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2025屆河南省鄭州外國語中學(xué)高三下第一次測試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.劉徽(約公元225年-295年),魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家,中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基人之一他在割圓術(shù)中提出的,“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣”,這可視為中國古代極限觀念的佳作,割圓術(shù)的核心思想是將一個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形等分成n個(gè)等腰三角形(如圖所示),當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,運(yùn)用割圓術(shù)的思想,得到的近似值為()A. B. C. D.2.將函數(shù)的圖象分別向右平移個(gè)單位長度與向左平移(>0)個(gè)單位長度,若所得到的兩個(gè)圖象重合,則的最小值為()A. B. C. D.3.如圖,雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點(diǎn).若則雙曲線的離心率為()A. B.C. D.4.已知向量,,且與的夾角為,則x=()A.-2 B.2 C.1 D.-15.設(shè)函數(shù)滿足,則的圖像可能是A. B.C. D.6.過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn),若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,且,則拋物線的方程是()A. B. C. D.7.已知集合,,,則的子集共有()A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)8.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.9.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為,已知,則為()A. B. C.或 D.或10.為了研究國民收入在國民之間的分配,避免貧富過分懸殊,美國統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時(shí),表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對于下列說法:①越小,則國民分配越公平;②設(shè)勞倫茨曲線對應(yīng)的函數(shù)為,則對,均有;③若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④11.的展開式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.3012.平行四邊形中,已知,,點(diǎn)、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件則的最大值是______.14.在中,,,則_________.15.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,若它的體積是,則_________,該幾何體的表面積為_________.16.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件則的最大值為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),).在以為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中,曲線:.(1)當(dāng)時(shí),求與的交點(diǎn)的極坐標(biāo);(2)直線與曲線交于,兩點(diǎn),線段中點(diǎn)為,求的值.18.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對角線的交點(diǎn)為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.19.(12分)在開展學(xué)習(xí)強(qiáng)國的活動(dòng)中,某校高三數(shù)學(xué)教師成立了黨員和非黨員兩個(gè)學(xué)習(xí)組,其中黨員學(xué)習(xí)組有4名男教師、1名女教師,非黨員學(xué)習(xí)組有2名男教師、2名女教師,高三數(shù)學(xué)組計(jì)劃從兩個(gè)學(xué)習(xí)組中隨機(jī)各選2名教師參加學(xué)校的挑戰(zhàn)答題比賽.(1)求選出的4名選手中恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)記X為選出的4名選手中女教師的人數(shù),求X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知在平面四邊形中,的面積為.(1)求的長;(2)已知,為銳角,求.21.(12分)設(shè),,其中.(1)當(dāng)時(shí),求的值;(2)對,證明:恒為定值.22.(10分)已知函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).(1)若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;(2)若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn),且,求的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,則每個(gè)等腰三角形的面積為,由割圓術(shù)可得圓的面積為,整理可得,當(dāng)時(shí)即可為所求.【詳解】由割圓術(shù)可知當(dāng)n變得很大時(shí),這n個(gè)等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設(shè)圓的半徑為,每個(gè)等腰三角形的頂角為,所以每個(gè)等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當(dāng)時(shí),可得,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積公式的應(yīng)用,考查閱讀分析能力.2、B【解析】
首先根據(jù)函數(shù)的圖象分別向左與向右平移m,n個(gè)單位長度后,所得的兩個(gè)圖像重合,那么,利用的最小正周期為,從而求得結(jié)果.【詳解】的最小正周期為,那么(∈),于是,于是當(dāng)時(shí),最小值為,故選B.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的周期與函數(shù)圖象平移之間的關(guān)系,屬于簡單題目.3、A【解析】
易得,過B作x軸的垂線,垂足為T,在中,利用即可得到的方程.【詳解】由已知,得,過B作x軸的垂線,垂足為T,故,又所以,即,所以雙曲線的離心率.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率問題,在作雙曲線離心率問題時(shí),最關(guān)鍵的是找到的方程或不等式,本題屬于容易題.4、B【解析】
由題意,代入解方程即可得解.【詳解】由題意,所以,且,解得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的數(shù)量積求向量的夾角,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】根據(jù)題意,確定函數(shù)的性質(zhì),再判斷哪一個(gè)圖像具有這些性質(zhì).由得是偶函數(shù),所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,可知B,D符合;由得是周期為2的周期函數(shù),選項(xiàng)D的圖像的最小正周期是4,不符合,選項(xiàng)B的圖像的最小正周期是2,符合,故選B.6、B【解析】
利用拋物線的定義可得,,把線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入可得p值,然后可得出拋物線的方程.【詳解】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,設(shè)點(diǎn),由拋物線的定義可知,線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,又,,可得,所以拋物線方程為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義是解題的關(guān)鍵.7、B【解析】
根據(jù)集合中的元素,可得集合,然后根據(jù)交集的概念,可得,最后根據(jù)子集的概念,利用計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以集合則所以的子集共有故選:B【點(diǎn)睛】本題考查集合的運(yùn)算以及集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算,當(dāng)集合中有元素時(shí),集合子集的個(gè)數(shù)為,真子集個(gè)數(shù)為,非空子集為,非空真子集為,屬基礎(chǔ)題.8、D【解析】
如圖所示,過分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:過分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中弦長問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.9、D【解析】
由正弦定理可求得,再由角A的范圍可求得角A.【詳解】由正弦定理可知,所以,解得,又,且,所以或。故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理,注意角的范圍,是否有兩解的情況,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
對于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國民分配越公平,所以①正確.對于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯(cuò)誤.對于③,因?yàn)椋?,所以③錯(cuò)誤.對于④,因?yàn)?,所以,所以④正確.故選A.11、C【解析】
由知,展開式中項(xiàng)有兩項(xiàng),一項(xiàng)是中的項(xiàng),另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為,所以展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開式中的特定項(xiàng),解決這類問題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫準(zhǔn)確,本題是一道基礎(chǔ)題.12、C【解析】
將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運(yùn)算,將用向量和表示是關(guān)鍵,是基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、9【解析】
做出滿足條件的可行域,根據(jù)圖形,即可求出的最大值.【詳解】做出不等式組表示的可行域,如圖陰影部分所示,目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)取得最大值,聯(lián)立,解得,即,所以最大值為9.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查二元一次不等式組表示平面區(qū)域,利用數(shù)形結(jié)合求線性目標(biāo)函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
先由題意得:,再利用向量數(shù)量積的幾何意義得,可得結(jié)果.【詳解】由知:,則在方向的投影為,由向量數(shù)量積的幾何意義得:,∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了投影的應(yīng)用,考查了數(shù)量積的幾何意義及向量的模的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.15、;【解析】試題分析:如圖:此幾何體是四棱錐,底面是邊長為的正方形,平面平面,并且,,所以體積是,解得,四個(gè)側(cè)面都是直角三角形,所以計(jì)算出邊長,表面積是考點(diǎn):1.三視圖;2.幾何體的表面積.16、1【解析】
作出約束條件表示的可行域,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最大,取得最大值,即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點(diǎn)的三角形及其內(nèi)部,轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)時(shí),直線的截距最大此時(shí)取得最大值1.故答案為:1【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題,考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)【解析】
(1)依題意可知,直線的極坐標(biāo)方程為(),再對分三種情況考慮;(2)利用直線參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,求弦長即可得到答案.【詳解】(1)依題意可知,直線的極坐標(biāo)方程為(),當(dāng)時(shí),聯(lián)立解得交點(diǎn),當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)滿足兩方程,(易漏解之處忽略的情況)當(dāng)時(shí),無交點(diǎn);綜上,曲線與直線的點(diǎn)極坐標(biāo)為,,(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線,得,可知,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查直線與曲線交點(diǎn)的極坐標(biāo)、利用參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義求弦長,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.18、(1)見解析;(2).【解析】
(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面,結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;
2建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量知識求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點(diǎn),,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因?yàn)?,則在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得,取平面的一個(gè)法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:問題(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過點(diǎn)作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角,先求出,再求出,最后在中求出.)【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解,屬于中檔題.19、(1)28種;(2)分布見解析,.【解析】
(1)分這名女教師分別來自黨員學(xué)習(xí)組與非黨員學(xué)習(xí)組,可得恰好有一名女教師的選派方法數(shù);(2)X的可能取值為,再求出X的每個(gè)取值的概率,可得X的概率分布和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)選出的4名選手中恰好有一名女生的選派方法數(shù)為種.(2)X的可能取值為0,1,2,3.,,,.故X的概率分布為:X0123P所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合數(shù)與組合公式及離散型隨機(jī)變量的期望和方差,相對不難,注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.20、(1);(2)4.【解析】
(1)利用三角形的面積公式求得,利用余弦定理求得.(2)利用余弦定理求得,由此求得,進(jìn)而求得,利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得.【詳解】(1)在中,由面積公式:在中,由余弦定理可得:(2)在中,由余弦定理可得:在中,由正弦定理可得:,為銳角.【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形面積公式,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于中檔題.21、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當(dāng)時(shí)可得,可得.(2)先得到關(guān)系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當(dāng)時(shí),,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點(diǎn)睛:本題考查組合數(shù)的有關(guān)運(yùn)算,解題時(shí)要注意所給出的的定義,并結(jié)合組合數(shù)公式求解.由于運(yùn)算量較大,解題時(shí)要注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性,避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.22、(1);(2).【解析】
(1)求出,再求恒成立,以及恒成立時(shí),的取值范圍;(2)由已知,在區(qū)間內(nèi)恰有一個(gè)零點(diǎn),轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn),由(1)的結(jié)論對分類討論,根據(jù)單調(diào)性,結(jié)合零點(diǎn)存在性定理,即可求出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,則,當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時(shí),在區(qū)間上恒成立.∴(其中),解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時(shí)
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