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文檔簡介
二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點
名校模擬題分類匯編專題02
三角函數(shù)實際應(yīng)用(成都專用)
1.(2022秋?四川成者B?九年級成都七中校考階段練習(xí))北京時間2022年6月5日10時44分,神舟十四號
載人飛船在酒泉發(fā)射升空,為弘揚航天精神,某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵志條幅GF.如圖,
已知樓頂?shù)降孛娴木嚯xGE為18.5米,當(dāng)小亮站在樓前點B處,在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰
角為37。,然后向教學(xué)樓方向前行15米到達點。處(樓底部點£與點8,。在一條直線上),在點。正上
方點C處測得條幅底端P的仰角為42。,若4B,CD均為1.7米(即四邊形4BCD為矩形),請你幫助小亮計
算:
(1)當(dāng)小亮站在3處時離教學(xué)樓的距離BE;
(2)求條幅GF的長度.(結(jié)果精確到0.16,參考數(shù)據(jù):sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,sin
42°~0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90)
【答案】(1)小亮站在B處時離教學(xué)樓的距離BE為22.4米
⑵條幅GF的長度約為10.1米
【分析】(1)延長AC交GE于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4B=CD=EH=1.7米,AC=BD,AH=BE,根據(jù)
三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論;
(2)由(1)知CH=7.4米,解直角三角形即可得到結(jié)論.
【詳解】(1)解:延長4c交GE于“,
則AB=CD==1.7米,AC=BD,AH=BE,
;GE=18.5米,
:.HGEG-HE=18.5-1.7=16.8(米),
在RtZkAGH中,AGAH=37°,
....tan37=而GH=1引6.8尸.75,
CH=7A,
:.BE=AH=15+7A=22A(米),
(2)解:由(1)知C)=7.4米,
在Rt2\FCH中,??2FCH=42。,
FHFH
.\tan42o=—=—?0.90,
Cti/.4
:.FH=6.66,
:.FG=GH-FH=16.8-6.66?10.1(米),
答:條幅GF的長度約為10.1米.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.
2.(2020春?四川成都?九年級成都七中??茧A段練習(xí))如圖,某測量員測量公園內(nèi)一棵樹DE的高度,他們
在這棵樹左側(cè)一斜坡上端點/處測得樹頂端D的仰角為30。,朝著這棵樹的方向走到臺階下的點C處,測
得樹頂端。的仰角為60。.已知N點的高度AB為3米,臺階4C的坡度為1:仃(即4B:BC=1:遮),且8、C、
E三點在同一條直線上.
(1)求斜坡AC的長;
(2)請根據(jù)以上條件求出樹OE的高度.(側(cè)傾器的高度忽略不計)
【答案】⑴4c=6米;⑵樹高為9米.
【分析】(1)過點A作4F1DE于F,構(gòu)造矩形4BEF,設(shè)DE=x,在中,利用正切定義解得CE=
爭:,在收△ABC中,由正切定義解得8c=3g,利用勾股定理解得AC=6;
(2)在Rt△4FD中,設(shè)QE=x,DF=DE—EF=x-3,由正切定義解得力F=通(%—3),結(jié)合線段和差
AF=BE=BC+CE解題即可.
【詳解】解:(1)如圖,過點/作4F10E于尸,
則四邊形力BEF為矩形,
,AF=BE,EF=4B=3米,
設(shè)DE=x,
在R3CDE中,。己=磊=爭,
AD
在此△ABC中,tan乙4cB=D0C.,
AB
???tan30°=—
£)6
??些———AQ—3
'BC~V3f~
:?BC=3V3,
AC=y/AB2+BC2=32+(38)2=6(米);
(2)在RtZXAF。中,DF=DE-EF=x-3,
?.?”=品=巡(%一3),
*:AF=BE=BC+CE,
—3)=+~~x,
解得x=9,
答:樹高為9米.
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,涉及正切、勾股定理等知識,是重要考點,難度較易,掌握相關(guān)
知識是解題關(guān)鍵.
3.(2018秋?四川成都?九年級成都七中校考階段練習(xí))如圖,山坡上有一棵樹4B,樹底部B點到山腳C點的
距離BC為68米,山坡的坡角為30。,小寧在山腳的平地F處測量這棵樹的高,點C到測角儀EF的水平距離
CF=1米,從E測得樹頂部4的仰角為45。,樹底部B的仰角為20。.
(1)求DF的長.
(2)求4B的高度(精確到0.1米).(參考數(shù)值:sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36)
【答案】(1)10米;(2)6.4米.
【分析】(1)解直角三角形BCD來求CD的長度,則DF=CD+CF;
(2)由(1)求得DF的長,進而求得GF的長,然后在直角三角形BGE中即可求得BG的長,從而求得
樹高.
【詳解】(1)在Rt/XICD中,CD=BC-cos30°=6V3X=9,
?-.DF=CD+CF=10(米),
答:OF的長為10米.
(2)在RtZ\4GE中,???^AEG=45°,
AG=EG=DF=10,
在Rt△BGE中,BG=EG-tan20°?10X0.36=3.6,
.?.48=10—3.6=6.4,
答:樹的高約為6.4米.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,借助俯角構(gòu)造直角三角形,并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三
角形.
4.(2020秋?四川成者B-九年級成都七中??茧A段練習(xí))如圖,海中有一小島一貨輪在/島南偏西54。的
B處,由西向東航行,一段時間后到達該島南偏西25。的C處,貨輪從C處繼續(xù)向東航行44.65海里,此時
貨輪與島/的距離最近,求貨輪在8處時與小島/的距離.(精確到0.1海里,參考數(shù)據(jù)sin25°?0.42,cos
25°=0.91,tan25°?0.47,sin54°?0.80,cos54°=0.60,tan54°?1.33)
【答案】158.3海里.
【分析】過點工作AHIBC于H,構(gòu)造直角三角形,在RtaaCH中,利用正切定義解得4/的值,在RtaABH
中,由余弦定義可解得4B的值.
【詳解】過點A作1BC于H,
???Z.BAH=54°,/.CAH=25°,
.?.在RtaaCH中,tanNC4H=g,
AH
.44.65C廣
?MTT"萬行”95,
AU
在RtZ\4BH中,cos^BAH=
AD
95
—U.oU?158.3,
答:8處與小島N的距離為158.3海里.
【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用,涉及正切、余弦等知識,是重要考點,難度較易,掌握相關(guān)知識
是解題關(guān)鍵.
5.(2022春?四川成都?九年級成都外國語學(xué)校??计谥校┰凇巴Un不停學(xué)”期間,小明用電腦在線上課,圖1
是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖,顯示屏48可以繞。點旋轉(zhuǎn)一定角度.研究表明:當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端a
在同一水平線上,且望向顯示器屏幕形成一個18。俯角,即望向屏幕中心P(4P=BP)的視線EP與水平線區(qū)4
的夾角乙4EP=18。時,對保護眼睛比較好,而且顯示屏頂端4與底座C的連線4C與水平線CD垂直時(如圖
2)時,觀看屏幕最舒適,此時測得NBCD=30。,AAPE=90°,液晶顯示屏的寬4B為30cm.
(1)求眼睛E與顯示屏頂端4的水平距離4E.(結(jié)果精確到1cm)
(2)求顯示屏頂端4與底座C的距離AC.(結(jié)果精確到1cm)(參考數(shù)據(jù):sinl8°~0.31,cosl8°~0.95,
tanl8°?0.32,V2-1.41,V3~1.73)
【答案】(1)48cm;(2)34cm
【分析】(1)由已知得AP=BP=/B=15cm,根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出眼睛E與顯示屏頂端4的水平距
離AE;
(2)如圖,過點B作BF1AC于點F,根據(jù)銳角三角函數(shù)求出ZF和BF的長,進而求出顯示屏頂端4與底座C
的距離4C.
【詳解】解:(1)由已知得4P=8P=/B=15cm,
在RtZkAPE中,
vsinZ.AEP=—,
?LAP1515e
?.?"E=尚而=嬴FF"yl48cm,
答:眼睛E與顯示屏頂端力的水平距離AE約為48cm;
(2)如圖,過點B作BFL4C于點F,
VZ-EAB+Z.BAF=90°,/.EAB+/.AEP=90°,
???4BAF=乙AEP=18°,
在RtZkABF中,
AF=AB?cosZ-BAF=30xcosl8°?30x0.95?28.5,
BF=AB,sinz.BAF=30xsinl8°?30x0.31?9.3,
???BF//CD,
??.Z.CBF=Z.BCD=3G°,
:.CF=BF-tanzCBF=9.3Xtan30°=9,3X孚-5.36,
???AC—AF+CF—28.5+5.36?34cm.
答:顯示屏頂端4與底座C的距離4C約為34cm.
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題,解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義.
6.(2021?四川成都?成都外國語學(xué)校??级#檑`行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想,某森林保護區(qū)
開展了尋找古樹活動.如圖,在一個坡度(或坡比)i=1:2.4的山坡N2上發(fā)現(xiàn)棵古樹CD,測得古樹底端C
到山腳點A的距離力C=26m,在距山腳點A處水平距離6m的點E處測得古樹頂端D的仰角“ED=48°
(古樹CD與山坡48的剖面、點£在同一平面上,古樹CD所在直線與直線NE垂直),則古樹CD的高度
約為多少米?(結(jié)果精確到整數(shù))(數(shù)據(jù)sin48。70.74,cos48°~0.67,tan48°~1.11)
【答案】古樹CD的高度約為23米.
【分析】延長DC交區(qū)4的延長線于點尸,則CFLER令CF=k,貝U4F=2.4左,根據(jù)勾股定理求出410,
得到/尸=24m,CF=10m,EF=30m,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出。尸即可得到答案.
【詳解】解:延長DC交E/的延長線于點R則CnLER
;山坡NC上坡度i=l:2.4,
:.令CF=k,則/尸=2.4人,
在用A4C戶中,由勾股定理得,CF2+AF2=AC2,
:.k2+(2.4k)2=262,
解得左=10,
:.AF=24m,CF=l0m,
.??EF=30m,
DF
在中,
RtADEFtanE=—cr,
.'.DF=^F-tan^=30xtan48°=30xl.ll=33.3m,
:.CD=DF-CF=23.3m~23m,
???古樹CD的高度約為23m.
【點睛】此題考查了解直角三角形的實際應(yīng)用,勾股定理,正確理解題意,構(gòu)建直角三角形利用銳角三角
函數(shù)角軍決問題是角星題的關(guān)鍵
7.(2021春?四川成都?九年級成都外國語學(xué)校??计谥校﹫D1所示的是某景區(qū)的“關(guān)帝圣像”,它從2007年
1月開始鑄造,共用銅500噸,鐵2000噸,甚是偉岸壯觀.其側(cè)面示意圖如圖2所示.在8處測得圣像頂4
的仰角為52.8。,在點E處測得圣像頂4的仰角為63.4。.已知AC1BC于點C,EG1BC于點G,EF〃BC,BG=30米,
FC=19米,求圣像的高度2F.(結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù):sin52.8°?0.80,cos52.8°~0.60,
tan52.8°?1.32,sin63.4°~0.89,cos63A°?0.45,tan63.4°?2.00)
A
【答案】圣像的高度4F約為61米
【分析】設(shè)圣像的高度AF約為萬米,根據(jù)已知Rt44EF中tcmNAEF的值用x表示EF的長,根據(jù)EF=GC進而可
求出BC的長,從而利用Rt/MCB中tcm/ABC列出關(guān)于x的方程,解得x的值,即為圣象的高度.
【詳解】解:設(shè)4尸="米,
?:AC1BC,EG1BC,EFHBC,
四邊形FCGE為矩形,
:.EF=GC,
在Rt/AEF中,tanZ-AEF=
EF
?EF=AF=x三
,tan/.AEF~tan63.4°2'
GC=
?:BG=30米,
.*.8C=(30+|)米,
在RtdACB中,tan^ABC=
DC
x+19
tan52.8°=7J7UT7-7-,
.%+192
??30+±1?32,
十5
解得x?61,
答:圣像的高度4F約為61米.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù).解題的關(guān)鍵在于在直角三角形中,根據(jù)三角函數(shù)的定義,結(jié)合已知條件,
列出關(guān)于無的方程,求解方程即可得解.
8.(2021?四川成都?成都外國語學(xué)校??家荒?某區(qū)域平面示意圖如圖所示,點D在河的右側(cè),紅軍路AB
與某橋BC互相垂直.某?!皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動中,在C處測得點D位于西北方向,又在A
處測得點D位于南偏東65。方向,另測得BC=414M,AB=300m,求出點D到AB的距離.
(參考數(shù)據(jù)sin65°=0.91,cos65°?0.42,tan65°?2.14)
【答案】214m.
【分析】過點D作DE14B于E,過D作DF1BC于F,則四邊形EBFD是矩形,設(shè)。E=無,根據(jù)
BE=DF=CF,列方程可得結(jié)論.
【詳解】解:如圖,過點D作DELAB于E,過D作DF18C于F,則四邊形EBFD是矩形,
設(shè)DE=x,
在RtAADE中,/-AED=90°,
DP
VtanzD?lE=—,
AE
,AU—_—=
*_tanZfME_2.14,
BE=300—TZ.7147-,
又BF=DE=x,
:.CF=414-x,
在RtaCDF中,NOFC=90°,Z/)CF=45°,
:.DF=CF=414-xf
又BE=CF,
即:300—777=414—x,
解得:x=214,
故:點D到AB的距離是214m.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題
的關(guān)鍵.
9.(2018秋?四川成都?九年級成都外國語學(xué)校??计谥校┬∶飨胍獪y量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高
度,他從食堂樓底M處出發(fā),向前走3米到達4處,測得樹頂端E的仰角為30。,他又繼續(xù)走下臺階到達C
處,測得樹的頂端£的仰角是60。,再繼續(xù)向前走到大樹底。處,測得食堂樓頂N的仰角為45。.已知/點
離地面的高度/8=2米,/BC4=30。,且2、C、。三點在同一直線上.
(1)求樹DE的高度;
(2)求食堂的高度.
【答案】⑴6;(2)1+4V3.
【詳解】試題分析:(1)設(shè)DE=x,可得EF=DE-DF=x-2,從而得/尸=6(%-2),再求出C£>/x、BC
的長,根據(jù)可得關(guān)于x的方程,解之可得;
(2)延長交。8延長線于點P,知/朋=BP=3,由Q)得CD亨=26、5c=2百,根據(jù)NP=P£>且45=MP
可得答案.
EFx—2
試題解柝(1)如圖,設(shè)DE=x,':AB=DF=2,:.EF=DE-DF=x-2,':Z£^F=30°,:.AF=-~—=-=
V3(x-2),又5C=—^v=l=2V3,:.BD=BC+CD=2而格,由/尸=30可得遮
(x-2)=2V3+^X,解得:x=6,...樹的高度為6米;
(2)延長NM交DB延長線于點P,則NM=3P=3,由Q)知CD號]><6=28,8c=2舊,.*.PD=8P+3C+CD=3+
2V3+2V3=3+4V3,VZNDP=45°,且MP=AB=2,:.NP=PD=3+4y/3,:.NM=NP-MP=3+4^-2=1+4V3,
食堂MV的高度為1+4百米.
食
堂
點睛:本題考查了解直角三角形的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直
角三角形.
10.(2018秋?四川成都?九年級成都外國語學(xué)校校考階段練習(xí))一艘觀光游船從港口A處以北偏東60。的方
向出港觀光,航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故,立即發(fā)出了求救信號.一艘在港口正東方向B處
的海警船接到求救信號,測得事故船在它的北偏東37。方向.
(1)求海警船距離事故船C的距離BC.
(2)若海警船以40海里/小時的速度前往救援,求海警船到達事故船C處大約所需的時間.(溫馨提示sin
53°?0.8,cos53°=0.6)
【答案】(1)50海里,(2)倒、時.
1
【分析】過點C作CDLAB交AB延長線于D.先解RtaACD得出CD=]AC=40海里,再解Rt^CBD中,
得出BC=—^-<=50,然后根據(jù)時間=路程+速度即可求出海警船到大事故船C處所需的時間.
smZ-CBD
【詳解】如圖,過點C作CDLAB交AB延長線于D.
-1
.,.CD=-AC=40海里.
在RMCBD中,VZCDB=90°,ZCBD=90°-37°=53°,
rn40
BC=--------?~=50(海里),
sinzCBD0.8土八
.??海警船到大事故船C處所需的時間大約為:50-40=1(小時).
II.(2019?四川成都?成都外國語學(xué)校??家荒#┤鐖D,在某校圖書館門前一段筆直的內(nèi)部道路AB上,過
往車輛限速3米/秒在點B的正上方距其7米高的C處有一個探測儀.一輛轎車從點A勻速向點B行駛5
秒后此轎車到達D點,探測儀測得/CAB=18。,ZCDB=45°,求AD之間的距離,并判斷此轎車是否超
速,(結(jié)果精確到001米)【參考數(shù)據(jù):$血8。=0.309,cosl8°=0.951,tanl8°=0.325]
【答案】此轎車沒有超速
【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可.
【詳解】由題意可得:在RtZiBCD中,ZCBD=90°,ZCDB=45°,
...NDCB=NCDB=45。,
;.BC=BD=7,
在RSABC中,ZBAC=18°,BC=7,
tanZBAC=—,
AAD=21.538-7=14.538n4.54,
14.54-5-2.91<3,
答:AD之間的距離約為14.54米,此轎車沒有超速.
【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用,關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形,掌握三角函數(shù)定義.
12.(2020秋?四川成都?九年級樹德中學(xué)校考期中)小明在熱氣球/上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC,
并測得3、C兩點的俯角分別為45。、35°.已知大橋2C與地面在同一水平面上,其長度為100加,求熱氣
球離地面的高度.(結(jié)果保留整數(shù))
【參考數(shù)據(jù):sin35°=0.57,cos35°=0.82,tan35°=0.70]
OA
【答案】熱氣球離地面的高度約為233根
【分析】過點/作BC交C8的延長線于點。,用含有的式子表示出。8和。C,列出方程,解方程
即可求得.
【詳解】解:如圖:過點工作4D1BC交C5的延長線于點。,
Q.A
an
:在RtZ\ADB中,tanZABD=—
DD
:.BD=-^--AD
tan45°An
???在RSACD中,tan/ACD,
?CD=AD
tan35°
VCD=BD+BC
An
???^7=40+100
tan35
:.AD-233
答:熱氣球離地面的高度約為233m.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,理解仰角和俯角的概念、掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的
關(guān)鍵,解答時,注意正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形.
13.(2022?四川成都?樹德中學(xué)??级#┤鐖D,是一垂直于水平面的建筑物,某同學(xué)從建筑物底端2出
發(fā),先沿水平方向向右行走28米到達點C,再經(jīng)過一段坡度(或坡比)為i=1:0.75、坡長為20米的斜坡CD
到達點。,然后再沿水平方向向右行走60米到達點E(/,B,C,D,£均在同一平面內(nèi)).在£處測得建
筑物頂端/的仰角為24。,求建筑物48的高度(參考數(shù)據(jù):sin24°?0.41,cos24°?0.91,tan24°~0.45).
【答案】建筑物的高度約為29米.
【分析】作加W,即交即的延長線于CNLDM于N.首先解直角三角形出△CZW,求出CMDN,
再根據(jù)1即24。=煞,構(gòu)建方程即可解決問題.
CM
【詳解】作BMVED交ED的延長線于M,CNLDM于N.
在RCCDN中,
14
?/—=—=-,設(shè)CN=4k,DN=3k,
":CD=20,
(3左)2+(4左)2=400,
??左:=4,
:?CN=\6,DN=U,
VBMXED,CN_LDM,BM±BC,
四邊形3九WC是矩形,
:.BM=CN=16,BC=MN=28,EM=MN+DN+DE=100,
在Rt/^AEM中,tan24。=篝,
.?.r16+AB
:.AB=29
答:建筑物的高度約為29米.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,根據(jù)題意作出輔助線,構(gòu)造出直角三角形是解
答此題的關(guān)鍵.
14.(2020?四川成都?樹德中學(xué)??级?如圖是小花在一次放風(fēng)箏活動中某時段的示意圖,她在A處時的
風(fēng)箏線(整個過程中風(fēng)箏線近似地看作直線)與水平線構(gòu)成30。角,線段AAi表示小花身高1.5米,當(dāng)她從
點A跑動9魚米到達點B處時,風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45。角,此時風(fēng)箏到達點E處,風(fēng)箏的水平移動距離
CF=10b米,這一過程中風(fēng)箏線的長度保持不變,求風(fēng)箏原來的高度CD.
/UE
BlAiCi
【答案】風(fēng)箏原來的高度為停+⑹米.
【分析】設(shè)AF=x,則BF=AB+AF=9?+x,在RtABEF中求得AD=BE=喝.=18+缶,由cosZCAD=
cosZ-EBF
笨,然后建立關(guān)于X的方程,解之求得x的值,確定AD的長,最后由CD=ADsin/CAD即可求出
CiD.
【詳解】解:設(shè)AF=x,貝UBF=AB+AF=9,^+x,
在RtABEF中,BE=^^=18+&x,
由題意知AD=BE=18+后x,
VCF=10V3,
AC=AF+CF=10V3+x,
由cos/CAD驀可得畀端,
解得:X=3A/2+2V3>
貝ljAD=18+V^(3V2+2V3)=24+2V6,
.,.CD=ADsin/CAD=(24+2V6)x|=12+V6,
027
則C,D=CD+CiC=12+76^=^76;
答:風(fēng)箏原來的高度CQ為與近)米
【點睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用,三角函數(shù)的定義以及根據(jù)題意找到兩直角三角形間的關(guān)聯(lián)是
解答本題的關(guān)鍵.
15.(2019?四川成都?九年級樹德中學(xué)??计谥?如圖,在一筆直的海岸線1上有A、B兩個觀測站,AB=2
km,從A測得船C在北偏東45。的方向,從B測得船C在北偏東22.5。的方向.
(1)求NACB的度數(shù);
(2)船C離海岸線1的距離(即CD的長)為多少?(不取近似值)
【答案】(1)22.5°(2)(2+V2)km
【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計算;
??.zACB=ZCBD-ZCAD=22.5°;
(2)作BE〃AC交CD于E,
貝!JNEBD=4CAD=45°,
DB=DE,
???DA=DC,
CE=AB=2,
vZ.ACD=45°,ZACB=22.5°,
ZBCD=22.5°,
ZCBE=ZBED-ZBCD=22.5°,
Z.CBE=zBCE,
??.BE=CE=2,
DE=1BE=V2,
CD=DE+CE=2+V2,
答:船C離海岸線1的距離為(2+我)km.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題,掌握銳角三角函數(shù)的定義,正確標(biāo)注方向角是
解題的關(guān)鍵.
16.(2022?四川成都?石室中學(xué)??家荒#┬″废肜脺y量知識測算湖中小山的高度、他站在湖邊看臺上,
清晰地看到小山倒映在平靜的湖水中,如圖所示,他在點。處測得小山頂端的仰角為45。,小山頂端4在
水中倒影的俯角為60。.若點。到湖面的距離。。=4m,ODLDB,AB±DB,A.B、三點共線,B=AB,
求小山的高度N3(光線的折射忽略不計;結(jié)果保留根號).
A
【答案】(8+4何m
【分析】過點。作OEL4B于E,設(shè)4E=xm,則/2=&+4)m,A'E=&+8)m,由//OE=45。,可知OE=AE=x
m,再由tan60。嗤=K即可得出x的值,進而得出結(jié)論.
0E
【詳解】解:過點。作OEL4B于點£,
A
Af
貝!JBE=OD=4m,
設(shè)AE=xm,則45=(x+4)m,A'E=(x+8)m,
NAOE=45。,
OE=AE=xm,
9:/LAVE=60°,
tan60°=7^=V3,
即洶=0
X
解得x=4+4-\/3>
;.AB=4+4+473=(8+4⑨.
答:小山的高度為(8+4V3)m.
【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題,熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.
17.(2020秋?四川成都?九年級石室中學(xué)校考期中)石室聯(lián)合中學(xué)金沙校區(qū)位于三環(huán)跨線橋旁邊,為了不影
響學(xué)生上課,市政在橋旁安裝了隔音墻,交通局也對此路段設(shè)置了限速,九年級學(xué)生為了測量汽車速度做
了如下實驗:在橋上依次取2、C、D三點,再在橋外確定一點使得測得之間15米,使
得N/OC=30。,ZACB^60°.
(1)求CD的長(精確到0.1,V3=1.73,72=1.41).
(2)交通局對該路段限速30千米/小時,汽車從C到。用時2秒,汽車是否超速?說明理由.
【答案】(1)17.3米;(2)超速,理由見解析
【分析】(1)根據(jù)特殊角三角函數(shù)先求出2C和2。的長,進而可得CD的長;
(2)先進行單位換算,再用路程除以時間求出速度進行比較即可.
【詳解】(1)在RtA43C中,ZABC=90°,ZACB=60°,AB=15米,
?.皿=磊=,=5遙米,
在RtA^RD中,ZABD^90°,NADB=30°,
80=儡8=15g米,
:.CD=BD-BC=10V3~17.3米,
:.CD的長為17.3米;
24
(2)V30千米/小時=30000+3600=彳米/秒,
2E
而]0V^+2u8.66>§,
汽車超速.
【點睛】本題考查了解直角三角形在實際問題中的應(yīng)用.在直角三角形中,已知一銳角和一邊,利用三角
函數(shù)求得其中一邊,再用三角函數(shù)或勾股定理可求得第三邊.
18.(2022?四川成者B?四川省成都市七中育才學(xué)校校考模擬預(yù)測)某公園有一滑梯,橫截面如圖薪示,4B表
示樓梯,8c表示平臺,表示滑道.若點E,尸均在線段/。上,四邊形8CE尸是矩形,且sin/胡產(chǎn)=|,
BF=3米,BC=\米,CD=6米.求:
(l)ZZ)的度數(shù);
(2)線段4E的長.
【答案】(1)30°
(2考+1
【分析】(1)已知了CD、CE(即的長,可在必△CE。中求出/D的正弦值,進而可求出ND的度數(shù)
(2)線段/£由兩部分構(gòu)成:/尸和?。?C),關(guān)鍵是求出/尸的長.RtZL4/吆中,已知了8尸和NA4尸
的正弦值,可求出的長,進一步可由勾股定理求出/尸的長得解.
【詳解】(1)RtAC£D中,CE=BF=3米,CD=6米,
CE1
???sinD/=5,
ZZ>=30°;
2
(2)9:smZBAF=-,
.BF2
?,布一三
■:BF=3米,
Q
米,
廊二竽米,
:.AF=
:.AE^AF+EF^AF+BC^+1)米.
【點睛】本題考查了運用三角函金的定義解直角三角形的應(yīng)用,熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵.
19.(2022秋?四川成都?九年級四川省成都市七中育才學(xué)校??计谥校┢咧杏胖袑W(xué)九年級的一位同學(xué),想
利用剛剛學(xué)過的三角函數(shù)知識測量新教學(xué)樓的高度,如圖,她在4處測得新教學(xué)樓房頂B點的仰角為45。,
走7米到C處再測得B點的仰角為55。,已知。、人
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