2024北京中關(guān)村中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)2024北京中關(guān)村中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)一、單選題：本題共14小題，每小題4分，共56分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若，，則＝（）A． B． C．5 D．22．已知，，如果與為共線向量，則x＝（）A．1 B． C． D．3．若長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別是1，2，3，則它的外接球的表面積（）A．28π B．14π C．56π D．32π4．已知m，n表示兩條不同直線，α表示平面，下列說(shuō)法正確的是（）A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m⊥α，n?α，則m⊥n C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α D．若m∥α，m⊥n，則n⊥α5．三棱錐O﹣ABC中，M，N分別是AB，OC的中點(diǎn)，且＝，＝，＝，用，，表示，則等于（）A．（﹣++） B．（+﹣） C．（﹣+） D．（﹣﹣+）6．已知A（2，﹣4，1），B（2，﹣1，4），C（1，﹣3，1），則與的夾角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°7．已知兩條不同直線a，b和平面α，若a⊥α，則“a∥b”是“b⊥α”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知A，B，C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為（）A．64π B．48π C．36π D．32π9．如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（）A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5）10．在正三棱錐P﹣ABC中，AB＝3，，則直線PA與平面ABC所成角的大小為（）A．30° B．45° C．60° D．75°11．將邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起，折起后點(diǎn)D記為D'．若BD'＝1，則四面體ABCD'的體積為（）A． B． C． D．12．《九章算術(shù)?商功》：“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑．陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也．合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以基，其形露矣．”文中“陽(yáng)馬”是底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐．在陽(yáng)馬P﹣ABCD中，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝1，AB＝AD＝2，則點(diǎn)A到平面PBD的距離為（）A． B． C． D．13．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，AA1＝2，N為棱A1B1上的中點(diǎn)，M為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N作平面ABM的垂線段，垂足為點(diǎn)O，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為（）A． B． C． D．π14．蜜蜂被譽(yù)為“天才的建筑師”．蜂巢結(jié)構(gòu)是一種在一定條件下建筑用材面積最小的結(jié)構(gòu)．如圖是一個(gè)蜂房的立體模型，底面ABCDEF是正六邊形棱AG，BH，CI，DJ，EK，F(xiàn)L均垂直于底面ABCDEF，上頂由三個(gè)全等的菱形PGHI，PIJK，PKLG構(gòu)成．設(shè)BC＝1，∠GPI＝∠IPK＝∠KPG＝θ，則上頂?shù)拿娣e為（）A．3sinθ B． C． D．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。15．（5分）已知三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（3，3，1），B（1，1，5），C（0，1，0），則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為；AB邊上的中線長(zhǎng)為．16．（5分）已知一個(gè)圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，則此圓錐的表面積為．17．（5分）如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，AB＝2，則點(diǎn)D1到點(diǎn)B的距離等于；點(diǎn)D1到直線AC的距離等于．18．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)E為CC1的中點(diǎn)，求直線AD1與直線BE所成角的余弦值為．19．（5分）已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為C1D1，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，且DB1⊥平面PMN，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡（包含M，N）所圍成圖形面積為．20．（5分）如圖，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直．P為棱AB上的動(dòng)點(diǎn)，DQ⊥平面EPC，Q為垂足．給出下列四個(gè)結(jié)論：①EQ＝CQ；②線段DQ的長(zhǎng)隨線段BP的長(zhǎng)減小而增大；③存在點(diǎn)P，使得PQ∥平面EDA；④存在點(diǎn)P，使得．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題：本題共5小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。21．（10分）設(shè)x，y∈R，向量，，＝（z，﹣4，2），且，．（1）求；（2）求向量與夾角的余弦值．22．（12分）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，△PBC為等邊三角形，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，AC⊥PB，平面PBC⊥平面ABC．（1）求證：直線AC⊥平面PBC；（2）已知E為PO的中點(diǎn)，F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn)，AF＝λAB．若EF⊥BC，求λ的值．23．（14分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，BD1和B1D交于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：EF∥平面B1BCC1；（Ⅱ）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（i）平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值；（ii）點(diǎn)A到平面CEF的距離．條件①：CE⊥B1D；條件②：B1D與平面ADD1A1所成角為．注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．24．（14分）已知△ABC中，AB⊥BC，BC＝6，AB＝3，分別取邊AB，AC的點(diǎn)D，E，使得AD＝2，DE∥BC，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，設(shè)點(diǎn)M為棱A1D的中點(diǎn)，點(diǎn)P為A1B的中點(diǎn)，棱BC上的點(diǎn)N滿足BN＝2NC．（1）求證：MN∥平面A1EC；（2）試探究在△ADE的折起過(guò)程中，是否存在一個(gè)位置，使得三棱錐N﹣PCE的體積為，若存在，求出二面角A1﹣DE﹣B的大小，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．（14分）已知集合Rn＝{（x1，x2，…，xn）|xi∈R，i＝1，2，…，n}（n≥1），定義Rn上兩點(diǎn)A（a1，a2，?，an），B（b1，b2…，bn）的距離．（1）當(dāng)n＝2時(shí)，以下命題正確的有（不需證明）：①在△ABC中，若d（A，B）＝d（A，C），則∠B＝∠C；②若A（1，2），B（4，6），則d（A，B）＝7；③在△ABC中，若∠C＝90°，則[d（A，C）]2+[d（C，B）]2＝[d（A，B）]2；（2）當(dāng)n＝2時(shí)，證明R2中任意三點(diǎn)A，B，C之間的距離滿足d（A，C）+d（C，B）≥d（A，B）；（3）當(dāng)n＝3時(shí)，設(shè)A（0，0，0），B（4，4，4），P（x，y，z），其中x，y，z∈Z，d（A，B）＝d（A，P）+d（P，B）．求滿足條件的P點(diǎn)的個(gè)數(shù)n，并證明從這個(gè)點(diǎn)中任取11個(gè)點(diǎn)，其中必存在4個(gè)點(diǎn)，它們共面或以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的三棱錐體積不大于．

參考答案一、單選題：本題共14小題，每小題4分，共56分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算求出向量的模．【解答】解：若，，所以，故．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的線性運(yùn)算，向量的模，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．2．【分析】直接利用向量共線的充要條件求出x的值．【解答】解：由于，，且，故，解得x＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量共線的充要條件，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．3．【分析】根據(jù)題意可得該長(zhǎng)方體的外接球的直徑2R為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，再根據(jù)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線公式及球的表面積公式，即可求解．【解答】解：∵長(zhǎng)方體的三條棱長(zhǎng)分別是1，2，3，∴該長(zhǎng)方體的外接球的直徑2R為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，∴（2R）2＝12+22+32＝14，∴該長(zhǎng)方體的外接球的表面積為4πR2＝14π．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查長(zhǎng)方體的外接球問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題．4．【分析】A．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；B．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；C．運(yùn)用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運(yùn)用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷．【解答】解：A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯(cuò)；B．若m⊥α，n?α，則m⊥n，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯(cuò)；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯(cuò)．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟這些定理是迅速解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型．5．【分析】利用向量的平行四邊形法則、三角形法則可得：＝，＝，＝，＝，＝，代入化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：∵＝，＝，＝，＝，＝，∴＝＝＝﹣+，∴＝+，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的平行四邊形法則、三角形法則，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．6．【分析】根據(jù)空間向量的夾角公式即可求解．【解答】解：由A（2，﹣4，1），B（2，﹣1，4），C（1，﹣3，1），可得，，則＝，又，所以與的夾角為60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用空間向量求夾角，屬基礎(chǔ)題．7．【分析】由線面垂直的性質(zhì)可證得“a∥b”是“b⊥α”的充要條件．【解答】解：因?yàn)閍⊥α，當(dāng)a∥b，可得b⊥α，此時(shí)“a∥b”是“b⊥α”的充分條件，當(dāng)a⊥α，b⊥α，a⊥α，可得a∥b，此時(shí)“a∥b”是“b⊥α”的必要條件，綜上所述：“a∥b”是“b⊥α”的充要條件．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充要條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8．【分析】畫(huà)出圖形，利用已知條件求出OO1，然后求解球的半徑，即可求解球的表面積．【解答】解：由題意可知圖形如圖：⊙O1的面積為4π，可得O1A＝2，則AO1＝ABsin60°，，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝2，外接球的半徑為：R＝＝4，球O的表面積：4×π×42＝64π．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接體問(wèn)題，球的表面積的求法，求解球的半徑是解題的關(guān)鍵．9．【分析】該平面過(guò)圓柱上、下底中心時(shí)截面圖形為（1），不過(guò)上、下底的中心時(shí)截面圖形為（5）．【解答】解：當(dāng)該平面過(guò)圓柱上、下底中心時(shí)截面圖形為（1）；當(dāng)不過(guò)上、下底的中心時(shí)，截面圖形為（5）．所以只有（1）、（5）正確．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓柱體的截面圖形應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．10．【分析】由題意畫(huà)出圖形，取底面三角形的中心，可得直線PA與平面ABC所成角，求解三角形得答案．【解答】解：如圖，取底面正三角形ABC的中心O，連接PO，則PO⊥底面ABC，則∠PAO為直線PA與平面ABC所成角，連接AO并延長(zhǎng)，交BC于D，可得，，在Rt△POA中，有，即∠PAO＝60°．∴直線PA與平面ABC所成角的大小為60°．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，是中檔題．11．【分析】設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，則易得D′O⊥平面ABC，再根據(jù)三棱錐的體積公式，即可求解．【解答】解：設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)為O，則可得折疊后的二面角D′﹣AC﹣B的平面角為∠D′OB，又BD'＝1，D′O＝BO＝，∴D′O2+BO2＝BD′2，∴∠D′OB＝90°，∴D′O⊥平面ABC，∴四面體ABCD'的體積為＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查四面體的體積的求解，屬基礎(chǔ)題．12．【分析】設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為h，利用，即可求解．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A到平面PBD的距離為h，則四棱錐的體積為：，∴．則．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等體積法求距離，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)線面垂直及圓的性質(zhì)判斷點(diǎn)O的軌跡為圓的一部分，再由弧長(zhǎng)公式能求出結(jié)果．【解答】解：取AB中點(diǎn)P，連接PC，C1N，如圖，∵PC⊥AB，PN⊥AB，且PC∩PN＝P，PC?平面PCC1N，PN?平面PCC1N，∴AB⊥平面PCC1N，又AB?平面ABM，∴平面ABM⊥平面PCC1N，過(guò)N作NO⊥PM，又平面ABM∩平面PCC1N＝PM，NO?平面PCC1N，∴NO⊥平面ABM，當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，O點(diǎn)是以PN為直徑的圓Q（部分），當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)C1時(shí)，O點(diǎn)到最高點(diǎn)，此時(shí)PC＝2，CC1＝2，∠CPC1＝，∴∠OPQ＝，∴弧長(zhǎng)l＝＝，∴當(dāng)點(diǎn)M從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C1時(shí)，點(diǎn)O的軌跡長(zhǎng)度為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)、點(diǎn)的軌跡、圓的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．14．【分析】由三角函數(shù)的定義，結(jié)合菱形的面積公式求解．【解答】解：因?yàn)锳BCDEF是正六邊形，又BC＝1，則，即，因?yàn)樗倪呅蜳GHI為菱形，連接PH，GI，則PH⊥GI，又GI∥AC且GI＝AC，則，設(shè)GI∩PH＝O，則，，則，則，則菱形PGHI的面積為，則上頂菱形的面積為．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的定義，重點(diǎn)考查了菱形的面積公式，屬中檔題．二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。15．【分析】直接利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間的距離公式求出結(jié)果．【解答】解：由于三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（3，3，1），B（1，1，5），C（0，1，0），則AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為D（），即D（2，2，3）．由于C（0，1，0），D（2，2，3），故|CD|＝．故答案為：D（2，2，3）；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：中點(diǎn)坐標(biāo)公式，兩點(diǎn)間的距離公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)、圓錐的表面積計(jì)算公式即可得出．【解答】解：一個(gè)圓錐的軸截面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，可得：底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)為2．∴此圓錐的表面積＝π×12+＝3π．故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓錐的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17．【分析】利用勾股定理，求得點(diǎn)D1到點(diǎn)B的距離D1B；結(jié)合勾股定理與等面積法，可得點(diǎn)D1到直線AC的距離．【解答】解：由勾股定理知，D1B＝＝＝，所以點(diǎn)D1到點(diǎn)B的距離等于，由勾股定理知，AD1＝，CD1＝，AC＝，設(shè)點(diǎn)D1到直線AC的距離為d，在△ACD1中，＝AD1?，所以d＝×，解得d＝，所以點(diǎn)D1到直線AC的距離為．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)到線的距離，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，分別求出直線AD1與直線BE的方向向量，的表達(dá)式，進(jìn)而求出這兩個(gè)向量的夾角的余弦值，再求出這兩條直線所成角的余弦值．【解答】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)椋?，＝+＝+，?＝（+）?（+）＝+2+2+?＝×4+4＝6，則||＝＝＝＝2，|＝＝＝＝，所以cos＜，＞＝＝＝，設(shè)直線AD1與直線BE所成角為θ，所以cosθ＝|cos＜，＞|＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查用空間向量的方法求兩條直線所成角的余弦值的求法，屬于中檔題．19．【分析】先證明平面EFGNHM∥平面A1BC1，根據(jù)B1D⊥平面A1BC1，得出B1D⊥∥平面EFGNHM，進(jìn)而確定P的軌跡為正六邊形，求解即可．【解答】解：如圖，分別取A1D1，A1A，AB，CC1，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，連接EF，F(xiàn)G，GC，CH，A1B，BC1，A1C1，則MH∥A1B，又MH?平面A1BC1，A1B?平面A1BC1，所以MH∥平面A1BC1，同理HN∥平面A1BC1，又MH∩HN＝N，MH∩，HN?平面EFGNHM，所以平面EFGNHM∥平面A1BC1，在正方體中，易知B1D⊥平面A1BC1，所以B1D⊥∥平面EFGNHM，又點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，故P點(diǎn)的軌跡為正六邊形EFGNHM，因?yàn)檎襟wABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，即AB＝2，所以，ME＝，故正六邊形EFGNHM的面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題．20．【分析】根據(jù)給定條件，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面EPC的法向量，進(jìn)而求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，再逐一計(jì)算判斷各個(gè)命題即得答案．【解答】解：由題意，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令A(yù)B＝1，設(shè)AP＝t（0≤t≤1），則D（0，0，0），C（0，1，0），E（0，0，1），P（1，t，0），，設(shè)平面EPC的一個(gè)法向量為，則有，取y＝1，可得，由DQ⊥平面EPC于Q，得，即Q（（1﹣t）λ，λ，λ），則，顯然，解得，于是，對(duì)于①，，故①正確；對(duì)于②，在[0，1]上單調(diào)遞增，當(dāng)線段BP的長(zhǎng)減小時(shí)，t增大，此時(shí)|DQ|隨之增大，故②正確；對(duì)于③，平面EDA的一個(gè)法向量為，而，由，得λ＝t，即，整理得t3﹣2t2+3t﹣1＝0，令f（t）＝t3﹣2t2+3t﹣1，t∈[0，1]，顯然函數(shù)f（t）在[0，1]上的圖象連續(xù)不斷，而f（0）＝﹣1＜0，f（1）＝1＞0，因此存在t∈（0，1），使得f（t）＝0，此時(shí)PQ?平面EDA，因此存在點(diǎn)P，使得PQ∥平面EDA，故③正確；對(duì)于④，A（1，0，0），B（1，1，0），則，，若，顯然Δ＝（3﹣2t）2﹣4（t2﹣2t+3）＝﹣4t﹣3＜0，即不存在t∈[0，1]，使得，④錯(cuò)誤；所以所有正確結(jié)論的序號(hào)是①②③．故答案為：①②③．【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體中點(diǎn)的位置問(wèn)題，考查利用空間向量判斷空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，屬中檔題．三、解答題：本題共5小題，共64分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。21．【分析】（1）首先利用向量的共線和向量的垂直求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)一步求出向量的模；（2）利用向量的線性運(yùn)算和向量的夾角運(yùn)算求出結(jié)果．【解答】解：（1）向量，，＝（z，﹣4，2），且，故1+y+1＝0，解得y＝﹣2．由于，所以，解得z＝2．故，，所以，故＝．（2）由于故，，故，故＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的垂直和共線的充要條件，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的夾角運(yùn)算，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．22．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理，即可證明；（2）由題意可證得OF⊥BC，進(jìn)而得AC∥OF，從而得出F為AB中點(diǎn)，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：因?yàn)椤鱌BC為等邊三角形，點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，所以PO⊥BC，又平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC＝BC，PO?平面PBC，所以PO⊥平面ABC，又AC?平面ABC，所以PO⊥AC，又AC⊥PB，PO∩PB＝P，PO，PB?平面PBC，所以AC⊥平面PBC；（2）解：由（1）知，PO⊥BC，又EF⊥BC，PO∩EF＝E，PO，EF?平面EOF，所以BC⊥平面EOF，又OF?平面EOF，所以O(shè)F⊥BC，又AC⊥平面PBC，則AC⊥BC，所以AC∥OF，由O為BC中點(diǎn)，可得F為AB中點(diǎn)，由AF＝λAB，可得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定及應(yīng)用，考查面面垂直的性質(zhì)，屬中檔題．23．【分析】（Ⅰ）連接BC1，B1C，相交于點(diǎn)G，連接EG，先證四邊形BFEG是平行四邊形，可得EF∥BG，再由線面平行的判定定理，即可得證；（Ⅱ）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝t（t＞0），根據(jù)所選條件求出t的值，（i）利用向量法求平面與平面所成角；（ii）利用向量法求點(diǎn)到平面的距離．【解答】（Ⅰ）證明：連接BC1，B1C，相交于點(diǎn)G，連接EG，則G是BC1的中點(diǎn)，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，點(diǎn)E是BD1的中點(diǎn)，所以EG∥C1D1，EG＝C1D1，而F是AB的中點(diǎn)，且AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以BF∥EG，BF＝EG，所以四邊形BFEG是平行四邊形，所以EF∥BG，又EF?平面B1BCC1，BG?B1BCC1，所以EF∥平面B1BCC1．（Ⅱ）解：選擇條件①：CE⊥B1D，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝t（t＞0），則D（0，0，0），C（0，t，0），E（1，，1），B1（2，t，2），所以＝（1，﹣，1），＝（2，t，2），若CE⊥B1D，則?＝2﹣+2＝0，解得t＝2，（i）C（0，2，0），E（1，，1），F(xiàn)（2，，0），B（2，2，0），所以＝（1，﹣，1），＝（2，﹣，0），＝（2，0，0），設(shè)平面CEF的法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，則y＝，z＝1，所以＝（1，，1），設(shè)平面BCE的法向量為＝（a，b，c），則，令b＝1，則a＝0，c＝，所以＝（0，1，），所以cos＜，＞＝＝＝，故平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為．（ii）＝＝（0，，0），由（i）平面CEF的法向量為＝（1，，1），所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為＝＝1．選擇條件②：B1D與平面ADD1A1所成角為，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC＝t（t＞0），則D（0，0，0），B1（2，t，2），所以＝（2，t，2），易知平面ADD1A1的一個(gè)法向量為＝（0，1，0），因?yàn)锽1D與平面ADD1A1所成角為，所以|cos＜，＞|＝＝＝sin＝，解得t＝2，（i）C（0，2，0），E（1，，1），F(xiàn)（2，，0），B（2，2，0），所以＝（1，﹣，1），＝（2，﹣，0），＝（2，0，0），設(shè)平面CEF的法向量為＝（x，y，z），則，令x＝1，則y＝，z＝1，所以＝（1，，1），設(shè)平面BCE的法向量為＝（a，b，c），則，令b＝1，則a＝0，c＝，所以＝（0，1，），所以cos＜，＞＝＝＝，故平面CEF與平面BCE的夾角的余弦值為．（ii）＝＝（0，，0），由（i）平面CEF的法向量為＝（1，，1），所以點(diǎn)A到平面CEF的距離為＝＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何的綜合應(yīng)用，熟練掌握線面平行的判定定理，利用向量法求平面與平面所成角，點(diǎn)到平面的距離是解題的關(guān)鍵，考查空間立體感，邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．24．【分析】（1）取DE的中點(diǎn)G，連接MG，NG，證明線面平行，再由平面與平面平行的判定可得面面平行，進(jìn)一步得到MN∥平面A1EC；（2）利用等體積法求出滿足條件時(shí)M到底面的距離，進(jìn)一步求得二面角A1﹣DE﹣B的大?。窘獯稹浚?）證明：∵BC＝6，BN＝2NC，∴BN＝4，NC＝2，∵AB⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AD，DE⊥BD，則DE⊥A1D，又AB＝3，AD＝2，可得DE＝4，取DE的中點(diǎn)G，連接MG，NG，又∵M(jìn)為A1D的中點(diǎn)，∴MG∥A1E，∵GE∥NC，且GE＝NC，∴四邊形NCEG為平行四邊形，可得NG∥EC，而MG、NG?平面MGN，且MG∩NG＝G，∴平面MGN∥平面A1EC，則MN∥平面A1EC；（2）解：在△ADE的折起過(guò)程中，存在一個(gè)位置，滿足二面角A1﹣DE﹣B的大小為或，使得三棱錐N﹣PCE的體積為．解析如下：在△ADE的折起過(guò)程中，PM∥BD，則PM∥平面BCED，可得P到平面NCE的距離等于M到平面NCE的距離，在△NCE中，由已知可得NE＝BD＝1，NC＝2，且EN⊥NC，∴．要使三棱錐N﹣PCE的體積為，即使得三棱錐P﹣NCE的體積為，設(shè)M到平面NEC的距離為h，則＝，即h＝．此時(shí)A1D與底面所成角為，得到二面角A1﹣DE﹣B的大小為∠A1DB（或其補(bǔ)角）等于或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查滿足二面角的位置的判斷與求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．25．【分析】（1）①由新定義寫(xiě)出等式d（A，B）＝d（A，C）的表達(dá)式，觀察有無(wú)|AB|＝|AC|；②根據(jù)新定義直接計(jì)算；③根據(jù)新定義，寫(xiě)出等式兩邊的表達(dá)式，觀察它們是否相同，即可判斷；（2）由新定義，寫(xiě)出不等式兩邊的表達(dá)式，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)證明；（3）根據(jù)新定義，及絕對(duì)值的性質(zhì)得P點(diǎn)是以AB為對(duì)角線的正方體的表面和內(nèi)部的整數(shù)點(diǎn)，共125個(gè)，把它們分布在五個(gè)平面（z＝0，1，2，3，4）上，這五個(gè)面一個(gè)面取3個(gè)點(diǎn)，相鄰面上取一個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)構(gòu)成三棱錐（能構(gòu)成時(shí)），棱錐的體積不超過(guò)，然后任取11點(diǎn)中如果沒(méi)有4點(diǎn)共面，但至少有一個(gè)平面內(nèi)有3個(gè)點(diǎn)．根據(jù)這3點(diǎn)所在平面分類(lèi)討論可得．【解答】解：（1）當(dāng)n＝2時(shí)，②若A（1，2），B（4，6），則d（A，B）＝|4﹣1|+|6﹣2|＝7，②正確；③在△ABC中，若∠C＝90°，