2023年中考數(shù)學核心考點+重點題型+高分秘籍+題組訓練+過關檢測-圖形的相似

中考數(shù)學一輪復習資料五合一

《核心考點+重點題型+高分秘籍+題組特訓+過關檢測》

（全國通用版）

第22釬囹形的相依

核心考點］：比例的相關概念及性質(zhì)

1.線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比.

ab

2.比例中項：如果后公即〃2=改,我們就把〃叫做a,c的比例中項.

3.比例的性質(zhì)

性質(zhì)內(nèi)容

aC

性質(zhì)1—<=>ad=bc(ab,c,dXO).

bd

,ace,c±d

性質(zhì)2如果m丁=二，那么一^二一^.

baba

,ac"2,、?+c+,,,+/??in一3

性質(zhì)3如果一二-=???=—(/>+[+???+”,()),貝ij-------------------=一(不唯一).

bdnb+d+?,?+?n

4.黃金分割：如果點C把線段A8分成兩條線段，使把二空，那么點。叫做線段4C的黃金分割點，

ABAC

AC是3c與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比.

核心考點［：相似三角形的判定及性質(zhì)

1.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比口1|做相似比.

2.性質(zhì)：1）相似三角形的對應角相等；2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；

3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方.

3.判定：1）有兩角對應相等，兩三角形相似；2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似：3）三邊

對立成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：

I）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）;

2）條件中若有一對等角，可再找一對等角［用判定（1）］或再找夾邊成比例［用判定（2）］；

3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；

4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；

5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例.

核心考點相似多邊形

1.定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做它們的相

似比.

2.性質(zhì)：1）相似多邊形的對應邊成比例；2）相似多邊形的時應角相等；3）相似多邊形周長的比等于相

似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方.

1.定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直

線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比.

2.性質(zhì)：I）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為鼠那么位似圖形對應點的

坐標的比等于攵或-木2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相以比.

3.找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即

是位似中心.

4.畫位似圖形的步驟：

1）確定位似中心；2）確定原圖形的關鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；4）作出原

圖形中各關鍵點的對應點：5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點.

圖形的相似是非常重要的一塊內(nèi)容，內(nèi)容相對較難，涉及到的題型也比較多。

倒一考查黃金分割、比例性質(zhì)

1.如果點C是線段A8的黃金分割點（AC>8C）,那么下列結(jié)論正確的為（）

A.-=0.168B.C.BC2=ACABD.AC2=BCAB

ABBC=2

【分析】根據(jù)黃金分割的概念進行判斷即可.

【詳解】解：,點C是線段48的黃金分割點，AOBC,

一?AC是BC和的比例中項，即生=%=五二1,

ACAB2

???AC2=ABBC,

???選項A、B、C結(jié)論錯誤，不符合題意，選項D結(jié)論正確，符合題意,

故選：D.

【反思】本題考查的是黃金分割，理解黃金分割的概念，找出黃金分割中成比例的對應線段是解決問題

的關鍵.

2.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工.如圖，。是A8

的黃金分割點（AP>4P）,若線段/W的長為4cm,則AP的長為（）

■

A.25/5-2D.2>/5-1

⑥【分析】根據(jù)黃金分割的定義可得心=與1"據(jù)此求解即可.

【詳解】解：是43的黃金分割點（AP>8P）,A4=4cm,

AP=^^-x4=（2x/5-2）cm；

故選：A.

【反思】本題主要考查了黃金分割比例，熟知黃金分割比例是解題的關鍵.

考查相似的性質(zhì)

自2

3.已知兩個相似多邊形的面積之比是1:4,則這兩個相似多邊形的相似比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

Q【分析】根據(jù)相似多邊形的面積之比等于相似比的平方計算選擇即可.

【詳解】???兩個相似多邊形的面積之比是1:4,

這兩個相似多邊形的相似比是1:〃=1:2,

故選A.

【反思】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似多邊形的面積之比等于相似比的平方是解題的關

鍵.

考查平行線分線段成比例定理

4.如圖，直線4〃/2〃朵直線AC和Z)尸被4,L4所截，48=5,BC=6,EF=4,則DE的長為

()

c10

A.2B.3C.4D.—

3

e【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得出比例式，代入求出即可.

【詳解】解：?4〃4〃兒

.ABDE

~BC~~EF'

?_5_—_D_E_

解得。E=

故選：D.

【反思】本題考查了平行線分線段成比例定理，能根據(jù)平行線分線段成比例定理得出正確的比例式是解

此題的關鍵

考杳相似三角形的性質(zhì)與判定

5.如圖，AO￡S；A3C,若AO=I,40=2,則花與ABC的相似比是()

A.1:4B.1:3

【分析】根據(jù)相似三角形對應邊的比等于相似比求解.

【詳解】解：AADESSB。,

ADAD1

-----=--------------=—.

ABAD+BD3

故選：B.

【反思】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

6.如圖，ZA=ZB=90\AB=7,BC=3,AD=2,在邊A8上取點P,使得4%。與PBC相似，則滿足條

件的點P有（）

A,1個B.2個

【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)分兩種情況列式計算：①若;②若

AAPDSABCP.

【詳解】解：1ZA=ZB=90°,

若一24。與.PBC相似，可分兩種情況：

①若△”"△即。,

APAD

貝niIl——=——

BPBC

AP2

7-AP3

解得AP=2￡

②若△APDs/^BCP,

.APAD

貝niI——=——,

BCBP

.AP__2_

"~T~7-AP

解得Ao=1或6.

，則滿足條件的AP長為2.8或1或6.

故選：C.

【反思】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確進行分類討論是解題的關鍵.

7.如圖，在ABC中，AB=AC,點。為線段BC上一動點（不與點8,C重合），連接AO,作

ZA￡>E=Z5=40°,OE交線段AC于點E.

下面是某學習小組根據(jù)題意得到的結(jié)論：

甲司學：AABDADCE；

乙司學：若4）=。E，則8￡>=CE；

丙司學：當OE上AC時，。為BC的中點.

則下列說法正確的是（）

C.甲和丙同學正確D.三個同學都正確

目【分析】在.A5C中，依據(jù)三角形外角及已知可得N84O=NCOE,結(jié)合等腰三角形易證

△ABD△0CE；結(jié)合4D=OR易證△ABOgAOCE,得到8O=CE；當OE上AC時，結(jié)合已知求得

Z￡DC=50",易證AD/6C,依據(jù)等腰三角形“三線合一“得=CD

【詳解】解：在以8c中，

AB=AC,

.-.ZC=ZB=40°,

4+NBAD=/CDE+ZADE,ZADE=ZB=40°,

;2BAD=/CDE,

ABD~DCE,

甲司學正確；

ZC=Zfi,ZBAD=ZCDE,AD=DE,

ABD^^DCE,

BD=CE,

乙司學正確；

當OE/AC時，

/.ZDEC=90°,

OO

.-.ZEDC=9()-ZC=5()I

/ADC=ZADE+NEDC=90°,

:.ADA.BC,

AB=AC.

BD=CD,

D為BC的中點,

丙司學正確;

綜上所述：三個同學都正確

故選：D.

【反思】本題考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)；

解題的關鍵是通過“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和”得至=.

8.下列證方形方格中四個三角形中，與甲圖中的三角形相似的是（)

A.

【分析】先根據(jù)勾股定理求出各三角形的邊長，再根據(jù)三邊對應成比例的兩個三角形相似，即可求

解.

【詳解】解：設網(wǎng)格中小正方形的邊長為1,則給出的三角形三邊長分別為啦,2?府,

A、三角形三邊長分別是2,#+3?=30

2yr\/10_>/53>/2_3>/5

因為忑='2,呈赤

所以貝。正w邁與給出的二角形的各邊不成比例，故此選項不符合題意；

25

V2_2>/2_V10

三角形三邊長分別是2,4,7?壽=2石，因為所以與給出的三角形的各邊成比

B、~2=~=275

例故此選項符合題意；

722V2Vio

C、三角形三邊長分別是2,3,7?萬=屈，因為與給出的三角形的各邊不成比例，故

23vH

此選項不符合題意;

因為辛工學工叵

D、三角形三邊長分別是巧丁=石，疹了=舊,4.所以與給出的三角形

后h4

的各邊不成比例，故此選項不符合題意；

故選：B.

【反思】本題主要考查了兩三角形相似的判定定理，熟練掌握三邊對應成比例的兩個三角形相似是解題

的關鍵.

窗5一

考查相似三角形的應用

9.如圖，李老師用自制的直角三角形紙板去測“步云閣”的高度，他調(diào)整自己的位置，設法使斜邊。尸

保持水平，邊OE與點8在同一直線上.已知直角三角紙板中0E=l8cm,FF=12cm.測得眼睛。離地

面的高度為1.8m,他與“步云閣”的水平距離CD為114m,則“步云閣”的高度A8是（）

步云閣

A.74.2mB.77.8mC.79.6mD.79.8m

r）pFF

【分析】先證明AOE尸得到崇二大，求出8c=76m,即可得到“步云閣”的高度.

CDBC

【詳解】解：NOE/7=NBC。=90。，ND=ND,

.IDEFS&DCB,

.DEEF

''CD~~BC'

DE=18cm,EF=12cm,C￡)=114m,

.二12

'H4"BC

.\BC=76m

測得眼睛。離地面的高度為1.8m,

AC=1.8m

:.AB=AC+BC=1.8+76=77.8m,

故選B.

【反思】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)時解題關鍵.

10.數(shù)學實踐課上，小明在測量教學樓高度時，先測出教學樓落在地面上的影長仍為20米（如圖），然

后在A處樹立一根高3米的標桿，測得標桿的影長AC為4米，則樓高為（）

/DD

,DD

田

A.10米B.12米C.15米D.25米

【分析】根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，即可求解.

標桿的高一樓高

【詳解】標桿的影長一康看'

3樓高

即=

4-

20

「?樓高=15米，

故選：C.

【反思】本題考查了相似三角形在測量高度時的應用，找出相似三角形是解決問題的關鍵.

考杳位似圖形的性質(zhì)

11.下圖所示的四種畫法中，能使得.QE尸是二ABC位似圖形的有（）

H【分析】根據(jù)每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應邊互相平行，逐項分析判斷即可求解.

【詳解】解：，?每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，且對應邊互相平行

???①②3④能使得一QE尸是,A8C位似圖形,

故選：D.

【反思】本題考查了位圖圖形的性質(zhì)與畫法，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關鍵.

考查相似三角形的性質(zhì)與判定（解答題）

12.已知，在4ABe中，D,E分別是邊AC,AB上的點，連接8。，CE,DE.EC和8。相交于點

0且ZABC=ZADE.

Q）求證：4ABCS4ADE；

⑵若帶亮，求第的值?

【分析】（1）用相似三角形的判定方法：兩角對應相等的兩三角形相似，找出NABC=N/1DE,

NA=4即可證明；

（2）用相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應邊成比例，然后進行轉(zhuǎn)換即可求解.

【詳解】（1）證明：NABC=NAOE,ZA=Z4,

「?AABCSAADE.

（2）V^ABC^^ADE,

ACAB

:?——=——,

AEAD

.AC_AE

一而-75'

??AE_9

,而一6

,AC_9

一而一16'

【反思】本題考查了相似三角形的判定方法及性質(zhì)，掌握判定方法及性質(zhì)是解題的關鍵.

13.【教材原題】如圉①，在A5C中，DE//BC,且AD=3,DI3-2,圖中的相似三角形是

它們的相似比為；

【改編】將圖①中的VAO￡繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖②所示的位置，連接30、CE.求證：

【應用】如圖③，在aABC和V4）石中，ZBAC=ZDAE=90°,NA3C=ZA￡>￡=30。，點。在邊8C

上連接CE,則AACE與△A8D的面積比為.

圖①圖②圖③

【分析】教材原題：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得WE=NB.ZAED=ZC,即可得出

△ADEs^ABC,再求出對應邊的比，即可得出相似比；

AnACADAB

改編：根據(jù)AADE^/XABC得出N84C=/DAE,——=—,進而得出/BAD=ZCAE,

ABAC~AE~~AC

即可求證；

應用：根據(jù)皿C=〃4E=90。ZABC=ZADE=3^^BC^ADE,則要,進而得出

ABD-.ACE,根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方，即可求解.

【詳解】教材原題

解：=DE//BC,

-ZADE=ZB,ZAED=ZC,

???AADEs^ABC；

/AD=3,DB=2,

AB=AD+DB=5,

,相似比為當=■!.

AB5

3

故答案為：△ADEsXABC、-；

J

改編：證明：??,△ADEs/\ABC,

ADAE

-^BAC=ZDAE.

~AB~~AC

???ABAC-ZC4D=ZDAE-ZCAD,

ADAB

ZBAD=ZCAE,

~AE~~AC

??△ABOSQCE.

應用：???N3AC=N〃E=900,ZS4BC=Z4DE=30°,

AABCS^ADE,

碧=釜則賓=,

?NR4C=N"E=90。，

Zft4C=ZZME=90°,

.ABAC-ADAC=ZDAE-ADAC,即NBAO=NC4M

-AABDACE,

?ZZ?/4C-90°,zTABC=300,

6

?-A-C-=---?

AB3

SACE

s

JAfil)3

故答案為：!

【反思】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定定理和性

質(zhì).

14.如圖，ABC是等腰直角三角形，AB=AC,點DE,尸分別在A8,BC,AC邊上,

DEVDF,NDEF=45。,。尸的延長線與8C的延長線相交于點G.

⑴不添加輔助線，在圖中找出一個與4友用相似的三角形(不需證明)；

(2)若4。=1,AF=2,求EC的長；

(3)若tan/8OE=21.求F3G的值.

2EB

【分析】(1)由等腰直角二角形的性質(zhì)可得/8=NC'=45'再說明=即可解答；

(2)如圖：過點E作E7/J_A'垂足為“，先證VAE尸WV的可得AO=E〃=1,AE=OH=2進而得

到BH=HE=1,再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得8￡=夜8”=虛、BC=gB=4及,最后根據(jù)線

段的和差即可解答.

EH

(3)過點C作MC_LAC,交。G于點M,可得C例〃A8,再根據(jù)三角函數(shù)可得!,設EH-m,

DH2

則DH—2，%結(jié)合(2)可得EH=AD=EH=m,DH=AF=2，n,RE=、再證明

\ADF?VCM"ASA)可得AO=CM=in,然后再證明NBDG:NCMG可得一=「即

BDBG

S=茄，解得CG=2〃!，進而求得EG=5夜〃7,最后代數(shù)求解即可.

【詳解】⑴解：結(jié)論：ABDE-CEF.如下：

理由：???AB=AC,ZA=90°,

ZB=ZC=45°.

/BDE+/BED=180°-ZB=I35°.

???/DEF=45。,

AZBED+NFEG=180°-/DEF=135°,

???/BDE=NFEG,

??&BDECEF.

(2)解：如圖：過點E作E”_L/W,垂足為凡

-DEIDF,

ZEDF=90°,

vZDEF=45°,

???DE=DF,

ZADF+NEDB=90°,/ADF+ZAFD=90°,

???ZAFD=ZEDB,

??NA=/&/￡)=90°,

??一ADFmHED(AAS),

:.AD=EH=1,AF=DH=2,

ZB/7E=90°,ZB=45°,

??BH=HE=1,

??BE=6BH=五,AB=AD+DH+BH=4,

BC=42AB=4>/2.

EC=BC-BE=36?

(3)解：如圖：過點C作MC_LAC,交。G于點M,

.*.Z4=ZMC4=90°,

CM//AB,

在中，tanZBDE=-,

2

?,.E-H=_\

DH2

設EH=m,貝1」?！?2利，

由(2)得：EH=AD=BH=m,DH=AF=2叫BE=y[lBH

AC=AB=AD+DH+BH=4/?.

???BC=0AB=4島,CF=AC-AF=4m-2m=2m.

AF=CF,

?//A=/MCF=90°,/AFD=/MFC,

VA。/二VCM"(ASA),

AD=CM=m,

'.CM//AB.

："B=ZMCG,/BDG=/CMG,

??.YBDG:7CMG,

,CMCG

'~BD~~BG

m_CG

"3m~CG+4y/2nt

CG=2m,

EG=BC+CG-BE=，

.EG_5yf2m_

?百石"

的值為5.

EB

【反思】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理

等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)以及構(gòu)造相似三角形是本題的關鍵.

15.如圖所示，在正方形A8CO中，P是BC上的點，且8P=3PC,。是C。的中點.

(l)AAOQ與△QCP是否相似？為什么？

⑵試問：AQ與PQ有什么關系？

g【分析】(1)在所要求證的兩個三角形中，已知的等量條件為：ZD=ZC=90°,若證明兩三角形相

似可證兩個三角形的對應直角邊成比例；

(2)AQ=2PQ,且AQ_LPQ.根據(jù)相似三角形的對應邊成比例即可求得AQ與。。的數(shù)量關系；根據(jù)相

似三角形的對應角相等即可證得AQ與PQ的位置關系.

【詳解】(1)解：證明：四邊形488是正方形，

:.AD=CD,NC=NO=90°；

又。是。。中點，

,-.CQ=DQ=^AD；

BP=3PC,

:.CP=-AD,

4

CQCP\

'~AD~~DQ~2,

又QNC=ND=90。,

：0DQS^QCP；

(2)AQ=2PQ,且AQ_LPQ.理由如下：

CQCP\

由⑴知，ADQ^,QCP,^\D~~DQ~2,

AQCQCP=i

則~QP~~AD~~DQ~2

AQ=2PQ；

"DQS/XQC/5,

:&QD=/QPC,ZDAQ=ZPQC,

:.Z.PQC+/DQA=^DAQ+ZAQD=90°,

:.AQLQP.

【反思】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì).相似三角形的對應邊成比例、對應角相等，熟練掌握相

似三角形的判定和性質(zhì)是解題關鍵.

——從不同角度思考問題，你會有不同收獲

在學習數(shù)學，做數(shù)學題的過程中，我們對待一個問題或者說一個幾何問題或代數(shù)問題,可以從不同

角度出發(fā)，從不同角度思考問題，收獲會更多，比如，平面幾何問題中，經(jīng)常會遇到計算線段長度的問

題我們可以從四個不同角度處理和思考這個問題，其一，我們從勾股定理方面想，可以構(gòu)造直角三角

形解決；其二，我們從相似三角形的角度出發(fā)，可以構(gòu)造相似三角形解決；其三，我們也可以利用三角

函數(shù)解決；其四，有時我們利用等積法來處理計算線段長度問題很簡單的，從不同角度出發(fā)，收獲會更

大,

秘籍十五：從不同角度思考問題，你會有不同收獲

一、選擇題

1.如圖，在二48c中，點O,E,尸分別是邊A3,AC,8C上的點，DE〃BC、EF//AB,且

AD:DB=3:5,那么CF:CB等于()

C.3:5D.2:5

2.如圖，在平面直角坐標系中，點4、4分別在工軸負半軸和y軸正半軸上，OC:BC=l:2t連接AC,

過點。作OP〃/W交AC的延長線于P,若P(W),則A/S的長為()

3.如圖，在正方形A8CD中，點E在4。邊上，且OE=3AE,連接跖，CE,EF平分NBEC,過點B

作即_L￡F于點?，若正方形的邊長為4,則△8FC的面積是（）

△16-4V1316-4V17

RC.2。一歹D.8-2717

53

4如圖，在平行四邊形488中，E為A8上一點，且AE：EB=U2,4。與DE相交于點反

S.AEF=3,則S,AC/）為（）

A.9B.12C.27D.36

5.如圖，在ABC中，D.E,r分別是邊8C,AB.4c上的點，若ZB=NC=NEDF,則下列等式

一定成立的是（）

A

cDEBEBDDE

C.-----=-----

ABBC~CF~~DF

6.如圖，在平面直角坐標系中，已知4-3,-2）,8（0,-2）,C（-3,0）,M是線段A8上的一個動點，連接

CM,過點M作MNL0C交）軸于點N.若點M,N在直線y=&+。上，則的最大值是（）

7.已知且NA=50。，N8=85。，則NG等于（）

A.25°B.45°C.50°D.95°

8.如圖所示，/AC與。所是位似圖形，點O為位似中心.若00=204,/4C的周長為3,則

33

CD

2-4-

9.如圖，在/WC中，AB=S,8c=16,點P從A開始沿A/3邊向點4以2個單位/秒的速度移動，點。從

點3開始沿8。邊向點。以4個單位/秒的速度移動，如果尸、。分別同時出發(fā)，經(jīng)過（）秒后,

△PBQ與A8C相似.

B

Q

0c

AC

545

A.2B.-C.一或2D.一或2

454

10.如圖，在矩形438中，點、E、尸分別在邊A。、DC±,JBE-DEF、AB=6,DE=2,

DF=3,則屬的長是（）

二、填空題

".已知△A8CsZX。a叱若A8C的三邊分別長為6,8,1C,，無產(chǎn)的面積為96,則/）￡尸的周長為

12.如圖，RtZXABC中，ZACT=90°,4C=3,BC=4,點D在線段A8上運動，過點。作

DE1BC,垂足為點E,若,CQE與“比陀相似，則線段?！甑拈L為；

A

cEB

13.如圖，矩形人8c。中，AB=8,AD=3,點七為的中點，點。為邊A8上一個動點，連接

AE'PE.過點P作。QJLAE于點Q,當VQ￡與VAOE相似時,人夕的長為______.

D入EC

ApB

14.如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1.0）,點。的坐標為（3,0）,若A8C與1）印是位似圖

形則三三的值是.

15.如圖，在平面直角坐標系中，正方形A/G&與正方形是以。為位似中心的位似圖形，且

位似比為:，點4,4,4在X軸上，延長4G交射線。4與點4,以A也為邊作正方形4383c3A4；延

長AG,交射線。4與點鳥，以義與為邊作正方形4名。44；…按照這樣的規(guī)律繼續(xù)作下去，若

三、解答題

16.如圖，。為ABC內(nèi)的一點，E為ABC外的一點，且NABC=NDBE,/BAD=NBCE.

⑴求證：.ABD^CBE；

⑵若A8:O8=5:2,AC=6,直接寫出線段OE的長度為.

17.如圖，已知ABC,AB=2,BC=5,且48c=2NC,將邊8C反向延長至點D使O8=A8,連

接人。

A

⑴求證：ADBA-ADAC；

⑵求AC的長.

18.如圖，。是48。的外接圓，點。在8c邊上，N84C的平分線交0。于點。連接3D、CD,

過點D作BC的平行線與AC的延長線相交于點P.

⑴求證：P。是0的切線；

⑵求證：^ABD^/XDCP；

⑶若AB=6,AC=8,求C/的長.

19.如圖，_A8c是等腰直角三角形，A8=AC,點。，E,尸分別在4氏BC,AC邊上,

DEIDF,/。所=45。，￡）b的延長線與的延長線相交于點G

⑴不添加輔助線，在圖中找出一個與△放）E相似的三角形（不需證明）；

(2)若AO=1,AF=2,求EC的長；

IFG

(3)若tanN3OE=《?求號的值.

2EB

20.(1)如圖1,RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一點，AE=5,EDA.AB,

垂足為。，求AZ）的長.

（2）類比探究：如圖2,4ABe中，AC=14,BC=6,點。，E分別在線段48,AC上,

ZEDB=ZACB=(^°,DE=2,求4。的長.

(3)拓展延伸：如圖3,二A8C中，點。，點E分別在線段AB,AC上，NEDB=ZACB=60。,延長

DE,8c交于點尸，AD=4,DE=5,EF=6,求80=.

一、選擇題

1.如圖，已知點C是線段AB上的一點，且滿足普=絲，貝!()

BCACBC

11I

ACB

A.^±1B.^±1C.0.^1

2222

2.在學習畫線段AB的黃金分割點時，小明過點8作AB的垂線BC,取AB的中點M,以點B為圓心.

8M為半徑畫弧交射線8c于點。，連接A。，再以點。為圓心，為半徑畫弧，前后所畫的兩弧分別與

A0交于￡F兩點，最后，以A為圓心、，的長度為半徑畫弧交A3于點H,點〃即為A8的其中

一個黃金分割點，這里的“■■”指的是線段()

3.如圖，P是以8c重心，EF/7BC且經(jīng)過點P,則廣的值為()

A

4.如圖，在矩形紙片A4C。中，AB=6,AC=10,點E在C7）上，將.BCE沿跖折疊，點。恰好落在

邊人。上的點尸處，點G在人廠上，將ABG沿8G折疊，點人恰好落在線段上的，處，有下列結(jié)

論：①NE8G=45。；②25詆=55柘〃;③ADEF/\ABG；?4CE=5ED.其中正確的是()

A.①②③B.①③④c.?2)?D.①(2③④

5.四邊形A4CO中，點尸在邊4。上,8廠的延長線交C。的延長線于E點，下列式子中能判斷AO〃BC

的式子是（）

FDED、AFBF「ABAF_EFED

AA.---=-----B.-----=—C.-----=-----D.-----=-----

BCECDFEFEDFDBEEC

6.如圖，在ABC中，點O,E分別在A8,AC上，DE//I3C,ZABE=ZAED,且AB=6,

AC=9,則CE的長為（）

A

A.9一3后D.3瓜

7.如圖，正方形ABC。中，M為3C上一點，MEYAM,M￡1交4）的延長線于點E,若A￡?=8,

BM=6,則QE的長為（）

8.如圖，在二A8C中，BD平分乙48c交AC于點。.過點。作DE//BC交4B于點巴AE：BE=3

2,且..ADE的面積為3,則8c。的面積為（）

9.如圖.在△A8C中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,點。在AC邊上，且A￡>=2,動點P在BC邊

上將△POC沿直線翻折，點C的對應點為￡則△AE8面積的最小值是（）

人

10.如圖，在AA3C中，AB=AC=3,8c=4,點。，石分別是邊AB,BC上的點，連結(jié)。石，將

沿。E1翻折得到ATOE,點3的對稱點尸恰好落在邊AC上.若以點C,E,尸為頂點的三角形與

A48C相似，則破的長為（）

“、12八12f「12.

A.2B.—C.—或2D.—或2

775

二、填空題

".在矩形A8C。中，AB=10,AO=4,點￡：在邊人B上，若VAOE與$BC￡相似，則AE的長為

12.+.AB=AC=5,BC=6,點。、點七分別為邊48、邊6c上的點，連接。上，將△出也

沿直線DE折疊，使點8落在邊4C上的點尸處，若△€1￡”與.45。相似，則防的長為.

13.如圖，在‘A8C中，AB=AC=5,比、=8,點P是8c邊上的動點，連接弁尸，作N4P￡=/B交AC

邊于點￡,若設=AE=y,則V關于1的函數(shù)表達式是__________o

14.如圖，正方形A86中，點P在8c上運動（不與反C重合），過點P作

PQLEP,交于點Q,設BP=X、CQ=y.

（1）y與x的函數(shù)關系為

(2)4=時，

15.如圖，在矩形A8CO中，點石為4。上一點，且AB=8,AE=3,BC=4,點P為48邊上一動點,

連接PC、PE,若分施與.PBC是相似三角形，則滿足條件的點P的個數(shù)為

三、解答題

16.如圖，AADE^AABC,且篇|,點。在"BC內(nèi)部，連接歐SCE?

(1)求證：.

⑵若CD=CE,BD=3,E.ZABD+ZACD=9()°,求的長.

17.如圖，在三邊互不相等的4?C中，4B=8cm,BC=16cm.動點P從A開始沿A8邊運動，速度為

2cm/秒，動點。同時從點B開始沿BC邊運動，速度為4cm/秒，當點尸到達點8時，P,。就不再運

動.設P.Q兩點運動時間為％秒，解決以下問題：

⑴證明：當x=2時，△BPQS/XBAC;

⑵若△BPQ與‘ABC相似，求工的值.

18.如圖，在平行四邊形A8CO中，過點8作6石_LCD,垂足為E連接AE/為AE上一點，且

ZBFE=ZC

⑴求證：4ABFJFEAD

⑵若4H=4,S平行四邊形小=苧，求AE的長

19.如圖1,在矩形A8C。中，BC=3,動點P從8出發(fā)，以每秒1個單位的速度，沿射線BC方向移

動作關于直線PA的對稱△物片，設點尸的運動時間為，(s).

⑴若AB=2百-

①如圖2,當點*落在4c上時，求證?.PCQS.ACA,

②是否存在異于圖2的時刻，使得是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的，的值？

若不存在，請說明理由.

⑵當P點不與C點重合時，若直線與直線相交于點M,且當i<3時存在某一時刻有結(jié)論

NPAM=45。成立，試探究：對于"3的任意時刻，結(jié)論-ZPAM=45°"是否總是成立？請說明理由.

⑴如圖L已知點8在直線CE上，點A,。在直線CE的同側(cè)，AB=AC,DE=CE,

美、TACBC

/BAC=/DEC=50,求證：—=—；

CECD

【,可題解決】在【初步探索】的基礎上，將A8C繞點C順時針旋轉(zhuǎn)(0＜。＜90),直線八E,8。交于

點尸，如圖2所不?

⑵當A4CE的面積達到最大時，。的度數(shù)為

(3)根據(jù)圖2,求證：/^ACE^/XBCD；

⑷根據(jù)圖2,求NBFE"的度數(shù)；

【類比應用】

⑸如圖3,在矩形A8CO和矩形DEFG中，AB=\,AD=DE=6DG=3,連接4G,RF,請直接寫

出票的值.

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（全國通用版）

第ZZ餅畫形的相何

敦獨特引咎解

一、選擇題

1.如圖，在ABC中，點。，E,r分別是邊AS,AC,8C上的點，DE〃BC、

EF//AB,且4）:08=35那么C/：C8等于（）

A.5:8B.3:8C.3:5D.2:5

【答案】A

【分析】根據(jù)平行線分線段成比例推導即可.

【詳解】解：AQ:DB=3:5,

.?.40：入8=5:8,

DE//BC,

CE:AC=BD:AB=5:8,

?-,EF//AB,

:.CF:CB=CE:AC=5:S,

故選：A.

【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理.注意掌握比例線段的對應關系是解題的關

鍵.

2.如圖，在平面直角坐標系中，點4、B分別在x軸負半軸和），軸正半軸上，

0C:BC=\:2,連接AC,過點。作0P〃A3交AC的延長線于P,若P（1，D,則A3的長

為（）

A.272B.V2C.2D.3

【答案】A

【分析】由P（1，D得OP二及，根據(jù)OP〃A8,有VCOP:VCBA,即得走=_L,故

AB2

AB=2丘.

【詳解】解：

?4-0P=五'

OP//AB,

AABC=NCOP,NBAC=ZP,

VCOP:VCBA,

.?.嘰空,，即與L

ABBC2AB2

二?AB-2>/2.

故選：A.

【點睛】本題考查坐標與圖形性質(zhì)，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質(zhì)定理.

3.如圖，在正方形A8CD中，點E1在A。邊上，且DE=3AE,連接BE,CE,EF平分

ZBEC,過點8作4"_LE產(chǎn)于點尸，若正方形的邊長為4,則△8FC的面積是（）

△16-4廂口16-4后C20T歷D.8-2V17

r\?，D?，

53

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求得BE=CE=5,sinZ.CED=sinZ.ECB=,延長質(zhì)