湖北省高中名校聯盟2025屆高三上學期第二次聯合測評數學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖北省高中名校聯盟2025屆高三上學期第二次聯合測評數學試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，若，則實數的取值范圍為（）A. B. C.0,2 D.【答案】B【解析】因為，所以由數軸可得，故實數的取值范圍為.故選：B.2.已知，點在線段的延長線上，且，則點的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為點在線段的延長線上，且，所以點為中點，設點，則，解得，所以點的坐標為.故選：C.3.已知為實數，是關于的方程的一個根，則（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】因為是關于的方程的一個根，所以，即.所以且，解得，所以.故選：D4.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題知，，解得，又雙曲線的焦點在軸上，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：C.5.若關于的函數的定義域為，則實數的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意，，且對任意，，①且，②對于①，，結合，得.若，由②知對任意，矛盾；若，由②知對任意，即，則，得，綜上，當時，對任意，①②同時成立.故選：C.6.如圖，某圓柱的一個軸截面是邊長為3的正方形，點在下底面圓周上，且，點在母線上，點是線段上靠近點A的四等分點，則的最小值為（）A. B.4 C.6 D.【答案】A【解析】由題意知：，且，則.將三角形展開到與三角形共面，記為三角形，可知共線，則.可得，當共線時取等號.又因為，在中，由余弦定理得，即，所以的最小值為.故選：A.7.在正三棱柱每條棱的中點中任取2個點，則這兩點所在直線平行于正三棱柱的某個側面或底面所在平面的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖，將直線分成3種情況：，均平行于上底面或下底面，有條；，均不平行于正三棱柱的某個平面；，均平行于某個側面，有條.又直線總數為條，故所求概率為.故選：D8.已知函數的部分圖象如圖所示，若所在平面不等式在上恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圖得，所以，得，所以，將代入，得，所以，于是，即.又，所以，所以.因為，所以，則.所以，令，則.不等式在上恒成立，即在上恒成立.若且，所以即可，又，易知在上單調遞增，所以時，有，故.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.某老師想了解班上學生的身高情況，他隨機選取了班上6名男同學，得到他們的身高的一組數據（單位：厘米）分別為，則下列說法正確的是（）A.若去掉一個最高身高和一個最低身高，則身高的平均值會變大B.若去掉一個最高身高和一個最低身高，則身高的方差會變小C.若去掉一個最高身高和一個最低身高，則身高的極差會變小D.這組數據的第75百分位數為181【答案】BC【解析】去掉前的平均值，去掉后的平均值，A錯誤；去掉前的方差，去掉后的方差，B正確；去掉前的極差為，去掉后的極差為，C正確；由，知這組數據的第75百分位數為184，D錯誤.故選：BC.10.已知拋物線，過點的直線與交于兩點，直線分別與的準線交于兩點.則下列說法正確的是（）A.B.直線的斜率分別記為，則為定值C.的取值范圍為D.面積的最小值為【答案】ABD【解析】對于A，如圖，設直線的方程為依題意，設Ax由消去，得.所以，而，所以，所以A正確；對于B，由A項已得：，由，故B正確；對于C，因Ax1,y1,Bx2,即點的坐標為，同理可得.則，當時，等號成立，故C錯誤；對于D，因為，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在長方體中，為棱上一點，且，平面上一動點滿足是該長方體外接球（長方體的所有頂點都在該球面上）上一點，設該外接球球心為，則下列結論正確的是（）A.長方體外接球的半徑為B.點到平面距離為C.球心到平面的距離為D.點的軌跡在內的長度為【答案】ABD【解析】對于A，長方體外接球的半徑，故A正確.對于B，以為A一頂點，為以A為頂點的棱，構造棱長為3的正方體，連接，則點A到平面的距離為正方體體對角線長的，得，故B正確；對于C，取的中點，連結，則，又面，所以面.面平面平面.過作于，則平面.在中，計算得，所以，于是，故C錯誤.對于D，過點A向平面作垂線，垂足為，連結，則，又，得，即點的軌跡為以為直徑的圓，在中，，所以點的軌跡在內的長度為，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記為等差數列的前項和，若，則__________.【答案】10【解析】由，得.又，所以，則，故.13.已知為銳角，且，則__________.【答案】【解析】由，得，即.所以.由于為銳角，所以，則，結合，所以，因此.14.對任意，都有，則實數的取值范圍為__________.【答案】【解析】記且，則.由f'x<0，得，由f'所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以最小值為（*），只需保證即可，記，則，且.在上，顯然恒成立，在0,1上，、都遞減，值域分別為，，此時也有，所以，在上，恒成立，在1,+∞上，、都遞減，值域分別為，，所以，在1,+∞上，恒成立.所以在內單調遞增，在1,+∞內單調遞減.所以.由（*）知，即取值范圍是.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內角、、的對邊分別為、、，已知.（1）求；（2）若邊的中點為，且，外接圓的半徑為，求外接圓的半徑.解：（1）因為，則，所以，，又，所以.（2）設外接圓的半徑為，外接圓的半徑為.由正弦定理，得，則.因為，則，所以為銳角，則，所以.于是，所以.16.如圖，球的半徑為，為球面上三點，若三角形為直角三角形，其中.延長與球的表面交于點.（1）求證：平面；（2）若直線與平面所成的角分別為，試求二面角的正弦值.解：（1）因為是球的直徑，所以.因為，平面，所以平面，因為平面，所以，因為，平面，所以平面.（2）因為直線與平面所成的角分別為，所以.不妨令，則，由題設，易知，以為坐標原點，所在直線為軸，過點作的平行線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.所以，設平面的法向量為，平面法向量為，由，取，得，由，取，得，設二面角的平面角為，則，易知.17.已知函數.（1）討論的單調性；（2）若恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）函數的定義域為，導函數為，若，則，此時在單調遞減；若，令，解得，其中，由，得，由，得，所以在單調遞減，在單調遞增，綜上，當時，在單調遞減；當時，在單調遞減，在單調遞增.（2）由，得，則，即，令，則，因為在上單調遞減，所以，即，則，令，則，當時，單調遞增；當時，單調遞減，所以，所以，即的取值范圍是.18.已知橢圓的左?右焦點分別為，點在上，且的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）點為上一動點（不與的左?右端點重合）.①當時，求的面積；②點在線段上，且和的內切圓半徑相等，試問是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.解：（1）將代入的方程可得.①由離心率可得.②聯立①②得到.所以的方程為.（2）①設，則.在中，由余弦定理，得，所以.所以.②設，記和的面積分別為，內切圓半徑均為，記，則.所以，由，得.同理.在和中，，由余弦定理得，所以，整理可得.即.（*）將代入（*），解得，即.所以為定值.19.對任意，都存在.若數列滿足，且，則稱為“階好數列”.記為“階好數列”的個數.例如，對，有3個“6階好數列”，分別為①；②；③.因此.（1）直接寫出的值；（2）求，其中；（3）給定，求證：存在，使得對任意，都有.解：（1）對于，由，知，此時有2個“2階好數列”.分別為①；②，因此.對于，由，知，此時有4個“14階好數列”.分別為①；②；③；④，因此（2）對于，因為，所以，則且.若，則，與矛盾，所以或0.若，則，即.所以為“階好數列”，有個.若，則，又，此時只有一個“階好數列”為“”，所以，又，所以