查圓的周長，圖形類規(guī)律探究，解答的關鍵是理解題意，能根據(jù)爬行一圈的路程得出重復

的圈數(shù)，再由余數(shù)確定最終的位置.

W【變式訓練】

1.（2023春?四川?九年級專題練習）如圖，在A4B。中，ZAOB=90°,ZBAO=30°,30=6,。。的面積

為12萬，點、M,N分別在。。、線段43上運動，則九W長度的最小值等于（）

A.—B.—C.V3D.2百

42

【答案】C

【分析】過點。作OC，48,交。。于點P,當點”與點P重合，點N與點C重合時，血W長度的最小即

為線段尸。的長度，利用含30度角的直角三角形的性質及勾股定理得出/。=6括，再由等面積法確定

OC=3拒,由圓的面積得出,=2退=OP,結合圖形即可得出結果.

【詳解】解：過點。作。交。。于點P,當點M與點P重合，點N與點C重合時，長度的最

.-.AB=2BO=n,

???AO=NAB°-BO。=6A/3，

.-.-AOxBO=-ABxOC,

22

解得：OC=3拒,

r。。的面積為12打,設半徑為r,

nr1=12萬

廠==。尸，

PC=OC-OP=M,

即跖V長度的最小值為6，

故選：C.

【點睛】題目主要考查圓與三角形綜合問題，包括含30度角的直角三角形的性質，勾股定理解三角形，圓

的面積等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵.

2.（2023秋?甘肅天水?八年級校考期末）如圖，已知在應48。中，乙4c8=90。，分別以NC,BC,AB為

直徑作半圓，面積分別記為S，S2,S3,若邑=9兀，則S/+S2等于.

【答案】97r.

【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式，可以得到S1+S2的值，從而可以解答本題.

【詳解】解：?.?乙4cB=90。,

：.AC2+BC2=AB2,

2x

■-?S]=ii（。）y,S2=n（磐）2x1~,S3=n（半）2x：,

222，22

2X2X=S

■?■S1+s2=7t（與）2x：+兀（?）7（與）7^

■■?S3=9TI,

.,.SI+S2=9H,

故答案為：971.

【點睛】本題考查勾股定理，解答本題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想解答.

3.2023秋?上海徐匯?六年級上海市徐匯中學?？计谀┠惩瑢W用所學過的圓與扇形的知識設計了一個問號,

如圖中陰影部分所示，已知圖中的大圓半徑為4,兩個小圓的半徑均為2,請計算圖中陰影部分的周長和面

積.

【答案】陰影部分的周長為48.82,陰影部分的面積為40.82

【分析】根據(jù)圓的周長和面積公式分別求出陰影的周長和面積，再進行運算即可.

3

【詳解】解：。陰影=2(4圓-尺小圓)+大圓+。小圓)+。小圓

3

=2x(4-2)+—x(2^x4+2^x2)+2^x2

=8+13萬

?48.82；

3

s陰影二大圓+S小圓)+S小圓

3

=—(^x42+^X22^)+^X22

二13萬

?40.82.

答：陰影部分的周長為48.82,陰影部分的面積為40.82.

【點睛】本題考查了圓的面積、周長公式的運用；能夠熟練運用公式，并正確化簡計算是解題的關鍵.

J【經典例題五點與圓的位置關系】

【例5】(2023秋?廣東惠州?九年級?？茧A段練習)如圖，在RM48c中，/C=90。，/C=4,8c=7,點

。在邊8c上，CD=3,。/的半徑長為3,。。與相交，且點B在。。外，那么。。的半徑長「可能是

【答案】B

【分析】連接40交。/于E,根據(jù)勾股定理求出4D的長，從而求出的長，再根據(jù)相交兩圓的位

置關系得出，?的范圍即可.

【詳解】解：連接/。交。/于E,如圖1,

圖1

在RtANCD中，由勾股定理得：AD=ylAC2+CD2=742+32=5-

貝i|DE=/D-/E=5-3=2,

BC=7,CD=3,

：.BD=l-3=4,

二。。與。/相交，且點3在。。外，必須2<r<4,

即只有選項B符合題意，

故選：B.

【點睛】本題考查了相交兩圓的性質，點與圓的位置關系，勾股定理等知識點，能熟記相交兩圓的性質和

點與圓的位置關系的內容是解題的關鍵.

*【變式訓練】

1.(2。23?山東泰安?統(tǒng)考三模)如圖,拋物線＞*-4與x軸負半軸交于點/,P是以點°(。,3)為圓心，2

【答案】A

【分析】連接2尸，如圖，先解方程;，-4=0得/(-4,0),8(4,0),再判斷。。為“8尸的中位線得到

OQ=；BP,利用點與圓的位置關系，8尸過圓心C時，PB最小,如圖，點P運動到P位置時，BP最小,

然后計算出即可得到線段。。的最小值.

【詳解】解：連接AP,如圖，

用軍得網=4,x2=-4,

.-.A[-4,0),5(4,0),

???0是線段尸/的中點,

為23P的中位線,

;.OQ=；BP,

當5尸最小時，。。最小，

而5尸過圓心。時，心最小，如圖，點尸運動到P位置時，BP最小,

BC=A/32+42=5，

.-.BP'=5-2=3,

???線段。。的最小值是;3.

故選：A.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關系：點的位置可以確定該點到圓心距離與半徑的關系，反過來已知點

到圓心距離與半徑的關系可以確定該點與圓的位置關系.也考查了三角形中位線.確定尸'位置是解題的關

鍵.

2.（2023?河南南陽?統(tǒng)考一模）如圖，點E是正方形28CZ）邊2C上一動點（點E不與點8、C重合），連接

DE,過點/作交CD于尸，垂足為尸，連接尸C,已知正方形的邊長為2,則尸C的最小值

【答案】V5-1

【分析】以《。為直徑作。連接S,交?！辄c尸，根據(jù)點圓最值的性質，則尸C為最小距離，再根

據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解：???"，"，

.??點P的運動軌跡是以工。為直徑的圓上一段圓弧上，

如圖，取工。中點連接CH,交?！辄c尸，則尸C為所求，

???正方形的邊長為2,

.-.DC=2,DH=\,

C77=A/22+12=#＞，

■■CP=45-1.

故答案為：V5-1.

【點睛】本題考查了正方形的性質的應用，點圓最值的應用是解題關鍵.

3.(2023秋?江蘇?九年級專題練習)在矩形NBCD中，AB=6,AD=8.

AI---------------\D

B'---------------1c

(1)若以A為圓心，8長為半徑作則8、C、。與圓的位置關系是什么？

(2)若作。/,使8、C、。三點至少有一個點在。/內，至少有一點在。/外，則。/的半徑/的取值范圍

是一

【答案】(1)點B在。/內，點C在。/外，點。在。/上

(2)6<r<10

【分析】(1)根據(jù)點到圓的位置關系，比較與圓的半徑之間的大小關系，即可得解;

(2)根據(jù)題意，和點到圓心的距離與圓的半徑之間的關系，即可得解.

【詳解】(1)解：連接ZC,

AB=6,AD=8,

AC=ylAB2+BC2=^62+82=10，

Qe/的半徑為8,

AB<8,AD=8,AC>8

.,?點3在。/內，點C在ON外，點。在。/上；

（2）解：AB=6,4。=8,AC=10,

又，??以點A為圓心作04,使B,C,。三點中至少有一個點在圓內，且至少有一點在圓外，

,。工的半徑廠的取值范圍是6<r<10.

故答案為：6<r<10.

【點睛】本題考查點與圓的位置關系.熟練掌握點到圓心的距離d與圓的半徑/之間的關系，判斷點與圓的

位置關系，是解題的關鍵.

31經典例題六三角形的外接圓】

【例6】（2023秋?江蘇?九年級專題練習）如圖所示，的三個頂點的坐標分別為4（-1,3）、8（-2,-2）、

C（4,-2）,則“3C外接圓半徑的長為（）.

A.3V2B.273c.VioD.VB

【答案】D

【分析】三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，設。8C的外心為由8,C的坐標可知/必在直線x=l

上，由圖可知線段/c的垂直平分線經過點(1,0),由此可得過點加作于點。，連接MB,

由勾股定理求出MB的長即可.

【詳解】解：設“8C的外心為

?.?8（-2,-2）、C（4,-2）,

-2+4

?O-M必在直線x=-----=1上,

2

由圖可知，線段AC的垂直平分線經過點(1,0),

如圖，過點初作于點。，連接MB,

中，MD=2,BD=3,

由勾股定理得：MB=s/MD2+BD2=A/22+32=V13.

即外接圓半徑的長為JR.

故選D.

【點睛】本題考查求三角形外接圓的半徑，能夠根據(jù)網格和三角形頂點坐標判斷出A48c外心的位置是解題

的關鍵.

W【變式訓練】

1.（2023春?全國?九年級專題練習）如圖，。。是等邊三角形/8C的外接圓，若。。的半徑為2,則

的面積為（）

A.—B.V3C.2也D.3c

2

【答案】D

【分析】過點。作OA13C于點〃，根據(jù)等邊三角形的性質即可求出C歸和58的長，再根據(jù)垂徑定理求出

2c的長，最后運用三角形面積公式求解即可.

【詳解】解：過點。作OH1BC于點H,連接NO,BO,

?NBC是等邊三角形,

.■./-ABC=60°,

為三角形外心，

■■.Z.OAH=30°,

：.OH=；OB=\,

-BH=4BO1-OH1=yj3，AH=-AO+OH=2+1=3

，BC=2BH=2M

：.SAARC——BCxAH=—x2^3x3=3A/3

故選：D

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質、含30。角的直角三角形的性質，熟練掌握等邊三角形的性質，并能

進行推理計算是解決問題的關鍵.

2.（2023?廣東東莞?模擬預測）如圖，點。是等邊"BC內部一動點，AB=6,連接4D,8,CD,若

ZABD=ZBCD,則AD的長度最小值是.

【答案】273

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質和求得NDBC+NBCD=60。,ZBDC=120°,如圖，作

ABOC的外接圓。。，連接05、OD、OC、0A,根據(jù)圓周角定理可得Na=2N5DC=240。，從而求得

NBOC=120°,再根據(jù)等腰三角形的性質可得ZOBC=ZOCB=30°,ZABO=90°,再根據(jù)垂直平分線的判

定可得AO垂直平分BC,從而可得NBAO=4c=30°,再由直角三角形的性質可得BO=\AO,^BO=a,

則/。=2〃，在此△ZB。中，利用勾股定理求得a=2百，則5。=。。=2百，40=4百，再由三角形三邊

關系可得當點4、D、。在一條直線上時，4。最小，即可求解.

【詳解】解：是等邊三角形，

.?.N4BC=N4CB=60。,AB=AC=BC=6,

???/ABD=/BCD,

???/ABC=ZABD+ZDBC=NDBC+/BCD=60°,

/./助。=180。-60。=120。，

如圖，作△5OC的外接圓OO,連接03、OD、OC、OA,

???/a=2/5OC=240。，

NBOC=360°-240°=120°,

：OB=OC,

；,/OBC=/OCB=3G0,

.?.a450=60。+30。=90。，

又AB=AC,

???/O垂直平分5C,

??.ZBAO=-ZBAC=30°f

2

/.BO=—AO,

2

設30=a,則/O=2a,

在MA/B。中，AB-+BO1=AO1,HP62+a2=（2a）2,解得：a=2#）,

■-BO=OD=2s/3,AO=45

在△ADO中，AD>AO-DO,

二當點/、D、。在一條直線上時，40最小，

?—04-00=46-26=25

故答案為：2VL

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、三角形內角和定理、三角形外接圓、等腰三角形的性質、圓周角定

理、勾股定理、三角形三邊關系、垂直平分線的判定與性質，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.

3.（2023秋?全國?九年級專題練習）［探索發(fā)現(xiàn)］有張形狀為直角三角形的紙片，小俊同學想用些大小不同

的圓形紙片去覆蓋這張三角形紙片，經過多次操作發(fā)現(xiàn)，如圖1,以斜邊AB為直徑作圓，剛好是可以把

□△ABC覆蓋的面積最小的圓，稱之為最小覆蓋圓.

［理解應用］

我們也可以用一些大小不同的圓覆蓋銳角三角形和鈍角三角形，請你通過操作探究解決下列問題

(1)如圖2.在A48c中，ZA=1O5°,試用直尺和圓規(guī)作出這個三角形的最小覆蓋圓(不寫作法，保留作圖痕

跡).

(2)如圖3,在AA8C中，zA=80°,zB=40°,AB=26，請求出aABC的最小覆蓋圓的半徑

［拓展延伸］

(3)如圖4,在AA8C中，已知AB=15,AC=12,BC=9,半徑為1的。。在AA8C的內部任意運動，則。。

覆蓋不到的面積是

C

圖1圖2圖3圖4

【答案】⑴見解析；(2)r=2；(3)54-%.

【分析】(1)由題意，這個三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直

平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點即為圓心0,

連接OC,則OC為半徑，畫圖(見解析)即可；

(2)如圖(見解析)，AABC的最小覆蓋圓為A48c的外接圓，由已知條件可得/C=60。，則圓心角

ZAOB=2ZC=120°；連接OA、OB,過。作。8,由等腰三角形的性質可得

AH=BH=；AB,NAOH=60°,在RfAAOH中利用勾股定理求解即可；

(3)由已知條件可A48C是直角三角形，利用ZU8C的面積減去圓的面積即可得.

【詳解】(1)由題意，這個三角形的最小覆蓋圓就是三角形的外接圓.三角形外接圓的圓心在每條邊的垂直

平分線上，又因三角形的三條垂直平分線必交于一點，故只需作兩條邊的垂直平分線，其交點即為圓心O,

連接OC,則OC為半徑，畫圖如下：

(2)如圖，M8C的最小覆蓋圓為A48c的外接圓

連接OA、0B,過O作。"

?.?//=80°,4=40°

;.NC=180。一N/-Z8=60°

:.ZAOB=2ZC=nO°(圓周角定理)

OA=OB,貝I]NOAB是等腰三角形

AH=BH=^AB=拒,NAOH=^ZAOB=60°

在PA4O“中，OA=2OH

由勾股定理得：OA2=OH2+AH2=-OA2+3

4

解得：OA=2

故AABC的最小覆蓋圓的半徑為2；

(3)VAB=\5,AC=n,BC=9

AB2=AC2+BC2

48c是直角三角形

S.,Rr=-ACBC=54

又'''Sgio=71

故所求的面積為54-%.

【點睛】本題考查了三角形外接圓的性質，理解題意，將其轉化為三角形外接圓問題是解題關鍵.

j［經典例題七確定圓的條件】

【例7】（2023秋?九年級課前預習）下列說法中，真命題的個數(shù)是（）

①任何三角形有且只有一個外接圓；②任何圓有且只有一個內接三角形；③三角形的外心不一定在三角形

內；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等；⑤經過三點確定一個圓；

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】①根據(jù)圓的確定，進行判斷即可；②根據(jù)三角形的定義進行判斷即可；③直角三角形的外心在斜

邊上，銳角三角形的外心在三角形內部，鈍角三角形的外心在三角形的外部，進行判斷；④根據(jù)三角形的

外心是三條邊的中垂線的交點，進行判斷即可；⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓.

【詳解】解：①任何三角形有且只有一個外接圓，是真命題；

②任何圓有無數(shù)個內接三角形，原說法錯誤，是假命題；

③三角形的外心不一定在三角形內，是真命題；

④三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，原說法錯誤，是假命題；

⑤不在同一條直線上的三個點確定一個圓，原說法錯誤，是假命題；

綜上，真命題的個數(shù)為2個；

故選B.

【點睛】本題考查三角形的外接圓和圓的確定.熟練掌握不在同一條直線上的三個點確定一個圓，三角形

的外心是三角形三邊的中垂線的交點，是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023春?九年級課時練習）如圖，PA、P3為OO的切線，切點分別為A、B,PO交AB于點C,PO

的延長線交OO于點D.下列結論不一定成立的是（）

A.AB均為等腰三角形B.48與尸D相互垂直平分

C.點A、B都在以尸。為直徑的圓上D.PC為A3尸4的邊22上的中線

【答案】B

【分析】連接OB,OC,令M為OP中點，連接MA,MB,證明RtZkOPB三Rt2\OPA,可得BP=AP,

ZOPB=ZOPA,ZBOC=ZAOC,可推出48尸/為等腰三角形，可判斷A；根據(jù)△OBP與aOAP為直角三角形,

OP為斜邊，可得PM=OM=BM=AM,可判斷C；證明三△OAC,可得PC1AB,根據(jù)ABPA為等腰三

角形，可判斷D；無法證明與PD相互垂直平分，即可得出答案.

【詳解】解：連接OB,OC,令M為OP中點，連接MA,MB,

.B,C為切點，

,?.ZOBP=ZOAP=90°,

,?,OA=OB,OP=OP,

???RtAOPBsRtAOPA,

；.BP=AP,zOPB=zOPA,zBOC=zAOC,

??.△B4為等腰三角形，故A正確；

???△OBP與4OAP為直角三角形，OP為斜邊，

.*.PM=OM=BM=AM

???點A、B都在以尸。為直徑的圓上，故C正確;

vzBOC=zAOC,OB=OA,OC=OC,

.-.AOBC=AOAC,

??.zOCB=zOCA=90o,

???PC1AB,

???△BPA為等腰三角形，

；.PC為的邊48上的中線，故D正確；

無法證明AB與相互垂直平分，

故選：B.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質，圓的性質，掌握知識點靈活運

用是解題關鍵.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形N8CD中，E為月8的中點，尸為3C邊上的任意一點，

把△P8E沿PE折疊，得到△班連接CF.若/B=10,BC=12,當CF取最小值時，AP的值等

于一

【答案】y

【分析】點尸在以E為圓心E4為半徑的圓上運動，當E、F、C共線時時，此時尸C的值最小，根據(jù)折疊

的性質，得出AEBPWAEFP,再根據(jù)全等三角形的性質，得出斯_L尸尸，EB=EF,再根據(jù)勾股定理求出

CE,根據(jù)折疊的性質，可知燈=5P,再根據(jù)線段之間的數(shù)量關系，得出C尸=12-BP,再利用勾股定理,

列出方程，解出即可得出答案.

【詳解】解：如圖所示，點尸在以E為圓心，E4為半徑的圓上運動，當E、F、C共線時時，此時CF的

值最小,

根據(jù)折疊的性質，&EBP沿AEFP,

EFLPF,EB=EF,

是48邊的中點，/8=10,

/.AE=EB=EF=5,

AD=BC=n,

:.CE=NBE2+BC?=13,

:.CF=CE-EF=13-5=S.

由折疊可知：FP=BP,

:.CP=BC-BP=n-BP,

在RtZXC尸尸中，根據(jù)勾股定理得:

CF2+FP2=CP2,

82+BP2=(12-族丁,

解得2P=g.

故答案為：y.

【點睛】本題考查了折疊的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理、兩點之間線段最短的綜合運用，

熟練掌握折疊的性質是解題的關鍵.

3.(2023秋?全國?九年級專題練習)已知等邊。8C的邊長為8,點尸是48邊上的一個動點(與點/、B

不重合).

(1)如圖1.當P8=34P時，ABPC的面積為；

(2)直線/是經過點P的一條直線，把。3c沿直線/折疊，點8的對應點是點

①如圖2,當尸8=5時，若直線〃//C,求39的長度；

②如圖3,當尸3=6時，在直線/變化過程中.請直接寫出△NC8'面積的最大值.

【答案】(1)12百；(2)①5月；②4百+24

【分析】(1)先根據(jù)等邊三角形的邊長為8,計算等邊ZU2C的面積，由同高三角形面積的比等于對應底邊

的比，可得aPBC的面積；

(2)①如圖2中，設直線/交3C于點E.連接8夕交尸E于。證明△PE8是等邊三角形，求出。8即可

解決問題；

②如圖3中，過點尸作P4垂直于NC,當8、P、”共線時，ZL4C夕的面積最大，求出尸，的長即可解決

問題.

【詳解】解：(1)如圖1中，

圖1

?.?等邊人＜8。的邊長為8,

:.等邊A4BC的面積="、82=16百，

4

,：PB=3AP,

.?.△APC的面積為3x166=12指；

4

故答案為：12百;

(2)①如圖2中，設直線/交于點￡連接85咬可于O,

-PEWAC,

:/BPE=U=60。,乙BEP=^C=6。。,

:NEB是等邊三角形，

”8=5,且5,9關于尸E對稱，

:.BBAPE,BB，=2OB,

?"80=30。，

???BB?56

②如圖3中，過點尸作尸H垂直于NC,

圖3

由題意可得：夕在以尸為圓心半徑長為6的圓上運動,

當HP的延長線交圓P于點"時面積最大，

在4PH中,必8=8,PB=6,

■：PA=1,

,.ZPAH=6O°,

：.AH=1,PH=出,

:,BH=6+yfy，

?',S4^CB，的最大值=w乂8乂（6+G）=4G+24.

【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質和判定，軸對稱變換，勾股定理，含30。的直角

三角形的性質，平行線的判定和性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于

中考壓軸題.

J【經典例題八圓中角度的計算】

【例8】1（2023?甘肅白銀??？既＃┤鐖D，A、B、C是圓。上的三點，且四邊形是平行四邊形,

。尸，OC交圓。于點尸，則40廠等于（）

c

【答案】B

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質和圓的半徑相等得到為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到

答案.

【詳解】解：

???四邊形48C。是平行四邊形，

OC=AB,又OA=OB=OC,

OA-OB—AB,

.??/08為等邊三角形，

???OFLOC,OC//AB,

--.OFA.AB,

ZAOF=ABOF=30°,

故選：B.

【點睛】本題考查的是圓內半徑相等，平行四邊形的性質定理、等邊三角形的性質的綜合運用，掌握等腰

三角形的三線合一是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2023?四川廣元?統(tǒng)考一模）如圖，4B為。。的直徑，是的弦，48、的延長線交于點E,已

知AB=2DE,//EC=20。，則//OC的度數(shù)為（）

c

【答案】c

【分析】連接。。，根據(jù)等腰三角形的判定和性質，得至UZDOE=N/EC=20°,再根據(jù)三角形外角的性質,

得到"CO=480=40。，利用三角形內角和定理，得到/。。。=100。，即可求出//OC的度數(shù).

【詳解】解：連接。。，

AB=2DE,

:.OD=DE,

■：NAEC=20°,

NDOE=20°,

ZCDO=ZDOE+ZE=40°,

OC=OD,

.-.ZDCO=ZCDO=40°,

ZCOD=180°-ZDCO-ZCDO=100°,

ZAOC=180O-ZDOE-ZCOD=60°,

故選C.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質，三角形外角的性質，三角形內角和定理，熟練掌握等腰三

角形等邊對等角的性質是解題關鍵.

2.（2023秋?全國?九年級專題練習）如圖，在矩形48CD中，AB=6,BC=4,M,N分別是2C,CD上

的動點，連接/M,BN交于點、E,且NBND=2AMC.

BM?

（1）AAEB=.

（2）連接CE,則CE的最小值為.

【答案】90。/90度2

【分析】（1）由NBND=ZAMC,/氏￥。+/氏\（=180。推出/可瓦0+/加。勿=180。，最后利用矩形的性質

即可得解；

（2）先確定E點的運動路徑是個圓，再利用圓的知識和兩點這間線段最短確定CE最短長度，然后利用勾

股定理即可得解.

【詳解】（1）?:NBND=NAMC,ZBND+NBNC=180°,

：.ZBNC+ZAMC=1^0°,

ZNEM+ZNCM=180°

?四邊形/BCD是矩形，

；.NBCD=90°,ZNEM=90°,

N4EB=90°,

故答案為90。.

（2）?.?NNE8=90。，點K在以4B為直徑的圓上，設4B的中點為O,則當。，E,C三點共線時，CE的值

最小，止匕時CE=OC-O￡=OC—O2

AB=6,BC=4,

OB=—AB=3,

2

???OC=NOB2+BC?=打+42=5，

：.CE=OC-OB=2,

故答案為2.

【點睛】本題考查了矩形的性質，勾股定理，最短距離，圓等知識的應用，熟練掌握其性質是解決此題的

關鍵.

3.(2023秋?全國?九年級專題練習)如圖，在。。中，C為。。上一點，連接。C,BC.

(1)^ZAOC-ZABC=30°,求180C的度數(shù);

(2)若力。的面積與JOC的面積之比為5：3,求學的值.

【答案】⑴此OC的度數(shù)為50。

BCV5

(/)=—

AB5

【分析】(1)設/BOC=無。，先根據(jù)等邊對等角和三角形內角和定理得到

/OBA=45°,ZOBC=90°-^x°,再根據(jù)44。。一//8。=30。建立方程求解即可；

(2)過C作C31O8于H^OA=OB=OC=5a,根據(jù)三角形面積之比求出=3(z,則由勾股定理得

OH=4a,進而得到28=02-08=。，再利用勾股定理求出BC、的長即可得到答案.

【詳解】(1)解：設Z8OC=x。，

■.■OA=OB=OC,OA±OB,

1Rf)°—/ROC11

：.ZOBA=45°,/OBC=/OCB=——=------=90°——x°,

22

-ZAOC-ZABC=30°,

90°+x。-(45。+90°一;xj=30,

解得x=50,

/.ZBOC=50°；

(2)解：過。作于〃，設04=08=00=5。,

???AAOB的面積與ASOC的面積之比為5:3,

-OAOB<

.2_____=3

,,12,

-OBCHJ

2

045

CH3

CH=3a,

???OH=4OC1-CH1=4a>

：.BH=OB-OH=a,

在RLHBC中，由勾股可得3C=y]CH2+BH2=屈a，

在RtA048中，由勾股可得AB=yJOA1+OB2=5y[2a，

.BCy/5

??=.

AB5

【點睛】本題主要考查了圓的基本性質，勾股定理，等邊對等角，三角形內角和定理，正確作出輔助線構

造直角三角形是解題的關鍵.

一31經典例題九圓中線段長度的計算】

【例9】（2023?全國?九年級專題練習）如圖的方格紙中，每個方格的邊長為1,4。兩點皆在格線的交點

上，今在此方格紙格線的交點上另外找兩點2、C,使得O8C的外心為O,求3C的長度為何（）

I-----------1—I1—I----------1—I---1

II??AII??

i_____I_____L-.____I____I___I______I

IIIIIIII

IIIIIIII

I---------1---------I1--------I--------1------I-----------1

IIIIIIII

I_____I_____II____I____I___I______I

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