2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年江蘇省無(wú)錫市高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．已知集合，且，則集合可以是（

）A． B． C． D．3．已知，，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，滿(mǎn)足，，且在上的投影向量為，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．10 B．20 C．25 D．506．若斜率為1的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．0或 C．0或2 D．7．已知橢圓，P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作與直線(xiàn)和平行的直線(xiàn)，分別交，交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知某正三棱柱的外接球的表面積為，則該正三棱柱的體積的最大值為A． B． C． D．二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．10．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．有三個(gè)零點(diǎn) D．是的一個(gè)零點(diǎn)11．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類(lèi)似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線(xiàn)繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線(xiàn)與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則（）A．開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的方程為 B．C．直線(xiàn)截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為 D．陰影區(qū)域的面積不大于32三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是．13．已知、分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則雙曲線(xiàn)的離心率為.14．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為（）.已知，則的最大值是.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15．(本小題滿(mǎn)分13分)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和，試比較與的大小.16．(本小題滿(mǎn)分15分)如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：交于兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，(1)求的值．(2)若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)于拋物線(xiàn)C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的面積.17.(本小題滿(mǎn)分15分)已知三棱錐中，平面平面，平面．（1）求證：（2）若二面角的正弦值為，且，，求．18.(本小題滿(mǎn)分17分)在中，角的對(duì)邊是，已知，為常數(shù)．（1）若，，求面積的最大值；（2）若，，求的值．19.(本小題滿(mǎn)分17分)已知直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，試比較與的大小；（2）①若點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，證明：；②設(shè)，若，證明．

答案解析一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1．已知，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，則“，互為共軛復(fù)數(shù)”是“為實(shí)數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】A2．已知集合，且，則集合可以是（

）A． B． C． D．【正確答案】C3．已知，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B4．已知向量，滿(mǎn)足，，且在上的投影向量為，則的值為（

）A． B． C． D．【正確答案】A5．已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，且，則當(dāng)取最大值時(shí)，（

）A．10 B．20 C．25 D．50【正確答案】D∵，∴，由已知，得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．此時(shí)數(shù)列為常數(shù)列5，所以，故選：D6．若斜率為1的直線(xiàn)與曲線(xiàn)和圓都相切，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2 B．0或 C．0或2 D．【正確答案】B設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，由，則，則，即切點(diǎn)為，所以直線(xiàn)為，又直線(xiàn)與圓都相切，則有，解得或．故選：B7．已知橢圓，P為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分別作與直線(xiàn)和平行的直線(xiàn)，分別交，交于M，N兩點(diǎn)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【正確答案】A設(shè)過(guò)點(diǎn)P分別與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)為，如圖：設(shè)，，，則，，顯然四邊形為平行四邊形，故與的中點(diǎn)重合，則，即，又因P為橢圓上任意一點(diǎn)，所以，即，即，而，所以當(dāng)時(shí)，.故選：A8．已知某正三棱柱的外接球的表面積為，則該正三棱柱的體積的最大值為A． B． C． D．【正確答案】C設(shè)外接球的半徑為，則，解得.設(shè)正三棱柱的底面三角形的邊長(zhǎng)為，則該三角形的外接圓的半徑為，故三棱柱的高為，所以該正三棱柱的體積，由，解得，令，則，所以函數(shù)在時(shí)取得最大值，因?yàn)?，所以該正三棱柱的體積的最大值為.故選：C二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】AC因?yàn)?，，所以，，，故A錯(cuò)誤，B正確；所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，則，故C正確；，故D錯(cuò)誤.故選：AC10．關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．有兩個(gè)極值點(diǎn) B．的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)C．有三個(gè)零點(diǎn) D．是的一個(gè)零點(diǎn)【正確答案】ACD函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，求導(dǎo)可得：，令，解得，可得下表：極大值極小值則，，通過(guò)圖像可知，有兩個(gè)極值點(diǎn)，故A正確；函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；，故D正確.故選:ACD11．在2024年巴黎奧運(yùn)會(huì)藝術(shù)體操項(xiàng)目集體全能決賽中，中國(guó)隊(duì)以69.800分的成績(jī)奪得金牌，這是中國(guó)藝術(shù)體操隊(duì)在奧運(yùn)會(huì)上獲得的第一枚金牌．藝術(shù)體操的繩操和帶操可以舞出類(lèi)似四角花瓣的圖案，它可看作由拋物線(xiàn)繞其頂點(diǎn)分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得三條曲線(xiàn)與圍成的（如圖陰影區(qū)域），為與其中兩條曲線(xiàn)的交點(diǎn)，若，則（）A．開(kāi)口向上的拋物線(xiàn)的方程為 B．C．直線(xiàn)截第一象限花瓣的弦長(zhǎng)最大值為 D．陰影區(qū)域的面積不大于32【正確答案】BC由題意得開(kāi)口向右的拋物線(xiàn)方程為，焦點(diǎn)為，將其逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到的拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為，則其方程為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；由得或，即，所以，由對(duì)稱(chēng)性得，，所以，故B正確；如圖，設(shè)直線(xiàn)與第一象限花瓣分別交于點(diǎn)、，由得，由得，所以，在第一象限部分滿(mǎn)足，設(shè)，則，故，代入得，當(dāng)時(shí)，取最大值，故C正確；對(duì)于D，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，每個(gè)象限的花瓣形狀大小相同，所以可以先求部分面積的近似值，如圖，在取一點(diǎn)，使過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)與直線(xiàn)平行，由可得切點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，所以，由圖知半個(gè)花瓣的面積必大于，所以陰影區(qū)域的面積大于，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12．已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的值是．為偶函數(shù)，所以，，得，，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得：，所以.故213．已知、分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，則雙曲線(xiàn)的離心率為.

因?yàn)?、分別為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)左支交于A，B兩點(diǎn)，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解得，則，在中，由勾股定理得，化簡(jiǎn)得，，所以的離心率.14．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為（）.已知，則的最大值是.由，則，，所以或，而，且，即，所以，且，即，，令，則，，當(dāng)時(shí)，則在上遞增；當(dāng)時(shí)，則在上遞減；所以.故答案為.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15．(本小題滿(mǎn)分13分)設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，已知成等差數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記和分別為數(shù)列和的前項(xiàng)和，試比較與的大小.（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，設(shè)的公比為，由，可得，解得：或（舍去）.故，.（2）由（1）可得.數(shù)列的前項(xiàng)和，①則.②由①②得即.由，可得.16．(本小題滿(mǎn)分15分)如圖，已知直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：交于兩點(diǎn)，且，交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，(1)求的值．(2)若線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)于拋物線(xiàn)C交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求的面積.（1）設(shè)因?yàn)榻挥邳c(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立，消去可得，，則，因?yàn)?，所以，即，即，解得，?）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，由（1）知，所以，所以，即，聯(lián)立，消去可得，，設(shè)，則，所以，又點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以的面積為.17.(本小題滿(mǎn)分15分)已知三棱錐中，平面平面，平面．（1）求證：（2）若二面角的正弦值為，且，，求．（1）過(guò)作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面，所以平面，平面，所以又平面，平面，所以因?yàn)槠矫?，且所以平面，平面，因此．?）解法一：過(guò)作于，連接，則平面，所以所以即為二面角的平面角，所以，又有（1）可得設(shè)，則，所以所以，從而解法二：同方法一得，設(shè)，則，所以，解得，從而解法三：如圖,以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，記二面角為，設(shè)，，設(shè)面的法向量為，則，即，令，得，又面的法向量為，記二面角為，則，所以，解得，所以.解法四：如圖,以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，有，設(shè)面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，記二面角為，則，所以，解得，又，即，所以，則.18.(本小題滿(mǎn)分17分)在中，角的對(duì)邊是，已知，為常數(shù)．（1）若，，求面積的最大值；（2）若，，求的值．（1）解法一：時(shí)，設(shè)，則由余弦定理得所以，設(shè)，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為解法二：時(shí)，，即以所在的直線(xiàn)為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由得化簡(jiǎn)得，即的軌跡方程為，所以面積的最大值為（2）解法一：由及正弦定理可知，由及得整理可得，解得或(舍)，故.解法二：不妨設(shè)，則.由可得所以解得.所以.因此解法三：不妨設(shè)，則.即.以所在的直線(xiàn)為軸，的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，顯然有，點(diǎn)在橢圓上.設(shè)，則，由可得，化簡(jiǎn)即得，從而.故，從而19.(本小題滿(mǎn)分17分)已知直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)（其中在第一象限，在第二象限）．（1）若，試比較與的大?。唬?）①若點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，證明：；②設(shè)，若，證明．（1）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以的最小值為，又，，由零點(diǎn)存在定理知，因此（2）①因?yàn)辄c(diǎn)恰好為的中點(diǎn)，所以，且，由得要證，只要證，只要證設(shè)所以在上單調(diào)遞增，所以，得證．②由得因?yàn)?，即，所以有，所以即?**）要證只要證只要證結(jié)合（***）式只要證只要證只要證，設(shè)只要證因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增，由，即得從而命題得證．

19題最后一問(wèn)解法的思路探究：1初步嘗試：要證，由兩點(diǎn)間的距離公式，只要證只要證（*）由條件得因?yàn)?，即，所以有，?*）兩邊平方得故要證（*）式成立，利用不等式得傳遞性，只要證即可，展開(kāi)分離雙變量整理為于是構(gòu)造函數(shù)，但是發(fā)現(xiàn)函數(shù)并不單調(diào)，思維受阻，只能另尋思路.2調(diào)整重構(gòu)：解題的關(guān)鍵在于分離雙變量后，需要構(gòu)造是單調(diào)增函數(shù)，由于當(dāng)時(shí)，變化很小，需要將