新編應(yīng)用數(shù)學(xué) 課件 第3章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值3-3函數(shù)的最大值和最小值3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用3-6曲率3-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Lingo軟件的簡(jiǎn)介

2024.2.2823-1拉格朗日中值定理

洛必達(dá)法則

一、拉格朗日中值定理二、洛必達(dá)法則三、小結(jié)3-1微分中值定理

定理3.1.1

則在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，

使得

如果函數(shù)滿足條件：

(1)在上連續(xù)；

(2)在內(nèi)可導(dǎo)；一、拉格朗日中值定理3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則.或3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則拉格朗日中值定理的幾何意義:

如果連續(xù)曲線除端點(diǎn)外處處都有不垂直于軸的切線，那么該曲線上至少有這樣一點(diǎn)存在，在該點(diǎn)處曲線的切線平行于連接兩端點(diǎn)的弦（如圖3-1）.或3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則則曲線上至少存在一點(diǎn)的切線與軸平行，這是羅爾中值定理.（2）拉格朗日中值定理給出了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則推論1

如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)都等于零，則在內(nèi)是一個(gè)常數(shù).推論2

如果函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間

內(nèi)的導(dǎo)數(shù)處處相等，即，則與在區(qū)間內(nèi)只相差一個(gè)常數(shù).即．

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則若與滿足：定理3.1.2洛必達(dá)法則Ⅰ

(2)與在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且；

(1)，；

(3)（或）．則（或）．3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則若與滿足：定理3.4洛必達(dá)法則Ⅱ

(1)，；

(2)與在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)(點(diǎn)可除外)可導(dǎo)，且；

(3)或.則或．3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3.其它未定式3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則三、小結(jié)3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則1.掌握拉格朗日中值定理及其應(yīng)用2.掌握洛必達(dá)法則的各種未定式，特別是

未定式和

型未定式3.了解其他未定式的解法第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用3-6曲率3-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Lingo軟件的簡(jiǎn)介

243-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

一、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值及其求法三、小結(jié)

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

定理3.2.1(單調(diào)性的判定定理）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

(1)，則稱為函數(shù)的極大值，并且稱點(diǎn)是的極大值點(diǎn).

(2)

,則稱為函數(shù)的極小值，并且稱點(diǎn)是的極小值點(diǎn).函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值，極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點(diǎn).

定義3.2.1函數(shù)極值的定義3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

函數(shù)的極值僅僅是在某一點(diǎn)的近旁而言的,它是局部性概念.在一個(gè)區(qū)間上,函數(shù)可能有幾個(gè)極大值與幾個(gè)極小值，甚至有的極小值可能大于某個(gè)極大值.

極值與水平切線的關(guān)系:

在函數(shù)取得值處（該點(diǎn)可導(dǎo)）,曲線上的切線是水平的.但曲線上有水平切線的地方,函數(shù)不一定取得極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

(1)若，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值；

(2)若，則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值；

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

1.掌握函數(shù)的單調(diào)性的判定定理2.掌握函數(shù)的極值的第一判別法和第二判別法三、小結(jié)第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用3-6曲率3-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Lingo軟件的簡(jiǎn)介

503-3函數(shù)的最大值和最小值

一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值二、實(shí)際問(wèn)題中最值的求法三、小結(jié)

3-3函數(shù)的最大值和最小值

一、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值求法

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

二、實(shí)際問(wèn)題中的最大值和最小值

在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，應(yīng)注意以下結(jié)論：3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

因此有如下結(jié)論：

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

因此，實(shí)際問(wèn)題求最值步驟:（1）建立目標(biāo)函數(shù)，并寫出定義域;（2）求最值點(diǎn)（駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)）;

（3）若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大值（或最小值）。3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

練習(xí)1：設(shè)有一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，從四個(gè)角各截去大小一樣的小正方形，做一個(gè)無(wú)蓋的方匣，問(wèn)截去邊長(zhǎng)為多少的小正方形時(shí)能使做成的方匣的容積最大？3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停練習(xí)2:

敵人乘汽車從河的北岸A處以1千米/分鐘的速度向正北逃竄，同時(shí)我軍摩托車從河的南岸B處向正東追擊，速度為2千米/分鐘，

兩岸相距0.5公里，敵我兩軍最初水平距離4公里。問(wèn)我軍摩托車何時(shí)射擊最好？3-3函數(shù)的最大值和最小值

我軍敵軍1千米/分鐘2千米/分鐘問(wèn)題：我軍何時(shí)射擊最好？4公里0.5公里3-3函數(shù)的最大值和最小值

解(1)建立敵我相距函數(shù)關(guān)系敵我相距函數(shù)得唯一駐點(diǎn)3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

三、小結(jié)1.注意最值概念與極值概念的區(qū)別.2.最值是整體概念而極值是局部概念.3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值的求解方法.4.實(shí)際問(wèn)題求最值的步驟.第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用3-6曲率3-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Lingo軟件的簡(jiǎn)介

763-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

函數(shù)圖形的描繪

一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)二、函數(shù)圖形的描繪三、小結(jié)

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

什么是曲線的凹與凸？

曲線除上升與下降的變化外，還有向上彎曲與向下彎曲的變化。

就是曲線的彎曲方向嘍。

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

一、曲線的凹凸性與拐點(diǎn)

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

三、小結(jié)1.掌握曲線凹凸性概念.2.曲線的凹凸區(qū)間的判定定理.3.曲線拐點(diǎn)的定義，會(huì)求曲線的拐點(diǎn).4.曲線的漸近線定義.3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖象的描繪

5.函數(shù)圖形的描繪的步驟.第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-6曲率3-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Lingo軟件的簡(jiǎn)介

1003-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

一、邊際分析二、彈性分析三、小結(jié)

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用三、小結(jié)1.掌握邊際分析的概念.2.邊際成本、邊際收入、邊際利潤(rùn).3.了解彈性分析的概念.4.邊際和彈性在經(jīng)濟(jì)問(wèn)題中的應(yīng)用.3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用第3章導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

3-1拉格朗日中值定理洛必達(dá)法則3-2函數(shù)的單調(diào)性及其極值

3-3函數(shù)的最大值和最小值

3-4曲線的凹凸性與拐點(diǎn)函數(shù)圖形的描繪

3-5導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用

3-6曲率

3-7數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Lingo軟件的簡(jiǎn)介

1193-6曲率

一、弧微分二、曲率三、曲率圓與曲率半徑四、小結(jié)

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6曲率

3-6