2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練-三角形綜合

2023年中考九年級數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練一三角形綜合

1.如圖，在△ABC中，AB=AC,DE垂直平分AC,CE1AB,AF1BC,

(1)求證：CF=EF；

(2)求NEFB的度數(shù).

2.如圖，在△4BC中，=60°,AB=8,BC=10,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以每秒I個(gè)單位的速度沿

42勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后，

立即以每秒4個(gè)單位的速度沿CB返回，當(dāng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為t秒.

(1)當(dāng)t=3時(shí)，BQ=,當(dāng)t=7時(shí)，BQ=.

(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到45的中點(diǎn)時(shí)，猜想PQ與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(3)在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過程中，若是等邊三角形時(shí)，求t的值.

3.如圖，在△ABC中，AB=AC=18cm,BC=10cm,AD=2BD.動(dòng)點(diǎn)P以2cm/s的速度沿射線

BC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以acm/s的速度向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，P點(diǎn)也隨

之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(t>0).

BPC

(1)用含t的代數(shù)式表不PC的長；

(2)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為Icm/s,當(dāng)ACQP是以NC為頂角的等腰三角形時(shí)，求t的值；

(3)當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能使△BPD與ACQP在某一時(shí)刻全等.

4.如圖，在AABC中，ZC=90°,將AACE沿著AE折疊以后C點(diǎn)正好落在AB邊上的點(diǎn)

D處.

(1)當(dāng)48=28。時(shí)，求LCAE的度數(shù)；

(2)當(dāng)AC=6,AB=10時(shí)，求線段DE的長.

5.如圖，AABC由兩個(gè)全等的含45。的直角板拼成，其中，Z.ACB=90°,AC=BC,AB=

8,點(diǎn)。是48邊長的中點(diǎn)，點(diǎn)E時(shí)AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、B重合)，連接

CE,過點(diǎn)B作BF1CE于F,交射線CD于點(diǎn)G.

(I)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)。的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，(圖).求證：AACE三ACBG；

(2)當(dāng)點(diǎn)占在點(diǎn)D的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(圖)(1)中的結(jié)論是否成立？請說明埋由：

(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，BG=5,試求出此時(shí)AE的長.

6.如圖1,在等腰三角形A8C中，乙4=120。，A8=AC,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，AD=

AE,連接8E,點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、8c的中點(diǎn).

I)

圖2

（1）觀察猜想：圖1中，線段NM、NP的數(shù)量關(guān)系是,乙MNP的大小為

（2）探究證明：把△AOE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接MP、BD、CE,判

斷AMN0的形狀，并說明理由.

7.如圖，AABC中，AB=AC,ZBAC<60°,將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到點(diǎn)D,

點(diǎn)E與點(diǎn)D關(guān)于直線BC對稱，連接CD,CE,DE.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）判斷^CDE的形狀，并證明；

（3）請問在直線CE上是否存在點(diǎn)P,使得PA-PB=CD成立？若存在，請用文字描述出點(diǎn)P

的準(zhǔn)確位置，并畫圖證明；若不存在，請說明理由.

8.如圖，點(diǎn)M是△48C的邊AB上一點(diǎn)，連接CM,過A作4。1CM于點(diǎn)。，過B作BEJ.CM于點(diǎn)

E.

(I)如圖①，若點(diǎn)M為48的中點(diǎn)時(shí)，連接AE,BD,求證：四邊形A08E是平行四邊形；

(2)如圖②，若點(diǎn)M不是,48的中點(diǎn)，點(diǎn)0是A8上不與M重合的一點(diǎn)，連接D。，E0,已知點(diǎn)

0在DE的垂直平分線上，求證：AO=B0.

9.

(I)閱讀理解:

圖①圖②圖③

如圖①，在△ABC中，若AB=8,AC=4,求BC邊上的中線AD的取值范圍是

(2)問題解決：如圖②，在△ABC中D是BC邊上的中點(diǎn)，DEJLDF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)

E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證：BE+CFAEF；

(3)問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，ZB+ZD=180°,CB=CD,ZBCD=140°,以C為

頂點(diǎn)作一個(gè)70角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn)，連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)

量關(guān)系，并加以證明.

10.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=mx+m交x軸于點(diǎn)A,交)，軸的正半軸于點(diǎn)

B,點(diǎn)。在x軸的正半軸上，連接8C,tan484。=3tan/BC。.

(1)求點(diǎn)A,。的坐標(biāo)；

(2)如圖1,點(diǎn)P在第一象限內(nèi)，橫小標(biāo)為九PO_Ly軸于點(diǎn)D,P/1J.BC于點(diǎn)E,AP=

BC,求機(jī)與/之間的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量/的取值范圍)

(3)如圖2,在(2)的條件下，設(shè)BC交DP于點(diǎn)F,當(dāng)BF=PE時(shí)，求，〃的值.

11.綜合與實(shí)踐

問題情境：

在數(shù)學(xué)課上老師出了這樣一道題：如圖1,在△4BC中4B=4C=6,^BAC=30°,求BC的長.

(1)探究發(fā)現(xiàn)：如圖2,勤奮小組經(jīng)過思考后，發(fā)現(xiàn)：把△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△

ADE,連接8。，BE,利用直角三角形的性質(zhì)即可求解，請你根據(jù)勤奮小組的思路，求BC的長；

(2)探究拓展：如圖3,縝需小組的同學(xué)在勤奮小組的啟發(fā)下，把△48C繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。

后得到AAOE,連接80,C￡交于點(diǎn)F,交48于點(diǎn)G,請你判斷四邊形40/C的形狀并證明;

（3）奇異小組的同學(xué)把圖3中的ABGF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，連接4F,發(fā)現(xiàn)AF的

長度在不斷變化，直接寫出的最大值和最小值.

12.綜合與實(shí)踐.特例感知.兩塊三角板4ADB與^EFC全等，NADB=NEFC=90。，NB=45。，

AB=6.

（1）將直角邊AD和EF重合擺放.點(diǎn)P、Q分別為BE、AF的中點(diǎn)，連接PQ,如圖1.則

△APQ的形狀為.

（2）操作探究

若將^EFC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)P恰好落在AD上，BE與AC交于點(diǎn)G,連接PF,如圖

2.

①FG：GA=A：

②PF與DC的位置關(guān)系為￡；

③求PQ的長；

（3）開放拓展

若△EFC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)AC_LCF時(shí)，NAEC為.

13.在RtZkABC中，ZACB=90°,RtZkABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到RtZkADE的位置，點(diǎn)E在斜邊

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，求NABC的度數(shù);

（2）若NDAF=NDBA,

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在線段CA上時(shí)，求NABC的度數(shù)；

②當(dāng)點(diǎn)F在線段CA的延長線上，旦BC=7時(shí)，請直接寫出△ABD的面枳.

14.在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90,BD平分NABC交AC于點(diǎn)D.

(I)如圖1,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，連接AF交BD于點(diǎn)E.若AB=BF,求證：BD垂直平分AF.

(2)如圖2,CE1BD,垂足E在BD的延長線上.試判斷線段CE和BD的數(shù)量關(guān)系，并說明理

由.

(3)如圖3,點(diǎn)F為BC上一點(diǎn)，ZEFC=iZABC,CE1EF,垂足為E,EF與AC交于點(diǎn)M.

直接寫出線段CE與線段FM的數(shù)量關(guān)系.

15.如圖，在菱形ABC。中，NA8C是銳角，E是8c邊上的動(dòng)點(diǎn)，將射線AE繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)，交直線CD于點(diǎn)F.

(I)當(dāng)AE_L8C,時(shí),

①求證：AE=AF；

②連結(jié)8D,EF,若第=看，求$的值；

BD5。菱形ABCD

(2)當(dāng)/E4F=1NBA。時(shí)，延長8c交射線4尸于點(diǎn)M,延長。C交射線4E于點(diǎn)N,連結(jié)

AC,MN,若48=4,AC=2,則當(dāng)CE為何值時(shí)，ZiAMN是等腰三角形.

16.已知點(diǎn)O是線段A8的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直線/上的任意一點(diǎn)，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)8作直線/的垂線,

垂足分別為點(diǎn)C和點(diǎn)D.我們定義垂足與中點(diǎn)之間的距離為，足中距”.

圖1圖2圖3

(1)［猜想驗(yàn)證妝口圖1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，請你猜想、驗(yàn)證后直接寫出“足中距和OO

的數(shù)量關(guān)系是.

(2)［探究證明］如圖2,當(dāng)點(diǎn)P是線段A8上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距和0。的數(shù)量關(guān)系是否

依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

(3)［拓展延伸］如圖3,①當(dāng)點(diǎn)P是線段小延長線上的任意一點(diǎn)時(shí)，“足中距”0C和。。的數(shù)

量關(guān)系是否依然成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由：

②若^COD=60°,請直接寫出線段AC、BD、OC之間的數(shù)量關(guān)系.

答案解析部分

1.【答案】(1)證明：???DE垂直平分AC,

AAE=CE,

VCE1AB,

???△ACE是等腰直角三角形，ZBEC=90°,

VAB=AC,AF_LBC,

???BF=CF,即F是BC的中點(diǎn)，

ARtABCE中，EF=iBC=CF：

(2)解：由(1)得：△ACE是等腰直角三角形,

AZBAC=ZACE=45°,

又TAB=AC,

/.ZABC=ZACB=1(180°-45°)=67.5U,

ZBCE=ZACB-ZACE=67.5°-45°=22.5°,

VCF=EF,

AZCEF=ZBCE=22.5°,

：NEFB是ACEF的外角，

/.ZEFB=ZCEF+ZBCE=22.5°+22.5°=45°.

2.【答案】(1)6；2

(2)解：PQLAB,

理由如下：在BQ上截取BE=BP,

??,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB的中點(diǎn),

A.4P=PB=4,

4

t=T=4s?

?'?BQ=4x2=8,

,PB=BE=4,々B=60%

???APE8是等邊三角形，

：?PE=BE=4,乙EPB=乙PEB=60°,

:?QE=PE=4,

工乙EPQ=乙EQP,

?:乙EPQ+AEQP=々PER=60°.

：.LQPE=30°,

：.乙QPE+乙EPB=90°=乙QPB,

：.PQLAB；

(3)解：當(dāng)04tW5,BQ=23

當(dāng)5〈"陰BQ=10-4(t-5)=30-43

???△8PQ是等邊三角形，

BPBQ

=,

82卻

-t-”

8

t--或￡=232

3

3.【答案】(1)解：???點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為2cm/s,

：.BP=2￡,

：,PC=10-2t；

(2)解：△CQP以WC為頂角的等腰三角形，

則PC=CQ,

PC=10-23CQ=t,

即10-2t=t,

解得：”當(dāng)

???當(dāng)￡=^S時(shí)，△口?「是以乙C為頂角的等腰三角形；

(3)解：①當(dāng)BP=CQ時(shí)，BD=CP,

此對△BPD=△CQP,

根據(jù)題意可得：BP=2t,CQ=at,BD=\AB=6?PC=10-23

J

/.2t=at,6=10—23

解得：Q=2,t=2,

②當(dāng)BP*CQ時(shí)，

1?△BP。與△CQP全等，Z.B=￡C,

：?BP=CP==5，BD=CQ=6,

..5

,CQ12.

??漢=—=-g-cm/5，

綜上可得：當(dāng)Q的速度為2cm/s或第cm/sO寸，△BPD與△CQP在某一時(shí)刻全等.

4.【答案】(1)VzC=90°,乙B=28°

???/.CAB=90—N8=90°-28°=62°

由折疊的性質(zhì)可知Z-CAE=LEAB

1

2LCAE=-ZLCAR=31°

(2)VzC=90°,AC=6,AB=10

=yjAB2-AC2=V102-62=8

由折疊的性質(zhì)可知AC=AD,CE=DE.^EDA=Zf=90°

:.乙EDB=1800-/-EDA=180°-90°=90°

設(shè)OE=%,貝I」BE=8一%,=10-6=4

在Rl△EDB中，ED2+DB2=EB2

/.X2+42=(8-X)2

解得x=3

:?DE=3

5.【答案】(I)證明：在Rt△ABC中，

\'AC=BC,?"4=乙ABC=45°.

???點(diǎn)。是A8的中點(diǎn)，."8CG=義乙4cB=45。，

：.LA=Z.BCG.

VBF1CE,乙CBG+乙BCF=90。.

'：LACE+Z.BCF=90°,

:?乙CBG=(ACE,

在△力CE和dCBG中,

Z.ACE=Z.CBG

AC=BC,:.△ACE=△CBG(ASA)

乙4=乙BCG

(2)解：結(jié)論仍然成立，HPAACE^ACBG.

理由如下：在RsABC中，

VAC=BC,.\ZA=ZABC=45°.

???點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，???ZBCG=iZACB=45°,

AZA=ZBCG.

VBF±CE,.\ZCBG+ZBCF=90o.

VZACE+ZBCF=90°,

AZCBG=ZACE,

在△力CE利ACBG中，

Z-ACE=乙CBG

AC=BC,:.△ACEWACBG(ASA)

LA=乙BCG

(3)解：在RJABC中，

VAC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

ACD1AB,CD=AD=BD=1AB=4,

在RtABDG中，DG=y/BG2-BD2=V52-42=3,

點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)的過程中，分兩種情況討論：

①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，CG=CD-DG=1,

,:&ACE^ACBG,

.*.AE=CG=1；

②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)D的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，CG=CD+DG=7,

,?△ACE^ACBG,

.,.AE=CG=7.

故答案為：1或7.

6.【答案】(I)NM=NP；60°

(2)解：△MNP是等邊三角形.理由如下：由旋轉(zhuǎn)可得，ZBAD=ZCAE,又??'AB=AC,AD=

AE,???△ABD咨ZXACE(SAS；,ABD=CE,ZABD=ZACE,丁點(diǎn)M、N、P分別為DE、BE、

BC的中點(diǎn).AMN=iBD,PN=lcE,MN〃BD,PN〃CE,AMN=PN,ZENM=ZEBD,

ZBPN=ZBCE,，NENP=NNBP+NNPB=NNBP+NECB,VZEBD=ZABD+ZABE=

NACE+ZABE,NMNP=ZMNE+ZENP=ZACE+ZABE+ZEBC+ZEBC4-ZECB=

180°-ZBAC=60°,???△MNP是等邊三角形.

7.【答案】（1）解：如圖即為所求，

(2)解：是等邊三角形.

如圖，連接BD、CE,

由點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于直線BC對稱可知BF垂直平分DE,

CD=CE,BD=BE

由旋轉(zhuǎn)可知AB=AD,LBAD=60°,

“ABD為等邊三角形

AB=BD=AD.^BAD=^ABD=60°

/-CAD=60°-^BAC

???AB=AC

180-^BAC。ABAC

???乙ABC=----------5-----------=90--------5—,BE=BD=AB=AC

乙乙

。BACo。BAC

乙FBD=乙ABC-乙ABD=90---------------60=30-------—

乙EBD=2乙FBD=60°-Z-BAC

Z-CAD=乙FBD

在△4C0和ABED中,

AD=BD

4C40=乙EBD

AC=BE

ACD=△BEDIAS)

ACD=ED

:.CD=ED=CE

??.△COE是等邊三角形；

（3）解：存在，

如圖，將ABCD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△4BC',廷長AC交直線CE于點(diǎn)P,連接BP,

由（2）得△CDE是等邊二角形,

Z.DCE=60

二(DCF=Z.ECF=30°

???乙BCD=150°

由旋轉(zhuǎn)可得CD=CA./.CBC=60°,z8C'4=乙BCD=150°,

???乙BC'P=30°

???PA-PB=CD,PA-PC=C'A=CD

PB=PC1

Z-CBP=乙BC'P=30°

:.乙PBC=30°

???乙BCP=乙ECF=30°

???乙PBC=乙BCP

BP=CP

所以直線CE上存在點(diǎn)P,使得PA-PB=CD成立，點(diǎn)P在點(diǎn)C左邊距離為CE長的位置.

8.【答案】（1）證明：證法一：???401CM,BE工CM.

-.AD||BE,

LADM=乙BEM=90°（或乙DAM=iEBM）

■:點(diǎn)M為A8的中點(diǎn),

：,AM=BM

???LAMD=乙BME,

，△ADMBEM

.'.AD=BE

訓(xùn)邊形40BE是平行四邊形

證法二：vAD1CM,BE上CM.

???/.ADM=乙BEM=90°

???點(diǎn)M為48的中點(diǎn)，

:.AM=BM

vLAMD=乙BME,

???△ADM=△BEM

???DM=EM

???四邊形4DBE是平行四邊形

(2)證明:延長。。交BE于F,

vAD1CM,BE1CM.

???AD||BE,乙BEM=90°

LDAO=乙EBO,/.ODE+Z-OFE=乙DEO+乙FEO=90°

???點(diǎn)O在DE的垂直平分線上，.?.0。=EO

乙ODE=乙DEO

???乙OFE=乙FEO

/.FO=EO

???DO=FO

Z.AOD=Z.BOF

ADO=△BFO

：.A0=BO.

9.【答案】(1)2<AD<6

(2)解：如圖2,延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM、EM

c

圖2

同(1)得：△BMD=△CFD(SAS)

：.BM=CF

YDE1DF,DM=DF

：.DE是MF的垂直平分線

：.EM=EF

在ABME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM>EM

：.BE+CF>EF；

(3)解：BE+DF=EF；證明如下：

如圖3,延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN

圖3

*：LABC+ZD=180°,乙NBC+LABC=180°

，乙NBC=乙。

(BN=DF

在△NBC和LFDC中，/NBC=2。

(CB=CD

/.△NBC會(huì)△FOC(SAS)

：?CN=CF,乙NCB=cFCD

???乙BCD=140°,乙ECF=70°

，乙BCE+乙FCD=70°

:?乙BCE+乙NCB=70°

:?乙ECN=70°=乙ECF

CN=CF

在△NCE和△FCE中，乙ECN=乙ECF

CE=CE

“NCE?FCE(SAS)

：?EN=EF

?：BE+BN=EN

：?BE+DF=EF.

10?【答案】(1)解：???直線y=mx+m交x軸于點(diǎn)A,交y軸的正半軸于點(diǎn)B,

當(dāng)x=0時(shí),y=m,

AB(0,m)

當(dāng)y=()時(shí)，mx+m=0,解得x=-l

AA(-1,0)

/.OA=l,OB=m

??一csOBm4”八OBm

?tanz.BAO=詆=y=?n,tanz_BCO=灰=瓦

又tanz.BAO=3tanz_BC。

.3m

??k

.\OC=3

AC(3,0)

(2)解：過點(diǎn)P作PH_Lx軸于點(diǎn)H,則/PHA=90*NBOC

???NPAH+NAPH=90。

VAPXBC

，ZAEC=90°

AZPAH+ZBCO=90°

AZAPH=ZBCO

VAP=BC

.*.△APH^ABCO,

???PH=OC=3,AH=BO,

則m=l+1；

(3)解：過點(diǎn)E作EM_Lx軸于點(diǎn)M,延長ME交BD于N,則NNMO=90。

y

〈AAPHg△BCO,PH=3=OC,BD=m-3

/.ZDBF-ZPAH,

???PD_Ly軸

:.ZPDO=ZPHO=ZDOH=ZNMO=90°

AZNPE=ZPAH=ZDBF

VBF=PE

:?&BDF^APNE,

???BD:NP=ni-3=MH,

VOH=t

/.OM=OH-MH=OH-MH=t-(m-3)=t-m+3

乂OC=3

/.CM=OC-OM=3-(t-m+3)=m-t

,:m=t+1

/.CM=m-t=l

AM=AH-MH=(1+t)-(m-3)=l+t-m+3=3

VZCEM=ZEAM

.1_EM

??麗=丁

故EM=V3

A:anZEAM=tanZCBO

.EM733

??麗W

m=3V3.

IL【答案】（1）解：如圖4,延長CB、DE交于點(diǎn)H.

圖4

△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到△ADE

三△AOE,Z.CAE=LBAD=90°,ZH=90°,

：.AB=AD=6,AC=AE=6,Z.DAE=LBAC,DE=BC

V.4Z?=AC=6,乙BAC=30°

/.△ABC是等腰三角形，4BAE=乙CAE-ABAC=60°

：-LABC=180°尸4c=75。，

V.4F=/IB=6

是等邊三角形

:,BE=AB=6,乙ABE=60°

，乙EBH=180°-乙ABE-乙ABC=45°

???AEB”是等腰直角三角形

：.HE=HB.

V.4D=AB,Z,DAB=90°.

是等腰直角三角形，^BDA=45°.

在RtAEBH中,由勾股定理，得叱+叱=BE?.

：.HE2+HB2-62=36.

AHE2=HB2=18

?'HE=HB=V1S=3夜.

在A80”中，Z.H=90°,ABDH=/.EDA-^BDA=/.ABC-Z-BDA=30°.

在RMBDH中，BH=、BD=3近.

=6或.

在RtABDH中，tan4BOH=需，

?3&73

??而=丁

；?DH=3瓜

:?DE=DH-EH=3vs-3vL

?；DE=BC,

???BC的長是3遍-3vL

(2)解：四邊形力OFC是菱形.理由如下：

?；AABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120。得到△ADE,AB=AC,Z.BAC=30°,

：?&ABCz&ADE,Z-BAD=/-CAE=120°.

A.4C=AE,AB=AD,LBAC=^.DAE=30°.

：.AC=AE=AB=AD.

???AACE是等腰三角形

1800-N&4￡

：-LACE=^AEC==30°.

2

同理可得：4ABD=AADB=30°.

180°-zfi/lC

?：UCB==75°.

2

:?乙BCG=Z-ACB-/.ACE=45°,乙FBC=/-ABC+/.ABF=105°.

BFC中，乙BFG=180°-"BC-乙BCG=30°.

，乙BFG=/-ACE,乙BFG=乙ADB.

：.DB||AC,FC||AD.

???四邊形AD”是平行四邊形.

V.4D=AC,

，四邊形AON?是菱形.

（3）解：如圖5,作AHJ_BD于點(diǎn)H,則=90。

D.

E

A

G

BC

圖5

?；AABC繞點(diǎn)、A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)12。。得到△ADE,

：.LABC=^ADE,/.BAD=120°

：.AB=AD=6

/.△ABD是等腰三角形

ABH=DH=iBD

180°—484D

??乙ABD=Z.ADB==30°.

2

在RsABH中，NAHB=90。，ZABH=3O°,AB=6

:器=cosZ.ABH=cos30°

ABH=3V3

ABD=2BH=6>/3

由（2）知四邊形/WFC是菱形

DF=AD=6

.\BF=BD-DF=6X/3-6

當(dāng)A8GF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、B、F第一次三點(diǎn)共線時(shí)，如圖6,

△BGFaBG"F〃,

：.BF=BF〃

此討AF有最小值,

止匕時(shí)AF=A產(chǎn)〃=AB-8尸〃=AB-BF=6-(60-6)=12-673

圖6

當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、B、F第二次三點(diǎn)共線時(shí)，如圖7,

△BGF三ABG'F',

=BFf

此時(shí)AF有最大值，

止匕打AF=AB+FF/=AB+BF=6+6X/3-6=6V3

A

\I

F

故AF的最大值是6百，人產(chǎn)的最小值是12-6百

12.【答案】(1)等腰直角三角形

(2)①?.?AB=6,ZB=45°,ZADB=90°,

:NAD?+BD2=AB，

AAD=BD=3V2，

AEF=3a,

VZBFC=ZBAC=90°,

AZGFE=ZBAG,

VZAGP=ZEGF,

JNABQ=NGBF,

EGF^ABGA,

.FG_EF

??布=麗'

,FG_EF_342_42_1

??詬一而一丁一三一質(zhì)

故答案為：1:V2;

②如圖，過P作PM〃BC交CE與點(diǎn)M,

,EM_EP_1

??兩一前一T'

AEM=CM

AFM//BC,

JF在PM上，

，PF〃CD,

故答案為：平行；

@VBP=PE,BD=CD,

???DP為△BCE的中位線，

APD//CE,

VCE±BC,

APD±BC,

XVAD1BC,

二P在AD上，ZAPF=ZADC=90°,

IQ為AF的中點(diǎn),

???PQ=,

又?.?/B=45°,ZADB=90°,

?*,EF=芋48=3A/2，

AFC=EF=3V2，

/.AF=AC-CF=6-3y/2，

???PQ=鼻尸二3-挈；

乙L

(3)22.5?；?7.5。

13.【答案】(1)解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AABC經(jīng)ZXADE

AZBAC=ZDAE

?.?DF_LAC,點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，

AZCAD=90°

AZBAC=ZDAE=45°

VZACB=90°

???ZABC=90°-ZCAB=45°：

(2)?VAABC^AADE,則NBAC=NDAE=|NDAF

VZDAF=ZDBA,

Z.ZDAE=|ZDAF=1ZDBA

?:&ABC^AADE

AAB=AD

AZDBA=ZBDA,

設(shè)NBAONBAD-x,貝ij/DBA二NBDA-2x

,/ZBAD+ZABD+ZADB=18()u

.3+2*+2*=180。解得：x=36°

AZBAC=36°

，ZABC=90°-ZBAC=54°：

②竽百

14.【答案】（1）證明：:BD平分/ABC,

AZABE=ZFBE,

VBA=BF,BE=BE,

/.△ABE^AFBE(SAS),

AAE=FE,ZAEB=ZFEB=1x180°=90°,

乙

ABD垂直平分AF.

(2)解：BD=2CE,理由如下：

延長CE,交BA的延長線于G,

VCE1BD,ZABE=ZFBE,

/.GE-2CE-2GE,

VZCED=90°=ZBAD,NADB=/EDC,

AZABD=ZGCA,

又AB=AC,ZBAD=ZCAG,

:?&BAD^ACAG(ASA),

ABD=CG=2CE,

(3)解：FM=2CE,理由如下：

作FM的中垂線NH交CF于N,交FM于H,

AZNMH=ZNBH,

VZEFC=|ZABC=22.5°,

AZMNC=2ZNFH=2x1ZABC=ZABC,

VAB=AC,ZBAC=90,

JZABC=ZACB=ZMNC=45°.

ANM=CM=FN,

VZEMC=ZMFC+ZMCF=22.5O4-45O=67.5°,

???ZECM=90°-ZEMC=22.5°,

AZNFH=ZMCE,

又?.?NFHN=NE=90。，

FNH^ACME(AAS),

/.FH=CE,

，F(xiàn)M=2FH=2CE.

15.【答案】(1)解：①???菱形ABCD,

AAB=AD,ZABC=ZADC,AD〃BC,

VAE±BC,

AAE1AD,

???ZEAF+ZDAF=ZBAE+ZABE=90°,

VZEAF=ZABC,

.\ZDAF=ZBAE,

在^ABE和巳ADF中

(/.ABC=乙ADC

AB=AD

Z.DAF=4BAE

:?&ABE^AADF(ASA)

.\AE=AF.

②連接AC,

:菱形ABCD,

AAB=BC=CD,AC1BD,

,:&ABE四△ADF,

ABE=CF,

ACE=CF

VAE=AF

AAC±EF

，BD〃FE,

CEF^ACBD,

.EC_EF_2

?,瓦=阮=5

設(shè)EC=2a,貝IJAB=BC=5x,BE=3a,

?'?AE=>j25a2—9a2=4a，

?嚼=%，ZEAF=ZABC,

???△AEFS/XBAC,

2