2024高考講義：基本初等函數(shù)知識梳理

2024高考講義：基本初等函數(shù)知識梳理

目錄

1.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)...............................................................1

Li.指數(shù)式的化簡與求值.......................................................1

1.2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).....................................................2

1.3.指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用.......................4

2.對數(shù)與對數(shù)函數(shù)...............................................................4

2.1.對數(shù)及其運算.............................4

2.2.對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)..................................................6

3.某函數(shù).......................................................................9

3.1.寡函數(shù)的定義.............................................................9

3.2.基函數(shù)的圖像和性質(zhì).......................9

4.幕函數(shù)的大小比較............................................................12

1.指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

L1.指數(shù)式的化簡與求值

1、化簡原則：

①化根式為分數(shù)指數(shù)抵；

②化負指數(shù)幕為正指數(shù)幕；

③化小數(shù)為分數(shù)；

④注意運算的先后順序。

提醒：有理數(shù)指數(shù)基的運算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于零，否則不能用性質(zhì)來

運算。

2、結(jié)果要求：

①題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示；

②題目以分數(shù)指數(shù)基形式給出，則結(jié)果用分數(shù)指數(shù)幕形式表示；

③結(jié)果不能同時含有根式和分數(shù)指數(shù)累，也不能既有分母又有負分數(shù)指數(shù)

幕。

例1-1.已知“,力，則化簡二a一3的結(jié)果是()。

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A、—J1-4〃B、—J4a—1c、J4a—1

D、Ji—4。

變式1-1.化簡G.媯的結(jié)果是（）o

變式1-2.已知x+-=3,求下列各式的值：（l）/+x"；（2尸2+婷；⑶

3_3

小+f2。

1.2.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、定義：一般地，函數(shù)八"）二優(yōu)（。＞。且4"）叫做指數(shù)函數(shù)，其中X是自

變量。

①當(dāng)0V4V1時，XT+8,/（幻-0；。的值越小，圖像越靠近丁

軸，遞減的速度越快c

②當(dāng)。＞1時，XT-8,73-（）；，的值越大，圖像越靠近）

軸，遞增的速度越快。

（2）畫指數(shù)函數(shù)且。。1）的圖像，應(yīng)抓住三個關(guān)鍵點：

（1，嘰（0』）、*）。

注意：與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象問題的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)

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的圖象，通過平移、對稱變換得到其圖象。一些指數(shù)方程、不等式問題的求

解，往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合求解。

⑶熟記指數(shù)函數(shù)、〃“）=2、而:/⑺二弓）,在同一坐

標系中圖像的相對位置，由此掌握指數(shù)函數(shù)圖像的位置與底數(shù)大小的關(guān)系。

（4）在有關(guān)根式、分數(shù)指數(shù)幕的變形、求值過程中，要注意運用方程的觀點

處理問題，通過解方程（組）來求值，或用換元法轉(zhuǎn)化為方程來求解。

（5）比較指數(shù)基值的大小時，要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相等。是用指數(shù)

函數(shù)的單調(diào)性，還是用幕函數(shù)的單調(diào)性。要注意指數(shù)函數(shù)圖象和幕函數(shù)的圖象

的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)“底大圖高（逆時針方向底數(shù)依次變

大）”。還應(yīng)注意中間量。、?等的運用。

注意：（1）指數(shù)函數(shù)的定義域為所有實數(shù)的集合，值域為大于。的實數(shù)集

合，這里的前提是〃大于。，對于。不大于。的情況，則必然使得函數(shù)的定義域

不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。

（2）可以看到一個顯然的規(guī)律，就是當(dāng)。從。趨向于無窮大的過程中（當(dāng)然不

能等于0），函數(shù)的曲線從分別接近于）'軸與x軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位

置，趨向分別接近于丁軸的正半軸與x軸的負半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其

中水平直線）'=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

例12函數(shù)〃幻=4"一氣4＞。且，工1）的圖象可能是（）0

例13函數(shù)/3=優(yōu)（八。且"1）必過點。

變式1-3.函數(shù)/㈤且必過點。

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〃二1強?。āǎ?。且〃工1）。其中〃叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

對數(shù)函數(shù)的一般形式為/"）=1華，/（。＞°且〃工|）,它實際上就是指數(shù)函數(shù)

的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于。的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

注意：a"=No“=log〃Na＞（）且"1）的關(guān)系是解決有關(guān)指數(shù)、對數(shù)、可題

的有效方法，在運算中要注意靈活運用。

下圖給出對于不同人小。所表示的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖形:

圖像a>b>\\>a>b>0

y

1

指數(shù)函數(shù)：一,

/。)=*'與/(幻=90X

n

11/

4//

\///\A

1\

/I

/X

/

/I/」

對數(shù)函數(shù)：

/(x)=10gaX與/(A)=log/,X

a

可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線y=x的對稱圖

形，因為它們互為反函數(shù)。

2、對數(shù)的運算規(guī)律：(〃、伉。>0且〃、〃、cwl,M>0,N>0]

(l)log/=0,bg"=l,4*N=N,log/N=N；

⑵log“MN=log“M+log”N,讓R=bg“MT°g〃J

⑶bgM〃=?g之

10g,4=型=幽=她=，

(4)“l(fā)og,a】ga卜alog^,a；推廣logalog/,c?log。d=log”d。

注意：在運用log"=〃log*時,在無。>0的條件下應(yīng)為log》'=〃log"加

且〃為偶數(shù))。

3、幾種常見對數(shù)

對數(shù)形式特點記法

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一般對數(shù)底數(shù)為〃（4>0且4工1）啕N

常用對數(shù)底數(shù)為1°1gN

自然對數(shù)底數(shù)為e=2.71828…InN

4、對數(shù)式的化簡與求值

對數(shù)運算法則是在化為同底的情況下進行的，因此，經(jīng)常會用到換底公式

及其推論；在對含有字母的對數(shù)式化簡時，必須保證恒等變形。利用對數(shù)運算

法則，在真數(shù)的積、商、基與對數(shù)的和、差、倍之間進行轉(zhuǎn)化。

嘀9

2

例2-1.求值：⑴嘀3；（2）（lg5）+lg5O.]g2.（3）

卜14

例22求值：（1）若2"=5〃=10,求。6的值;

（2）若"°g34=l,求4'+4一、的值。

變式2?式關(guān)于x的方程bg2（xT）=2-bg2（x+l）的解為

變式2-2.已知函數(shù)〃x）=lgx,若/（"）=】，則/（/）+/（，/）=

2.2.對數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)

1、對數(shù)函數(shù)的圖像

a>\0<d<1

圖像

必過第1/4象限及x軸正半軸必過（1Q）點，漸近線為）'軸

共性

都是無界函數(shù)定義域為（°'+8）,值域為R

異性在R上是增函數(shù)，圖形都是上凸的在尺上是減函數(shù)，圖形都是下凹的

2、對數(shù)函數(shù)比較大小

對數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法：

①單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同

底。

②中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個數(shù)，一般是用

勺”或其他特殊值進行“比較傳遞”。

③圖像法，根據(jù)圖像觀察得出大小關(guān)系C

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④作差或作商法。

3、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)對數(shù)函數(shù)

(

f(x)=a^a>og")=log“xa>o

X—>>,

且"1)且a叫

若指數(shù)幽數(shù)〉’"轉(zhuǎn)化成對數(shù)閑數(shù)人一小，但這么寫不符合閑數(shù)形式，就

把命名為y=w

1

V

<yf(i,o)x

y0/1

|\(h0)

)

1

1-4-4-1Io!z0r-7

；尸1。股

a>\a>\

ar>l

0<4<1()<6Z<1

指數(shù)函數(shù)的圖像與對數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線）'=x軸對稱，即互為反函數(shù)

的圖像關(guān)于直線）軸對稱

例2-3.設(shè)"噫2,〃=ln2,c=52,貝乂

A、a>b>c

B、a>c>b

C、b>a>c

D、b>c>a

變式2?3.設(shè)〃=b832,〃=「二1。821貝1J()o

A、a>b>c

B、a>c>b

C、b>a>c

D、b>c>a

4、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用

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研究對數(shù)型函數(shù)的圖像時，一般從最基本的對數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平

移、伸縮、對稱變換得到對數(shù)型函數(shù)的圖像。

例2?4.作出下列函數(shù)的圖像：

①/(x)=Igx,/(x)=?-x),/(x)=-lgx.②/(x)=lg|xl；③

/(x)=-l+lgxo

例2?例已知函數(shù)/⑶=%("+1)1>0且"1),若當(dāng)xe(-L°)時,

〃幻<。，則f(x)在定義域上是()。

A、減函數(shù)

B、增函數(shù)

C、常數(shù)函數(shù)

D、不單調(diào)的函數(shù)

例2?6.求下列函數(shù)的定義域、值域及單調(diào)區(qū)間：

/(x)=log1(4-j),f(x)=-!—

⑴3；(2)/3=咋2(尸)；⑶1%。

〃、/*)=bg7T^T

(4)l-3xo

變式2-4.求函數(shù)八*=1°&3-/2的定義域。

變式2-5.已知/㈤="二g(x)=logax(〃>0且叱1),若f(3)g⑶<0,則

/(幻與8。)在同一坐標系內(nèi)的圖像可能是()。

變式2-6.已知小)=log〃3'T)(心0且。叫，求/⑴的定義域并判斷

"X)的單調(diào)性。

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3.1函數(shù)

3.1.基函數(shù)的定義

一般地，形如陰的函數(shù)稱為事函數(shù)，其中〃為常數(shù)。

1、判斷上函數(shù)需:

①系數(shù)為1,②底數(shù)為變量L③指數(shù)為一常數(shù)，⑷后面不加任何項。

x

例如：/*）=3q2,f（x）=x+\f/（x）=—+l均不是懸函數(shù)，再者注意與

指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：“處=一是幕函數(shù)，八”）=2、是指數(shù)函數(shù)。

2、由于棄函數(shù)的解析式中只含有一個參數(shù)。，因此只需一個獨立的條件

即可確定其解析式，當(dāng)己知事函數(shù)經(jīng)過某一點時，可采用待定系數(shù)法求出解析

式。

例3-1.已知點3'在基函數(shù)八用的圖像上，求/（?的解析式。

變式3-1.已知函數(shù)/（x）=（〃'+2〃?-2）X"T+2〃-6是幕函數(shù)，求/⑴的解

析式。

例32已知累函數(shù)/（幻=加一〃1）.產(chǎn)-3在g+8）上是增函數(shù)，則〃一

（）。

A、-1

B、2

C、-1或2

D、3

變式3-2.已知函數(shù)/（幻=（〃,一〃1）尸：當(dāng)〃，為何值時，/（?：

①是幕函數(shù)；②是幕函數(shù)，且在（仇+8）上的減函數(shù)；③是正比例函數(shù)；④

是反比例函數(shù)；⑤是二次函數(shù)。

3.2.尋函數(shù)的圖像和性質(zhì)

1、圖像分類：

①直線型：。=?；騃；②拋物線型：。＜。＜1或。＞1；③雙曲線型：〃＜0。

2、幕函數(shù)的圖像特征：

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y5

4=()尸1(/0)a=\二

0X

叫旦a<00<6/<1a>\

P

JKJJ1

p、g都是奇廠

數(shù)0X0X9A

yJX

。是奇數(shù)、q

/V

是倡數(shù)

cJXO\Xo

y，1)

p是偶數(shù)、'/V

是奇數(shù)-----A

0XO\XO\X

y1

①必經(jīng)過（1,1）點，必經(jīng)過第一象限，必不經(jīng)過第四象限。k\

7②除原點外，任何暴函數(shù)圖像與坐標軸都不相交。\.

性

③任何兩個幕函數(shù)最多有三個公共點。一、對'O1x

/八

O<"1和的幕函數(shù)在區(qū)間。+8）上的性

質(zhì)：

的幕函數(shù)在區(qū)間3+8）上

①必經(jīng)過兩個點（°，°）和（M）；

的性質(zhì)：

②都是遞增函數(shù)；

①必經(jīng)過（1,1）點；

③事函數(shù)與直線）'=%有如下關(guān)系：

②都是遞減函數(shù)；

性0<x<lx>\

③圖像向上與）'軸正向無限接

在尸工的在尸工的

近，向右與X軸正向無限接近。a>\

下方上方

在…的在）0的

()<a<\

上方下方

3、暴函數(shù)規(guī)律總結(jié)

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(1)在研究事函數(shù)的性質(zhì)時，通常將分式指數(shù)索化為根式形式，負整指數(shù)累

化為分式形式再去進行討論；

(2)對于幕函數(shù)/(?="“，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶

性，由此確定圖像的位置，即所在象限，其次確定曲線的類型，即，〈。，

0<〃<1和〃>1三種情況下曲線的基本形狀，還要注意。=0,±1三個曲線的形

狀；對于某函數(shù)在第一象限的圖像的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負

雙，大豎小橫”，即心。("1)時圖像是拋物線型；時圖像是雙曲線型；

時圖像是豎直拋物線型；。<。<1時圖像是橫臥拋物線型。

⑶曲線在第一象限的凹凸性：時，曲線下凸；Ovavl時，曲線上

凸；時，曲線下凸。

〃廣一2/w—3

例3?3.己知基函數(shù))的圖像與x軸、)’軸都無交點，且

關(guān)于原點對稱，則〃?=()o

A、T或2

B、0或1

C、0或2

D、3

變式3-3.己知函數(shù)/8=(〃/+血短一2",當(dāng)〃，為何值時，/⑴在第?象

限內(nèi)的圖像是上升