北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)復(fù)習(xí)講義（導(dǎo)圖+知識(shí)點(diǎn)+新題拔高卷）-第5章《一元一次方程》知識(shí)講練（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)章節(jié)知識(shí)講練知識(shí)點(diǎn)01：一元一次方程的概念1．方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)（元），未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．細(xì)節(jié)剖析：（1）一元一次方程變形后總可以化為ax+b＝0(a≠0)的形式，它是一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式．（2）判斷是否為一元一次方程，應(yīng)看是否滿足：①只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)為1；②未知數(shù)所在的式子是整式，即分母中不含未知數(shù)．3．方程的解：使方程的左、右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做這個(gè)方程的解．4．解方程：求方程的解的過(guò)程叫做解方程．知識(shí)點(diǎn)02：等式的性質(zhì)與去括號(hào)法則1．等式的性質(zhì)：等式的性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)代數(shù)式，所得結(jié)果仍是等式．等式的性質(zhì)2：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，（或除以同一個(gè)不為0的數(shù)），所得結(jié)果仍是等式．2．合并法則：合并時(shí)，把系數(shù)相加(減)作為結(jié)果的系數(shù)，字母和字母的指數(shù)保持不變．3．去括號(hào)法則：（1）括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相同．（2）括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后各項(xiàng)的符號(hào)與原括號(hào)內(nèi)相應(yīng)各項(xiàng)的符號(hào)相反．知識(shí)點(diǎn)03：一元一次方程的解法解一元一次方程的一般步驟：(1)去分母：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數(shù)．(2)去括號(hào)：依據(jù)乘法分配律和去括號(hào)法則，先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)．(3)移項(xiàng)：把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程一邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程另一邊．(4)合并：逆用乘法分配律，分別合并含有未知數(shù)的項(xiàng)及常數(shù)項(xiàng)，把方程化為ax＝b(a≠0)的形式．(5)系數(shù)化為1：方程兩邊同除以未知數(shù)的系數(shù)得到方程的解(a≠0)．(6)檢驗(yàn)：把方程的解代入原方程，若方程左右兩邊的值相等，則是方程的解；若方程左右兩邊的值不相等，則不是方程的解．知識(shí)點(diǎn)04：用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型1.等積變形：①形狀面積變了，周長(zhǎng)沒(méi)變；②原體積＝變化后體積.2.利潤(rùn)問(wèn)題：商品利潤(rùn)＝商品售價(jià)－商品進(jìn)價(jià)3.行程問(wèn)題：路程＝速度×?xí)r間4.和差倍分問(wèn)題：增長(zhǎng)量＝原有量×增長(zhǎng)率5.工程問(wèn)題：工作量＝工作效率×工作時(shí)間，各部分勞動(dòng)量之和＝總量6.銀行存貸款問(wèn)題：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期數(shù)7.數(shù)字問(wèn)題：多位數(shù)的表示方法：例如：.8.方案問(wèn)題：（1）運(yùn)用一元一次方程解應(yīng)用題的方法求解兩種方案值相等的情況．（2）用特殊值試探法選擇方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比較兩種方案的優(yōu)劣性后下結(jié)論．一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023?淮陽(yáng)區(qū)模擬）某商場(chǎng)按標(biāo)價(jià)銷(xiāo)售某品牌電器一件可獲利1250元，利潤(rùn)率為50%．為了讓利顧客，提高銷(xiāo)量，今年“五一”期間，該商場(chǎng)按同一標(biāo)價(jià)打九折銷(xiāo)售該品牌電器．那么“五一”期間銷(xiāo)售一件該品牌電器可獲得的純利潤(rùn)為（）A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元2．（2分）（2023春?永城市期末）相傳大禹時(shí)期，洛陽(yáng)市西洛寧縣洛河中浮出神龜，背馱“洛書(shū)”，獻(xiàn)給大禹，大禹依此治水成功，遂劃天下為九州．圖1是我國(guó)古代傳說(shuō)中的洛書(shū)，圖2是該洛書(shū)的數(shù)字表示，洛書(shū)是一個(gè)三階幻方，就是將已知9個(gè)數(shù)填入3×3的方格中，使每一行、每一豎列以及兩條斜對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等．在圖3的幻方中也有類(lèi)似于圖1的數(shù)字之和的規(guī)律，則a+b﹣c的值為（）A．﹣2 B．0 C．8 D．163．（2分）（2023?三明二模）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是：今有三人共車(chē)，二車(chē)空：二人共車(chē)，九人步，問(wèn)人與車(chē)各幾何？譯文為：今有若干人乘車(chē)，每3人共乘一車(chē)，最終剩余2輛車(chē)；若每2人共乘一車(chē)，最終剩余9個(gè)人無(wú)車(chē)可乘，問(wèn)共有多少輛車(chē)？設(shè)共有x輛車(chē)，則（）A．3（x﹣2）＝2x+9 B．3（x+2）＝2x﹣9 C． D．4．（2分）（2022秋?滄州期末）為了阻斷新冠疫情傳播，疫情居家期間，居民購(gòu)買(mǎi)的蔬菜包由志愿者統(tǒng)一派送．若每位志愿者派送8個(gè)蔬菜包，則少5個(gè)；若每個(gè)志愿者派送6個(gè)，則剩下4個(gè)未送，設(shè)安排x個(gè)志愿者派送，則下面所列方程中正確的是（）A．8x﹣5＝6x+4 B．8x+5＝6x+4 C．8x+5＝6x﹣4 D．8x﹣5＝6x﹣45．（2分）（2022秋?海興縣期末）我國(guó)古代《孫子算經(jīng)》卷中記載“多人共車(chē)”問(wèn)題，其原文如下：今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步，問(wèn)人與車(chē)各幾何？其大意為：若3個(gè)人乘一輛車(chē)，則空2輛車(chē)；若2個(gè)人乘一輛車(chē)，則有9個(gè)人要步行，求人數(shù)和車(chē)數(shù)．甲、乙兩人所列方程如下，下列判斷正確的是（）甲：設(shè)車(chē)數(shù)為x輛，可列方程為3（x﹣2）＝2x+9乙：設(shè)人數(shù)為y人，可列方程為A．甲對(duì)乙錯(cuò) B．甲錯(cuò)乙對(duì) C．甲、乙都對(duì) D．甲、乙都錯(cuò)6．（2分）（2023春?衡山縣期末）方程去分母后，正確的是（）A．3x﹣2（x﹣1）＝1 B．3x﹣2（x﹣1）＝6 C．x﹣2（x﹣1）＝6 D．3x+2（x﹣1）＝67．（2分）（2023春?社旗縣期末）下列變形正確的是（）A．若﹣3x＝5，則 B．若﹣2x＜6，則x＞﹣3 C．若5x﹣6＝2x+8，則5x+2x＝8+6 D．若，則2x+3（x﹣1）＝18．（2分）（2022秋?青縣期末）相傳有個(gè)人不講究說(shuō)話藝術(shù)常引起誤會(huì)，一天他擺宴席請(qǐng)客，他看到還有幾個(gè)人沒(méi)來(lái)，就自言自語(yǔ)：“怎么該來(lái)的還不來(lái)呢？”來(lái)了的客人聽(tīng)了，心想難道我們是不該來(lái)的，于是有三分之一的客人走了，他一看十分著急，又說(shuō)：“不該走的倒走了！”剩下的人一聽(tīng)，是我們?cè)撟甙?！又有剩下的五分之三的人離開(kāi)了，他著急地一拍大腿，連說(shuō)：“我說(shuō)的不是他們．”于是最后剩下的四個(gè)人也都告辭走了，聰明的你能知道開(kāi)始來(lái)了幾位客人嗎？（）A．20位 B．19位 C．15位 D．11位9．（2分）（2022秋?保定期末）“曹沖稱象”是流傳很廣的故事，如圖．按照他的方法：先將象牽到大船上，并在船側(cè)面標(biāo)記水位，再將象牽出．然后往船上抬入15塊等重的條形石，并在船上留5個(gè)搬運(yùn)工，這時(shí)水位恰好到達(dá)標(biāo)記位置．如果再抬入2塊同樣的條形石，船上只留2個(gè)搬運(yùn)工，水位也恰好到達(dá)標(biāo)記位置．已知搬運(yùn)工體重均為150斤，設(shè)每塊條形石的重量是x斤，則正確的是（）A．依題意15x+5×150＝（15+2）x+2×150 B．依題意5×150＝3x﹣2×150 C．該象的重量是5040斤 D．每塊條形石的重量是260斤10．（2分）（2022秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）把2022個(gè)正整數(shù)1，2，3，4，…，2022按如圖方式列成一個(gè)表，用圖中陰影所示方式框住表中任意4個(gè)數(shù)，這四個(gè)數(shù)的和可能是（）A．192 B．190 C．188 D．186二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023春?鄧州市期中）如果方程（a﹣2）x|a﹣1|+3＝9是關(guān)于x的一元一次方程，則a＝．12．（2分）（2023?大連模擬）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是“今有三人共車(chē)，二車(chē)空；二人共車(chē)，九人步，問(wèn)人與車(chē)各幾何？”譯文為：今有若干人乘車(chē)，每3人共乘一車(chē)，最終剩余2輛車(chē)；若每2人共乘一車(chē)，最終剩余9人無(wú)車(chē)可乘，問(wèn)共有多少人，多少輛車(chē)？若設(shè)共有x輛車(chē)，則可列方程為．13．（2分）（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期末）如果a，b為定值，關(guān)于x的一次方程，無(wú)論k為何值時(shí)，它的解總是1，則6a+b＝．14．（2分）（2022秋?華容區(qū)期末）例如：在1+++++…中，“…”代表省略號(hào)體現(xiàn)規(guī)律不斷求和，設(shè)1+++++…＝x．則有x＝1+x，解得x＝2，故1+++++…＝2．類(lèi)似的在1++++…的結(jié)果為．15．（2分）（2022秋?曹縣期末）小明和小亮兩人騎自行車(chē)同時(shí)從相距60千米的兩地相向而行，小明的速度是12.5千米/小時(shí)，小亮的速度是11.5千米/小時(shí)，經(jīng)過(guò)小時(shí)兩人相距12千米．16．（2分）（2022秋?巴南區(qū)期末）甲、乙、丙三人分別拿出相同數(shù)量的錢(qián)一起購(gòu)買(mǎi)某種商品若干件．商品買(mǎi)回來(lái)后，乙比甲多買(mǎi)了4件，丙比乙多買(mǎi)了7件，最后結(jié)算時(shí)，三人按所得商品的實(shí)際件數(shù)付錢(qián)，多退少補(bǔ)，若丙付給甲200元，丙付給乙m元，則m的值為．17．（2分）（2022秋?館陶縣期末）已知七年級(jí)學(xué)生小張的小區(qū)、市圖書(shū)館和萬(wàn)達(dá)電影院在同一直線上，它們之間的距離如圖所示．小張周六上午帶了100元現(xiàn)金先從小區(qū)門(mén)口乘出租車(chē)去了市圖書(shū)館，付車(chē)費(fèi)8元；中午再?gòu)氖袌D書(shū)館乘出租車(chē)去了萬(wàn)達(dá)電影院，付車(chē)費(fèi)12.4元．若該市出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：不超過(guò)3公里計(jì)費(fèi)為m元，超過(guò)3公里后的部分按n元/公里計(jì)費(fèi)．（1）m＝，n＝；（2）乘坐出租車(chē)x公里（x超過(guò)3公里）時(shí)的車(chē)費(fèi)為元．（用含x的式子表示）18．（2分）（2022秋?君山區(qū)期末）《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題，原文是：今有共買(mǎi)物，人出八，盈三，人出七，不足四，問(wèn)人幾何？大意為：幾個(gè)人一起去購(gòu)買(mǎi)一物品，如果每人出8錢(qián)，則多了3錢(qián)，如果每人出7錢(qián)，則少了4錢(qián)．問(wèn)有人．19．（2分）（2022秋?九龍坡區(qū)校級(jí)期末）臘味食品是川渝人民的最?lèi)?ài)，去年12月份，某銷(xiāo)售商出售臘腸、臘舌、臘肉的數(shù)量之比為3：5：3，臘腸、臘舌、臘肉的單價(jià)之比為3：3：2．今年1月份，該銷(xiāo)售商將臘腸單價(jià)上調(diào)20%，臘舌、臘肉的單價(jià)不變，并加大了宣傳力度，預(yù)計(jì)今年1月份的營(yíng)業(yè)額將會(huì)增加，其中臘肉增加的營(yíng)業(yè)額占總增加營(yíng)業(yè)額的，今年1月份臘肉的營(yíng)業(yè)額將達(dá)到今年1月份總營(yíng)業(yè)額的．若臘舌今年1月份增加的營(yíng)業(yè)額與今年1月份總營(yíng)業(yè)額之比為1：5，則今年1月份出售臘腸與臘肉的數(shù)量之比是．20．（2分）（2021秋?陽(yáng)新縣期末）已知a，b為定值，關(guān)于x的方程＝1﹣，無(wú)論k為何值，它的解總是1，則a+b＝．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2022秋?海興縣期末）按要求完成下列各小題．（1）計(jì)算：；（2）解方程：．22．（6分）（2022秋?東寶區(qū)期末）列方程，解決下列問(wèn)題：為了豐富課后服務(wù)課程，某校開(kāi)展了籃球興趣班和足球興趣班，現(xiàn)需要給每名興趣班同學(xué)分別購(gòu)買(mǎi)一個(gè)籃球或一個(gè)足球，已知籃球每個(gè)95元，足球每個(gè)70元，結(jié)合圖中兩個(gè)學(xué)生的一段對(duì)話，求兩個(gè)興趣班各有多少人？23．（8分）（2022秋?華容區(qū)期末）某一商場(chǎng)經(jīng)銷(xiāo)的A，B兩種商品，A種商品每件售價(jià)60元，利潤(rùn)率為50%；B種商品每件進(jìn)價(jià)50元，售價(jià)80元．（1）A種商品每件進(jìn)價(jià)為元，每件B種商品利潤(rùn)率為；（2）若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價(jià)為2100元，求購(gòu)進(jìn)A種商品多少件？（3）在“元旦”期間，該商場(chǎng)對(duì)A，B兩種商品進(jìn)行如下的優(yōu)惠促銷(xiāo)活動(dòng)：打折前一次性購(gòu)物總金額優(yōu)惠措施少于等于450元不優(yōu)惠超過(guò)450元，但不超過(guò)600元按總售價(jià)打九折超過(guò)600元其中600元部分八折優(yōu)惠，超過(guò)600元的部分打七折優(yōu)惠按上述優(yōu)惠條件，若小華一次性購(gòu)買(mǎi)A，B商品實(shí)際付款522元，求小華在該商場(chǎng)打折前一次性購(gòu)物總金額？24．（8分）（2022秋?長(zhǎng)順縣期末）知識(shí)理解：同學(xué)們，我們?cè)诮^對(duì)值一節(jié)的學(xué)習(xí)中知道，一般的，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值，絕對(duì)值符號(hào)中含有未知數(shù)的方程叫做絕對(duì)值方程．像（1）|a|＝5，（2）|a﹣3|＝5，（3）|a+2|＝6都叫做絕對(duì)值方程，對(duì)于絕對(duì)值方程，我們根據(jù)絕對(duì)值的定義求出未知數(shù)的值．例如：（1）|a|＝|a﹣0|＝5表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)0的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，所以，a﹣0＝5或a﹣0＝﹣5，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是5和﹣5．解：因?yàn)閨a|＝5，所以，a＝5或a＝﹣5．（2）|a﹣3|＝5表示在數(shù)軸上，數(shù)a與數(shù)3的距離為5個(gè)單位長(zhǎng)度，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，對(duì)應(yīng)的數(shù)有兩個(gè)，分別是8和﹣2．解：因?yàn)閨a﹣3|＝5，所以，a﹣3＝5或a﹣3＝﹣5，解得：a＝8或a＝﹣2．知識(shí)應(yīng)用：（1）求出下列未知數(shù)的值．①|(zhì)a﹣6|＝2；②|a+7|＝3．（2）知識(shí)探究：直接寫(xiě)出|a﹣3|+|a﹣5|的最小值．25．（8分）（2022秋?香洲區(qū)期末）在一條水平直線上，自左向右依次有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，AD＝16cm，BC＝7cm，CD＝2AB，線段AB以每秒2cm的速度水平向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，線段AB停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝0秒時(shí)，AB＝cm，CD＝cm；（2）當(dāng)線段AB與線段CD重疊部分為2cm時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)t＝5.5秒時(shí)，線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得PD＝11PC？若存在，求出此時(shí)PC的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（8分）（2022秋?滄州期末）隨著河北省體育中考政策出臺(tái)，體育總分將提高到50分，包括過(guò)程性考核20分和現(xiàn)場(chǎng)測(cè)試30分．某中學(xué)為推進(jìn)學(xué)校體育教學(xué)改革，適應(yīng)新的中考要求，決定添置一批體育器材．學(xué)校準(zhǔn)備在網(wǎng)上訂購(gòu)一批某品牌跳繩和足球，在查閱某些網(wǎng)店后發(fā)現(xiàn)有A、B兩家網(wǎng)店商品定價(jià)相同并提供包郵服務(wù)，跳繩每條定價(jià)30元，足球每個(gè)定價(jià)160元．經(jīng)過(guò)協(xié)商，兩家網(wǎng)店給出了各自的優(yōu)惠方案，A網(wǎng)店：買(mǎi)一個(gè)足球送一條跳繩；B網(wǎng)店：跳繩和足球都按定價(jià)的90%付款，已知要購(gòu)買(mǎi)足球60個(gè)，跳繩x條（x＞60）．（1）若在A網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含x的代數(shù)式表示），若在B網(wǎng)店購(gòu)買(mǎi)，需付款元（用含