2024年度高一數(shù)學下學期期中試卷及答案（共三套）

2024年年高一數(shù)學下學期期中試卷及答案（共三套）2024年年高一數(shù)學下學期期中試卷及答案（一）（考試時間：120分鐘總分：150分）★友情提示：要把所有答案都寫在答題卷上，寫在試卷上的答案無效。一、選擇題（每題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的）1．在空間直角坐標系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，則|AB|等于()A．2B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．32．直線l過點P(－1,2)，傾斜角為135°，則直線l的方程為()A．x＋y－1＝0B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝03.下列命題正確的是（）A．若兩個平面平行于同一條直線，則這兩個平面平行B．若有兩條直線與兩個平面都平行，則這兩個平面平行C.若有一條直線與兩個平面都垂直，則這兩個平面平行D.若有一條直線與這兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq\f(\r(3),2)，那么原△ABC是一個()A．等邊三角形B．直角三角形C．三邊中只有兩邊相等的等腰三角形D．三邊互不相等的三角形5．若某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的側面積等于()A．12πcm2B．15πcm2C．24πcm2D．30πcm26.若三棱錐Ｐ-ABC的三個側面與底面ABC所成角都相等，則頂點Ｐ在底面的射影為的()A．外心B．重心C.內心D．垂心7.圓：與圓：的位置關系為（）A．相交B．相離C．外切D．內切8.若P(2，－1)為圓的弦AB的中點，則直線AB的方程是()A．x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0D．2x－y－5＝09．已知點P是圓x2＋y2＝1上動點，定點Q(6,0)，點Ｍ是線段PQ靠近Q點的三等分點，則點M的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4B．(x－4)2＋y2＝C．(2x－3)2＋4y2＝1D．(2x＋3)2＋4y2＝110.若圓上恰有四個點到直線的距離等于1，則實數(shù)m的取值范圍是方程是()A．B．C．D．11.已知實數(shù)x，y滿足方程2x＋y＋5＝0，那么的最小值為()A.2eq\r(10)B.eq\r(10)C．2eq\r(5)D．eq\r(5)12.函數(shù)的值域為()A．B．C．D．二、填空題（每小題5分，共20分）13.如圖，在正方體中，分別為，，，的中點，則異面直線與所成的角等于14.已知直線和直線關于點Ｍ(2，1)對稱，則的方程為15.如果直線與直線關于直線對稱，那么16.已知⊙M：Q是軸上的動點，QA，QB分別切⊙M于A，B兩點，求動弦AB的中點P的軌跡方程為三、解答題。(本大題共6小題，滿分70分，解答應寫出文字說明，推理過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)求經(jīng)過直線：與直線：的交點，且滿足下列條件的直線的方程：（1）與直線平行；（2）與直線垂直。18.(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側面PAD是邊長為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直，E為PA的中點．（1）求證:ＤＥ∥平面PBC（2）求ＰＢ與平面ＡＢＣＤ所成角的正弦值；

19.(本小題滿分12分)已知ABC的頂點A（2，3），Ｂ（－2，1），重心Ｇ（1，2）（1）求BC邊中點D的坐標；（2）求AB邊的高線所在直線的方程；（3）求ABC的面積；20．(本小題滿分12分)已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝16及直線l：(m＋2)x＋(3m＋1)y＝15m＋10(m∈R)．(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓C恒相交；(2)當直線l被圓C截得的弦長的最短時，求此時直線l方程．21、（本小題滿分12分）如圖,已知四邊形是正方形,平面ABCD,//,,,,分別為,,的中點.(1)求四棱錐P—BCD外接球(即Ｐ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四點都在球面上)的表面積；(2)求證:平面平面；(3)在線段上是否存在一點,使平面?若存在,求出線段的長;若不存在,請說明理由.22、(本小題滿分12分)如圖，已知圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及點Q(－2,3)(1)若點P(m，m＋1)在圓C上，求直線PQ的斜率以及直線PQ與圓C的相交弦PE的長度；(2)若Ｎ(x，y)是直線上任意一點，過Ｎ作圓C的切線，切點為Ａ，當切線長最小時，求Ｎ點的坐標，并求出這個最小值．(3)若M(x，y)是圓上任意一點，求eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值．高一數(shù)學科試題參考答案一、選擇題1—5:DACAB6—10：CCABB11—12：CD二、13.60°14.15.16.三、解答題17：解：（1）交點Ｍ（－3，－2.5）…………3分…………6分(2)…………10分18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側面PAD是邊長為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直，E為PA的中點．（1）求證:ＤＥ∥平面PBC（2）求ＰＢ與平面ＡＢＣＤ所成角的余弦值；（3）求點D到平面PBC的距離；18：（1）解：取PB中點F，連EF，CF，四邊形DEFC為平行四邊形∥CF…………2分又∵平面PBC，平面PBC∴DE∥現(xiàn)面PBC…………4分（2）作PO⊥AD于O，連BO∵側面PAD是邊長為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直∴AO＝DO又∵側面PAD與底面ABCD垂直，且交線為AD∴PO⊥底面ABCD∴∠PBO就是ＰＢ與平面ＡＢＣＤ所成角…………6分∵在直角中，，∴…………8分19.解：（1）∵ABC的重心為G∴…………1分設D（a,b），則a=0.5b=1.5…………4分[（2）C（3，2），…………5分即∴AB邊的高線所在直線的方程為…………8分（3）…………9分直線AB方程：…………10分點C到直線AB的距離…………11分…………12分20：解：(1)證明：直線l可化為2x＋y－10＋m(x＋3y－15)＝0，即不論m取什么實數(shù)，它恒過兩直線2x＋y－10＝0與x＋3y－15＝0的交點．兩方程聯(lián)立，解得交點為(3,4)．又有(3－2)2＋(4－3)2＝2＜16，∴點(3,4)在圓內部，∴不論m為何實數(shù)，直線l與圓恒相交．…………6分(2)解：從(1)的結論和直線l過定點M(3,4)且與過此點的圓C的半徑垂直時，l被圓所截的弦長|AB|最短，…………8分此時，kl＝－eq\f(1,kCM)，從而kl＝－eq\f(1,\f(4－3,3－2))＝－1，……10分∴l(xiāng)的方程為y－4＝－(x－3)，即x＋y＝7.………12分21證明：(Ⅰ)四棱錐P—BCD外接球半徑…………2分

四棱錐P—BCD外接球的表面積為…………4分(Ⅱ)因為平面,所以.

又因為,,

所以平面.…………6分

由已知,分別為線段,的中點,所以//.

則平面.而平面,所以平面平面……….8

(Ⅲ)在線段上存在一點,使平面.證明如下:在直角三角形中,因為,,所以.在直角梯形中,因為,,所以,

所以.又因為為的中點,所以.要使平面,只需使.

因為平面,所以,又因為,,

所以平面,而平面,所以.

若,則∽,可得.由已知可求得,,,所以……….1222.解：(1)∵點P(m，m＋1)在圓C上，代入圓C的方程，解得m＝4，∴P(4,5)故直線PQ的斜率k＝eq\f(5－3,4－－2)＝eq\f(1,3).因此直線PQ的方程為y－5＝eq\f(1,3)(x－4)．即x－3y＋11＝0，而圓心(2,7)到直線的距離d＝eq\f(|2－3×7＋11|,\r(10))＝eq\f(8,\r(10))＝eq\f(4\r(10),5)，所以PE＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(8－\f(32,5))＝eq\f(2\r(40),5)＝eq\f(4\r(10),5).………4分（2）∵∴當NC最小時，NA最小又知當NC時，NC最小∴…………6分過C且與直線垂直的直線方程：∴N（－3，2）……8分(3)∵kMQ＝eq\f(y－3,x＋2)，∴題目所求即為直線MQ的斜率k的最值，且當直線MQ為圓的切線時，斜率取最值．設直線MQ的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.當直線與圓相切時，圓心到直線的距離d＝eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))＝r＝2eq\r(2).兩邊平方，即(4k－4)2＝8(1＋k2)，解得k＝2－eq\r(3)，或k＝2＋eq\r(3).所以eq\f(y－3,x＋2)的最大值和最小值分別為2＋eq\r(3)和2－eq\r(3).…………12分2024年年高一數(shù)學下學期期中試卷及答案（二）一、選擇題：（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）1．直線經(jīng)過點（0，2）和點（3，0），則它的斜率為（）A． B． C．﹣ D．﹣2．直線x﹣y+a=0（a為常數(shù)）的傾斜角為（）A．30° B．60° C．150° D．120°3．過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．與直線3x﹣4y+5=0關于y軸對稱的直線方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=05．一個水平放置的三角形的斜二側直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面積是（）A． B． C． D．26．如圖，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且==，則（）A．EF與GH互相平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上7．設m、n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則（）A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α B．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α8．經(jīng)過點P（0，2）的直線l，若直線l與連接A（﹣，﹣1），B（2，0）的線段總有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知α，β是兩個不同的平面，下列四個條件中能推出α∥β的是（）①存在一條直線m，m⊥α，m⊥β；②存在一個平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在兩條平行直線m，n，m?α，n?β，m∥β，n∥α；④存在兩條異面直線m，n，m?α，n?β，m∥β，n∥α．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③10．圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．8﹣π B．8﹣π C．8﹣π D．8﹣π11．正方形ABCD，沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，則折后的異面直線AB與CD所成的角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°12．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖），則球的半徑是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm二、填空題：（本大題6小題，每小題5分，共30分）13．兩平行直線3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距離為．14．直線l經(jīng)過點A（3，﹣1），且在第四象限與兩坐標軸圍成等腰三角形，則直線l的方程為．15．已知△ABC的三個頂點A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），則△ABC的面積為．16．已知圓臺的上、下底面半徑分別是1cm、3cm，且側面積等于兩底面積之和，則圓臺的母線長為cm．17．長方體ABCD﹣A1B1C1D1的三個面的對角線長分別是a，b，c，則長方體對角線AC1的長是．18．如圖所示，在四面體VABC木塊中，P為△VAC的重心，這點P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四邊形，則該截面把木塊分成兩部分體積之比為．（埴體積小與體積大之比）三、解答題：（本大題共5題，滿分60分）19．已知兩條直線l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，問a為何值時，l1與l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．20．已知△ABC的頂點A（1，5），AB邊上的中線CM所在直線方程為x﹣2y+5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）頂點C的坐標；（Ⅱ）直線BC的方程．21．如圖，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分別是棱BC、CC'上的點（點D不同于點C），且AD⊥BC，F(xiàn)為B'C'的中點．求證：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直線A'F∥平面ADE．22．如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E為DD'的中點．（Ⅰ）求證BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如圖，設F為上底面A'B'C'D'一點，過點F在上底面畫一條直線與CF垂直，并說明理由．23．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圓周上不同于A、B的點．（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）過A作AD⊥PC（D為垂足），過D作DE⊥PB（E為垂足），求證：PB⊥平面ADE．

參考答案與試題解析一、選擇題：（每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求）1．直線經(jīng)過點（0，2）和點（3，0），則它的斜率為（）A． B． C．﹣ D．﹣【考點】I3：直線的斜率．【分析】直接利用直線的斜率公式求出直線l的斜率．【解答】解：直線經(jīng)過點（0，2）和點（3，0），則直線l的斜率是k==﹣故選：C．2．直線x﹣y+a=0（a為常數(shù)）的傾斜角為（）A．30° B．60° C．150° D．120°【考點】I2：直線的傾斜角．【分析】由直線的傾斜角α與斜率k的關系，可以求出α的值．【解答】解：設直線x﹣y+a=0的傾斜角是α，則直線的方程可化為y=x+a，直線的斜率k=tanα=，∵0°≤α＜180°，∴α=60°．故選：B．3．過點（1，0）且與直線x﹣2y﹣2=0平行的直線方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=0【考點】I7：兩條直線平行的判定；IG：直線的一般式方程．【分析】因為所求直線與直線x﹣2y﹣2=0平行，所以設平行直線系方程為x﹣2y+c=0，代入此直線所過的點的坐標，得參數(shù)值【解答】解：設直線方程為x﹣2y+c=0，又經(jīng)過（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程為x﹣2y﹣1=0；故選A．4．與直線3x﹣4y+5=0關于y軸對稱的直線方程是（）A．3x+4y﹣5=0 B．3x+4y+5=0 C．3x﹣4y+5=0 D．3x﹣4y﹣5=0【考點】IQ：與直線關于點、直線對稱的直線方程．【分析】令x=0，可得直線3x﹣4y+5=0與y軸的交點．令y=0，可得直線3x﹣4y+5=0與x軸的交點，此點關于y軸的對稱點為．可得：與直線3x﹣4y+5=0關于y軸對稱的直線經(jīng)過兩點：，．利用截距式即可得出．【解答】解：令x=0，則y=，可得直線3x﹣4y+5=0與y軸的交點．令y=0，可得x=﹣，可得直線3x﹣4y+5=0與x軸的交點，此點關于y軸的對稱點為．∴與直線3x﹣4y+5=0關于y軸對稱的直線經(jīng)過兩點：，．其方程為：=1，化為：3x+4y﹣5=0．故選：A．5．一個水平放置的三角形的斜二側直觀圖是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面積是（）A． B． C． D．2【考點】LD：斜二測法畫直觀圖．【分析】可根據(jù)直觀圖和原圖面積之間的關系求解，也可作出原圖，直接求面積．【解答】解：由題意，直觀圖的面積為，因為直觀圖和原圖面積之間的關系為，故原△ABO的面積是故選C6．如圖，在空間四邊形ABCD中，點E、H分別是邊AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、CD上的點，且==，則（）A．EF與GH互相平行B．EF與GH異面C．EF與GH的交點M可能在直線AC上，也可能不在直線AC上D．EF與GH的交點M一定在直線AC上【考點】LJ：平面的基本性質及推論．【分析】利用三角形的中位線平行于第三邊；平行線分線段成比例定理，得到FG、EH都平行于BD，利用平行線的傳遞性得到GF∥EH，再利用分別在兩個平面內的點在兩個平面的交線上，得證．【解答】證明：因為F、G分別是邊BC、CD上的點，且==，所以GF∥BD，并且GF=BD，因為點E、H分別是邊AB、AD的中點，所以EH∥BD，并且EH=BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF與GH相交，設其交點為M，所以M∈面ABC內，同理M∈面ACD，又∵面ABC∩面DAC=AC∴M在直線AC上．故選D．7．設m、n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則（）A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α B．若m∥β，β⊥α，則m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】根據(jù)空間線線，線面，面面之間的位置關系分別進行判定即可得到結論．【解答】解：A．若m⊥n，n∥α，則m⊥α或m?α或m∥α，故A錯誤．B．若m∥β，β⊥α，則m⊥α或m?α或m∥α，故B錯誤．C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，則m⊥α，正確．D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，則m⊥α或m?α或m∥α，故D錯誤．故選：C8．經(jīng)過點P（0，2）的直線l，若直線l與連接A（﹣，﹣1），B（2，0）的線段總有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是（）A． B． C． D．【考點】I3：直線的斜率．【分析】直線l與連接A（﹣，﹣1），B（2，0）的線段總有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是：k＜kPB，或k＞kPA．【解答】解：kPA=，kPB=﹣1．∵直線l與連接A（﹣，﹣1），B（2，0）的線段總有公共點，∴直線l的斜率的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪．故選：D．9．已知α，β是兩個不同的平面，下列四個條件中能推出α∥β的是（）①存在一條直線m，m⊥α，m⊥β；②存在一個平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在兩條平行直線m，n，m?α，n?β，m∥β，n∥α；④存在兩條異面直線m，n，m?α，n?β，m∥β，n∥α．A．①③ B．②④ C．①④ D．②③【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】利用線面垂直的性質判斷①，根據(jù)幾何體模型判斷②，舉反例判斷③，反證法判斷④．【解答】解：對于①，由“垂直于同一條直線的兩個平面互相平行”可知①正確；對于②，以直三棱柱為例，直三棱柱的任意兩個側面都與底面垂直，但兩個側面不平行，故②不正確；對于③，若α∩β=l，且m∥l，n∥l，顯然符合條件，但平面α，β不平行，故③不正確；對于④，假設α與β相交，交線為l，∵m?α，α∩β=l，則m∥l，同理可得n∥l，故m∥n，與m，n為異面直線矛盾，故假設錯誤，故④正確．故選C．10．圖中，小方格是邊長為1的正方形，圖中粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．8﹣π B．8﹣π C．8﹣π D．8﹣π【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知：該幾何體是棱長為2的正方體，挖去半個圓錐體，結合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積即可．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，挖去半個圓錐體，如圖所示；結合圖中數(shù)據(jù)，計算它的體積為V=23﹣××π×12×2=8﹣．故選：D．11．正方形ABCD，沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，則折后的異面直線AB與CD所成的角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考點】LM：異面直線及其所成的角．【分析】取BD中點O，連結AO、CO，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出折后的異面直線AB與CD所成的角．【解答】解：取BD中點O，連結AO、CO，設正方形ABCD邊長為，∵沿對角線BD折成直二面角A﹣BD﹣C，∴AO⊥BD，CO⊥BD，AO⊥CO，以O為原點，OC為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立空間直角坐標系，A（0，0，1），B（0，﹣1，0），C（1，0，0），D（0，1，0），=（0，﹣1，﹣1），=（﹣1，1，0），設折后的異面直線AB與CD所成的角為θ，則cosθ=|cos＜＞|===，∴θ=60°．∴折后的異面直線AB與CD所成的角為60°．故選：C．12．圓柱形容器內盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒最上面的球（如圖），則球的半徑是（）A．cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點】L5：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】根據(jù)體積公式列方程解出球的r即可．【解答】解：設球的半徑為r，則V水=8πr2，V球=4πr3，加入小球后，液面高度為6r，∴πr2?6r=8πr2+4πr3，解得r=4．故選D．二、填空題：（本大題6小題，每小題5分，共30分）13．兩平行直線3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0的距離為2．【考點】IU：兩條平行直線間的距離．【分析】利用直線平行求出m，然后求解平行線之間的距離．【解答】解：兩平行直線3x+4y﹣5=0和mx+8y+10=0，可得m=6，則兩條平行線之間的距離為：=2．故答案為：2．14．直線l經(jīng)過點A（3，﹣1），且在第四象限與兩坐標軸圍成等腰三角形，則直線l的方程為x﹣y﹣4=0．【考點】IK：待定系數(shù)法求直線方程．【分析】設直線l的方程為y+1=k（x﹣3），k＞0，根據(jù)題意在第四象限與兩坐標軸圍成等腰三角形，可得+3=3k+1，由此求得k的值，可得直線l的方程．【解答】解：∵直線l經(jīng)過點A（3，﹣1），設直線l的方程為y+1=k（x﹣3），k＞0，則直線和x軸的交點為（+3，0），和y軸的交點為（0，﹣3k﹣1），根據(jù)題意可得+3=3k+1，即3k2﹣2k﹣1=0，求得k=1，或k=﹣（舍去），故直線l的方程為y+1=1（x﹣3），即x﹣y﹣4=0，故答案為：x﹣y﹣4=0．15．已知△ABC的三個頂點A（1，3），B（3，1），C（﹣1，0），則△ABC的面積為5．【考點】HT：三角形中的幾何計算．【分析】根據(jù)A（1，3），B（3，1），求出AB的直線方程，和AB的距離，利用點到直線的距離就是AB為底的高，即可得△ABC的面積．【解答】解：由A（1，3），B（3，1），設AB的直線方程為y=kx+b，則，解得：k=﹣1，b=4．AB的直線方程為x+y﹣4=0．C（﹣1，0）到直線AB的距離h=．AB的距離d==2．則△ABC的面積S=×=5．故答案為：5．16．已知圓臺的上、下底面半徑分別是1cm、3cm，且側面積等于兩底面積之和，則圓臺的母線長為cm．【考點】L5：旋轉體（圓柱、圓錐、圓臺）．【分析】根據(jù)側面積公式列方程解出．【解答】解：S=π，S′=9π，∴π（1+3）l=π+9π=10π，∴l(xiāng)=．故答案為：．17．長方體ABCD﹣A1B1C1D1的三個面的對角線長分別是a，b，c，則長方體對角線AC1的長是．【考點】MK：點、線、面間的距離計算；L2：棱柱的結構特征．【分析】設長方體具有公共頂點的棱長分別為x，y，z，由題意建立方程組，三式相加可得結論．【解答】解：設長方體具有公共頂點的棱長分別為x，y，z，則三式相加可得x2+y2+z2=∴長方體對角線AC1的長是=故答案為：18．如圖所示，在四面體VABC木塊中，P為△VAC的重心，這點P作截面EFGH，若截面EFGH是平行四邊形，則該截面把木塊分成兩部分體積之比為．（埴體積小與體積大之比）【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積．【分析】由已知可得EH∥AC∥FG，且VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，連接VF、VG、AG、AH，則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V﹣EFGH的體積與三棱錐V﹣BFG的體積和，多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A﹣EFGH的體積與三棱錐H﹣AGC的體積和．找出各多面體體積的關系得答案．【解答】解：如圖，∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EH=FG，且EH∥FG，∴EH∥平面ABC，又EH?平面VAC，平面VAC∩平面ABC=AC，∴EH∥AC，則EH∥AC∥FG，∵P為△VAC的中心，∴VH：VC=VE：VA=EH：AC=2：3，而EH=FG，∴BF：BA=BG：BC=FG：AC=2：3．連接VF、VG、AG、AH，則多面體EFGHVB的體積等于四棱錐V﹣EFGH的體積與三棱錐V﹣BFG的體積和，多面體EFGHAC的體積等于四棱錐A﹣EFGH的體積與三棱錐H﹣AGC的體積和．∵四棱錐V﹣EFGH的高是四棱錐A﹣EFGH的高的2倍，底面積相等，∴四棱錐V﹣EFGH的體積是四棱錐A﹣EFGH的體積的2倍；∵三棱錐V﹣BFG的底面積是三棱錐H﹣AGC的底面積的倍，高是3倍，∴三棱錐V﹣BFG的體積是三棱錐H﹣AGC的體積的4倍．設棱錐H﹣AGC的體積為V1，則三棱錐H﹣AFG的體積為，有四棱錐A﹣EFGH的體積是．∴多面體EFGHAC的體積等于，多面體EFGHVB的體積等于，∴多面體EFGHAC的體積與多面體EFGHVB的體積比等于．故答案為：．三、解答題：（本大題共5題，滿分60分）19．已知兩條直線l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0，l2：（a+5）x+2y﹣8=0，問a為何值時，l1與l2：（Ⅰ）平行；（Ⅱ）相交；（Ⅲ）垂直．【考點】IG：直線的一般式方程．【分析】（Ⅰ）通過直線的斜率相等，截距不相等，判斷直線平行，求出a的值；（Ⅱ）利用（Ⅰ）直線不平行，直線即可相交，推出a的范圍；（Ⅲ）當兩條直線的斜率乘積是﹣1時，兩條直線垂直，求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）直線l1：4x+（a+3）y+（3a﹣5）=0的斜率為﹣，直線l2：（a+5）x+2y﹣8=0的斜率為﹣，∴﹣=﹣，解得a=﹣1，或a=﹣7，當a=﹣1時兩條直線重合，舍去，∴a=﹣7時兩條直線平行；（Ⅱ）兩條直線相交，則兩條直線不重合，不平行，∴a∈（﹣∞，﹣7）∪（﹣7，﹣1）∪（﹣1，+∞）；（Ⅲ）兩條直線垂直，∴（﹣）（﹣）=﹣1，解得a=﹣．20．已知△ABC的頂點A（1，5），AB邊上的中線CM所在直線方程為x﹣2y+5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為2x﹣y+5=0，求：（Ⅰ）頂點C的坐標；（Ⅱ）直線BC的方程．【考點】IK：待定系數(shù)法求直線方程．【分析】（Ⅰ）設頂點C的坐標為（m，n），利用條件以及線段的中點公式、兩條直線垂直的性質，求得m、n的值，可得點C的坐標．（Ⅱ）設點B的坐標為（e，f），利用條件線段的中點公式，求得e、f的值，可得B的坐標，再利用式求得直線BC的方程．【解答】解：（Ⅰ）設頂點C的坐標為（m，n），則由點C在直線CM上，可得m﹣2n+5=0①．再根據(jù)AC⊥BH，可得?2=﹣1②，由①②求得，∴C（3，4）．（Ⅱ）設點B的坐標為（e，f），則AB的中點（，）在CM：x﹣2y+5=0上，∴﹣2?+5=0，即e﹣2f﹣4=0③．再根據(jù)點B的坐標為（e，f）滿足BH所在直線方程2x﹣y+5=0，可得2e﹣f+5=0④，由③④求得，∴B（﹣，﹣），由兩點式求得直線BC的方程為=，即25x﹣23y+17=0．21．如圖，在直三棱柱ABC﹣A'B'C'中，AB=AC，D、E分別是棱BC、CC'上的點（點D不同于點C），且AD⊥BC，F(xiàn)為B'C'的中點．求證：（Ⅰ）平面ADE⊥平面BCC'B'；（Ⅱ）直線A'F∥平面ADE．【考點】LY：平面與平面垂直的判定；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（I）根據(jù)AD⊥BC，AD⊥BB′得出AD⊥平面BCC′B′，于是平面ADE⊥平面BCC'B'；（II）連結DF，證明四邊形ADFA′是平行四邊形得出A′F∥AD，于是A'F∥平面ADE．【解答】證明：（I）∵BB′⊥平面ABC，AD?平面ABC，∴AD⊥BB′，∵AD⊥BC，BB′∩BC=B，BB′?平面BCC′B′，BC?平面BCC′B′，∴AD⊥平面BCC′B′，又AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCC'B'．（II）連結DF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴D是BC的中點，又F是B′C′的中點，∴B′FBD，∴四邊形BDFB′是平行四邊形，∴DFBB′，又BB′AA′，∴DFAA′，∴四邊形ADFA′是平行四邊形，∴A′F∥AD，又A′F?平面ADE，AD?平面ADE，∴A′F∥平面ADE．22．如圖，在正方體ABCD﹣A'B'C'D'中，E為DD'的中點．（Ⅰ）求證BD'∥平面AEC；（Ⅱ）如圖，設F為上底面A'B'C'D'一點，過點F在上底面畫一條直線與CF垂直，并說明理由．【考點】LS：直線與平面平行的判定．【分析】（I）連接BD交AC于O，連接EO，則由中位線定理得OE∥BD′，故BD'∥平面AEC；（II）連結C′F，在上底面內過F作直線FM⊥C′F，則直線FM即為所求的直線；通過證明FM⊥平面CC′F即可得出結論．【解答】（I）證明：連接BD交AC于O，連接EO，∵四邊形ABCD是正方形，∴O是BD的中點，又E是DD′的中點，∴OE∥BD′，又OE?平面AEC，BD′?平面AEC，∴BD'∥平面AEC．（II）解：連結C′F，在上底面內過F作直線FM⊥C′F，則直線FM即為所求的直線．證明：∵CC′⊥平面A′B′C′D′，F(xiàn)M?平面A′B′C′D′，∴CC′⊥FM，又FM⊥C′F，C′F∩CC′=C′，∴FM⊥平面CC′F，又CF?平面CC′F，∴FM⊥CF．23．如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面α，C是圓周上不同于A、B的點．（Ⅰ）求證：平面PAC⊥平面PBC；（Ⅱ）過A作AD⊥PC（D為垂足），過D作DE⊥PB（E為垂足），求證：PB⊥平面ADE．【考點】LW：直線與平面垂直的判定；LY：平面與平面垂直的判定．【分析】（I）由PA⊥平面ABC得PA⊥BC，結合AC⊥BC得出BC⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面PBC；（II）由BC⊥平面PAC得BC⊥AD，結合AD⊥PC得出AD⊥平面PBC，于是AD⊥PB，結合PB⊥DE得出PB⊥平面ADE．【解答】證明：（I）∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC，又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC．（II）由（I）可知BC⊥平面PAC，AD?平面PAC，∴BC⊥AD，又AD⊥PC，PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又PB?平面PBC，∴AD⊥PB，又PB⊥DE，AD∩DE=D，AD?平面ADE，DE?平面ADE，∴PB⊥平面ADE．2024年年高一數(shù)學下學期期中試卷及答案（三）考試時間：120分鐘試卷滿分：100分一、選擇題1．點(1，－1)到直線x－y＋1＝0的距離是()．A． B． C． D．2．過點(1，0)且與直線x－2y－2＝0平行的直線方程是()．A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝03．下列直線中與直線2x＋y＋1＝0垂直的一條是()．A．2x―y―1＝0 B．x－2y＋1＝0C．x＋2y＋1＝0 D．x＋y－1＝04．已知圓的方程為x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么通過圓心的一條直線方程是()．A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y－1＝05．如圖(1)、(2)、(3)、(4)為四個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這四個幾何體依次分別為()．（4）（4）（3）（1）（2）A．三棱臺、三棱柱、圓錐、圓臺 B．三棱臺、三棱錐、圓錐、圓臺C．三棱柱、四棱錐、圓錐、圓臺 D．三棱柱、三棱臺、圓錐、圓臺6．直線3x＋4y－5＝0與圓2x2＋2y2―4x―2y＋1＝0的位置關系是()．A．相離 B．相切C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心7．過點P(a，5)作圓(x＋2)2＋(y－1)2＝4的切線，切線長為，則a等于()．A．－1 B．－2 C．－3 D．08．圓A:x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0與圓B:x2＋y2―2x―6y＋1＝0的位置關系是()．A．相交 B．相離 C．相切 D．內含9．已知點A(2，3，5)，B(－2，1，3)，則|AB|＝()．A． B．2 C． D．210．如果一個正四面體的體積為9dm3，則其表面積S的值為()．A．18dm2 B．18dm2 C．12dm2 D．12dm211．如圖，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成角余弦值是()．((第11題)A． B． C． D．012．正六棱錐底面邊長為a，體積為a3，則側棱與底面所成的角為()．A．30° B．45° C．60° D．75°13．直角梯形的一個內角為45°，下底長為上底長的，此梯形繞下底所在直線旋轉一周所成的旋轉體表面積為(5＋)，則旋轉體的體積為()．A．2 B． C． D．PABCDE(第14題)14．在棱長均為2的正四棱錐P－ABCD中，點PABCDE(第14題)A．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距離為B．BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的