2024河南定心卷答案

河南數(shù)學(xué)試題——河南數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)eq\a\vs4\al()說(shuō)明1.如果考生的解答與本參考答案提供的解法不同，可根據(jù)提供的解法的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)精神進(jìn)行評(píng)分．2.評(píng)閱試卷，要堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不能因考生解答中出現(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)本題的評(píng)閱．如果考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響后繼部分而未改變本題的內(nèi)容和難度，視影響的程度決定對(duì)后面給分的多少，但原則上不超過(guò)后繼部分應(yīng)得分?jǐn)?shù)之半．3.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中，如無(wú)特殊說(shuō)明，均為累計(jì)給分．4.評(píng)分過(guò)程中，只給整數(shù)分?jǐn)?shù)．一、選擇題(每小題3分，共30分)題號(hào)12345678910答案DACBCADBAD二、填空題(每小題3分，共15分)題號(hào)1112131415答案－1k＜1eq\f(1,6)eq\f(4π,3)＋12eq\r(3)－24eq\r(3)－1或eq\r(3)＋1三、解答題(本大題共8個(gè)小題，滿分75分)16.解：原式＝eq\f(x－1＋x＋1,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x＋1,x（x－1）)＝eq\f(2x,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x＋1,x（x－1）)(4分)＝eq\f(2,（x－1）2).(6分)當(dāng)x＝eq\r(5)＋1時(shí)，原式＝eq\f(2,（\r(5)＋1－1）2)＝eq\f(2,5).(8分)17.解：(1)按照釘釘4分的人數(shù)為6，正確補(bǔ)全釘釘軟件條形統(tǒng)計(jì)圖；按照“QQ直播”補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖得2分；5分的人數(shù)為4，正確補(bǔ)全“QQ直播”條形統(tǒng)計(jì)圖；(2分)(2)4；3；3；(5分)(3)釘釘；理由是：從平均數(shù)看，釘釘和QQ直播的打分情況一樣；從眾數(shù)看，釘釘打分的眾數(shù)高于QQ直播打分的眾數(shù)；從中位數(shù)看，釘釘打分的中位數(shù)高于QQ直播打分的中位數(shù)每空1分；；(7分)(4)∵綜合平均分中教師打分占60%，學(xué)生打分占40%，∴x釘釘＝4.4×60%＋3.35×40%＝2.64＋1.34＝3.98，xQQ直播＝4×60%＋3.35×40%＝2.4＋1.34＝3.74.∵3.98>3.74，∴學(xué)校會(huì)采用釘釘這款軟件進(jìn)行教學(xué)．(9分)18.(1)證明：如解圖，連接OD，第18題解圖∵DH是⊙O的切線，且OD為⊙O的半徑，∴DH⊥OD.∵DH⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB.(3分)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；(5分)(2)①2eq\r(3)；②eq\r(5)－1.(9分)eq\a\vs4\al()19.解：如解圖，過(guò)C作CD⊥AB交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，第19題解圖由題意可知∠BCD＝30°，∠ACD＝53°，AB＝19.5海里，BC＝30海里．在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∠BDC＝90°，BC＝30海里，∴BD＝15海里，AD＝AB＋BD＝19.5＋15＝34.5．(4分)在Rt△ACD中，∵∠ACD＝53°，∠BDC＝90°，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(34.5,sin53°)≈eq\f(34.5,0.8)≈43.1(海里)．(8分)答：A處與C處的距離約有43.1海里．(9分)20.解：(1)∵A(－1，0)，B(0，－2)，E(0，2)為AD的中點(diǎn)，∴xD＝1，yD＝4.∴D(1，4)．∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴4＝eq\f(k,1)，解得k＝4.(2分)又∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A(－1，0)，B(0，－2)，∴xC－xD＝xB－xA＝0－(－1)＝1.∴xC＝2.∴反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)經(jīng)過(guò)C點(diǎn)．∴C（2,2）；（4分）(2)①2個(gè)；（6分）②0＜n＜1或4＜n≤5；（9分）21.解：(1)設(shè)每支毛筆的單價(jià)為x元，每本書(shū)法練習(xí)本的單價(jià)為y元，(1分)根據(jù)題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝75,3x＋2y＝85))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝25,y＝5)).答：毛筆的單價(jià)為25元，書(shū)法練習(xí)本的單價(jià)為5元．(4分)(2)設(shè)購(gòu)買毛筆a支，則購(gòu)買書(shū)法練習(xí)本(30－a)本，共需w元，根據(jù)題意，得w＝25a＋5(30－a)＝20a＋150.(6分)∵20＞0，∴當(dāng)a取最小值時(shí)，w有最小值．∵a≥eq\f(1,3)(30－a)，解得a≥7.5，∴當(dāng)a＝8時(shí)，w取得最小值，此時(shí)30－8＝22.∴當(dāng)購(gòu)買毛筆8支，書(shū)法練習(xí)本22本時(shí)最省錢．(10分)22.(1)MF＝NF，135.(2分)(2)解：NF＝eq\r(3)MF，∠MFN＝90°.(4分)理由如下：如解圖①，連接CD交AB于點(diǎn)P，連接BE交CD于點(diǎn)H，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠BAE.在Rt△ADB中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴tan30°＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，∠AEC＝30°，∴tan30°＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，第22題解圖①∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴△ADC∽△ABE，∴eq\f(DC,BE)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴BE＝eq\r(3)CD，∠ADC＝∠ABE.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理．得∠ADP＋∠APD＋∠DAP＝∠PBH＋∠BPH＋∠PHB.∵∠ADC＝∠ABE，∠APD＝∠BPH，∴∠PHB＝∠BAD＝90°.∵點(diǎn)M、N、F分別為BD、CE、BC的中點(diǎn)，∴MF、NF分別為△BDC、△CBE的中位線．∴MF＝eq\f(1,2)CD，NF＝eq\f(1,2)BE，MF∥CD，NF∥BE.∴NF＝eq\r(3)MF，∴∠MFN＝∠BHC＝180°－∠PHB＝180°－90°＝90°；(8分)(3)解：2eq\r(3)或eq\r(3).(10分)【解法提示】如解圖②，當(dāng)△ACE旋轉(zhuǎn)到線段AB的下方時(shí)，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)G，AC與EF交于點(diǎn)H，連接AF，由題意可知AD＝AB＝3，EA＝EC＝1，∠BAD＝60°，∠CEA＝120°，∴△ADB為等邊三角形，∠CAE＝∠ACE＝30°，∴BD＝DA，∠BDA＝60°，∠BAC＝90°.∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴BF＝AF＝CF.在△BDF和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝DA,BF＝FA,DF＝DF))，∴△BDF≌△ADF(SSS)，∴∠BDF＝∠ADF＝eq\f(1,2)∠BDA.∠ADG＝30°，∴∠DGA＝90°，同理可得∠AHF＝90°，∴∠DGA＝∠AHF＝∠GAH＝90°，∴四邊形GAHF是矩形，∴∠DFE＝90°，在Rt△DFE中，DE＝AD＋AE＝3＋1＝4，∴DF＝DE·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)；如解圖③，當(dāng)△ACE旋轉(zhuǎn)到線段AB的上方時(shí)，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)H，由題意可知AD＝AB＝3，EA＝EC＝1，∠BAD＝60°，∠CEA＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠HEA＝60°，∠CAB＝90°，則∠EHA＝180°－∠HAE－∠HEA＝60°，∴AH＝EH＝AE＝CE＝1，即E為CH的中點(diǎn)，∴CH＝2，DE＝AD－AE＝3－1＝2，∴CH＝DE，∵F為BC的中點(diǎn)，∴EF為△CBH的中位線，∴EF∥AB，∴EF＝eq\f(1,2)BH＝eq\f(1,2)(AB－AH)＝eq\f(1,2)×2＝1，∠DEF＝∠EAH＝60°，∴EF＝AH，∠DEF＝∠EHA＝60°.∵DE＝CH，∴△DFE≌△CAH，∴∠FDE＝∠HCA＝30°，∠DFE＝∠CAH＝90°.在Rt△DFE中，DF＝DE·cos30°＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3).綜上所述，DF的長(zhǎng)為2eq\r(3)或eq\r(3).第22題解圖23.解：(1)把A(－1，0)，B(3，0)分別代入拋物線y＝ax2＋bx＋3中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0,9a＋3b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2)).∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3；(3分)(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－a2＋2a＋3)，分兩種情況討論：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)F落在x軸上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PK⊥x軸于點(diǎn)K.∵△EFP是以PE為斜邊的等腰直角三角形，∴EF＝PF，∠EFP＝90°，∴∠OEF＋∠OFE＝∠OFE＋∠PFK＝90°，∴∠OEF＝∠PFK.∵∠EOF＝∠FKP＝90°，EF＝PF，∴△OEF≌△KFP(AAS)，∴OE＝FK，OF＝PK.∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，－a2＋2a＋3)，點(diǎn)K的坐標(biāo)為(a，0)∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0，2)∴FK＝OE＝2，PK＝－a2＋2a＋3，∴OF＝a－2，∴a－2＝－a2＋2a＋3，解得a1＝eq\f(1＋\r(21),2)，a2＝eq\f(1－\r(21),2)(舍去)，∴－(eq\f(1＋\r(21),2))2＋2×eq\f(1＋\r(21),2)＋3＝eq\f(\r(21)－3,2)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(1＋\r(21),2)，eq\f(\r(21)－3,2))；(5分)第23題解圖①第23題解圖②②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，∵△EFP是以PE為斜邊的等腰直角三角形，∴EF＝PF.∵EF＝2－(－a2＋2a＋3)＝a2－2a－1，PF＝a，∴a2－2a－1＝a，解得a1＝eq\f(3＋\r(13),2)，a2＝eq\f(3－\r(13),2)(舍去)，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(3＋\r(13),2)，eq\f(1－\r(13),2))．綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(eq\f(1＋\r(21),2)，eq\f(\r(21)－3,2))或(eq\f(3＋\r(13),2)，eq\f(1－\r(13),2))．(8分)(3)eq\f(4,9)≤m≤eq\f(4,3).(11分)【解法提示】由拋物線的解析式可知，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，4)，如解圖③，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥MH于點(diǎn)G，當(dāng)S△PQH∶S△PMQ＝1時(shí)，∴S△PQH＝S△PMQ，即eq\f(1,2)MQ·PG＝eq\f(1,2)QH·PG，∴MQ＝QH，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2.∵點(diǎn)Q在線段CD上，∴－eq\f(3,4)x＋3＝2，解得x＝eq\f(4,3)，∴Q(eq\f(4,3)，2)；如解圖④，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥HM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，當(dāng)S△PQH∶S△PMQ＝2時(shí)，S△PQH＝2S△PMQ，即eq\f(1,2)QH·PN＝2×eq\f(1,2)MQ·PN，∴2MQ＝QH，∴點(diǎn)Q恰好是線段MH的三等分點(diǎn)，∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為eq\f(8,3).∵點(diǎn)Q在線段CD上，∴－eq\f(3,4)x＋3＝eq\f(8,3)，解得x＝eq\f(4,9)，∴Q(eq\f(4,9)，eq\f(8,3))，綜上所述，m的取值范圍為：eq\f(4,9)≤m≤eq\f(4,3).第23題解圖

詳解詳析1.D【解析】∵正數(shù)＞0＞負(fù)數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小，∴3＞0＞－1＞－eq\r(2)，∴最小的數(shù)是－eq\r(2).2.A【解析】∵1億＝108，∴170億＝170×108＝1.7×1010.3.C【解析】∵直線a∥b，∴∠1＝∠ABC＝34°.∵CA⊥AB，∴∠BAC＝90°.∴∠2＝∠ABC＋∠BAC＝34°＋90°＝124°.4.B【解析】選項(xiàng)逐項(xiàng)分析正誤A－2x2＋3x2＝x2≠x4Ba3·a4＝a7√C(－2a2)3＝－8a6≠8a6D(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≠a2＋b25.C【解析】從左邊看最左列有3個(gè)小立方塊，中間列最高為2個(gè)小立方塊，最右列最高為2個(gè)小立方塊，∴符合題意的是選項(xiàng)C.6.A【解析】解不等式eq\f(2x－1,3)≥1，得x≥2，解不等式5－2x＞－1，得x<3，∴不等式組的解集為2≤x<3，∴不等式組的解集在數(shù)軸上表示如選項(xiàng)A所示．7.D【解析】∵拋物線y＝x2－4x＋m的對(duì)稱軸是x＝2，拋物線開(kāi)口向上，∴當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大，拋物線上的點(diǎn)和直線x＝2的距離越大，則對(duì)應(yīng)的y值越大．∵－3與直線x＝2的距離為5，1與直線x＝2的距離為1，4與直線x＝2的距離為2，∴y2＜y3＜y1.8.B【解析】“哈啰單車”與“易購(gòu)寶單車”所占百分比之和是1－25%－23%－18%－9%＝25%，∵“哈啰單車”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)是“易購(gòu)寶單車”所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)的4倍，∴“哈啰單車”所占百分比為20%，“易購(gòu)寶單車”所占百分比為5%.“哈啰單車”對(duì)應(yīng)扇形的圓心角度數(shù)＝360°×20%＝72°，“易購(gòu)寶單車”所占市場(chǎng)數(shù)量約為40萬(wàn)×5%＝2萬(wàn).9.A【解析】由作圖步驟可知，AC平分∠OAB，∴∠OAC＝∠CAD.在Rt△BCD中，CD＝2，∠B＝30°，∴BD＝4.∵CD⊥BC，∠AOB＝90°，∴AO∥CD.∴∠OAC＝∠ACD.∴∠ACD＝∠CAD.∴AD＝CD＝2，∴AB＝BD＋AD＝6.在Rt△AOB中，∵∠B＝30°，∴AO＝3.∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0，3)．10.D【解析】點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，且點(diǎn)M經(jīng)過(guò)8秒到達(dá)點(diǎn)B，則AB＝8，又∵由圖②可得，當(dāng)點(diǎn)M出發(fā)2秒時(shí)，△AMN的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系發(fā)生變化，∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，又∵點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度是每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，∴AD＝4.∵四邊形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝8，∴點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的時(shí)間是(4＋8＋4)÷2＝8(秒)，即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N也運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B.∴A選項(xiàng)正確；矩形ABCD的周長(zhǎng)＝AB＋AD＋DC＋BC＝8＋4＋8＋4＝24，∴B選項(xiàng)正確；當(dāng)2≤t≤6時(shí)，點(diǎn)N在DC邊上運(yùn)動(dòng)，∴S＝eq\f(1,2)AM·CB＝eq\f(1,2)·t·4＝2t，∴C選項(xiàng)正確；當(dāng)t＝7時(shí)，點(diǎn)N在CB邊上運(yùn)動(dòng)，S＝eq\f(1,2)AM·BN＝eq\f(1,2)·t·(16－2t)＝－t2＋8t，∵t＝7，∴S＝－72＋8×7＝7，∴D選項(xiàng)錯(cuò)誤．11.－1【解析】原式＝1－2＝－1.12.k＜1【解析】∵該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴b2－4ac＝22－4×1×k＝4－4k＞0，解得k＜1.13.eq\f(1,6)【解析】畫(huà)樹(shù)狀圖如解圖所示：第13題解圖由樹(shù)狀圖可知，共有12種等可能的結(jié)果，其中兩次抽出的卡片上的數(shù)字相同的結(jié)果有2種，∴P(兩次抽出的卡片上的數(shù)字相同)＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).14.eq\f(4π,3)＋12eq\r(3)－24【解析】如解圖，設(shè)BC與AB′交于點(diǎn)O.連接AE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠BAO＝30°，∵∠ABC＝∠AB′C′＝60°，∴∠AOB＝90°.∴OB＝eq\f(1,2)AB＝2.在Rt△AOB中，AO＝eq\f(OB,tan30°)＝2eq\r(3).∵∠AOB＝90°.∴∠AOE＝∠EOB′＝90°.在Rt△EOB′中，B′O＝AB′－AO＝4－2eq\r(3).∴EO＝B′O·tan60°＝(4－2eq\r(3))×eq\r(3)＝4eq\r(3)－6.∴S陰影＝S扇形BAB′＋S△EOB′－S△AOB＝eq\f(30×π×42,360)＋eq\f(1,2)×(4eq\r(3)－6)×(4－2eq\r(3))－eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4π,3)＋12eq\r(3)－24.第14題解圖15.eq\r(3)－1或eq\r(3)＋1【解析】∵AB＝AC＝2，∠ABC＝30°，∴∠C＝∠ABC＝30°.分兩種情況：①如解圖①，設(shè)DN交BC于點(diǎn)E，∵M(jìn)N∥AC，∴∠CMN＝∠C＝30°，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，∠N＝∠ABC＝30°，∴∠CMN＝∠N＝30°，∴ME＝EN，∠DEM＝60°，∴∠ABC＋∠DEM＝90°，∴∠BDE＝90°.∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝1.∴DE＝BD·tan30°＝eq\f(\r(3),3)，BE＝eq\f(BD,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)，∴ME＝EN＝DN－DE＝BD－DE＝1－eq\f(\r(3),3)，∴BM＝BE－ME＝eq\f(2\r(3),3)－(1－eq\f(\r(3),3))＝eq\r(3)－1；②如解圖②，設(shè)MN交AB于點(diǎn)E，∵M(jìn)N∥AC，∴∠BMN＝∠C＝30°.∵∠ABC＝30°，∴ME＝BE，∠DEN＝60°.由對(duì)稱的性質(zhì)可得，∠N＝∠ABC＝30°，∴∠N＋∠DEN＝90°，∴∠NDE＝90°.∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴DN＝BD＝eq\f(1,2)AB＝1.∴DE＝DN·tan30°＝eq\f(\r(3),3)，NE＝eq\f(DN,cos30°)＝eq\f(2\r(3),3)，∴ME＝BE＝BD＋DE＝1＋eq\f(\r(3),3)，∴BM＝MN＝NE＋ME＝eq\f(2\r(3),3)＋(1＋eq\f(\r(3),3))＝eq\r(3)＋1.綜上所述，BM的長(zhǎng)為eq\r(3)－1或eq\r(3)＋1.第15題解圖16.解：原式＝eq\f(x－1＋x＋1,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x＋1,x（x－1）)＝eq\f(2x,（x＋1）（x－1）)·eq\f(x＋1,x（x－1）)(4分)＝eq\f(2,（x－1）2).(6分)當(dāng)x＝eq\r(5)＋1時(shí)，原式＝eq\f(2,（\r(5)＋1－1）2)＝eq\f(2,5).(8分)17.解：(1)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如解圖所示；(2分)第17題解圖①第17題解圖②(2)4；3；3；(5分)【解法提示】將20名學(xué)生給釘釘打分的分?jǐn)?shù)按照從小到大排列，中位數(shù)應(yīng)是第10個(gè)和第11個(gè)學(xué)生打分的平均數(shù)，這兩名學(xué)生的打分都是4分，∴中位數(shù)為eq\f(4＋4,2)＝4，即a＝4；觀察QQ直播的打分情況可知3分出現(xiàn)的次數(shù)最多，出現(xiàn)了6次，∴QQ直播的眾數(shù)是3，即b＝3.將20名學(xué)生給QQ直播打分的分?jǐn)?shù)按照從小到大排列，中位數(shù)應(yīng)是第10個(gè)和第11個(gè)學(xué)生打分的平均數(shù)，這兩名學(xué)生的打分都是3分，∴中位數(shù)為3，即c＝3.(3)釘釘；理由是：從平均數(shù)看，釘釘和QQ直播的打分情況一樣；從眾數(shù)看，釘釘打分的眾數(shù)高于QQ直播打分的眾數(shù)；從中位數(shù)看，釘釘打分的中位數(shù)高于QQ直播打分的中位數(shù)；(7分)(4)∵綜合平均分中教師打分占60%，學(xué)生打分占40%，∴x釘釘＝4.4×60%＋3.35×40%＝2.64＋1.34＝3.98，xQQ直播＝4×60%＋3.35×40%＝2.4＋1.34＝3.74.∵3.98>3.74，∴學(xué)校會(huì)采用釘釘這款軟件進(jìn)行教學(xué)．(9分)18.(1)證明：如解圖①，連接OD，第18題解圖①∵DH是⊙O的切線，且OD為⊙O的半徑，∴DH⊥OD.∵DH⊥AC，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠ACB.(3分)∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；(5分)(2)解：①2eq\r(3)；(7分)第18題解圖②【解法提示】①如解圖②，連接OE、OD、AD，∵四邊形EODA為菱形，∴OE＝OD＝AD＝EA.∵OD是⊙O的半徑，∴OD＝OA＝OB＝eq\f(1,2)AB＝2，∴OA＝OD＝AD＝2.在Rt△ABD中，根據(jù)勾股定理得AB2＝AD2＋BD2，∴BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(42－22)＝2eq\r(3).②eq\r(5)－1.(9分)【解法提示】如解圖①，由(1)知，OD∥AC，∴∠EAG＝∠DOA，又∵∠EGA＝∠OGD，∠EGA＝∠EAG，∴∠DOA＝∠OGD，∴GD＝OD＝2，∵∠BAE和∠BDG都是eq\o(BE,\s\up8(︵))所對(duì)的圓周角，∴∠BAE＝∠BDE，∴∠GOD＝∠BDE，∴△GOD∽△GDB，∴eq\f(GO,GD)＝eq\f(GD,GB)，∴eq\f(GO,2)＝eq\f(2,2＋GO)，解得GO＝eq\r(5)－1或GO＝－1－eq\r(5)(舍去)．即GO的長(zhǎng)為eq\r(5)－1.第19題解圖19.解：如解圖，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，由題意可知∠BCD＝30°，∠ACD＝53°，AB＝19.5海里，BC＝30海里，在Rt△BCD中，∵∠BCD＝30°，∠BDC＝90°，BC＝30海里，∴BD＝15海里，AD＝AB＋BD＝19.5＋15＝34.5(海里)．(4分)在Rt△ACD中，∵∠ACD＝53°，∠BDC＝90°，sin∠ACD＝eq\f(AD,AC)，∴AC＝eq\f(AD,sin∠ACD)＝eq\f(34.5,sin53°)≈eq\f(34.5,0.8)≈43.1(海里)．(8分)答：A處與C處的距離約有43.1海里．(9分)20.解：(1)∵A(－1，0)，B(0，－2)，E(0，2)為AD的中點(diǎn)，∴xD＝1，yD＝4.∴D(1，4)．∵反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，∴4＝eq\f(k,1)，解得k＝4.(2分)又∵四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)A(－1，0)，B(0，－2)，∴xC－xD＝xB－xA＝0－(－1)＝1.∴xC＝2.∵反比例函數(shù)y＝eq\f(4,x)的圖象經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，∴C(2，2)；(4分)(2)①2個(gè)；(6分)【解法提示】如解圖①所示，在W區(qū)域內(nèi)有2個(gè)整數(shù)點(diǎn)，即(2，3)，(2，4)．第20題解圖①②0＜n＜1或4＜n≤5.(9分)【解法提示】如解圖②，當(dāng)n＝4時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有1個(gè)，當(dāng)n＝5時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有2個(gè)，則4＜n≤5時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)恰好為2個(gè)；當(dāng)n＝1時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)有0個(gè)，當(dāng)0＜n＜1時(shí)，區(qū)域W內(nèi)的整點(diǎn)恰好有2個(gè)．綜上所述，若區(qū)域W內(nèi)恰有2個(gè)整點(diǎn)，n的取值范圍為：0＜n＜1或4＜n≤5.第20題解圖②21.解：(1)設(shè)每支毛筆的單價(jià)為x元，每本書(shū)法練習(xí)本的單價(jià)為y元，(1分)根據(jù)題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋5y＝75,3x＋2y＝85))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝25,y＝5)).答：毛筆的單價(jià)為25元，書(shū)法練習(xí)本的單價(jià)為5元；(4分)(2)設(shè)購(gòu)買毛筆a支，則購(gòu)買書(shū)法練習(xí)本(30－a)本，共需w元，根據(jù)題意，得w＝25a＋5(30－a)＝20a＋150.(6分)∵20＞0，∴當(dāng)a取最小值時(shí)，w有最小值．∵a≥eq\f(1,3)(30－a)，解得a≥7.5.∴當(dāng)a＝8時(shí)，w取得最小值，此時(shí)30－8＝22.∴當(dāng)購(gòu)買毛筆8支，書(shū)法練習(xí)本22本時(shí)最省錢．(10分)22.解：(1)MF＝NF，135；(2分)【解法提示】如解圖①，連接CD交AB于點(diǎn)P，連接BE交CD于點(diǎn)H.第22題解圖①∵∠BAD＝∠CAE＝45°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.∵AD＝AB，AE＝AC，∴△ADC≌△ABE(SAS)，∴CD＝BE，∠ADC＝∠ABE.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠ADP＋∠APD＋∠DAP＝∠PBH＋∠BPH＋∠PHB.∵∠ADC＝∠ABE，∠APD＝∠BPH，∴∠PHB＝∠BAD＝45°.∵點(diǎn)M、N、F分別為BD、CE、BC的中點(diǎn)，∴MF、NF分別為△BDC、△CBE的中位線．∴MF＝eq\f(1,2)CD，NF＝eq\f(1,2)BE，MF∥CD，NF∥BE.∴MF＝NF，∠MFN＝∠BHC＝180°－∠PHB＝180°－45°＝135°.(2)NF＝eq\r(3)MF，∠MFN＝90°.理由如下：如解圖②，連接CD交AB于點(diǎn)P，連接BE交CD于點(diǎn)H，∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠BAE.在Rt△ADB中，∠BAD＝90°，∠ABD＝30°，∴tan30°＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△ACE中，∠CAE＝90°，∠AEC＝30°，第22題解圖②∴tan30°＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴△ADC∽△ABE，∴eq\f(DC,BE)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AC,AE)＝eq\f(\r(3),3)，∴BE＝eq\r(3)DC，∠ADC＝∠ABE.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得∠ADP＋∠APD＋∠DAP＝∠PBH＋∠BPH＋∠PHB.∵∠ADC＝∠ABE，∠APD＝∠BPH，∴∠PHB＝∠BAD＝90°.∵點(diǎn)M、N、F分別為BD、CE、BC的中點(diǎn)，∴MF、NF分別為△BDC、△CBE的中位線，∴MF＝eq\f(1,2)CD，NF＝eq\f(1,2)BE，MF∥CD，NF∥BE，∴NF＝eq\r(3)MF，∠MFN＝∠BHC＝180°－∠PHB＝180°－90°＝90°；(8分)(3)2eq\r(3)或eq\r(3).(10分)【解法提示】如解圖③，當(dāng)△ACE旋轉(zhuǎn)到線段AB的下方時(shí)，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)G，AC與EF交于點(diǎn)H，連接AF，由題意可知AD＝AB＝3，EA＝EC＝1，∠BAD＝60°，∠CEA＝120°，∴△ADB為等邊三角形，∠CAE＝∠ACE＝30°，∴∠BAC＝90°.∵點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∴BF＝AF＝CF.在△BDF和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝DA,BF＝FA,DF＝DF))，∴△BDF≌△ADF(SSS)，∴∠BDF＝∠ADF＝eq\f(1,2)∠BDA.∴∠ADG＝30°，∴∠DGA＝90°，同理可得∠AHF＝90°，∴∠DGA＝∠AHF＝∠GAH＝90°，∴四邊形GAHF是矩形，∴∠DFE＝90°，在Rt△DFE中，DE＝AD＋AE＝3＋1＝4，∴DF＝DE·cos30°＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)；如解圖④，當(dāng)△ACE旋轉(zhuǎn)到線段AB的上方時(shí)，設(shè)AD與BC交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)CE交AB于點(diǎn)H，由題意可知AD＝AB＝3，EA＝EC＝1，∠BAD＝60°，∠CEA＝120°，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠HEA＝60°，∠CAB＝90°，則∠EHA＝180°－∠HAE－∠HEA＝60°，∴AH＝EH＝AE＝CE＝1，即E為CH的中點(diǎn)，∴CH＝2，DE＝AD－AE＝3－1＝2.∴CH＝DE，∵F為BC的中點(diǎn)，∴EF為△CBH的中位線，∴EF∥AB，∴EF＝eq\f(1,2)BH＝eq\f(1,2)(AB－AH)＝eq\f(1,2)×2＝1，∠DEF＝∠EAH＝60°，∴EF＝AH，∠DEF＝∠EHA＝60°.∵DE＝CH，∴△DFE≌△CAH，∴∠FDE＝∠HCA＝30°，∠DFE＝∠CAH＝90°.在Rt△DFE中，DF＝DE·cos30°＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3).綜上所述，DF的長(zhǎng)為2eq\r(3)或eq\r(3).第22題解圖23.解：(1)把A(－1，0)，B(3，0)分別代入拋物線y＝ax2＋bx＋3中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＋3＝0,9a＋3b＋3＝0))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2))，∴拋物線