中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：多邊形（解析版）

專題18多邊形

【知識要點】

多邊形的相關(guān)知識：

在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形，多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)

角。多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。

連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

/

一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為(n-3)條，其所有的對角線條數(shù)為吧—

凸多邊形：畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，如果多邊形的其它邊都在這條直線的同側(cè)，那么這個多

邊形就是凸多邊形。

正多邊形：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。(兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因為若三

角形的三內(nèi)角相等，則必有三邊相等，反過來也成立)

多邊形的內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和為(n2)180°

n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°,與多邊形的形狀和邊數(shù)無關(guān)。

【考查題型】

考查題型一多邊形截角后的邊數(shù)問題

【解題思路】多邊形減去一個角的方法可能有三種：經(jīng)過兩個相鄰點：則少了一條邊：經(jīng)過一個頂點和一

邊：邊數(shù)不變：經(jīng)過兩條鄰邊：邊數(shù)增加一條.

典例L(云南昭通市模擬)把一個多邊形紙片沿一條直線截下一個三角形后，變成一個18邊形，則原多

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邊形紙片的邊數(shù)不可能是（）

A.16B.17C.18D.19

【答案】A

【詳解】一個n邊形剪去一個角后，剩下的形狀可能是n邊形或（n+1）邊形或（nT）邊形.故當(dāng)剪去一

個角后，剩下的部分是一個18邊形，則這張紙片原來的形狀可能是18邊形或17邊形或19邊形，不可能

是16邊形.

故選A.

變式1T.（寧波市一模）把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這

張紙片原來的形狀不可能是（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【答案】A

【解析】當(dāng)剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是四邊形或三角形或五

邊形，不可能是六邊形.

故選A.

考查題型二計算多邊形的周長

【解題思路】考查多邊形的周長，解題在于掌握計算公式

典例2.（隆化縣模擬）下列圖形中，周長不是32m的圖形是（）

【答案】B

【提示】根據(jù)所給圖形，分別計算出它們的周長，然后判斷各選項即可.

【詳解】

A.L=（6+10）X2=32其周長為32.

B.該平行四邊形的一邊長為10,另一邊長大于6,故其周長大于32.

C.L=（6+10）X2=32其周長為32.

D.L=（6+10）X2=32其周長為32.

采用排除法即可選出B

故選B.

變式2-1.（海南中考模擬）如圖：DABCD紙片，：A=120°：AB4：BC=5,剪掉兩個角后，得到六邊形

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AEFCGH，它的每個內(nèi)角都是120°,且EFE：HG=2：則這個六邊形的周長為（）

A.12B.15C.16D.18

【答案】B

【解析】如圖，分別作直線AB：BC：HG的延長線和反向延長線使它們交于點B：Q：P.

P

???六邊形ABCDEF的六個角都是120°：

二六邊形ABCDEF的每一個外角的度數(shù)都是60°.

AZ^PH：NEF：NHG：NQG都是等邊三角形.

.,.EF=BE=BF=1：DG=HG=HD=2.

；.FC=5T=4：AH=5-2=3：CG=CD-DG=42=2.

.?.六邊形的周長為1+3+3+2+2+4=15.

故選B.

考查題型三計算網(wǎng)格中的多邊形面積

【解題思路】利用分割法即可解決問題

典例3.（遼寧葫蘆島市模擬）如圖是邊長為1的正方形網(wǎng)格，A、B、C、D均為格點，則四邊形的面積為

（）

3/16

B.10

【答案】A

【提示】利用分割法即可解決問題.

【詳解】解：S四迪取ABCD=3X4--X2X1X2^XlX3)^a2-5=7,故選：A.

變式3-1.（山東煙臺市模擬）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，4ABC的三個頂點均在格點上，若向

正方形網(wǎng)格中投針，落在4ABC內(nèi)部的概率是（）

【答案】D

【提示】用正方形的面積減去四個易求得三角形的面積，即可確定4ABC面積，用aABC面積除以正方

形的面積即可.

【詳解】解：正方形的面積=4X4=16,

三角形ABC的面積=16143142^21=5,

5

所以落在4ABC內(nèi)部的概率是汴，

故選D.

變式3-2.（江西九年級零模）如圖，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點叫格點，以格點為頂

點的多邊形叫格點多邊形圖中①，②，③，④四個格點多邊形的面積分別記為s,s,S,S，下列說法正確

1234

的是（）

A.S=SB.SSC.SSSD.SSS

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【答案】B

【提示】根據(jù)題意判斷格點多邊形的面積，依次將s,、S、S、S計算出來，再找到等量關(guān)系.

1234

【詳解】觀察圖形可得S]2.5,S.3,S33,S46,

SS,SS6S,

23234

故選：B.

考查題型四計算多邊形對角線條數(shù)

【解題思路】熟記n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線是解答此題的關(guān)鍵.

典例4.（山東濟南市中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和比其外角和的2倍多180。，則該多邊形的對角線的

條數(shù)是（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意，得：：n：2：-180=360°X2+I8解得：n=7：

7（73）

則這個多邊形的邊數(shù)是7,七邊形的對角線條數(shù)為一--=14：故選C：

變式4T.（山東濟南市中考模擬）若凸n邊形的每個外角都是36。，則從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)是

（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解析】360°+36。=10,103=7.故從一個頂點出發(fā)引的對角線條數(shù)是7.

故選：B.

變式4-2.（莆田市二模）從n邊形的一個頂點出發(fā)可以連接8條對角線，則n（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】D

【提示】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可得n-3=8,求出n的值即可.

【詳解】解：由題意得：n-3=8,解得n=ll,故選：D.

變式4-3.（湖南長沙市模擬）已知一個正n邊形的每個內(nèi)角為120。，則這個多邊形的對角線有（）

A.5條B.6條C.8條D.9條

【答案】D

【提示】多邊形的每一個內(nèi)角都等于120。，則每個外角是60°,而任何多邊形的外角是360。，則求得

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多邊形的邊數(shù)；再根據(jù)多邊形一個頂點出發(fā)的對角線=11-3,即可求得對角線的條數(shù).

【詳解】解：???多邊形的每一個內(nèi)角都等于120。，

,每個外角是60度，

則多邊形的邊數(shù)為360。+60。=6,

則該多邊形有6個頂點，

則此多邊形從一個頂點出發(fā)的對角線共有6-3=3條.

這個多邊形的對角線有：（6X3）=9條，

故選：D.

變式4-4.（廣東茂名市中考模擬）若一個多邊形從同一個頂點出發(fā)可以作5條對角線，則這個多邊形的邊

數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【提示】可根據(jù)n邊形從一個頂點引出的對角線有n-3條，即可求解.

【詳解】

解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,則n-3=5,解得n=8,

故這個多邊形的邊數(shù)為8,故選：C.

變式4-5.（河北模擬）過某個多邊形的一個頂點的所有對角線，將這個多邊形分成7個三角形，則這個多

邊形是（）

A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形

【答案】D

【提示】根據(jù)n邊形從一個頂點出發(fā)可引出（n-3）條對角線，可組成n-2個三角形，依此可得n的值.

【詳解】解：設(shè)這個多邊形是n邊形，由題意得，n-2=7,

解得：n=9,即這個多邊形是九邊形，故選:D：

考查題型五多邊形內(nèi)角和問題

【解題思路】考查多邊形的內(nèi)角和公式，解題關(guān)鍵是牢記多邊形的內(nèi)角和公式.

典例5.（山東濟寧市中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，ZA+ZB+ZE=300°,DP,CP分別平分/EDC、

/BCD,則/P的度數(shù)是（）

6/16

E

A.60°B.65°C.55°D.50°

【答案】A

【解析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和等于540°,由：A+：B+：E=300°,可求：BCD+：CDE的度數(shù)，再根據(jù)角平

分線的定義可得：PDC與：PCD的角度和，進(jìn)一步求得：P的度數(shù).

解：：五邊形的內(nèi)角和等于540°,：A+：B+：E=300°,

：：BCD+：CDE=540°-300°=240,°

：：BCD、：CDE的平分線在五邊形內(nèi)相交于點0,

：：PDC+：PCD=-(:BCD+：CDE)=120°,

2

：：P=180°-120°=60.°

故選A.

變式5-1.(甘肅慶陽市中考真題)如圖，足球圖片正中的黑色正五邊形的內(nèi)角和是().

A.180°B.360°C.540°D.720°

【答案】C

【提示】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式02)180即可求出結(jié)果.

【詳解】解：黑色正五邊形的內(nèi)角和為：(52)180540，故選C.

變式5-2.(湖南湘西土家族苗族自治州中考真題)已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°,則這個多邊形是

()

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

【答案】D

【提示】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和=(n-2)-180°,列方程可求解.

【詳解】設(shè)所求多邊形邊數(shù)為n,(n-2)?1800=1080°,

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解得n=8.故選D.

考查題型六正多邊形內(nèi)角和問題

【解題思路】掌握并能運用多邊形內(nèi)角和公式是解題的關(guān)鍵

典例6.（湖南懷化市中考真題）若一個多邊形的內(nèi)角和為1080。，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【提示】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n,由n邊形的內(nèi)角和等于180°（n-2）,即可得方程180（n-2）

=1080,

解此方程即可求得答案：n=8.故選C.

變式6-1.（湖北宜昌市中考真題）游戲中有數(shù)學(xué)智慧，找起點游戲規(guī)定：從起點走五段相等直路之后回到

起點，要求每走完一段直路后向右邊偏行.成功的招數(shù)不止一招，可助我們成功的一招是（）.

A.每走完一段直路后沿向右偏72°方向行走B.每段直路要短

C.每走完一段直路后沿向右偏108。方向行走D.每段直路要長

【答案】A

【提示】根據(jù)題意可知封閉的圖形是正五邊形，求出正五邊形內(nèi)角的度數(shù)即可解決問題.

【詳解】根據(jù)題意可知，從起點走五段相等直路之后回到起點的封閉圖形是正五邊形，

:正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)為：'少I'。

5108

它的鄰補角的度數(shù)為：180。-108°=72。

因此，每走完一段直路后沿向右偏72。方向行走，

故選：A.

變式6-2.（河北中考真題）正六邊形的一個內(nèi)角是正n邊形一個外角的4倍，則n.

【答案】12

【提示】先根據(jù)外角和定理求出正六邊形的外角為60°,進(jìn)而得到其內(nèi)角為120。，再求出正n邊形的外角

為30°,再根據(jù)外角和定理即可求解.

【詳解】解：由多邊形的外角和定理可知，正六邊形的外角為：360°4-6=60°

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故正六邊形的內(nèi)角為180°-60°=120。

又正六邊形的一個內(nèi)角是正n邊形一個外角的4倍，

：正n邊形的外角為30°,

：正n邊形的邊數(shù)為：360°4-30°=12

故答案為：12.

變式6-3.（福建中考真題）如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的，則ABC等于

_______度.

【答案】30

【提示】先證出內(nèi)部的圖形是正六邊形，求出內(nèi)部小正六邊形的內(nèi)角，即可得到/ACB的度數(shù)，根據(jù)直角

三角形的兩個銳角互余即可求解.

【詳解】解：由題意六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成，

可得BD=AC,BC=AF,

/.CD=CF,

同理可證小六邊形其他的邊也相等，即里面的小六邊形也是正六邊形，

62180120,

6

???N2=180°-120°=6?！?/p>

ZABC=30°,

故答案為：30.

考查題型七截角后的內(nèi)角和問題

【解題思路】剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少

9/16

一個是解決本題的關(guān)鍵.

典例7.（五蓮縣一模）一個正方形被截掉一個角后，得到一個多邊形，這個多邊形的內(nèi)角和是（）

A.360°B.540°

C.180°或360°D.540°或360°或180°

【答案】D

【提示】剪掉一個多邊形的一個角，則所得新的多邊形的角可能增加一個，也可能不變，也可能減少一

個，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解.，

【詳解】

n邊形的內(nèi)角和是（n-2）780。，

邊數(shù)增加1,則新的多邊形的內(nèi)角和是（4+1-2）X180。=540°,

所得新的多邊形的角不變，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4-2）X180。=360°,

所得新的多邊形的邊數(shù)減少1，則新的多邊形的內(nèi)角和是（4-1-2）X180。=180°,

因而所成的新多邊形的內(nèi)角和是540?；?60?；?80。，

故選D.

變式7-1.（河北九年級其他模擬）一個多邊形截去一個角后，形成另一個多邊形的內(nèi)角和為2520。，則原

多邊形的邊數(shù)是（）

A.17B.16C.15D.16或15或17

【答案】D

【詳解】多邊形的內(nèi)角和可以表示成n2180（n3且n是整數(shù)），一個多邊形截去一個角后，多邊

形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，

根據(jù)n21802520。，解得：n=16,

則多邊形的邊數(shù)是15,16,17.

故選D.

變式7-2.（貴州銅仁市九年級零模）一個多邊形切去一個角后得到的另一個多邊形的內(nèi)角和為900,那

么原多邊形的邊數(shù)為（）

A.6或7或8B.6或7C.7或8D.7

【答案】A

【提示】首先求得內(nèi)角和為900。的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù).

【詳解】解：設(shè)內(nèi)角和為900。的多邊形的邊數(shù)是n,則（n-2）-180°=90Q°

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解得：n=7,

如圖，有如下幾種切法,

則原多邊形的邊數(shù)為6或7或8.

故選：A.

考查題型八正多邊形的外角問題

【解題思路】解決問題的關(guān)鍵是掌握多邊形的外角和等于360度.

典例8.（江蘇無錫市中考真題）正十邊形的每一個外角的度數(shù)為（）

A.36B.30°C.144D.150

【答案】A

【提示】利用多邊形的外角性質(zhì)計算即可求出值.

【詳解】

解：360°+10=36°,故選:A.

變式8-1.（江蘇揚州市中考真題）如圖，小明從點A出發(fā)沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點B,向左轉(zhuǎn)45后又沿

直線前進(jìn)10米到達(dá)點C,再向左轉(zhuǎn)45后沿直線前進(jìn)10米到達(dá)點D……照這樣走下去，小明第一次回到

出發(fā)點A時所走的路程為（）

A.100米B.80米C.60米D.40米

【答案】B

【提示】根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360。除以45。求出邊數(shù)，然后再乘以10米即可.

【詳解】解：???小明每次都是沿直線前進(jìn)10米后再向左轉(zhuǎn)45,

他走過的圖形是正多邊形，邊數(shù)n=360°+45°=8

二小明第一次回到出發(fā)點A時所走的路程=8X10=8咪.

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故選：B.

變式8-2.（湖南婁底市中考真題）正多邊形的一個外角為60。，則這個多邊形的邊數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【提示】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個外角的度數(shù)，求得邊數(shù).

【詳解】解：正多邊形的一個外角等于60。，且外角和為360。，則這個正多邊形的邊數(shù)是：3600+60。，=6

故選：B.

考查題型九多邊形外角和的實際應(yīng)用

【解題思路】

典例9.（湖北黃岡市中考真題）如果一個多邊形的每一個外角都是36。，那么這個多邊形的邊數(shù)是

（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【提示】根據(jù)多邊形的外角的性質(zhì)，邊數(shù)等于360。除以每一個外角的度數(shù).

【詳解】???一個多邊形的每個外角都是36°,；.n=360°+36。=10.故選D.

變式9T.（山東德州市中考真題）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)8米后向左轉(zhuǎn)45。，再沿直線前進(jìn)

8米，又向左轉(zhuǎn)45°?…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A時，共走路程為（）

A.80米B.96米C.64米D.48米

【答案】C

【提示】根據(jù)多邊形的外角和即可求出答案.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，他需要轉(zhuǎn)360+45=欹才會回到原點，所以一共走了8X8=6瞇.故選：C

考查題型十多邊形內(nèi)角和與外角和的綜合應(yīng)用

【解題思路】熟悉多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和是（n-2）X180r多邊形的外角和是360度.

典例10.（西藏中考真題）一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍，則這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

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【提示】利用多邊形的內(nèi)角和公式及外角和定理列方程即可解決問題.

【詳解】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n,則有（n-2）X180°=360°,X4

所有n=10.故選C.

變式10T.（陸豐市模擬）一個正多邊形的內(nèi)角和為540。，則這個正多邊形的每一個外角等于（：

A.108°B.90°C.72°D.60°

【答案】C

【提示】首先設(shè)此多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：180（n-2）=540,即可求得n=5,再由多邊形的外角和

等于360。，即可求得答案.

【詳解】解：設(shè)此多邊形為n邊形，

根據(jù)題意得：180（n-2）=540,解得：n=5,

360

,這個正多邊形的每一個外角等于：7-=72°.故選C.

變式10-2.（中江縣模擬）已知一個多邊形的每一個外角都相等，一個內(nèi)角與一個外角的度數(shù)之比是3：

1,這個多邊形的邊數(shù)是（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】A

【解析】

試題提示：設(shè)這個多邊形的外角為x。，則內(nèi)角為3x。，根據(jù)多邊形的相鄰的內(nèi)角與外角互補可的方程

x+3x=180,解可得外角的度數(shù)，再用外角和除以外角度數(shù)即可得到邊數(shù).

解：設(shè)這個多邊形的外角為x。，則內(nèi)角為3x。，

由題意得:x+3x=180,

解得x=45,

這個多邊形的邊數(shù)：360°+45°,=8

故選A.

變式10-3.（西寧市模擬）一個多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的2倍還大180。，這個多邊形的邊數(shù)是

（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】解：設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n：根據(jù)題意得：：n-2：-1800=2X360°+180°：故造&

考查題型十一平面鑲嵌

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【解題思路】幾何圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵是：圍繞一點拼在一起的多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個周

角：

典例11.下列多邊形中，不能夠單獨鋪滿地面的是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【提示】由鑲嵌的條件知：在一個頂點處各個內(nèi)角和為360°：

【詳解】：正三角形的內(nèi)角=180°+3=60°：360°+6即9位正三角形可以鋪滿地面一個點：.?.正三角形

可以鋪滿地面：

???正方形的內(nèi)角=360°+4=90°：360°+9即生傘正方形可以鋪滿地面一個點：.?.正方形可以鋪滿地面：

?.?正五邊形的內(nèi)角=180°：360°+5=108°：360°+108.。正蛋逑形不能鋪滿地面：

???正六邊形的內(nèi)角=180°：360°4-6=120°：360°+即個距六邊形可以鋪滿地面一個點：，正六邊形可

以鋪滿地面：

故選C：

變式H-1小王到瓷磚店購買一種正多邊形瓷磚鋪設(shè)無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可用是（）

A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形

【答案】C

【提示】平面圖形鑲嵌的條件：判斷一種圖形是否能夠鑲嵌，只要看一看拼在同一頂點處的幾個角能否構(gòu)

成周角，若能構(gòu)成360,則說明能夠進(jìn)行平面鑲嵌；反之則不能.

【詳解】

解：因為用一種正多邊形鑲嵌，只有正三角形，正四邊形，正六邊形三種正多邊形能鑲嵌成一個平面圖

案，

所以小王到瓷磚店購買一種正多邊形瓷磚鋪設(shè)無縫地板，他購買的瓷磚形狀不可以是正五邊形.

故選：C

變式11-2.能夠鋪滿地面的正多邊形組合是（）

A.正六邊形和正方形B.正五邊形和正八邊形

C.正方形和正八邊形D.正三角形和正十邊形

【答案】C

【解析】

A、正六邊形的每個內(nèi)角是120°,正方形的每個內(nèi)角是90°,120m+90n=360°,顯然n取任何正整數(shù)時，m

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不能得正整數(shù)，故不能鋪滿；

B、正五邊形每個內(nèi)角是180°-360°+5=10旺八邊形每個內(nèi)角為135度，135m+108n=360°,顯然n取任

何正整數(shù)時，m不能得正整數(shù)，故不能鋪滿；

C、正方形的每個內(nèi)角為90。，正八邊形的每個內(nèi)角為135。，兩個正八邊形和一個正方形剛好能鋪