山西省運(yùn)城市2024屆高三上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山西省運(yùn)城市2024屆高三上學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，則等于（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】結(jié)合題意可得：，所以.故選：D.2.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】，解得，由于是的真子集，故是的必要不充分條件.故選：B3.已知是奇函數(shù)，則（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】由題意得，即，所以，故，所以，解得.故選：C4.第33屆夏季奧運(yùn)會(huì)預(yù)計(jì)2024年7月26日至8月11日在法國(guó)巴黎舉辦，這屆奧運(yùn)會(huì)將新增2個(gè)競(jìng)賽項(xiàng)目和3個(gè)表演項(xiàng)目．現(xiàn)有三個(gè)場(chǎng)地A，B，C分別承擔(dān)這5個(gè)新增項(xiàng)目的比賽，且每個(gè)場(chǎng)地至少承辦其中一個(gè)項(xiàng)目，則不同的安排方法有（）A.150種 B.300種 C.720種 D.1008種【答案】A【解析】若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，若三個(gè)場(chǎng)地分別承擔(dān)個(gè)項(xiàng)目，則有種安排，綜上，不同的安排方法有種.故選：A5.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，即，，即，因?yàn)?，所以，即，且，則，所以.故選：D6.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，A為C的右頂點(diǎn)，以為直徑的圓與C的一條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，且，則雙曲線C的離心率為（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】由題意得，以為直徑的圓的方程為，，漸近線方程為，聯(lián)立，解得，不妨令，故，因?yàn)椋?，所以，解得，故離心率.故選：C7.已知等差數(shù)列中，，設(shè)函數(shù)，記，則數(shù)列的前17項(xiàng)和為（）A. B. C. D.0【答案】C【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，，即關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，由于等差數(shù)列中，，故，故，，故數(shù)列的前17項(xiàng)和為，故選：C8.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，由題意可知，，中，根據(jù)余弦定理可知，則，過(guò)點(diǎn)作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且平面所以平面，平面，所以，又因?yàn)?，所以，同理，中，，則，根據(jù)等面積公式，，所以，，又，所以，則，直線與平面夾角的夾角為，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.關(guān)于下列命題中，說(shuō)法正確的是（）A.若事件A、B相互獨(dú)立，則B.數(shù)據(jù)63，67，69，70，74，78，85，89，90，95的第45百分位數(shù)為78C已知，，則D.已知，若，則【答案】AC【解析】對(duì)于A，若事件A、B相互獨(dú)立，則,而，A正確；對(duì)于B，數(shù)據(jù)63，67，69，70，74，78，85，89，90，95已為從小到大排列，共10個(gè)數(shù)，又，故第45百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)74，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由于，，故，則，故，C正確；對(duì)于D，由于，，故，故，故，D錯(cuò)誤，故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.的一個(gè)周期為2 B.的定義域是C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增【答案】ACD【解析】對(duì)于A，由可知其最小正周期，故A正確；對(duì)于B，由可知，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由可知，此時(shí)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；對(duì)于D，由可知，又在上遞增，顯然，故D正確.故選：ACD11.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的最小值為B.的最小值為C.三棱錐的體積為D.以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面在正方體內(nèi)的交線長(zhǎng)為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，的最小值即該等邊三角形的高，為，故A正確；對(duì)于B，如圖，將等邊繞旋轉(zhuǎn)到與平面共面，顯然，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)P在D上時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d,，，，，以點(diǎn)B為球心，為半徑的球面與面在正方體內(nèi)的交線是以中心為圓心，以為半徑的圓，如圖，圓有一部分在正方體外，，由A得，，所以，，所以有圓周在正方體內(nèi)部，其長(zhǎng)度為，故D對(duì).故選：ABD.12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，點(diǎn)是拋物線上間不同于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，拋物線在、兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為B.過(guò)點(diǎn)作拋物線的切線，則切點(diǎn)坐標(biāo)為C.在中，若，，則的最大值為D.【答案】CD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn)，則，由拋物線的定義可得，解得，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)可知，拋物線的方程為，點(diǎn)，若切線的斜率不存在，則該直線與拋物線相交，且只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，切線的斜率存在，設(shè)切線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，所以，切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，故切點(diǎn)坐標(biāo)為，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)作與直線垂直，垂足點(diǎn)為點(diǎn)，由拋物線的定義可得，，由圖可知，當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，銳角取最大值，此時(shí)，取最大值，由B選項(xiàng)可知，銳角的最大值為，故的最大值為，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，直線的方程為，即，同理可知，直線的方程為，因?yàn)椋瑒t，聯(lián)立可得，即點(diǎn)，則，而，所以，，則，所以，，由可得，所以，，D對(duì)故選：CD.三、填空題：本題共4小題.13.已知向量，，若，則____________.【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，解?故答案為：.14.的展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】【解析】〖祥解〗展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：15.過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線l與圓交于不同的兩點(diǎn)A，B.記線段的中點(diǎn)為P，則當(dāng)直線l繞原點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為_(kāi)___________.【答案】【解析】由題意可知圓的圓心為，半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)可知，則為直角三角形，即P在以為直徑的圓上，設(shè)中點(diǎn)為E，該圓半徑為，易知，又線段的中點(diǎn)為P，則P在圓的內(nèi)部，如圖所示其軌跡即.因?yàn)?，易得，則，所以的弧長(zhǎng)為.故答案為：16.設(shè)是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若，則的范圍為_(kāi)___________.【答案】【解析】由，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，所以是的兩根，當(dāng)時(shí)，方程不成立，故是的兩根，即與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.則圖象如下圖所示，由圖象可知：且因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，不妨令，則，即，化簡(jiǎn)得，即，當(dāng)時(shí)，，若，則，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角B的大小；（2）若，D為邊上的一點(diǎn)，，且______________，求的面積．①是的平分線；②D為線段的中點(diǎn).（從①，②兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線上并作答）.解：（1）由正弦定理知，，，代入上式得，，，，，.（2）若選①：由平分得：，，即.在中，由余弦定理得，，聯(lián)立，得，解得，若選②：得，，得，在中，由余弦定理得，，聯(lián)立，得，18.已知遞增的等比數(shù)列滿足，且，，成等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.解：（1）設(shè)公比為，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，所以，所以，解得或（舍去），所以.（2）根據(jù)題意得.19.如圖，在圓柱體中，，，劣弧的長(zhǎng)為，AB為圓O的直徑．（1）在弧上是否存在點(diǎn)C（C，在平面同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說(shuō)明理由；（2）求二面角的余弦值．解：（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線時(shí)，．證明如下：連接BC，AC，，因?yàn)闉閳A柱的母線，所以平面ABC，又因?yàn)槠矫鍭BC，所以．因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以．又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．?）以為原點(diǎn)，OA，分別為y，z軸，垂直于y，z軸的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，因?yàn)榱踊〉拈L(zhǎng)為，所以，，則，．設(shè)平面的法向量，則，令，解得，，所以．因?yàn)閤軸垂直平面，所以平面的一個(gè)法向量．所以，又二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為．20.某學(xué)校進(jìn)行趣味投籃比賽，設(shè)置了A，B兩種投籃方案.方案A：罰球線投籃，投中可以得2分，投不中得0分；方案B：三分線外投籃，投中可以得3分，投不中得0分.甲、乙兩位員工參加比賽，選擇方案A投中的概率都為，選擇方案B投中的概率都為，每人有且只有一次投籃機(jī)會(huì)，投中與否互不影響.（1）若甲選擇方案A投籃，乙選擇方案B投籃，記他們的得分之和為X，，求X的分布列；（2）若甲、乙兩位員工都選擇方案A或都選擇方案B投籃，問(wèn)：他們都選擇哪種方案投籃，得分之和的均值較大？解：（1）依題意，甲投中的概率為，乙投中的概率為，于是得，解得，X的所有可能值為0，2，3，5，，，，，所以X的分布列為：0235（2）設(shè)甲、乙都選擇方案A投籃，投中次數(shù)為，都選擇方案B投籃，投中次數(shù)為，則，，則兩人都選擇方案A投籃得分和的均值為，都選擇方案B投籃得分和的均值為，則，，若，即，解得；若，即，解得；若，即，解得.所以當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A投籃，得分之和的均值較大；當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案A或都選擇方案B投籃，得分之和的均值相等；當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)都選擇方案B投籃，得分之和的均值較大.21.已知橢圓的焦距為，左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為B，且．（1）求橢圓C的方程；（2）若過(guò)且斜率為k的直線l與橢圓C在第一象限相交于點(diǎn)Q，與直線相交于點(diǎn)P，與y軸相交于點(diǎn)M，且．求k的值．解：（1）由題意得，解得，又，故，即，又，解得，，故橢圓方程為；（2）直線l的方程為，，與聯(lián)立得，設(shè)，則，解得，因?yàn)辄c(diǎn)Q在第一象限，所以，解得，直線方程為，與聯(lián)立得，故，中，令得，故，因?yàn)?，所以，整理得，即，化?jiǎn)得，解得或，其中不滿足，舍去，滿足要求，故.22.已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若，且在上的最小