中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)復(fù)習(xí)：三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（解析版）

二輪復(fù)習(xí)【中考沖刺】2023年中考數(shù)學(xué)重要考點(diǎn)

名校模擬題分類匯編專題02

三角函數(shù)實(shí)際應(yīng)用（成都專用）

1.（2022秋?四川成者B?九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）北京時(shí)間2022年6月5日10時(shí)44分，神舟十四號(hào)

載人飛船在酒泉發(fā)射升空，為弘揚(yáng)航天精神，某校在教學(xué)樓上從樓頂位置懸掛了一幅勵(lì)志條幅GF.如圖，

已知樓頂?shù)降孛娴木嚯xGE為18.5米，當(dāng)小亮站在樓前點(diǎn)B處，在點(diǎn)B正上方點(diǎn)A處測(cè)得條幅頂端G的仰

角為37。，然后向教學(xué)樓方向前行15米到達(dá)點(diǎn)。處（樓底部點(diǎn)￡與點(diǎn)8,。在一條直線上），在點(diǎn)。正上

方點(diǎn)C處測(cè)得條幅底端P的仰角為42。，若4B,CD均為1.7米（即四邊形4BCD為矩形），請(qǐng)你幫助小亮計(jì)

算：

(1)當(dāng)小亮站在3處時(shí)離教學(xué)樓的距離BE；

(2)求條幅GF的長(zhǎng)度.(結(jié)果精確到0.16，參考數(shù)據(jù)：sin37°~0.60,cos37°~0.80,tan37°~0.75,sin

42°~0.67,cos42°?0.74,tan42°?0.90)

【答案】（1）小亮站在B處時(shí)離教學(xué)樓的距離BE為22.4米

⑵條幅GF的長(zhǎng)度約為10.1米

【分析】（1）延長(zhǎng)AC交GE于H,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到4B=CD=EH=1.7米，AC=BD,AH=BE,根據(jù)

三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論；

（2）由（1）知CH=7.4米，解直角三角形即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）解：延長(zhǎng)4c交GE于“，

則AB=CD==1.7米，AC=BD,AH=BE,

；GE=18.5米，

：.HGEG-HE=18.5-1.7=16.8（米），

在RtZkAGH中，AGAH=37°,

....tan37=而GH=1引6.8尸.75,

CH=7A,

：.BE=AH=15+7A=22A（米），

（2）解：由（1）知C）=7.4米,

在Rt2\FCH中，??2FCH=42。,

FHFH

.\tan42o=—=—?0.90,

Cti/.4

：.FH=6.66,

：.FG=GH-FH=16.8-6.66?10.1（米），

答：條幅GF的長(zhǎng)度約為10.1米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.（2020春?四川成都?九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，某測(cè)量員測(cè)量公園內(nèi)一棵樹DE的高度，他們

在這棵樹左側(cè)一斜坡上端點(diǎn)/處測(cè)得樹頂端D的仰角為30。，朝著這棵樹的方向走到臺(tái)階下的點(diǎn)C處，測(cè)

得樹頂端。的仰角為60。.已知N點(diǎn)的高度AB為3米，臺(tái)階4C的坡度為1:仃（即4B:BC=1:遮），且8、C、

E三點(diǎn)在同一條直線上.

（1）求斜坡AC的長(zhǎng);

（2）請(qǐng)根據(jù)以上條件求出樹OE的高度.（側(cè)傾器的高度忽略不計(jì)）

【答案】⑴4c=6米；⑵樹高為9米.

【分析】（1）過點(diǎn)A作4F1DE于F,構(gòu)造矩形4BEF,設(shè)DE=x,在中，利用正切定義解得CE=

爭(zhēng):，在收△ABC中，由正切定義解得8c=3g,利用勾股定理解得AC=6；

（2）在Rt△4FD中，設(shè)QE=x,DF=DE—EF=x-3,由正切定義解得力F=通（％—3）,結(jié)合線段和差

AF=BE=BC+CE解題即可.

【詳解】解：（1）如圖，過點(diǎn)/作4F10E于尸，

則四邊形力BEF為矩形，

，AF=BE,EF=4B=3米，

設(shè)DE=x,

在R3CDE中，。己=磊=爭(zhēng)，

AD

在此△ABC中，tan乙4cB=D0C.，

AB

???tan30°=—

￡)6

??些———AQ—3

'BC~V3f~

:?BC=3V3,

AC=y/AB2+BC2=32+(38)2=6(米)；

(2)在RtZXAF。中，DF=DE-EF=x-3,

?.?”=品=巡(％一3),

*：AF=BE=BC+CE,

—3)=+~~x,

解得x=9,

答：樹高為9米.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及正切、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)

知識(shí)是解題關(guān)鍵.

3.（2018秋?四川成都?九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，山坡上有一棵樹4B,樹底部B點(diǎn)到山腳C點(diǎn)的

距離BC為68米，山坡的坡角為30。，小寧在山腳的平地F處測(cè)量這棵樹的高，點(diǎn)C到測(cè)角儀EF的水平距離

CF=1米，從E測(cè)得樹頂部4的仰角為45。，樹底部B的仰角為20。.

（1）求DF的長(zhǎng).

（2）求4B的高度（精確到0.1米）.（參考數(shù)值：sin20°?0.34,cos20°?0.94,tan20°?0.36）

【答案】（1）10米;（2）6.4米.

【分析】（1）解直角三角形BCD來求CD的長(zhǎng)度，則DF=CD+CF；

（2）由（1）求得DF的長(zhǎng)，進(jìn)而求得GF的長(zhǎng)，然后在直角三角形BGE中即可求得BG的長(zhǎng)，從而求得

樹高.

【詳解】（1）在Rt/XICD中,CD=BC-cos30°=6V3X=9,

?-.DF=CD+CF=10（米），

答：OF的長(zhǎng)為10米.

（2）在RtZ\4GE中，???^AEG=45°,

AG=EG=DF=10,

在Rt△BGE中,BG=EG-tan20°?10X0.36=3.6,

.?.48=10—3.6=6.4,

答：樹的高約為6.4米.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，借助俯角構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三

角形.

4.（2020秋?四川成者B-九年級(jí)成都七中?？茧A段練習(xí)）如圖，海中有一小島一貨輪在/島南偏西54。的

B處,由西向東航行，一段時(shí)間后到達(dá)該島南偏西25。的C處，貨輪從C處繼續(xù)向東航行44.65海里，此時(shí)

貨輪與島/的距離最近，求貨輪在8處時(shí)與小島/的距離.（精確到0.1海里，參考數(shù)據(jù)sin25°?0.42,cos

25°=0.91,tan25°?0.47,sin54°?0.80,cos54°=0.60,tan54°?1.33）

【答案】158.3海里.

【分析】過點(diǎn)工作AHIBC于H,構(gòu)造直角三角形，在RtaaCH中，利用正切定義解得4/的值，在RtaABH

中，由余弦定義可解得4B的值.

【詳解】過點(diǎn)A作1BC于H,

???Z.BAH=54°,/.CAH=25°,

.?.在RtaaCH中，tanNC4H=g,

AH

.44.65C廣

?MTT"萬行”95,

AU

在RtZ\4BH中，cos^BAH=

AD

95

—U.oU?158.3,

答：8處與小島N的距離為158.3海里.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，涉及正切、余弦等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)

是解題關(guān)鍵.

5.（2022春?四川成都?九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校校考期中）在“停課不停學(xué)”期間，小明用電腦在線上課，圖1

是他的電腦液晶顯示器的側(cè)面圖，顯示屏48可以繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度.研究表明：當(dāng)眼睛E與顯示屏頂端a

在同一水平線上，且望向顯示器屏幕形成一個(gè)18。俯角，即望向屏幕中心P（4P=BP）的視線EP與水平線區(qū)4

的夾角乙4EP=18。時(shí)，對(duì)保護(hù)眼睛比較好，而且顯示屏頂端4與底座C的連線4C與水平線CD垂直時(shí)（如圖

2）時(shí)，觀看屏幕最舒適，此時(shí)測(cè)得NBCD=30。，AAPE=90°,液晶顯示屏的寬4B為30cm.

(1)求眼睛E與顯示屏頂端4的水平距離4E.（結(jié)果精確到1cm）

(2)求顯示屏頂端4與底座C的距離AC.（結(jié)果精確到1cm）（參考數(shù)據(jù)：sinl8°~0.31,cosl8°~0.95,

tanl8°?0.32,V2-1.41,V3~1.73)

【答案】（1）48cm；（2）34cm

【分析】（1）由已知得AP=BP=/B=15cm,根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出眼睛E與顯示屏頂端4的水平距

離AE；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BF1AC于點(diǎn)F,根據(jù)銳角三角函數(shù)求出ZF和BF的長(zhǎng)，進(jìn)而求出顯示屏頂端4與底座C

的距離4C.

【詳解】解：（1）由已知得4P=8P=/B=15cm,

在RtZkAPE中，

vsinZ.AEP=—,

?LAP1515e

?.?"E=尚而=嬴FF"yl48cm,

答：眼睛E與顯示屏頂端力的水平距離AE約為48cm；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BFL4C于點(diǎn)F,

VZ-EAB+Z.BAF=90°,/.EAB+/.AEP=90°,

???4BAF=乙AEP=18°,

在RtZkABF中，

AF=AB?cosZ-BAF=30xcosl8°?30x0.95?28.5,

BF=AB,sinz.BAF=30xsinl8°?30x0.31?9.3,

???BF//CD,

??.Z.CBF=Z.BCD=3G°,

：.CF=BF-tanzCBF=9.3Xtan30°=9,3X孚-5.36,

???AC—AF+CF—28.5+5.36?34cm.

答：顯示屏頂端4與底座C的距離4C約為34cm.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問題，解決本題的關(guān)鍵是掌握仰角俯角定義.

6.（2021?四川成都?成都外國(guó)語學(xué)校?？级＃檑`行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護(hù)區(qū)

開展了尋找古樹活動(dòng).如圖，在一個(gè)坡度（或坡比）i=1:2.4的山坡N2上發(fā)現(xiàn)棵古樹CD,測(cè)得古樹底端C

到山腳點(diǎn)A的距離力C=26m,在距山腳點(diǎn)A處水平距離6m的點(diǎn)E處測(cè)得古樹頂端D的仰角“ED=48°

（古樹CD與山坡48的剖面、點(diǎn)￡在同一平面上，古樹CD所在直線與直線NE垂直），則古樹CD的高度

約為多少米？（結(jié)果精確到整數(shù)）（數(shù)據(jù)sin48。70.74,cos48°~0.67,tan48°~1.11）

【答案】古樹CD的高度約為23米.

【分析】延長(zhǎng)DC交區(qū)4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則CFLER令CF=k,貝U4F=2.4左，根據(jù)勾股定理求出410,

得到/尸=24m,CF=10m,EF=30m,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出。尸即可得到答案.

【詳解】解：延長(zhǎng)DC交E/的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R則CnLER

;山坡NC上坡度i=l：2.4,

:.令CF=k,則/尸=2.4人,

在用A4C戶中，由勾股定理得，CF2+AF2=AC2,

：.k2+(2.4k)2=262,

解得左=10,

：.AF=24m,CF=l0m,

.??EF=30m,

DF

在中，

RtADEFtanE=—cr,

.'.DF=^F-tan^=30xtan48°=30xl.ll=33.3m,

：.CD=DF-CF=23.3m~23m,

???古樹CD的高度約為23m.

【點(diǎn)睛】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，正確理解題意，構(gòu)建直角三角形利用銳角三角

函數(shù)角軍決問題是角星題的關(guān)鍵

7.（2021春?四川成都?九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校校考期中）圖1所示的是某景區(qū)的“關(guān)帝圣像”，它從2007年

1月開始鑄造，共用銅500噸，鐵2000噸，甚是偉岸壯觀.其側(cè)面示意圖如圖2所示.在8處測(cè)得圣像頂4

的仰角為52.8。，在點(diǎn)E處測(cè)得圣像頂4的仰角為63.4。.已知AC1BC于點(diǎn)C,EG1BC于點(diǎn)G,EF〃BC,BG=30米,

FC=19米，求圣像的高度2F.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin52.8°?0.80,cos52.8°~0.60,

tan52.8°?1.32,sin63.4°~0.89,cos63A°?0.45,tan63.4°?2.00）

A

【答案】圣像的高度4F約為61米

【分析】設(shè)圣像的高度AF約為萬米，根據(jù)已知Rt44EF中tcmNAEF的值用x表示EF的長(zhǎng)，根據(jù)EF=GC進(jìn)而可

求出BC的長(zhǎng)，從而利用Rt/MCB中tcm/ABC列出關(guān)于x的方程，解得x的值，即為圣象的高度.

【詳解】解：設(shè)4尸="米，

?：AC1BC,EG1BC,EFHBC,

四邊形FCGE為矩形，

：.EF=GC,

在Rt/AEF中，tanZ-AEF=

EF

?EF=AF=x三

,tan/.AEF~tan63.4°2'

GC=

?：BG=30米，

.*.8C=(30+|)米，

在RtdACB中，tan^ABC=

DC

x+19

tan52.8°=7J7UT7-7-,

.%+192

??30+±1?32,

十5

解得x?61,

答：圣像的高度4F約為61米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù).解題的關(guān)鍵在于在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合已知條件,

列出關(guān)于無的方程，求解方程即可得解.

8.(2021?四川成都?成都外國(guó)語學(xué)校校考一模)某區(qū)域平面示意圖如圖所示，點(diǎn)D在河的右側(cè)，紅軍路AB

與某橋BC互相垂直.某?！皵?shù)學(xué)興趣小組”在“研學(xué)旅行”活動(dòng)中，在C處測(cè)得點(diǎn)D位于西北方向，又在A

處測(cè)得點(diǎn)D位于南偏東65。方向，另測(cè)得BC=414M,AB=300m,求出點(diǎn)D到AB的距離.

(參考數(shù)據(jù)sin65°=0.91,cos65°?0.42,tan65°?2.14)

【答案】214m.

【分析】過點(diǎn)D作DE14B于E,過D作DF1BC于F,則四邊形EBFD是矩形，設(shè)。E=無，根據(jù)

BE=DF=CF,列方程可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)D作DELAB于E,過D作DF18C于F,則四邊形EBFD是矩形，

設(shè)DE=x,

在RtAADE中，/-AED=90°,

DP

VtanzD?lE=—,

AE

,AU—_—=

*_tanZfME_2.14，

BE=300—TZ.7147-,

又BF=DE=x,

：.CF=414-x,

在RtaCDF中，NOFC=90°,Z/）CF=45°,

：.DF=CF=414-xf

又BE=CF,

即：300—777=414—x,

解得：x=214,

故：點(diǎn)D到AB的距離是214m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握銳角三角函數(shù)的定義、正確根據(jù)三角函數(shù)列方程是解題

的關(guān)鍵.

9.（2018秋?四川成都?九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校?？计谥校┬∶飨胍獪y(cè)量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高

度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達(dá)4處，測(cè)得樹頂端E的仰角為30。，他又繼續(xù)走下臺(tái)階到達(dá)C

處，測(cè)得樹的頂端￡的仰角是60。，再繼續(xù)向前走到大樹底。處，測(cè)得食堂樓頂N的仰角為45。.已知/點(diǎn)

離地面的高度/8=2米，/BC4=30。，且2、C、。三點(diǎn)在同一直線上.

（1）求樹DE的高度；

（2）求食堂的高度.

【答案】⑴6；(2)1+4V3.

【詳解】試題分析：(1)設(shè)DE=x,可得EF=DE-DF=x-2,從而得/尸=6(%-2),再求出C￡>/x、BC

的長(zhǎng)，根據(jù)可得關(guān)于x的方程，解之可得；

(2)延長(zhǎng)交。8延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,知/朋=BP=3,由Q)得CD亨=26、5c=2百，根據(jù)NP=P￡>且45=MP

可得答案.

EFx—2

試題解柝(1)如圖，設(shè)DE=x,'：AB=DF=2,：.EF=DE-DF=x-2,'：Z￡^F=30°,：.AF=-~—=-=

V3(x-2),又5C=—^v=l=2V3,:.BD=BC+CD=2而格,由/尸=30可得遮

(x-2)=2V3+^X,解得：x=6,...樹的高度為6米；

(2)延長(zhǎng)NM交DB延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,則NM=3P=3,由Q)知CD號(hào)］><6=28,8c=2舊,.*.PD=8P+3C+CD=3+

2V3+2V3=3+4V3,VZNDP=45°,且MP=AB=2,：.NP=PD=3+4y/3,：.NM=NP-MP=3+4^-2=1+4V3,

食堂MV的高度為1+4百米.

食

堂

點(diǎn)睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直

角三角形.

10.（2018秋?四川成都?九年級(jí)成都外國(guó)語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）一艘觀光游船從港口A處以北偏東60。的方

向出港觀光，航行80海里至C處時(shí)發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號(hào).一艘在港口正東方向B處

的海警船接到求救信號(hào)，測(cè)得事故船在它的北偏東37。方向.

（1）求海警船距離事故船C的距離BC.

（2）若海警船以40海里/小時(shí)的速度前往救援，求海警船到達(dá)事故船C處大約所需的時(shí)間.（溫馨提示sin

53°?0.8,cos53°=0.6）

【答案】（1）50海里，（2）倒、時(shí).

1

【分析】過點(diǎn)C作CDLAB交AB延長(zhǎng)線于D.先解RtaACD得出CD=]AC=40海里，再解Rt^CBD中,

得出BC=—^-<=50,然后根據(jù)時(shí)間=路程+速度即可求出海警船到大事故船C處所需的時(shí)間.

smZ-CBD

【詳解】如圖，過點(diǎn)C作CDLAB交AB延長(zhǎng)線于D.

-1

.,.CD=-AC=40海里.

在RMCBD中，VZCDB=90°,ZCBD=90°-37°=53°,

rn40

BC=--------?~=50（海里），

sinzCBD0.8土八

.??海警船到大事故船C處所需的時(shí)間大約為：50-40=1（小時(shí)）.

II.（2019?四川成都?成都外國(guó)語學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在某校圖書館門前一段筆直的內(nèi)部道路AB上，過

往車輛限速3米/秒在點(diǎn)B的正上方距其7米高的C處有一個(gè)探測(cè)儀.一輛轎車從點(diǎn)A勻速向點(diǎn)B行駛5

秒后此轎車到達(dá)D點(diǎn)，探測(cè)儀測(cè)得/CAB=18。，ZCDB=45°,求AD之間的距離，并判斷此轎車是否超

速，（結(jié)果精確到001米）【參考數(shù)據(jù)：$血8。=0.309,cosl8°=0.951,tanl8°=0.325]

【答案】此轎車沒有超速

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)解答即可.

【詳解】由題意可得：在RtZiBCD中，ZCBD=90°,ZCDB=45°,

...NDCB=NCDB=45。，

；.BC=BD=7,

在RSABC中，ZBAC=18°,BC=7,

tanZBAC=—,

AAD=21.538-7=14.538n4.54,

14.54-5-2.91<3,

答：AD之間的距離約為14.54米，此轎車沒有超速.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形，掌握三角函數(shù)定義.

12.（2020秋?四川成都?九年級(jí)樹德中學(xué)?？计谥校┬∶髟跓釟馇?上看到正前方橫跨河流兩岸的大橋BC,

并測(cè)得3、C兩點(diǎn)的俯角分別為45。、35°.已知大橋2C與地面在同一水平面上，其長(zhǎng)度為100加，求熱氣

球離地面的高度.（結(jié)果保留整數(shù)）

【參考數(shù)據(jù)：sin35°=0.57,cos35°=0.82,tan35°=0.70]

OA

【答案】熱氣球離地面的高度約為233根

【分析】過點(diǎn)/作BC交C8的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，用含有的式子表示出。8和。C,列出方程，解方程

即可求得.

【詳解】解：如圖：過點(diǎn)工作4D1BC交C5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，

Q.A

an

:在RtZ\ADB中，tanZABD=—

DD

：.BD=-^--AD

tan45°An

???在RSACD中，tan/ACD,

?CD=AD

tan35°

VCD=BD+BC

An

???^7=40+100

tan35

：.AD-233

答：熱氣球離地面的高度約為233m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，理解仰角和俯角的概念、掌握銳角三角函數(shù)的概念是解題的

關(guān)鍵，解答時(shí)，注意正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形.

13.（2022?四川成都?樹德中學(xué)?？级＃┤鐖D，是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端2出

發(fā)，先沿水平方向向右行走28米到達(dá)點(diǎn)C,再經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i=1:0.75、坡長(zhǎng)為20米的斜坡CD

到達(dá)點(diǎn)。，然后再沿水平方向向右行走60米到達(dá)點(diǎn)E（/,B,C,D,￡均在同一平面內(nèi)）.在￡處測(cè)得建

筑物頂端/的仰角為24。，求建筑物48的高度（參考數(shù)據(jù)：sin24°?0.41,cos24°?0.91,tan24°~0.45）.

【答案】建筑物的高度約為29米.

【分析】作加W，即交即的延長(zhǎng)線于CNLDM于N.首先解直角三角形出△CZW,求出CMDN,

再根據(jù)1即24。=煞，構(gòu)建方程即可解決問題.

CM

【詳解】作BMVED交ED的延長(zhǎng)線于M,CNLDM于N.

在RCCDN中，

14

?/—=—=-,設(shè)CN=4k,DN=3k,

"：CD=20,

（3左）2+（4左）2=400,

??左:=4,

:?CN=\6,DN=U,

VBMXED,CN_LDM,BM±BC,

四邊形3九WC是矩形，

:.BM=CN=16,BC=MN=28,EM=MN+DN+DE=100,

在Rt/^AEM中,tan24。=篝，

.?.r16+AB

：.AB=29

答：建筑物的高度約為29米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解

答此題的關(guān)鍵.

14.(2020?四川成都?樹德中學(xué)?？级?如圖是小花在一次放風(fēng)箏活動(dòng)中某時(shí)段的示意圖，她在A處時(shí)的

風(fēng)箏線(整個(gè)過程中風(fēng)箏線近似地看作直線)與水平線構(gòu)成30。角，線段AAi表示小花身高1.5米，當(dāng)她從

點(diǎn)A跑動(dòng)9魚米到達(dá)點(diǎn)B處時(shí)，風(fēng)箏線與水平線構(gòu)成45。角，此時(shí)風(fēng)箏到達(dá)點(diǎn)E處，風(fēng)箏的水平移動(dòng)距離

CF=10b米，這一過程中風(fēng)箏線的長(zhǎng)度保持不變，求風(fēng)箏原來的高度CD.

/UE

BlAiCi

【答案】風(fēng)箏原來的高度為停+⑹米.

【分析】設(shè)AF=x,則BF=AB+AF=9?+x,在RtABEF中求得AD=BE=喝.=18+缶，由cosZCAD=

cosZ-EBF

笨，然后建立關(guān)于X的方程，解之求得x的值，確定AD的長(zhǎng)，最后由CD=ADsin/CAD即可求出

CiD.

【詳解】解：設(shè)AF=x,貝UBF=AB+AF=9，^+x,

在RtABEF中，BE=^^=18+&x,

由題意知AD=BE=18+后x,

VCF=10V3,

AC=AF+CF=10V3+x,

由cos/CAD驀可得畀端，

解得：X=3A/2+2V3>

貝ljAD=18+V^(3V2+2V3)=24+2V6,

.,.CD=ADsin/CAD=(24+2V6)x|=12+V6,

027

則C,D=CD+CiC=12+76^=^76；

答：風(fēng)箏原來的高度CQ為與近)米

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義以及根據(jù)題意找到兩直角三角形間的關(guān)聯(lián)是

解答本題的關(guān)鍵.

15.(2019?四川成都?九年級(jí)樹德中學(xué)?？计谥?如圖，在一筆直的海岸線1上有A、B兩個(gè)觀測(cè)站，AB=2

km,從A測(cè)得船C在北偏東45。的方向，從B測(cè)得船C在北偏東22.5。的方向.

(1)求NACB的度數(shù)；

(2)船C離海岸線1的距離(即CD的長(zhǎng))為多少？(不取近似值)

【答案】(1)22.5°(2)(2+V2)km

【分析】(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算;

??.zACB=ZCBD-ZCAD=22.5°；

（2）作BE〃AC交CD于E,

貝!JNEBD=4CAD=45°,

DB=DE,

???DA=DC,

CE=AB=2,

vZ.ACD=45°,ZACB=22.5°,

ZBCD=22.5°,

ZCBE=ZBED-ZBCD=22.5°,

Z.CBE=zBCE,

??.BE=CE=2,

DE=1BE=V2,

CD=DE+CE=2+V2,

答：船C離海岸線1的距離為（2+我）km.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義，正確標(biāo)注方向角是

解題的關(guān)鍵.

16.（2022?四川成都?石室中學(xué)校考一模）小宸想利用測(cè)量知識(shí)測(cè)算湖中小山的高度、他站在湖邊看臺(tái)上，

清晰地看到小山倒映在平靜的湖水中，如圖所示，他在點(diǎn)。處測(cè)得小山頂端的仰角為45。，小山頂端4在

水中倒影的俯角為60。.若點(diǎn)。到湖面的距離。。=4m,ODLDB,AB±DB,A.B、三點(diǎn)共線，B=AB,

求小山的高度N3（光線的折射忽略不計(jì)；結(jié)果保留根號(hào)）.

A

【答案】（8+4何m

【分析】過點(diǎn)。作OEL4B于E,設(shè)4E=xm,則/2=&+4）m,A'E=&+8）m,由//OE=45。，可知OE=AE=x

m,再由tan60。嗤=K即可得出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

0E

【詳解】解：過點(diǎn)。作OEL4B于點(diǎn)￡,

A

Af

貝!JBE=OD=4m,

設(shè)AE=xm,則45=(x+4)m,A'E=(x+8)m,

NAOE=45。,

OE=AE=xm,

9：/LAVE=60°,

tan60°=7^=V3,

即洶=0

X

解得x=4+4-\/3>

；.AB=4+4+473=(8+4⑨.

答：小山的高度為(8+4V3)m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵.

17.(2020秋?四川成都?九年級(jí)石室中學(xué)?？计谥?石室聯(lián)合中學(xué)金沙校區(qū)位于三環(huán)跨線橋旁邊，為了不影

響學(xué)生上課，市政在橋旁安裝了隔音墻，交通局也對(duì)此路段設(shè)置了限速，九年級(jí)學(xué)生為了測(cè)量汽車速度做

了如下實(shí)驗(yàn)：在橋上依次取2、C、D三點(diǎn),再在橋外確定一點(diǎn)使得測(cè)得之間15米，使

得N/OC=30。，ZACB^60°.

(1)求CD的長(zhǎng)(精確到0.1,V3=1.73,72=1.41).

(2)交通局對(duì)該路段限速30千米/小時(shí)，汽車從C到。用時(shí)2秒，汽車是否超速？說明理由.

【答案】(1)17.3米；(2)超速，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)特殊角三角函數(shù)先求出2C和2。的長(zhǎng)，進(jìn)而可得CD的長(zhǎng)；

(2)先進(jìn)行單位換算，再用路程除以時(shí)間求出速度進(jìn)行比較即可.

【詳解】(1)在RtA43C中，ZABC=90°,ZACB=60°,AB=15米，

?.皿=磊=,=5遙米，

在RtA^RD中，ZABD^90°,NADB=30°,

80=儡8=15g米，

：.CD=BD-BC=10V3~17.3米，

：.CD的長(zhǎng)為17.3米；

24

(2)V30千米/小時(shí)=30000+3600=彳米/秒，

2E

而］0V^+2u8.66>§,

汽車超速.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用.在直角三角形中，已知一銳角和一邊，利用三角

函數(shù)求得其中一邊，再用三角函數(shù)或勾股定理可求得第三邊.

18.(2022?四川成者B?四川省成都市七中育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))某公園有一滑梯，橫截面如圖薪示，4B表

示樓梯，8c表示平臺(tái)，表示滑道.若點(diǎn)E,尸均在線段/。上，四邊形8CE尸是矩形，且sin/胡產(chǎn)=|,

BF=3米，BC=\米，CD=6米.求:

(l)ZZ)的度數(shù);

(2)線段4E的長(zhǎng).

【答案】(1)30°

(2考+1

【分析】（1）已知了CD、CE（即的長(zhǎng)，可在必△CE。中求出/D的正弦值，進(jìn)而可求出ND的度數(shù)

（2）線段/￡由兩部分構(gòu)成：/尸和?。?C）,關(guān)鍵是求出/尸的長(zhǎng).RtZL4/吆中，已知了8尸和NA4尸

的正弦值，可求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步可由勾股定理求出/尸的長(zhǎng)得解.

【詳解】(1)RtAC￡D中，CE=BF=3米，CD=6米，

CE1

???sinD/=5，

ZZ>=30°；

2

(2)9：smZBAF=-,

.BF2

?,布一三

■:BF=3米，

Q

米，

廊二竽米，

：.AF=

：.AE^AF+EF^AF+BC^+1）米.

【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用三角函金的定義解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

19.（2022秋?四川成都?九年級(jí)四川省成都市七中育才學(xué)校?？计谥校┢咧杏胖袑W(xué)九年級(jí)的一位同學(xué)，想

利用剛剛學(xué)過的三角函數(shù)知識(shí)測(cè)量新教學(xué)樓的高度，如圖，她在4處測(cè)得新教學(xué)樓房頂B點(diǎn)的仰角為45。,

走7米到C處再測(cè)得B點(diǎn)的仰角為55。，已知。、人