導數(shù)的實際應(yīng)用教案

1.3.3導數(shù)的實際應(yīng)用【學習要求】1．了解導數(shù)在解決實際問題中的作用．2．掌握利用導數(shù)解決簡單的實際生活中的優(yōu)化問題．【學法指導】1．在利用導數(shù)解決實際問題的過程中體會建模思想．2．感受導數(shù)知識在解決實際問題中的作用，自覺形成將數(shù)學理論與實際問題相結(jié)合的思想，提高分析問題、解決問題的能力．1．在經(jīng)濟生活中，為使經(jīng)營利潤最大、生產(chǎn)效率最高，或為使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要尋求相應(yīng)的最佳方案_或最佳策略．這些都是最優(yōu)化問題．2．求實際問題的最大(小)值，導數(shù)是解決方法之一．要建立實際問題的數(shù)學模型．寫出實際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y＝f(x)，然后再利用導數(shù)研究函數(shù)的最值.題型一面積、體積的最值問題例1如圖所示，現(xiàn)有一塊邊長為a的正方形鐵板，如果從鐵板的四個角各截去一個相同的小正方形，做成一個長方體形的無蓋容器．為使其容積最大，截下的小正方形邊長應(yīng)為多少？解設(shè)截下的小正方形邊長為x，容器容積為V(x)，則做成的長方體形無蓋容器底面邊長為a－2x，高為x，于是V(x)＝(a－2x)2x,0<x<eq\f(a,2).即V(x)＝4x3－4ax2＋a2x,0<x<eq\f(a,2).實際問題歸結(jié)為求V(x)在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上的最大值點．為此，先求V(x)的極值點．在開區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，V′(x)＝12x2－8ax＋a2.令V′(x)＝0，即令12x2－8ax＋a2＝0.解得x1＝eq\f(1,6)a，x2＝eq\f(1,2)a(舍去)．x1＝eq\f(1,6)a在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1可能是極值點．且當0<x<x1時，V′(x)>0；當x1<x<eq\f(a,2)時，V′(x)<0.因此x1是極大值點，且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))內(nèi)，x1是唯一的極值點，所以x＝x1＝eq\f(1,6)a是V(x)的最大值點．即當截下的正方形邊長為eq\f(1,6)a時，容積最大．小結(jié)求幾何體的面積或體積的最值問題，關(guān)鍵是分析幾何體的幾何特征，選擇適當?shù)牧拷㈥P(guān)于面積或體積的目標函數(shù)，然后利用導數(shù)求解．跟蹤訓練1已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這個矩形面積最大時的邊長．解如圖，設(shè)矩形邊長AD＝2x(0<x<2)，則AB＝y(tǒng)＝4－x2(y>0)，則矩形的面積S＝2x(4－x2)(0<x<2)，即S＝8x－2x3，S′＝8－6x2，令S′＝0，解得x1＝eq\f(2\r(3),3)，x2＝－eq\f(2\r(3),3)(舍去)．當0<x<eq\f(2\r(3),3)時，S′>0；當eq\f(2\r(3),3)<x<2時，S′<0；∴當x＝eq\f(2\r(3),3)時，S取得最大值，此時S最大值＝eq\f(32\r(3),9)，即矩形邊長分別為eq\f(4\r(3),3)，eq\f(8,3)時，矩形面積最大．題型二強度最大、用料最省問題例2橫截面為矩形的橫梁的強度同它的斷面高的平方與寬的積成正比．要將直徑為d的圓木鋸成強度最大的橫梁，斷面的寬度和高度應(yīng)是多少？解如圖所示，設(shè)斷面寬為x，高為h，則h2＝d2－x2.橫梁的強度函數(shù)f(x)＝kxh2(k為強度系數(shù)，k>0)，所以f(x)＝kx(d2－x2)，0<x<d.在開區(qū)間(0，d)內(nèi)，令f′(x)＝d(d2－3x2)＝0.解方程d2－3x2＝0，得兩個根x＝±eq\f(\r(3),3)d，其中負根沒有意義，舍去．當0<x<eq\f(\r(3),3)d時，f′(x)>0；當eq\f(\r(3),3)d<x<d時，f′(x)<0.因此，在區(qū)間(0，d)內(nèi)只有一個極大值點x＝eq\f(\r(3),3)d.所以f(x)在x＝eq\f(\r(3),3)d取最大值，就是橫梁強度的最大值．此時h＝eq\r(d2－x2)＝eq\f(\r(6),3)d.即當寬為eq\f(\r(3),3)d，高為eq\f(\r(6),3)d時，橫梁的強度最大．小結(jié)最大流量、最大強度、最大功率等，要注意不同的問題背景，計算式子也會有相應(yīng)的區(qū)別．要結(jié)合問題本身的特點，根據(jù)題目的條件(或是已知的式子)進行．為了解決問題，可能要引入多個字母，在求導的過程中，一定要分清哪些是變量，哪些是常量，只有這樣才能保證有的放矢．跟蹤訓練2挖一條隧道，截面擬建成矩形上方加半圓，如果截面積為20m2，當寬為多少時，使截面周長最小，用料最??？解如圖，設(shè)半圓的半徑為r，矩形的高為h，則截面積S＝2rh＋eq\f(πr2,2)＝20，截面周長C＝2r＋2h＋πr＝2r＋eq\f(20－\f(πr2,2),r)＋πr＝2r＋eq\f(20,r)－eq\f(πr,2)＋πr＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r)，記C(r)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(π,2)))r＋eq\f(20,r)，則C′(r)＝2＋eq\f(π,2)－eq\f(20,r2).令C′(r)＝0，得r＝2eq\r(\f(10,4＋π))時，周長C最?。磳挒?eq\r(\f(10,4＋π))時，截面周長最小，用料最省．題型三省時高效、費用最低問題例3如圖所示，一海島駐扎一支部隊，海島離岸邊最近點B的距離是150km.在岸邊距點B300km的點A處有一軍需品倉庫．有一批軍需品要盡快送達海島．A與B之間有一鐵路，現(xiàn)用海陸聯(lián)運方式運送．火車時速為50km，船時速為30km，試在岸邊選一點C，先將軍需品用火車送到點C，再用輪船從點C運到海島，問點C選在何處可使運輸時間最短？解設(shè)點C與點B的距離為xkm，則運輸時間T(x)＝eq\f(\r(1502＋x2),30)＋eq\f(300－x,50)，0≤x≤300.因為(eq\r(1502＋x2))′＝eq\f(x,\r(1502＋x2))，所以T′(x)＝eq\f(x,30\r(1502＋x2))－eq\f(1,50).令T′(x)＝0，則有5x－3eq\r(1502＋x2)＝0，5x＝3eq\r(1502＋x2)，25x2＝9(1502＋x2)．解此方程，得x＝±eq\f(\r(9×1502),4)＝±eq\f(3×150,4)＝±112.5.舍去負值，取x＝x0＝112.5.因為T(0)＝eq\f(150,30)＋eq\f(300,50)＝11，T(300)≈11.2，T(112.5)＝eq\f(\r(1502＋112.52),30)＋eq\f(187.5,50)＝10，而10是11,11.2和10中的最小者，所以x＝x0＝112.5是最小值點．所以點C選在與點B的距離為112.5km處，運輸時間最?。〗Y(jié)路程最短、運輸費用最省問題，實質(zhì)就是路程、時間、速度三者的關(guān)系問題，建立在時間與速度的基礎(chǔ)上產(chǎn)生路程，根據(jù)路程產(chǎn)生運輸費用最少或是油耗最?。绢}運算較麻煩，重點訓練復合函數(shù)的求導法則．跟蹤訓練3如圖所示，設(shè)鐵路AB＝50，BC＝10，現(xiàn)將貨物從A運往C，已知單位距離鐵路費用為2，公路費用為4，問在AB上何處修筑公路至C，可使運費由A至C最??？解設(shè)M為AB上的一點，且MB＝x，于是AM上的運費為2(50－x)，MC上的運費為4eq\r(102＋x2)，則由A到C的總運費為p(x)＝2(50－x)＋4eq\r(100＋x2)(0≤x≤50)．p′(x)＝－2＋eq\f(4x,\r(100＋x2))，令p′(x)＝0，解得x1＝eq\f(10\r(3),3)，x2＝－eq\f(10\r(3),3)(舍去)．當x<eq\f(10\r(3),3)時，p′(x)<0；當x>eq\f(10\r(3),3)時，p′(x)>0，∴當x＝eq\f(10\r(3),3)時，取得最小值．即當在離點B距離為eq\f(10\r(3),3)的點M處修筑公路至C時，貨物運費最?。}型四利潤最大問題例4某商品每件成本9元，售價為30元，每星期賣出432件．如果降低價格，銷售量可以增加，且每星期多賣出的商品件數(shù)與商品單價的降低值x(單位：元，0≤x≤30)的平方成正比，已知商品單價降低2元時，一星期多賣出24件．(1)將一個星期的商品銷售利潤表示成x的函數(shù)；(2)如何定價才能使一個星期的商品銷售利潤最大？解(1)設(shè)商品降低x元時，多賣出的商品件數(shù)為kx2，若記商品在一個星期的銷售利潤為f(x)，則依題意有f(x)＝(30－x－9)·(432＋kx2)＝(21－x)·(432＋kx2)，又由已知條件24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,30]．(2)根據(jù)(1)，有f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．當x變化時，f(x)與f′(x)的變化狀態(tài)如下表：故x＝12時，f(x)達到極大值．因為f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定價為30－12＝18(元)能使一個星期的商品銷售利潤最大．小結(jié)解決此類有關(guān)利潤的實際應(yīng)用題，應(yīng)靈活運用題設(shè)條件，建立利潤的函數(shù)關(guān)系，常見的基本等量關(guān)系有(1)利潤＝收入－成本；(2)利潤＝每件產(chǎn)品的利潤×銷售件數(shù)．跟蹤訓練4某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(a,x－3)＋10(x－6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)．已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克．(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．解(1)因為x＝5時，y＝11，所以eq\f(a,2)＋10＝11，所以a＝2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y＝eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2，所以商場每日銷售該商品所獲得的利潤f(x)＝(x－3)[eq\f(2,x－3)＋10(x－6)2]＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6.從而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)．于是，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化狀態(tài)如下表：由上表可得，x＝4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點，也是最大值點．所以，當x＝4時，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答當銷售價格為4元/千克時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.課堂練習：1．方底無蓋水箱的容積為256，則最省材料時，它的高為(A)A．4B．6C解析設(shè)底面邊長為x，高為h，則V(x)＝x2·h＝256，∴h＝eq\f(256,x2)，∴S(x)＝x2＋4xh＝x2＋4x·eq\f(256,x2)＝x2＋eq\f(4×256,x)，∴S′(x)＝2x－eq\f(4×256,x2).令S′(x)＝0，解得x＝8，∴h＝eq\f(256,82)＝4.2．某銀行準備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為多少？解：依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2.令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．當0<x<0.0324時，y′>0；當0.0324<x<0.0486時，y′<0.所以當x＝0.0324時，y取得最大值，即當存款利率為0.0324時，銀行獲得最大收益．3．統(tǒng)計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y(升)關(guān)于行駛速度x(千米/時)的函數(shù)解析式可以表示為y＝eq\f(1,128000)x3－eq\f(3,80)x＋8(0<x≤120)．已知甲、乙兩地相距100千米，當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解當速度為x千米/時時，汽車從甲地到乙地行駛了eq\f(100,x)小時，設(shè)耗油量為h(x)升，依題意得h(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,128000)x3－\f(3,80)x＋8))×eq\f(100,x)＝eq\f(1,1280)x2＋eq\f(800,x)－eq\f(15,4)(0<x≤120)，h′(x)＝eq\f(x,640)－eq\f(800,x2)＝eq\f(x3－803,640x2)(0<x≤120)．令h′(x)＝0，得x＝80.因為當x∈(0,80)時，h′(x)<0，h(x)是減函數(shù)；當x∈(80,120)時，h′(x)>0，h(x)是增函數(shù)，所以當x＝80時，h(x)取得極小值h(80)＝11.25(升)．因為h(x)在(0,120]上只有一個極小值，所以它是最小