青海省西寧市大通縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1青海省西寧市大通縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫清楚.3.考生作答時(shí)，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷?草稿紙上作答無效.4.本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】數(shù)列分子都是1，分母依次為，則第n項(xiàng)的分母為，所以數(shù)列，的一個(gè)通項(xiàng)公式是.故選：B2.經(jīng)過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】與直線平行的直線的方程可設(shè)為，又經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為.故選：C.3.拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以其準(zhǔn)線方程為．故選：C．4.在等差數(shù)列中，若，則（）A.13 B.26 C.39 D.52【答案】D【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，所以，解得，所以．故選：D．5.一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意設(shè)雙曲線的方程為，將點(diǎn)（，）代入雙曲線方程得，所以雙曲線的方程為，即.故選：A.6.在等比數(shù)列中，，，則（）A. B. C.32 D.64【答案】C【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得，所以．故選：C．7.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意知．故選：C．8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在等差數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，即，設(shè)，則，于是，解得，所以．故選：A二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓的長軸長等于20，離心率等于，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由橢圓的長軸長等于20，離心率等于，得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是或.故選：AC.10.已知向量，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】選項(xiàng)A，由題意，得，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，所以，所以，故B正確；選項(xiàng)C，，故C正確；選項(xiàng)D，由，因?yàn)?，所以，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.4是數(shù)列中的項(xiàng) B.當(dāng)最大時(shí)，的值只能取5C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.當(dāng)時(shí)，的最大值為11【答案】ACD【解析】由，得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為20，公差為的等差數(shù)列，則，令，得，即，故A正確；易知利用二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)最大時(shí)，的值為5或6，故B錯(cuò)誤；由，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；令，則，解得，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為11，故D正確．故選：ACD．12.某市為了改善城市中心環(huán)境，計(jì)劃將市區(qū)某工廠向城市外圍遷移，需要拆除工廠內(nèi)一個(gè)高塔，施工單位在某平臺(tái)的北偏東方向處設(shè)立觀測點(diǎn)，在平臺(tái)的正西方向處設(shè)立觀測點(diǎn)，已知經(jīng)過三點(diǎn)的圓為圓，規(guī)定圓及其內(nèi)部區(qū)域?yàn)榘踩A(yù)警區(qū).以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正東方向?yàn)檩S正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.經(jīng)觀測發(fā)現(xiàn)，在平臺(tái)的正南方向的處，有一輛小汽車沿北偏西方向行駛，則（）A.觀測點(diǎn)之間的距離是B.圓的方程為C.小汽車行駛路線所在直線的方程為D.小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū)【答案】BCD【解析】由題意,得,所以,即觀測點(diǎn)之間的距離是,故錯(cuò)誤；設(shè)圓的方程為,因?yàn)閳A經(jīng)過三點(diǎn),所以，解得，所以圓的方程為,故B正確；小汽車行駛路線所在直線的斜率為,又點(diǎn)的坐標(biāo)是,所以小汽車行駛路線所在直線的方程為,故C正確；圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為,圓心為,半徑,圓心到直線的距離,所以直線與圓相交,即小汽車會(huì)進(jìn)入安全預(yù)警區(qū),故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】因?yàn)榉匠瘫硎倦p曲線，所以，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，，上頂點(diǎn)為，則直線，的斜率之積為__________．【答案】【解析】由題意知，，，所以，即直線，的斜率之積為．故答案為：15.中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接國慶節(jié)的到來，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部塔樓的頂層掛4盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則九層塔樓一共需要掛______盞燈籠．【答案】【解析】由題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，由題意知，公比，因?yàn)榈缺葦?shù)列前項(xiàng)和，.所以前9項(xiàng)和為，所以九層塔樓一共需要掛盞燈籠．故答案為：.16.已知圓：，過圓外一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，若，則_____．【答案】1【解析】由圓：可得圓心坐標(biāo)為，半徑，由、圓切線，故，又故，又，故為等邊三角形，故.故答案為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知在橢圓上，分別為的左?右焦點(diǎn).（1）求橢圓的離心率；（2）若動(dòng)點(diǎn)均在上，且在軸的兩側(cè)，求四邊形的周長.解：（1）由點(diǎn)在橢圓上，得，解得，則半焦距，所以的離心率為.（2）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)均在上，且在軸的兩側(cè)，所以由橢圓的定義得，四邊形的周長為.18.已知的圓心為，且過點(diǎn)．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與相切于點(diǎn)，求的方程．解：（1）由題可知，的半徑為,所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)橹本€與相切于點(diǎn)，且,所以，所以，由點(diǎn)斜式得，，整理得，.19.已知數(shù)列是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，數(shù)列是等差數(shù)列，且．（1）求數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，等差數(shù)列的公差為，由得即即，解得或．當(dāng)時(shí)，，不滿足單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，滿足單調(diào)遞增，故，所以．又，所以，所以，即數(shù)列與數(shù)列的通項(xiàng)公式為，（2）利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以數(shù)列的前項(xiàng)和，即20.如圖，已知正方體的棱長為，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面距離；（3）求平面和底面夾角的正弦值.解：（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，故，所以，所以，又，平面，因此平面.（2）平面的法向量為，，則取，可得，又，則點(diǎn)到平面的距離為.（3）設(shè)平面和底面夾角為，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，所以，故，所以平面和底面夾角的正弦值為.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，由，得；當(dāng)時(shí)，，符合上式.綜上所述，.（2），所以.由，得，解得，又，所以的