2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷12.3.2 等腰三角形 同步測控優(yōu)化訓練(含答案)_第1頁
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2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷12.3.2等腰三角形同步測控優(yōu)化訓練(含答案)12.3.2等邊三角形一、課前預習(5分鐘訓練)1.等邊三角形有________條對稱軸,分別是________.2.等邊三角形每邊上的中線、角平分線、高________且________.3.等腰三角形一底角為30°,底邊上的高為9cm,則這個等腰三角形的腰長是________cm,頂角是________.二、課中強化(10分鐘訓練)1.下列條件能判定三角形為等邊三角形的有()①有一個角為60°的三角形;②三個外角都相等的三角形;③一邊上的高與中線重合的三角形;④有一個角為60°的等腰三角形.A.1個B.2個C.3個D.4個2.如圖14-3-8,已知P、Q是△ABC邊BC上的兩點,且PB=PQ=QC=AP=AQ,則∠BAC的度數(shù)為()圖14-3-8圖14-3-9A.150°B.120°C.100°D.90°3.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,則∠A=________.4.如圖14-3-9,△ABC是等邊三角形,AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,則∠BAD=________,∠ADF=________,BD=________,∠EDF=________.5.如圖14-3-10,已知△ABC為等邊三角形,D、E、F分別在邊BC、CA、AB上,且△DEF也是等邊三角形.(1)除已知相等的邊以外,請你猜想還有哪些相等線段,并證明你的猜想是正確的;(2)你所證明相等的線段,可以通過怎樣的變化相互得到?寫出變化過程.圖14-3-10三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.如圖14-3-11,已知等邊△ABC的邊長為6cm,D是AC的中點,E為BC的延長線上一點,且CE=CD,DM⊥BC于M,則ME的長為()A.5cmB.5.5cmC.4.5cmD.3.5cm2.如圖14-3-12,兩個全等的直角三角形中都有一個銳角為30°,且較長的直角邊在同一直線上,則圖中的等腰三角形有()A.4個B.3個C.2個D.1個圖14-3-11圖14-3-12圖14-3-133.若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則這個等腰三角形的底角為()A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°4.如圖14-3-13,△ABP與△CDP是兩個全等的等邊三角形,且PA⊥PD,有下列四個結(jié)論:①∠PAC=15°;②AD∥BC;③直線PC與AB垂直;④四邊形ABCD是軸對稱圖形.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.45.等腰三角形的底角為15°,腰長為2acm,則三角形的面積為________.6.如圖14-3-14,已知OA=10,P是射線ON上的一動點(即P點在射線ON上運動),且∠AON=60°.(1)當OP=_________時,△AOP為等邊三角形,此時∠APO的度數(shù)為________;(2)當△AOP為直角三角形時,OP=________,此時∠APO的度數(shù)為________.圖14-3-14圖14-3-157.如圖14-3-15,P是線段AB上一點,△APC與△BPD是等邊三角形,請你判斷AD與BC相等嗎?并證明你的判斷.8.如圖14-3-16,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于F,交AB于E,求證:BF=FC.圖14-3-169.已知,如圖14-3-17中,等邊△ABC和點P,設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3,△ABC的高為h.圖14-3-17若點P在一邊BC上(如圖①),此時h3=0,可得結(jié)論:h1+h2+h3=h.請直接應用上述信息解決下列問題:當點P在△ABC內(nèi)(如圖②)、點P在△ABC外(如圖③)這兩種情況時,上述結(jié)論是否還成立?若成立,請簡述理由;若不成立,h1、h2、h3與h之間又有怎樣的關(guān)系,請寫出你的猜想,不需證明.參考答案一、課前預習(5分鐘訓練)1.等邊三角形有________條對稱軸,分別是________.答案:三每條邊的垂直平分線〔或每條邊上的高(或中線、頂角平分線)所在的直線〕2.等邊三角形每邊上的中線、角平分線、高________且________.思路解析:等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).答案:重合相等3.等腰三角形一底角為30°,底邊上的高為9cm,則這個等腰三角形的腰長是________cm,頂角是________.思路解析:底邊上的高分等腰三角形為兩個全等的直角三角形,利用30°直角三角形的特殊性質(zhì).答案:18120°二、課中強化(10分鐘訓練)1.下列條件能判定三角形為等邊三角形的有()①有一個角為60°的三角形;②三個外角都相等的三角形;③一邊上的高與中線重合的三角形;④有一個角為60°的等腰三角形.A.1個B.2個C.3個D.4個思路解析:判定等邊三角形的方法:①三條邊都相等的三角形是等邊三角形;②三個角都相等的三角形是等邊三角形;③有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.因此②④是正確的.當每邊上的高與中線都重合時,這個三角形也是等邊三角形.答案:B2.如圖14-3-8,已知P、Q是△ABC邊BC上的兩點,且PB=PQ=QC=AP=AQ,則∠BAC的度數(shù)為()圖14-3-8圖14-3-9A.150°B.120°C.100°D.90°思路解析:已知邊的相等關(guān)系求角的度數(shù),需要用“等邊對等角”性質(zhì),涉及相鄰三角形的內(nèi)角關(guān)系時,可以用“外角性質(zhì)”轉(zhuǎn)換.由PQ=AP=AQ可知△APQ是等邊三角形,每個內(nèi)角為60°,由PB=AP,AQ=QC,得△ABP、△ACQ都是等腰三角形,根據(jù)“外角性質(zhì)”得∠B=∠BAP=∠C=∠CAQ=30°.答案:B3.△ABC中,AB=BC,∠B=∠C,則∠A=________.思路解析:由AB=BC得到∠C=∠A,即△ABC的三個內(nèi)角相等.答案:60°4.如圖14-3-9,△ABC是等邊三角形,AB=5cm,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,則∠BAD=________,∠ADF=________,BD=________,∠EDF=________.思路解析:綜合運用等邊三角形的性質(zhì)和特殊直角三角形性質(zhì).答案:30°60°2.5cm120°5.如圖14-3-10,已知△ABC為等邊三角形,D、E、F分別在邊BC、CA、AB上,且△DEF也是等邊三角形.(1)除已知相等的邊以外,請你猜想還有哪些相等線段,并證明你的猜想是正確的;(2)你所證明相等的線段,可以通過怎樣的變化相互得到?寫出變化過程.圖14-3-10思路分析:兩個等邊三角形公共中心,構(gòu)成了新的三個三角形:△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形.解:(1)AE=BF=CD,AF=BD=CE.理由:如圖:∵△ABC、△DEF都是等邊三角形,∴∠A=∠B=∠C=∠EFD=∠FDE=∠DEF=60°,EF=FD=DE.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠5=∠5+∠6=∠6+∠1=120°.∴∠1=∠3=∠5,∠2=∠4=∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=BF=CD,AF=BD=CE.(2)用旋轉(zhuǎn)與平移相結(jié)合的方法可以相互得到.三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.如圖14-3-11,已知等邊△ABC的邊長為6cm,D是AC的中點,E為BC的延長線上一點,且CE=CD,DM⊥BC于M,則ME的長為()A.5cmB.5.5cmC.4.5cmD.3.5cm思路解析:運用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理,△CDE是等腰三角形,△DME是特殊的直角三角形.答案:C2.如圖14-3-12,兩個全等的直角三角形中都有一個銳角為30°,且較長的直角邊在同一直線上,則圖中的等腰三角形有()A.4個B.3個C.2個D.1個圖14-3-11圖14-3-12圖14-3-13思路解析:觀察圖形,注意60°的角.答案:B3.若等腰三角形一腰上的高等于腰長的一半,則這個等腰三角形的底角為()A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°思路解析:等腰三角形可能是銳角三角形,也可能是鈍角三角形,分兩種情況討論.答案:A4.如圖14-3-13,△ABP與△CDP是兩個全等的等邊三角形,且PA⊥PD,有下列四個結(jié)論:①∠PAC=15°;②AD∥BC;③直線PC與AB垂直;④四邊形ABCD是軸對稱圖形.其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4思路解析:運用相關(guān)的定理逐一判斷,在猜測結(jié)論是正確時,把結(jié)論換成證明題解決.如圖:①△PCA是頂角為150°的等腰三角形,則∠PAC=15°;②△PCB是頂角為150°的等腰三角形,(頂角:360°-60°-60°-90°=150°)∠BCD=15°+60°=75°,∠CDA=45°+60°=105°,所以∠BCD+∠CDA=180°,AD∥BC;③△CAB中,∠BCA=∠CAD=45°-15°=30°,∠BAC=105°-30°=75°,所以∠CBA=180°-30°-75°=75°,△CAB為等腰三角形,而CP平分∠BCA,則直線PC與AB垂直;④四邊形ABCD是以AD的垂直平分線為對稱軸的軸對稱圖形.答案:D5.等腰三角形的底角為15°,腰長為2acm,則三角形的面積為________.思路解析:這是一個鈍角三角形(如圖),作出腰上的高,構(gòu)造出特殊的直角三角形.答案:a2cm26.如圖14-3-14,已知OA=10,P是射線ON上的一動點(即P點在射線ON上運動),且∠AON=60°.圖14-3-14(1)當OP=_________時,△AOP為等邊三角形,此時∠APO的度數(shù)為________;(2)當△AOP為直角三角形時,OP=________,此時∠APO的度數(shù)為________.思路解析:動點P決定了△AOP的形狀,當有兩邊相等時,△AOP為等邊三角形;當有一個角為直角時,△AOP為直角三角形,當直角頂點沒有確定,需要討論.(1)∵∠AON=60°,若△AOP是等邊三角形,則OP=OA=10,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì),∠APO=60°.(2)∵∠AON=60°,若△AOP為直角三角形,則∠A=90°,此時∠APO=30°,∴OP=2·OA=20或者∠APO=90°,此時∠A=30°.∴OP=OA=5.答案:(1)1060°(2)2030°(或590°)7.如圖14-3-15,P是線段AB上一點,△APC與△BPD是等邊三角形,請你判斷AD與BC相等嗎?并證明你的判斷.圖14-3-15思路解析:△CPB可以看作是△APD繞點P順時針旋轉(zhuǎn)60°得到,用全等三角形的判斷證明這兩個三角形全等.答案:AD=BC.證明:∵△APC為等邊三角形,∴AP=PC,∠APC=60°.同理,PD=PB,∠BPD=60°.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴AD=BC.8.如圖14-3-16,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF為AB的垂直平分線,EF交BC于F,交AB于E,求證:BF=FC.圖14-3-16思路解析:線段的一半與特殊的直角三角形的兩邊關(guān)系類似,而∠C=30°,可以通過垂直平分線的性質(zhì)把BF轉(zhuǎn)化成AF,從而可以得到△ACF為直角三角形,下一步只要證明AF=FC即可.證明:連結(jié)AF.∵EF為AB的垂直平分線,∴BF=AF,∠B=∠BAF.∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°,∠AFC=2∠B=60°.∴∠CAF=90°.∴AF=FC.∴BF=FC.9.已知,如圖14-3-17中,等邊△ABC和點P,設點P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3,△ABC的高為h.圖14-3-17若點P在一邊BC上(如圖①),此時h3=0,可得結(jié)論:h1+h2+h3=h.請直接應用上述信息解決下列問題:當點P在△ABC內(nèi)(如圖②)、點P在△ABC外(如圖③)這兩種情況時,上述結(jié)論是否還成立?若成立,請簡述理由;若不成立,h1、h2、h3與h之間又有怎樣的關(guān)系,請寫出你的猜想,不需證明.思路分析:這是一個閱讀理解題,以點P在等邊三角形的邊上為前提,有結(jié)論“h1+h2+h3=h”成立,因此我們要把問題②、③轉(zhuǎn)化成圖①的情景.過點P作NQ∥BC,分別交AB、AC、AM(或它們的延長線)于點N、Q、K(如圖),則△ANQ仍為等邊三角形,對應有類似“h1+h2+h3=h”的結(jié)論.解:當點P在△ABC內(nèi)部時,結(jié)論h1+h2+h3=h仍然成立.如圖,過點P作NQ∥BC,分別交AB、AC、AM于點N、Q、K,則△ANQ仍為等邊三角形,由①可知h1+h2=AK.∵NQ∥BC,KM⊥BC,PF⊥BC∴KM=PF=h3.∴h1+h2+h3=AK+KM=AM=h.當點P在△ABC外部時,h1、h2、h3與h之間的關(guān)系為h1+h2-h(huán)3=h,如圖,證法同上.數(shù)學活動班級姓名座號月日主要內(nèi)容:軸對稱在生活中的運用,如設計藝術(shù)字,剪紙,鏡面反射,倒影等問題一、課堂練習:1.寫出5個是軸對稱的漢字.2.在英文單詞TEACHER中,請寫出是軸對稱的英文字母.3.將0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個印刷體數(shù)字放在鏡子前面,在鏡子中看到的像與本身相同的數(shù)字有()個A.1B.2C.3D.44.如下所示的4組圖形中,左邊圖形與右邊圖形成軸對稱的有()A.1組B.2組C.3組D.4組①④②①④②③5.如圖,平放在正立鏡子前的桌面上的數(shù)碼“21085”在鏡子中的像是()第5題A.B.C.D.6.黑板上寫的不等式在正對著黑板的鏡子中的像是,黑板上寫的不等式對嗎?7.如圖,下列圖形在正對鏡子時,鏡中的像與原來圖形完全一樣的有哪幾個?為什么?8.字符在水中的倒影為.9.請你用彩紙,將如圖所示的圖案剪出來,并展示給同學們看,看誰剪的美麗.

二、課后作業(yè):1.判斷題:(1)小明站在鏡子前,鏡子里的右手是小明的右手.()(2)鏡子里的像與原來的關(guān)系是左變成右,右變成左.()(3)M在水中倒影的像是W.()(4)水中倒影的像與原來的關(guān)系是上變成下,下變成上.()2.在“工、木、口、民、公、晶、離”這幾個漢字中,是軸對稱的有.3.在26個英文字母中,請寫出4個關(guān)于軸對稱的英文字母.4.請在如圖所示的一組圖形符號中找出它們所蘊含的規(guī)律,然后在橫線上的空白處填上恰當?shù)膱D形.5.小明從平面鏡子里看到鏡子對面電子鐘示數(shù)的像是,這時的時刻應是()A.21:10B.10:21C.10:51D.12:016.一個汽車車牌在水中的倒影如圖所示,則確定該車的牌照號碼是.7.如圖所示,請根據(jù)小文在鏡中的像寫出他的運動衣的實際號碼是.第6題第7題第6題第7題(1)(2)(3)(4)8.將一正方形紙片按圖中(1)、(2)的方式依次對折后,再沿(3)中的虛線裁剪,最后將(4)中的(1)(2)(3)(4)BBACD9.你有自己的印章嗎?如果有,請把你的印章上的名字寫出來;如果沒有,你自己設計一個印章,可以用土豆塊或橡皮.

參考答案一、課堂練習:1.寫出5個是軸對稱的漢字王、工、木、口、田.(答案不唯一)2.在英文單詞TEACHER中,請寫出是軸對稱的英文字母TEACH.3.將0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個印刷體數(shù)字放在鏡子前面,在鏡子中看到的像與本身相同的數(shù)字有(B)個A.1B.2C.3D.44.如下所示的4組圖形中,左邊圖形與右邊圖形成軸對稱的有(A)A.1組B.2組C.3組D.4組①④②①④②③5.如圖,平放在正立鏡子前的桌面上的數(shù)碼“21085”在鏡子中的像是(D)第5題A.B.C.D.6.黑板上寫的不等式在正對著黑板的鏡子中的像是,黑板上寫的不等式對嗎?答:黑板上寫的不等式對的,是5>2.7.如圖,下列圖形在正對鏡子時,鏡中的像與原來圖形完全一樣的有哪幾個?為什么?答:圖中(1)、(2)、(3)、(4)正對鏡子與原來的圖形完全一樣,因為這兩個圖形是左右對稱的軸對稱圖形.8.字符在水中的倒影為wp31285qb.9.請你用彩紙,將如圖所示的圖案剪出來,并展示給同學們看,看誰剪的美麗.二、課后作業(yè):1.判斷題:(1)小明站在鏡子前,鏡子里的右手是小明的右手.(×)(2)鏡子里的像與原來的關(guān)系是左變成右,右變成左.(√)(3)M在水中倒影的像是W.(√)(4)水中倒影的像與原來的關(guān)系是上變成下,下變成上.(√)2.在“工、木、口、民、公、晶、離”這幾個漢字中,是軸對稱的有工、木、口、晶.3.在26個英文字母中,請寫出4個關(guān)于軸對稱的英文字母ABCDEHIKMOTUVWXY.4.請在如圖所示的一組圖形符號中找出它們所蘊含的規(guī)律,然后在橫線上的空白處填上恰當?shù)膱D形.5.小明從平面鏡子里看到鏡子對面電子鐘示數(shù)的像是,這時的時刻應是(C)A.21:10B.10:21C.10:51D.12:016.一個汽車車牌在水中的倒影如圖所示,則確定該車的牌照號碼是MT7936.7.如圖所示,請根據(jù)小文在鏡中的像寫出他的運動衣的實際號碼是108.第6題第7題第6題第7題(1)(2)(3)(4)8.將一正方形紙片按圖中(1)、(2)的方式依次對折后,再沿(3)中的虛線裁剪,最后將(4)中的(1)(2)(3)(4)BBACD9.你有自己的印章嗎?如果有,請把你的印章上的名字寫出來;如果沒有,你自己設計一個印章,可以用土豆塊或橡皮. 13.3等腰三角形13.4課題學習最短路徑問題專題一等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合應用1.如圖在△ABC中,BF、CF是角平分線,DE∥BC,分別交AB、AC于點D、E,DE經(jīng)過點F.結(jié)論:①△BDF和△CEF都是等腰三角形;②DE=BD+CE;③△ADE的周長=AB+AC;④BF=CF.其中正確的是___________.(填序號)2.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D、E、F分別在邊AB、BC、AC上,且BE=CF,AD+EC=AB.(1)求證:△DEF是等腰三角形;(2)當∠A=40°時,求∠DEF的度數(shù);(3)△DEF可能是等腰直角三角形嗎?為什么?(4)請你猜想:當∠A為多少度時,∠EDF+∠EFD=120°,并請說明理由.3.如圖,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,BE是∠ABC的平分線,DE⊥BC,垂足為D.(1)請你寫出圖中所有的等腰三角形;(2)請你判斷AD與BE垂直嗎?并說明理由.(3)如果BC=10,求AB+AE的長.專題二等邊三角形的性質(zhì)和判定4.如圖,在等邊△ABC中,AC=9,點O在AC上,且AO=3,點P是AB上一動點,連接OP,以O為圓心,OP長為半徑畫弧交BC于點D,連接PD,如果PO=PD,那么AP的長是__________.5.如圖.在等邊△ABC中,∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O,且OD∥AB,OE∥AC.(1)試判定△ODE的形狀,并說明你的理由;(2)線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系?寫出你的判斷過程.6.如圖,△ABC中,AB=BC=AC=12cm,現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā),沿三角形的邊運動,已知點M的速度為1cm/s,點N的速度為2cm/s.當點N第一次到達B點時,M、N同時停止運動.(1)點M、N運動幾秒后,M、N兩點重合?(2)點M、N運動幾秒后,可得到等邊三角形△AMN?(3)當點M、N在BC邊上運動時,能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN?如存在,請求出此時M、N運動的時間.專題三最短路徑問題7.如圖,A、B兩點分別表示兩幢大樓所在的位置,直線a表示輸水總管道,直線b表示輸煤氣總管道.現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設一個連接點,安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓,要求使鋪設至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短.圖中,點A′是點A關(guān)于直線b的對稱點,A′B分別交b、a于點C、D;點B′是點B關(guān)于直線a的對稱點,B′A分別交b、a于點E、F.則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點依次是()A.F和CB.F和EC.D和CD.D和E8.如圖,現(xiàn)準備在一條公路旁修建一個倉儲基地,分別給、兩個超市配貨,那么這個基地建在什么位置,能使它到兩個超市的距離之和最小?(保留作圖痕跡及簡要說明)狀元筆記【知識要點】1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”);性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).2.等腰三角形的判定方法如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).3.等邊三角形的性質(zhì)和判定方法性質(zhì):等邊三角形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都等于60°.判定方法1:三個角都相等的三角形是等邊三角形.判定方法2:有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.4.直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.【溫馨提示】1.“等邊對等角”和“等角對等邊”只限于在同一個三角形中,在兩個三角形中時,上述結(jié)論不一定成立.2.在應用直角三角形的性質(zhì)時應注意以下兩點:(1)必須是在直角三角形中;(2)必須有一個銳角等于30°.【方法技巧】1.等腰三角形的性質(zhì)是證明兩個角相等的重要方法,當要證明同一個三角形的兩個內(nèi)角相等時,可嘗試用“等邊對等角”.2.等腰三角形的判定是證明線段相等的一個重要方法,當要證明位于同一個三角形的兩條線段相等時,可嘗試用“等角對等邊”.3.利用軸對稱可以解決幾何中的最值問題,本方法的實質(zhì)是依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短和三角形兩邊之和大于第三邊.參考答案1.①②③解析:∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∠EFC=∠FCB.∵BF是∠ABC的平分線,CF是∠ACB的平分線,∴∠FBC=∠DBF,∠FCE=∠FCB.∴∠DBF=∠DFB,∠EFC=∠ECF,∴△DFB,△FEC都是等腰三角形.∴DF=DB,F(xiàn)E=EC,即有DE=DF+FE=DB+EC.∴△ADE的周長=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC.綜上所述,命題①②③正確.2.解:(1)證明:∵AD+EC=AB,∴BD=CE.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵BE=CF,∴△BDE≌△CEF.∴DE=EF,即△DEF是等腰三角形.(2)∵∠A=40°,∴∠B=∠C=(180°-∠A)=(180°-40°)=70°.∵△BDE≌△CEF,∴∠BDE=∠CEF.∴∠DEF=180°-∠BED-∠CEF=180°-∠BED-∠BDE=∠B=70°.(3)不能.∵∠DEF=∠B≠90°,∴△DEF不可能是等腰直角三角形.(4)60°.理由:當∠A=60°時,∠B=∠C=60°,由(2)可得∠DEF=60°.∴∠EDF+∠EFD=120°.3.解:(1)△ABC,△ABD,△ADE,△EDC.(2)AD與BE垂直.證明:∵BE為∠ABC的平分線,∴∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°,BE=BE,∴△ABE沿BE折疊,一定與△DBE重合.∴A、D是對稱點.∴AD⊥BE.(3)∵BE是∠ABC的平分線,DE⊥BC,EA⊥AB,∴AE=DE.在Rt△ABE和Rt△DBE中,∴Rt△ABE≌Rt△DBE(HL).∴AB=BD.又△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,∴∠C=45°.又∵ED⊥BC,∴△DCE為等腰直角三角形.∴DE=DC.即AB+AE=BD+DC=BC=10.4.6解析:連接OD,∵PO=PD,∴OP=DP=OD.∴∠DPO=60°.∵△ABC是等邊三角∵∴AO=PB=3,∴AP=6.5.解:(1)△ODE是等邊三角形,其理由是:∵△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵OD∥AB,OE∥AC,∴∠ODE=∠ABC=60°,∠OED=∠ACB=60°.∴△ODE是等邊三角形.(2)BD=DE=EC.其理由是:∵OB平分∠ABC,且∠ABC=60°,∴∠ABO=∠OBD=30°.∵OD∥AB,∴∠BOD=∠ABO=30°.∴∠DBO=∠DOB.∴DB=DO.同理,EC=EO.∵DE=OD=OE,∴BD=DE=EC.6.解:(1)設點M、N運動x秒后,M、N兩點重合,x×1+12=2x,解得:x=12.(2)設點M、N運動t秒后,可得到等邊三角形△AMN,如圖①,AM=t×1=t,AN=AB-BN=12-2t,∵三角形△AMN是等邊三角形,∴t=12-2t.解得t=4.∴點M、N運動4秒后,可得到等邊三角形△AMN.(3)當點M、N在BC邊上運動時,可以得到以MN為底邊的等腰三角形,由(1)知12秒時M、N兩點重合,恰好在C處,如圖②,假設△AMN是等腰三角形,∴AN=AM.∴∠AMN=∠ANM.∴∠AMC=∠ANB.∵AB=BC=AC,∴△ACB是等邊三角形.∴∠C=∠B.在△ACM和△ABN中,∴△ACM≌△ABN.∴CM=BN.設當點M、N在BC邊上運動時,M、N運動的時間y秒時,△AMN是等腰三角形,∴CM=y-12,NB=36-2y,CM=NB.y-12=36-2y,解得:y=16.故假設成立.∴當點M、N在BC邊上運動時,能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN,此時M、N運動的時間為16秒.7.A解析:由軸對稱--最短路線的要求可知:輸水分管道的連接點是點B關(guān)于a的對稱點B′與A的連線的交點F,煤氣分管道的連接點是點A關(guān)于b的對稱點A′與B的連線的交點C.故選A.8.解:如圖,作點B關(guān)于公路的對稱點B′,連接AB′,交公路于點C,則這個基地建在C處,才能使它到這兩個超市的距離之和最小.13.3等腰三角形1.等腰三角形(1)概念:有兩邊相等的三角形叫等腰三角形,其中相等的兩邊叫腰,另一條邊叫底邊,兩腰的夾角叫做頂角,腰與底邊的夾角叫做底角.(2)理解:①等腰三角形是特殊的三角形,它具備三角形所有的性質(zhì),如內(nèi)角和是180°,兩邊之和大于第三邊等.②等腰三角形是軸對稱圖形,這既是等腰三角形的特點也是研究它的重要方法.破疑點等腰三角形有關(guān)概念的認識(1)對于等腰三角形問題,我們說角或邊時,一般都要指明是頂角還是底角,是底邊還是腰,沒說明則都有可能,要討論解決,這是解決等腰三角形最容易忽視和錯誤的地方;(2)等腰三角形頂角可以是直角,是鈍角或銳角,而底角只能是銳角.【例1】等腰三角形兩邊長分別是5cm和11cm,則它的周長是().A.27cm B.22cmC.27cm或22cm D.無法確定解析:邊長為5cm的邊可能是底,也可能是腰,當5cm的邊是底邊時,腰長為11cm,所以周長為27cm,當5cm的邊是腰時,則底邊長為11cm,因為5+5<11,所以構(gòu)不成三角形,因此只有一種情況,周長為27cm.故選A.答案:A2.等腰三角形性質(zhì)1(1)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).(2)理解:這是等腰三角形的重要性質(zhì),它是證明角相等常用的方法,它的應用可省去三角形全等的證明,因而更簡便.(3)適用條件:必須在同一個三角形中.(4)應用模式:在△ABC中,因為AB=AC,所以∠B=∠C.【例2-1】已知等腰三角形的一個角為40°,則其頂角為().A.40° B.80°C.40°或100° D.100°解析:因為并未說明等腰三角形中40°的角是頂角還是底角,所以需要對角進行分類討論.①當40°的角是底角時,則頂角的度數(shù)為:180°-40°×2=100°;②當40°的角是等腰三角形的頂角時,則頂角的度數(shù)為40°.所以這個等腰三角形的頂角為40°或100°,故選C.答案:C哦,不指明是底角還是頂角時,要分類討論,還要看三角形內(nèi)角和是否是180°啊!【例2-2】如圖,AD、BC相交于O,AB∥CD,OA=OB,求證:∠C=∠D.分析:由等腰三角形的性質(zhì)易得∠A=∠B,由平行線的性質(zhì)可得∠A=∠D,∠B=∠C,等量代換即得∠C=∠D.證明:∵OA=OB,∴∠A=∠B.∵AB∥CD,∴∠A=∠D,∠B=∠C.∴∠C=∠D.3.等腰三角形性質(zhì)2(1)性質(zhì)2:等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.習慣上稱作等腰三角形“三線合一”性質(zhì).(2)含義:這是等腰三角形所特有的性質(zhì),它實際上是一組定理,應用過程中,只要是在等腰三角形前提下,知道是其中“一線”,就可以說明是其他的“兩線”,性質(zhì)中包含有線段相等、角相等、垂直等關(guān)系,所以應用非常廣泛.(3)對稱性:等腰三角形是軸對稱圖形,頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸.(4)應用模式:如圖,在△ABC中,①∵AB=AC,AD⊥BC,∴AD平分∠BAC(或BD=CD);②∵AB=AC,BD=DC,∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC);③∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴BD=DC(或AD⊥BC).解技巧“三線合一”的應用因為題目的證明或計算所求結(jié)果大多都是單一的,所以“三線合一”性質(zhì)實際的應用也是單一的,一般得出一個結(jié)論,因此應用要靈活.【例3】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,交BC于D,BD=5cm,求底邊BC的長.分析:因為是等腰三角形,所以底邊上的高也是底邊上的中線,所以BC=2BD,即可求出BC的長.解:因為AB=AC,AD⊥BC,所以BC=2BD=2×5=10(cm).答:底邊BC的長是10cm.4.等腰三角形的判定(1)判定定理:如果一個三角形有兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).(2)與性質(zhì)的關(guān)系:判定定理與性質(zhì)定理是互逆的,性質(zhì):eq\x(線段相等)→eq\x(角相等);判定:eq\x(角相等)→eq\x(線段相等).(3)理解:性質(zhì)和判定應用的前提都是在同一三角形中,并且不經(jīng)過三角形全等的證明,直接由等邊得等角或由等角得等邊,所以應用起來更簡單、便捷.破疑點等腰三角形的判定方法的理解教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有兩種:一是判定定理;二是定義.另外還有很多方法,如在同一個三角形中,三線中兩線重合,也能說明是等腰三角形.但不常用,一般是通過推理得出角相等或邊相等,再得出是等腰三角形.【例4】如圖,BE平分∠ABC,交AC于E,過E作DE∥BC,交AB于D.試證明△BDE是等腰三角形.證明:∵DE∥BC,∴∠EBC=∠DEB.∵BE平分∠ABC,∴∠DBE=∠EBC.∴∠DBE=∠DEB.∴BD=DE,即△BDE是等腰三角形.5.等邊三角形的概念和性質(zhì)(1)等邊三角形①概念:三邊都相等的三角形是等邊三角形.②認識:它是特殊的等腰三角形,具備等腰三角形的所有性質(zhì).(2)性質(zhì):等邊三角形的三個內(nèi)角都相等,并且每一個角都等于60°.(3)拓展:等邊三角形是軸對稱圖形,它有三條對稱軸,它三邊相等,三個內(nèi)角相等,各邊上的高、中線,對應的角平分線重合,且長度相等.【例5】如圖,點M、N分別在等邊△ABC的邊BC、AC上,且BM=CN,AM、BN交于點Q.求證:∠BQM=60°.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=CA,∠ABC=∠BCA=60°.在△ABM和△BCN中,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB=BC,,∠ABC=∠BCA,,BM=CN,))∴△ABM≌△BCN(SAS).∴∠BAM=∠CBN.∴∠BQM=∠BAM+∠ABN=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°.6.等邊三角形的判定(1)判定定理:①三個角都相等的三角形是等邊三角形;②有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.(2)判定方法:等邊三角形的判定方法有三種:一是定義,另運用兩個定理.(3)拓展理解:對于判定定理①,有時候在一個三角形中只要有兩個角是60°也可判定是等邊三角形.解技巧巧用條件證明等邊三角形在證明三角形是等邊三角形時,根據(jù)所給已知條件確定選擇用哪個方法證明.若已知三邊關(guān)系,一般選定義法;若已知三角關(guān)系,一般選判定定理①;若已知該三角形是等腰三角形,則選判定定理②.【例6】如圖,等邊△ABC中,點P在△ABC內(nèi),點Q在△ABC外,且∠ABP=∠ACQ,BP=CQ,問△APQ是什么形狀的三角形?試說明你的結(jié)論.解:△APQ是等邊三角形.理由:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.在△ABP和△ACQ中,eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB=AC,,∠ABP=∠ACQ,,BP=CQ,))∴△ABP≌△ACQ(SAS).∴AP=AQ,∠BAP=∠CAQ.∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP=∠BAC=60°.∴△APQ是等邊三角形.7.含30°角的直角三角形的性質(zhì)(1)性質(zhì):在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.(2)應用模式:在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠B=30°,∴AC=eq\f(1,2)AB.(3)理解:①該性質(zhì)是含有30°角的特殊的直角三角形的性質(zhì),一般的直角三角形沒有這個性質(zhì),更不能應用;②這個性質(zhì)主要應用于計算或證明線段的倍數(shù)關(guān)系;③該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形,所以它與等邊三角形聯(lián)系密切.解技巧巧用含30°角的直角三角形的性質(zhì)在有些題目中,若給出的角是15°角時,往往運用一個外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和將15°的角轉(zhuǎn)化為30°的角后,再利用這個性質(zhì)解決問題.【例7】如圖,∠C=90°,D是CA的延長線上一點,∠D=15°,且AD=AB,則BC=__________AD.解析:∵AD=AB,∴∠ABD=∠D=15°.∴∠BAC=30°.在Rt△ABC中,∠C=90°,∴BC=eq\f(1,2)AB=eq\f(1,2)AD.答案:eq\f(1,2)8.等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合應用類似于全等三角形的性質(zhì)和判定的關(guān)系,等腰三角形的性質(zhì)和判定很多時候也是綜合運用的.一方面等腰三角形是特殊的三角形,由等腰三角形性質(zhì),可以知道許多相等的線段,相等的角,還能知道垂直關(guān)系,成倍數(shù)關(guān)系的線段或角,所以有時通過判定是等腰三角形來證明角相等、線段相等或垂直關(guān)系等;另一方面通過等腰三角形性質(zhì)和判定的運用,直接由線段相等得到角相等,由角相等到線段相等,省去了全等的證明,簡化了過程,因此很多時候,等腰三角形性質(zhì)和判定的應用更廣泛.注意:等腰三角形性質(zhì)和判定的應用前提是在同一個三角形中.【例8】如圖1,在△ABC中,∠B=2∠C,AD是BC邊上的高,求證:CD=AB+BD. 圖1 圖2證明:如圖2,在DC上截取DE=BD,連接AE,又∵AD是BC邊上的高線,∴AD垂直平分BE.∴AB=AE,∴∠B=∠AED.∵∠AED=∠C+∠CAE,∠B=2∠C,∴∠C+∠CAE=2∠C.∴∠CAE=∠C.∴AE=CE.∴AB=CE.∴CD=AB+BD.9.巧用“三線合一”性質(zhì)解題(1)性質(zhì):等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合,簡稱“三線合一”性質(zhì);(2)應用:它是等腰三角形特有的性質(zhì),這條線段是中線、高,也是角平分線,它包含有線段相等、角相等、垂直等關(guān)系,涉及量多,應用廣泛,是證明線段相等、線段的倍數(shù)關(guān)系、角相等、角的倍數(shù)關(guān)系、垂直等常用的方法.構(gòu)造“三線合一”解決等腰三角形問題在等腰三角形問題中,最常添加的輔助線就是作底邊上的高,或作頂角的平分線,或作底邊上的中線,這樣就可以由其中一線得到其他兩線,從而知道更多的條件,以便更好地完成計算、證明.【例9】已知:如圖a所示,△ABC中,AB=AC,BF是AC邊上的高,求證:∠FBC=eq\f(1,2)∠BAC. 圖a 圖b證明:如圖b,過A點作BC的垂線,垂足為E,則∠CAE+∠C=90°,∵AB=AC,∴AE平分∠CAB,即∠CAE=eq\f(1,2)∠BAC.∵BF是AC邊上的高,∴∠FBC+∠C=90°.∴∠CAE=∠FBC.∴∠FBC=eq\f(1,2)∠BAC.10.等邊三角形的應用等邊三角形也稱正三角形,它是最特殊的三角形,它除了三邊相等,三個內(nèi)角相等,且每個角都是60°外,還具有很多特殊的性質(zhì):如,證明兩個等邊三角形全等只要有一邊相等即可;同一個等邊三角形的高、中線、角平分線都相等,并且任何一條高(或中線、頂角的平分線)將等邊三角形都分成全等的兩個含有30°角的直角三角形;它的高和邊長也存在著特殊的比例關(guān)系,因此已知是等邊三角形,就可以知道其中的許多等量關(guān)系.等邊三角形的判定也具有自己獨特的特點,可以由普通三角形滿足條件直接判定,也可以在等腰三角形的基礎(chǔ)上進行判定.【例10】(學科內(nèi)綜合題)如下圖所示,在等邊三角形ABC中,∠B、∠C的角平分線交于點O,OB和OC的垂直平分線分別交BC于E、F,試用你所學的知識說明BE=EF=FC的道理.證明:如下圖,分別連接OE、OF,∵E、F分別是OB、OC垂直平分線上的點,∴OE=BE,CF=OF.∴∠OBE=∠BOE.∵△ABC為等邊三角形,∴∠ABC=60°.∵OB平分∠ABC,∴∠OBE=eq\f(1,2)∠ABC=eq\f(1,2)×60°=30°.∴∠OEF=∠OB

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