北京市豐臺區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1北京市豐臺區(qū)2024屆高三上學(xué)期期末練習(xí)數(shù)學(xué)試卷第一部分選擇題一、選擇題1已知集合，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋?，，所以?故選：A.2.若，則（）A. B.1C. D.2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以，故選：B．3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.120C. D.60【答案】D【解析】的通項(xiàng)為：，令可得：的系數(shù)為.故選：D.4.在中國文化中，竹子被用來象征高潔、堅韌、不屈的品質(zhì)．竹子在中國的歷史可以追溯到遠(yuǎn)古時代，早在新石器時代晚期，人類就已經(jīng)開始使用竹子了．竹子可以用來加工成日用品，比如竹簡、竹簽、竹扇、竹筐、竹筒等．現(xiàn)有某飲料廠共研發(fā)了九種容積不同的竹筒用來罐裝飲料，這九種竹筒的容積（單位：L）依次成等差數(shù)列，若，，則（）A.5.4 B.6.3C.7.2 D.13.5【答案】B【解析】∵依次成等差數(shù)列，，∴，即，又，則.故選：B.5.已知直線與圓相切，則（）A B.C. D.【答案】B【解析】直線即，由已知直線與圓相切可得，圓圓心到的距離等于半徑1，即，解得，故選：B．6.如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設(shè)，令，且，解得，，令，則，則在上單調(diào)遞增，，則，則當(dāng)時，，，則滿足，即，當(dāng)時，，且單調(diào)遞減，，且單調(diào)遞增，則時，，即；時，，即；綜上所述：的解集為，故選；C.7.在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體．小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判斷正確的個數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4【答案】C【解析】對于①中，因?yàn)槎娼菫橹倍娼牵傻闷矫嫫矫?，又因?yàn)槠矫嫫矫妫?，且平面，所以平面，所以①正確；對于②中，由平面，且平面，可得，又因?yàn)?，且，平面，所以平面，所以②正確；對于③中，由平面，且平面，所以平面平面，所以③正確；對于④，中，因?yàn)槠矫妫移矫?，可得平面平面，若平面平面，且平面平面，可得平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)榕c不垂直，所以矛盾，所以平面和平面不垂直，所以D錯誤.故選：C.8.已知是兩個不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)，且時，，充分性滿足；當(dāng)時，，當(dāng)，時，是可以大于零的，即當(dāng)時，可能有，，必要性不滿足，故“，且”是“”的充分而不必要條件.故選：A.9.在八張亞運(yùn)會紀(jì)念卡中，四張印有吉祥物宸宸，另外四張印有蓮蓮．現(xiàn)將這八張紀(jì)念卡平均分配給4個人，則不同的分配方案種數(shù)為（）A.18 B.19C.31 D.37【答案】B【解析】設(shè)吉祥物宸宸記為，蓮蓮記為①每人得到一張，一張，共有1種分法；②將這八張紀(jì)念卡分為四組，再分給四個人，則有種分法③將這八張紀(jì)念卡分為四組，再分給四個人，則有種分法共有：種.故選：B.10.已知函數(shù)，當(dāng)時，記函數(shù)的最大值為，則的最小值為（）A.3.5 B.4C.4.5 D.5【答案】C【解析】易判斷函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)，上的最大值.當(dāng)時，，二次函數(shù)的對稱軸為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以在上遞增，在上也是遞增，所以；當(dāng)時，，因?yàn)?，所以在上遞增，在上遞減，在上遞增，所以或，若，則；若，則;當(dāng)時，，（因?yàn)椋院瘮?shù)在上遞增，在上遞減，所以.綜上可知：的最小值為.故選：C.第二部分非選擇題二、填空題11.雙曲線的漸近線方程________．【答案】【解析】∵雙曲線的a=2，b=1，焦點(diǎn)在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故答案為y=±.12.已知，則________．【答案】0【解析】因?yàn)椋?，所?故答案為：0.13.矩形中，，，且分為的中點(diǎn)，則___．【答案】【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，，所以，.故答案為：.14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為．若記點(diǎn)到直線的距離為，則的極大值點(diǎn)為___，最大值為___．【答案】或0.5【解析】由題意，，由，得，∴當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，則的極大值點(diǎn)為或，∵，，∴當(dāng)，即或時，取最大值為．故答案為：或；.15.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的和為4．記動點(diǎn)的軌跡為曲線，給出下列四個結(jié)論：①曲線過原點(diǎn)；②曲線是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；③曲線恰好經(jīng)過4個整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）；④曲線圍成區(qū)域的面積大于．則所有正確結(jié)論的序號是______．【答案】①③④【解析】設(shè)，則，到直線l的距離，由題意可知，，，，當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，，.可作圖如下：由圖可知：曲線W過原點(diǎn)，且是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故①正確，②錯誤；曲線經(jīng)過4個點(diǎn)，沒有其它整點(diǎn)，故③正確；由，，，四邊形的面積，，，多邊形的面積曲線W圍成區(qū)域的面積大于，故④正確.故答案為：①③④.三、解答題16.在△中，，．（1）求的大?。唬?）在下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，并求出邊上的中線的長度．條件①：；條件②：△的周長為；條件③：△的面積為．注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．解：（1）在中，因?yàn)?，又，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）選擇條件②：因?yàn)橹?，，，，所以，即為等腰三角形，其中．因?yàn)?，所以．所以．設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，．因?yàn)橹?，，所以，即邊上的中線的長度為．選擇條件③：因?yàn)橹校?，，，所以，即為等腰三角形，其中．因?yàn)榈拿娣e為，即，所以．設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，在中，．因?yàn)橹?，，所以，即邊上的中線的長度為．由題可知，故①不合題意.17.如圖，四棱錐的底面為正方形，底面，，點(diǎn)為中點(diǎn)．（1）求證：//平面；（2）點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，直線與平面所成角的正弦值為，求的值．（1）證明：因?yàn)檎叫沃?，．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）解：因?yàn)榈酌?，正方形中，分別以的方向?yàn)檩S正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖不妨設(shè)，因?yàn)椋c(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為棱上一點(diǎn)，則，，，，，．所以，，．設(shè)為平面的法向量，則，．所以，令，得，所以．設(shè)直線與平面所成角為，則，解得，因?yàn)?，所以，所以?8.2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶．某科研小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異．在某地的兩類人群中各隨機(jī)抽取20人的該項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性．此檢測標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，用頻率估計概率．（1）當(dāng)臨界值時，求漏診率和誤診率；（2）從指標(biāo)在區(qū)間樣本中隨機(jī)抽取2人，記隨機(jī)變量為未患病者人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記為該地診斷結(jié)果不符合真實(shí)情況的概率．當(dāng)時，直接寫出使得取最小值時的的值．解：（1）由頻率分布直方圖可知，．（2）樣本中患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，未患病者在指標(biāo)為區(qū)間的人數(shù)是，總?cè)藬?shù)為5人．可能的取值為0，1，2．，，．隨機(jī)變量的分布列為012隨機(jī)變量的期望為．（3）由題，，時，令所以，關(guān)于的一次函數(shù)系數(shù)為，故單調(diào)遞增，則即時取最小值.19.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸，求實(shí)數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．解：（1）由題可得，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線平行于軸，所以，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．（2）因?yàn)?，令，得或．?dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增．當(dāng)時，隨的變化，，的變化情況如下表所示：單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．20.已知橢圓．（1）求橢圓的離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)直線與橢圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，不過原點(diǎn)且平行于的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．記直線的斜率為，直線的斜率為，求的值．解：（1）由題意得，解得．所以橢圓E的離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（2）由消去y并整理得：①其判別式得，化簡為．此時方程①可化為，解得，(由條件知異號)．記，則，所以，即點(diǎn)．所以O(shè)P的斜率．法一：因?yàn)椋钥稍O(shè)直線的方程為．由消去y并整理得：．當(dāng)其判別式大于零時，有兩個不相等的實(shí)根，設(shè)，則．因?yàn)镃是A關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．所以直線BC的斜率．所以．法二：記，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以．因?yàn)?，所以直線AB的斜率為，所以．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，．兩式相減得：．所以，即，所以．所以．21.對于數(shù)列，如果存在正整數(shù)，使得對任意，都有，那么數(shù)列就叫做周期數(shù)列，叫做這個數(shù)列的周期．若周期數(shù)列，滿足：存在正整數(shù)，對每一個，都有，我們稱數(shù)列和為“同根數(shù)列”．（1）判斷下列數(shù)列是否為周期數(shù)列．如果是，寫出該數(shù)列的周期，如果不是，說明理由；①；②（2）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是3和5，求證：；（3）若和是“同根數(shù)列”，且周期的最小值分別是和，求的最大值．（1）解：、均是周期數(shù)列，理由如下：因?yàn)?，所以?shù)列是周期數(shù)列，其周期為1（或任意正整數(shù)）．因?yàn)?，所以．所以?shù)列是周期數(shù)列，其周期為6（或6的正整數(shù)倍）．（2）證明：假設(shè)不成立，則有，即對于，都有．因?yàn)椋?/p>