（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用64平面向量的應(yīng)用641平面幾何中的向量方法642向量在物理中的應(yīng)用舉例課后習(xí)題

6.4.1平面幾何中的向量方法6.4.2向量在物理中的應(yīng)用舉例課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.已知兩個力F1,F2的夾角為90°,它們的合力大小為10N,合力與F1的夾角為60°,那么F1的大小為()A.53N B.5N C.10N D.52N解析:|F1|=10×cos60°=5.故選B.答案:B2.已知A,B,C,D四點的坐標(biāo)分別是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),則四邊形ABCD為()A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形解析:由題意知,AB=(3,3),DC=(2,2),所以AB又因為|AB|≠|(zhì)DC|,所以四邊形ABCD為梯形.答案:A3.如圖,在△ABC中,O為BC的中點,若AB=1,AC=3,∠BAC=60°,則|OA|等于()A.1 B.2 C.132 D解析:因為O為BC的中點,所以AO=12(AB+AC),所以|AO|2=14(AB+AC)2=答案:C4.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D為AC中點,則cos∠BDC等于()A.725 B.725 C解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),即DB=(3,4),DC=(3,4).∵∠BDC為DB,∴cos∠BDC=DB答案:B5.(多選題)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,向量a,b滿足AB=2a,AC=2a+b,則下列結(jié)論正確的是()A.|b|=1 B.|a|=1C.a∥b D.(4a+b)⊥解析:因為AB=2a,AC=2a+b,所以b=AC-所以|b|=|BC|=2,故A錯誤;因為AB=2a,所以|AB|=2|a|=2,所以|a|=1,故B正確;因為a=12AB,b=所以a與b不平行,故C錯誤;因為4a+b=AB+所以(4a+b)·BC=(AB+AC)·(AC-AB所以(4a+b)⊥BC,故D正確答案:BD6.如圖,已知兩個力的大小和方向,則合力的大小為N;若在圖示坐標(biāo)系中用坐標(biāo)表示合力,則合力的坐標(biāo)為.

解析:因為F1=(2,3),F2=(3,1),所以合力F=F1+F2=(2,3)+(3,1)=(5,4),所以合力的大小為52+答案:41(5,4)7.已知A,B,C是單位圓上的三點,且OA+OB=OC,其中O為坐標(biāo)原點,則∠解析:如圖所示,由|OA|=|OB|=|OC|=1,OA+得四邊形OACB為邊長為1的菱形,且∠AOB=120°.答案:120°8.在四邊形ABCD中,已知AB=(4,2),AC=(7,4),AD=(3,6),則四邊形ABCD的面積是.

解析:∵BC=AC-AB∴四邊形ABCD為平行四邊形.又AB·BC=4×32×6∴平行四邊形ABCD為矩形.∵|AB|=42+(-2)2=25,|BC∴四邊形ABCD的面積S=|AB||BC|=25×35=30答案:309.已知兩個力F1=(3,4),F2=(6,5)作用于同一質(zhì)點,使之由點A(20,15)移動到點B(7,0).(1)求F1,F2分別對質(zhì)點所做的功;(2)求F1,F2的合力F對質(zhì)點所做的功.解:(1)AB=(7,0)(20,15)=(13,15),W1=F1·AB=(3,4)·(13,15)=3×(13)+4×(15)=W2=F2·AB=(6,5)·(13,15)=6×(13)+(5)×(15)=3故力F1,F2對質(zhì)點所做的功分別為99和3.(2)W=F·AB=(F1+F2)·AB=[(3,4)+(6,5)]=(9,1)·(13,15)=9×(13)+(1)×(15)=117+15=102.故合力F對質(zhì)點所做的功為102.10.如圖所示,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點,E是AB上的一點,且AE=2EB.求證:AD⊥CE.證明:AD·CE=(AC+CD)·(CA+AE)=AC=AC+12CB·13CA+23CB=1因為CA=CB,CA⊥CB,所以13|CA|2+13|CB即AD⊥二、B組1.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=4,點E為AB的中點,且DE⊥AC,則|DE|等于(A.52 B.23 C.3 D.解析:以點A為原點,AB,AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)D(0,y),則E(2,0),C(4,y),DE=(2,y),AC=(4,y),因為DE⊥AC,所以DE·AC=8y2=0,解得y所以|DE|=4+y2=答案:B2.在△ABC中,設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,若a·b=b·c=c·a,則△ABC的形狀為()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形解析:因為a·b=b·c,所以(ac)·b=0,而由向量加法的三角形法則可知,a+b+c=0,所以b=ac,所以(ac)·(ac)=0,即(ac)·(a+c)=0,得到a2c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故△ABC是等邊三角形.答案:B3.在△ABC中,設(shè)O是△ABC的外心,且AO=13AB+1A.30° B.45° C.60° D.90°解析:取BC的中點D,連接AD,則AB+AC=2AD.因為AO=13AB+13AC,所以23AD=AO,所以O(shè)是△ABC的重心答案:C4.(多選題)如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運動時設(shè)水的阻力大小不變,那么在小船勻速靠岸過程中,下列說法正確的是()A.繩子的拉力不斷增大 B.繩子的拉力不斷變小C.船的浮力不斷變小 D.船的浮力保持不變解析:設(shè)水的阻力為f,繩子的拉力為F,F與水平方向的夾角為θ則|F|cosθ=|f|,即|F|=|∵在小船靠岸過程中,θ增大,則cosθ減小,∴|F|增大.∵|F|sinθ與浮力的和等于小船的重力,重力大小不變,而|F|sinθ增大,∴小船的浮力減小.答案:AC5.一條漁船距對岸4km,以2km/h的速度大小向垂直于對岸的方向行駛,到達對岸時,船的實際行程為8km,則河水的流速大小是km/h.

解析:如圖,用v1表示河水的流速,v2表示船的速度,則v=v1+v2為船的實際航行速度.由圖知,|OA|=4,|OB|=8,則∠AOB=60°.∵|v2|=2,∴|v1|=|v2|tan60°=23即河水的流速大小是23km/h.答案:236.已知△AOB,點P在直線AB上,且滿足OP=2tPA+tOB(t∈R),則t=.

解析:∵OP=2t(OA-OP)+tOB,(2t+1)OP=2tOA+t∵A,B,P三點共線,∴2t2t+1+答案:17.有一艘在靜水中速度大小為10km/h的船,現(xiàn)船沿與河岸成60°角的方向向河的上游行駛.由于受水流的影響,結(jié)果沿垂直于河岸的方向駛達對岸.設(shè)河的兩岸平行,河水流速均勻.(1)設(shè)船相對于河岸和靜水的速度分別為u,v,河水的流速為w,求u,v,w之間的關(guān)系式;(2)求這條河河水的流速.解:(1)如圖,u是垂直到達河對岸方向的速度,v是與河岸成60°角的靜水中的船速,則v與u的夾角為30°.由題意知,u,v,w三條有向線段構(gòu)成一個直角三角形,其中OB=v,OC=u,OA=BC=由向量加法的三角形法則知,OC=OA+(2)∵|v|=10km/h,而|BC|=|OB|sin30°=10×12∴這條河河水的流速為5km/h,方向順著河岸向下.8.已知△ABC是等腰直角三角形,∠ABC=90°,D是BC邊的中點,BE⊥AD,垂足為點E,延長BE交AC于點F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.證明:如圖,以B為原點,BC,BA所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)A(0,2),C