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文檔簡介
江蘇省連云港市灌云縣2025屆高考數學倒計時模擬卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內,不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內,第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,圓是邊長為的等邊三角形的內切圓,其與邊相切于點,點為圓上任意一點,,則的最大值為()A. B. C.2 D.2.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內一點,且,則()A. B. C. D.3.下列說法正確的是()A.“若,則”的否命題是“若,則”B.“若,則”的逆命題為真命題C.,使成立D.“若,則”是真命題4.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=05.關于函數,有下列三個結論:①是的一個周期;②在上單調遞增;③的值域為.則上述結論中,正確的個數為()A. B. C. D.6.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.57.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.8.設,,,則、、的大小關系為()A. B. C. D.9.已知整數滿足,記點的坐標為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.10.設分別是雙曲線的左右焦點若雙曲線上存在點,使,且,則雙曲線的離心率為()A. B.2 C. D.11.1777年,法國科學家蒲豐在宴請客人時,在地上鋪了一張白紙,上面畫著一條條等距離的平行線,而他給每個客人發(fā)許多等質量的,長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針,讓他們隨意投放.事后,蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)共投針2212枚,與直線相交的有704枚.根據這次統(tǒng)計數據,若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針,則針落地后與直線相交的概率約為()A. B. C. D.12.若集合M={1,3},N={1,3,5},則滿足M∪X=N的集合X的個數為()A.1 B.2C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是偶函數,則的最小值為___________.14.展開式中項系數為160,則的值為______.15.在中,內角所對的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.16.已知復數z是純虛數,則實數a=_____,|z|=_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數列滿足,且,,成等比數列.(1)求證:數列是等差數列,并求數列的通項公式;(2)記數列的前n項和為,,求數列的前n項和.18.(12分)在直角坐標系中,長為3的線段的兩端點分別在軸、軸上滑動,點為線段上的點,且滿足.記點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程;(2)若點為曲線上的兩個動點,記,判斷是否存在常數使得點到直線的距離為定值?若存在,求出常數的值和這個定值;若不存在,請說明理由.19.(12分)已知橢圓的右焦點為,直線被稱作為橢圓的一條準線,點在橢圓上(異于橢圓左、右頂點),過點作直線與橢圓相切,且與直線相交于點.(1)求證:.(2)若點在軸的上方,當的面積最小時,求直線的斜率.附:多項式因式分解公式:20.(12分)已知橢圓:的兩個焦點是,,在橢圓上,且,為坐標原點,直線與直線平行,且與橢圓交于,兩點.連接、與軸交于點,.(1)求橢圓的標準方程;(2)求證:為定值.21.(12分)已知的內角,,的對邊分別為,,,且.(1)求;(2)若的面積為,,求的周長.22.(10分)已知函數.(1)當時,試求曲線在點處的切線;(2)試討論函數的單調區(qū)間.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
建立坐標系,寫出相應的點坐標,得到的表達式,進而得到最大值.【詳解】以D點為原點,BC所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,建立坐標系,設內切圓的半徑為1,以(0,1)為圓心,1為半徑的圓;根據三角形面積公式得到,可得到內切圓的半徑為可得到點的坐標為:故得到故得到,故最大值為:2.故答案為C.【點睛】這個題目考查了向量標化的應用,以及參數方程的應用,以向量為載體求相關變量的取值范圍,是向量與函數、不等式、三角函數等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算,將問題轉化為解不等式或求函數值域,是解決這類問題的一般方法.2、D【解析】
以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標系,結合向量的坐標運算,可求得點的坐標,進而求得,由平面向量的數量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的運用、數量積的運算,考查函數與方程思想、轉化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運算求解能力.3、D【解析】選項A,否命題為“若,則”,故A不正確.選項B,逆命題為“若,則”,為假命題,故B不正確.選項C,由題意知對,都有,故C不正確.選項D,命題的逆否命題“若,則”為真命題,故“若,則”是真命題,所以D正確.選D.4、A【解析】試題分析:漸近線方程是﹣y2=1,整理后就得到雙曲線的漸近線.解:雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故選A.點評:本題考查了雙曲線的漸進方程,把雙曲線的標準方程中的“1”轉化成“1”即可求出漸進方程.屬于基礎題.5、B【解析】
利用三角函數的性質,逐個判斷即可求出.【詳解】①因為,所以是的一個周期,①正確;②因為,,所以在上不單調遞增,②錯誤;③因為,所以是偶函數,又是的一個周期,所以可以只考慮時,的值域.當時,,在上單調遞增,所以,的值域為,③錯誤;綜上,正確的個數只有一個,故選B.【點睛】本題主要考查三角函數的性質應用.6、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據復數相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復數的代數運算,復數相等的充要條件,復數的模7、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點睛:由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫出整體,然后再根據三視圖進行調整.8、D【解析】
因為,,所以且在上單調遞減,且所以,所以,又因為,,所以,所以.故選:D.【點睛】本題考查利用指對數函數的單調性比較指對數的大小,難度一般.除了可以直接利用單調性比較大小,還可以根據中間值“”比較大小.9、D【解析】
列出所有圓內的整數點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數,所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內的整數點,滿足條件的整數點有共37個,滿足的整數點有7個,則所求概率為.故選:.【點睛】本題考查了古典概率的計算,意在考查學生的應用能力.10、A【解析】
由及雙曲線定義得和(用表示),然后由余弦定理得出的齊次等式后可得離心率.【詳解】由題意∵,∴由雙曲線定義得,從而得,,在中,由余弦定理得,化簡得.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關鍵是應用雙曲線定義用表示出到兩焦點的距離,再由余弦定理得出的齊次式.11、D【解析】
根據統(tǒng)計數據,求出頻率,用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數學文化為背景,考查利用頻率估計概率,屬于基礎題.12、D【解析】可以是共4個,選D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
由偶函數性質可得,解得,再結合基本不等式即可求解【詳解】令得,所以,當且僅當時取等號.故答案為:2【點睛】考查函數的奇偶性、基本不等式,屬于基礎題14、-2【解析】
表示該二項式的展開式的第r+1項,令其指數為3,再代回原表達式構建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令,所以,則故答案為:【點睛】本題考查由二項式指定項的系數求參數,屬于簡單題.15、【解析】
由已知及正弦定理,三角函數恒等變換的應用可得,從而求得,結合范圍,即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式,結合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎,只要按照題意運用公式即可求出答案16、11【解析】
根據復數運算法則計算復數z,根據復數的概念和模長公式計算得解.【詳解】復數z,∵復數z是純虛數,∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案為:1,1.【點睛】此題考查復數的概念和模長計算,根據復數是純虛數建立方程求解,計算模長,關鍵在于熟練掌握復數的運算法則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】
(1)因為,所以,所以,所以數列是等差數列,設數列的公差為,由可得,因為成等比數列,所以,所以,所以,因為,所以,解得(舍去)或,所以,所以.(2)由(1)知,,所以,所以.18、(1)(2)存在;常數,定值【解析】
(1)設出的坐標,利用以及,求得曲線的方程.(2)當直線的斜率存在時,設出直線的方程,求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程,寫出根與系數關系,結合以及為定值,求得的值.當直線的斜率不存在時,驗證.由此得到存在常數,且定值.【詳解】(1)解析:(1)設,,由題可得,解得又,即,消去得:(2)當直線的斜率存在時,設直線的方程為設,由可得:由點到的距離為定值可得(為常數)即得:即,又為定值時,,此時,且符合當直線的斜率不存在時,設直線方程為由題可得,時,,經檢驗,符合條件綜上可知,存在常數,且定值【點睛】本小題主要考查軌跡方程的求法,考查直線和橢圓的位置關系,考查運算求解能力,考查橢圓中的定值問題,屬于難題.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由得令可得,進而得到,同理,利用數量積坐標計算即可;(2),分,兩種情況討論即可.【詳解】(1)證明:點的坐標為.聯(lián)立方程,消去后整理為有,可得,,.可得點的坐標為.當時,可求得點的坐標為,,.有,故有.(2)若點在軸上方,因為,所以有,由(1)知①因為時.由(1)知,由函數單調遞增,可得此時.②當時,由(1)知令由,故當時,,此時函數單調遞增:當時,,此時函數單調遞減,又由,故函數的最小值,函數取最小值時,可求得.由①②知,若點在軸上方,當的面積最小時,直線的斜率為.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,涉及到分類討論求函數的最值,考查學生的運算求解能力,是一道難題.20、(1)(2)證明見解析【解析】
(1)根據橢圓的定義可得,將代入橢圓方程,即可求得的值,求得橢圓方程;(2)設直線的方程,代入橢圓方程,求得直線和的方程,求得和的橫坐標,表示出,根據韋達定理即可求證為定值.【詳解】(1)因為,由橢圓的定義得,,點在橢圓上,代入橢圓方程,解得,所以的方程為;(2)證明:設,,直線的斜率為,設直線的方程為,聯(lián)立方程組,消去,整理得,所以,,直線的直線方程為,令,則,同理,所以:,代入整理得,所以為定值.【點睛】本小題主要考查橢圓標準方程的求法,考查直線和橢圓的位置關系,考查橢圓中的定值問題,屬于中檔題.21、(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理將目標式邊化角,結合倍角公式,即可整理化簡求得結果;(2)由面積公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,結合即可求得周長.【詳解】(1)由題設得.由正弦定理得∵∴,所以或.當,(舍)故,解得.(2),從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長為.【點睛】本題考查由余弦定理解三角形,涉及面積公式,正弦的倍角公式,應用正弦定理將邊化角,屬綜合性基礎題.22、(1);(2)見解析【解析】
(1)對函數進行求導,可以求出曲線在
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