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文檔簡介
浙江省杭州十四中2025屆高考數(shù)學(xué)倒計時模擬卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.對兩個變量進行回歸分析,給出如下一組樣本數(shù)據(jù):,,,,下列函數(shù)模型中擬合較好的是()A. B. C. D.2.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.83.已知F為拋物線y2=4x的焦點,過點F且斜率為1的直線交拋物線于A,B兩點,則||FA|﹣|FB||的值等于()A. B.8 C. D.44.自2019年12月以來,在湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例,研究表明,該新型冠狀病毒具有很強的傳染性各級政府反應(yīng)迅速,采取了有效的防控阻擊措施,把疫情控制在最低范圍之內(nèi).某社區(qū)按上級要求做好在鄂返鄉(xiāng)人員體格檢查登記,有3個不同的住戶屬在鄂返鄉(xiāng)住戶,負(fù)責(zé)該小區(qū)體格檢查的社區(qū)診所共有4名醫(yī)生,現(xiàn)要求這4名醫(yī)生都要分配出去,且每個住戶家里都要有醫(yī)生去檢查登記,則不同的分配方案共有()A.12種 B.24種 C.36種 D.72種5.已知雙曲線的左、右焦點分別為、,拋物線與雙曲線有相同的焦點.設(shè)為拋物線與雙曲線的一個交點,且,則雙曲線的離心率為()A.或 B.或 C.或 D.或6.“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7.過拋物線()的焦點且傾斜角為的直線交拋物線于兩點.,且在第一象限,則()A. B. C. D.8.已知角的終邊與單位圓交于點,則等于()A. B. C. D.9.已知三點A(1,0),B(0,),C(2,),則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為()A. B.C. D.10.已知,,則()A. B. C.3 D.411.一輛郵車從地往地運送郵件,沿途共有地,依次記為,,…(為地,為地).從地出發(fā)時,裝上發(fā)往后面地的郵件各1件,到達(dá)后面各地后卸下前面各地發(fā)往該地的郵件,同時裝上該地發(fā)往后面各地的郵件各1件,記該郵車到達(dá),,…各地裝卸完畢后剩余的郵件數(shù)記為.則的表達(dá)式為().A. B. C. D.12.已知等邊△ABC內(nèi)接于圓:x2+y2=1,且P是圓τ上一點,則的最大值是()A. B.1 C. D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)已知曲線的方程為,其圖象經(jīng)過點,則曲線在點處的切線方程是____________.14.已知向量滿足,,則______________.15.已知函數(shù)為奇函數(shù),,且與圖象的交點為,,…,,則______.16.已知數(shù)列的前項和為且滿足,則數(shù)列的通項_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點為,求的值.18.(12分)已知多面體中,、均垂直于平面,,,,是的中點.(1)求證:平面;(2)求直線與平面所成角的正弦值.19.(12分)已知a,b∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間:(II)當(dāng)x∈[0,+∞)時,f(x)的最小值為0,求a+5b的最大值.注:20.(12分)對于非負(fù)整數(shù)集合(非空),若對任意,或者,或者,則稱為一個好集合.以下記為的元素個數(shù).(1)給出所有的元素均小于的好集合.(給出結(jié)論即可)(2)求出所有滿足的好集合.(同時說明理由)(3)若好集合滿足,求證:中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.21.(12分)橢圓:()的離心率為,它的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)是直線上任意一點,過點作圓的兩條切線,切點分別為,,求證:直線恒過一個定點.22.(10分)已知橢圓:的長半軸長為,點(為橢圓的離心率)在橢圓上.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)如圖,為直線上任一點,過點橢圓上點處的切線為,,切點分別,,直線與直線,分別交于,兩點,點,的縱坐標(biāo)分別為,,求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
作出四個函數(shù)的圖象及給出的四個點,觀察這四個點在靠近哪個曲線.【詳解】如圖,作出A,B,C,D中四個函數(shù)圖象,同時描出題中的四個點,它們在曲線的兩側(cè),與其他三個曲線都離得很遠(yuǎn),因此D是正確選項,故選:D.【點睛】本題考查回歸分析,擬合曲線包含或靠近樣本數(shù)據(jù)的點越多,說明擬合效果好.2、A【解析】
由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐,四棱錐底面是邊長為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.3、C【解析】
將直線方程代入拋物線方程,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和拋物線的定義即可得出的值.【詳解】F(1,0),故直線AB的方程為y=x﹣1,聯(lián)立方程組,可得x2﹣6x+1=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1+x2=6,x1x2=1.由拋物線的定義可知:|FA|=x1+1,|FB|=x2+1,∴||FA|﹣|FB||=|x1﹣x2|=.故選C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線與拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.4、C【解析】
先將4名醫(yī)生分成3組,其中1組有2人,共有種選法,然后將這3組醫(yī)生分配到3個不同的住戶中去,有種方法,由分步原理可知共有種.【詳解】不同分配方法總數(shù)為種.故選:C【點睛】此題考查的是排列組合知識,解此類題時一般先組合再排列,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
設(shè),,根據(jù)和拋物線性質(zhì)得出,再根據(jù)雙曲線性質(zhì)得出,,最后根據(jù)余弦定理列方程得出、間的關(guān)系,從而可得出離心率.【詳解】過分別向軸和拋物線的準(zhǔn)線作垂線,垂足分別為、,不妨設(shè),,則,為雙曲線上的點,則,即,得,,又,在中,由余弦定理可得,整理得,即,,解得或.故選:D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解,涉及雙曲線和拋物線的簡單性質(zhì),考查運算求解能力,屬于中檔題.6、A【解析】
先求解函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱的等價條件,得到,分析即得解.【詳解】若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,則,解得,故“”是“函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱”的充分不必要條件.故選:A【點睛】本題考查了充分不必要條件的判斷,考查了學(xué)生邏輯推理,概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】
作,;,由題意,由二倍角公式即得解.【詳解】由題意,,準(zhǔn)線:,作,;,設(shè),故,,.故選:C【點睛】本題考查了拋物線的性質(zhì)綜合,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.8、B【解析】
先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點,,故選:B【點睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎(chǔ)題.9、B【解析】
選B.考點:圓心坐標(biāo)10、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因為,所以,解得則.故選:A.【點睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
根據(jù)題意,分析該郵車到第站時,一共裝上的郵件和卸下的郵件數(shù)目,進而計算可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,該郵車到第站時,一共裝上了件郵件,需要卸下件郵件,則,故選:D.【點睛】本題主要考查數(shù)列遞推公式的應(yīng)用,屬于中檔題.12、D【解析】
如圖所示建立直角坐標(biāo)系,設(shè),則,計算得到答案.【詳解】如圖所示建立直角坐標(biāo)系,則,,,設(shè),則.當(dāng),即時等號成立.故選:.【點睛】本題考查了向量的計算,建立直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)計算是解題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
依題意,將點的坐標(biāo)代入曲線的方程中,解得.由,得,則曲線在點處切線的斜率,所以在點處的切線方程是,即.14、1【解析】
首先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算律求出,再根據(jù)計算可得;【詳解】解:因為,所以又所以所以故答案為:【點睛】本題考查平面向量的數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.15、18【解析】
由題意得函數(shù)f(x)與g(x)的圖像都關(guān)于點對稱,結(jié)合函數(shù)的對稱性進行求解即可.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),函數(shù)關(guān)于點對稱,,函數(shù)關(guān)于點對稱,所以兩個函數(shù)圖象的交點也關(guān)于點(1,2)對稱,與圖像的交點為,,…,,兩兩關(guān)于點對稱,.故答案為:18【點睛】本題考查了函數(shù)對稱性的應(yīng)用,結(jié)合函數(shù)奇偶性以及分式函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的對稱性是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.16、【解析】
先求得時;再由可得時,兩式作差可得,進而求解.【詳解】當(dāng)時,,解得;由,可知當(dāng)時,,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項公式,考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)由公式可化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程;(2)把點極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),直線的參數(shù)方程是過定點的標(biāo)準(zhǔn)形式,因此直接把參數(shù)方程代入曲線的方程,利用參數(shù)的幾何意義求解.【詳解】解:(1),則,∴,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為,即(2)點的直角坐標(biāo)為,易知.設(shè)對應(yīng)參數(shù)分別為將與聯(lián)立得【點睛】本題考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化,考查直線參數(shù)方程,解題時可利用利用參數(shù)方程的幾何意義求直線上兩點間距離問題.18、(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點,連接、,推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形,可得出,由此能證明平面;(2)由,得平面,則點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,由此能求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)取的中點,連接、,、分別為、的中點,則且,、均垂直于平面,且,則,且,所以,四邊形為平行四邊形,則,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,在平面內(nèi)過點作于點,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距離,也就是點到平面的距離,設(shè),則到平面的距離,,因此,直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,考查線面角的正弦值的求法,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想,是中檔題.19、(I)詳見解析;(II)2【解析】
(I)求導(dǎo)得到f'(x)=ex-a,討論a≤0(II)f12=e-12a-5【詳解】(I)f(x)=ex-ax當(dāng)a≤0時,f'(x)=e當(dāng)a>0時,f'(x)=ex-a=0,x=lna當(dāng)x∈lna,+∞時,綜上所述:a≤0時,fx在R上單調(diào)遞增;a>0時,fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-故當(dāng)x∈0,+∞上時,x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增,故fx在0,12上單調(diào)遞減,在1綜上所述:a+5b的最大值為【點睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性,函數(shù)的最值問題,意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.20、(1),,,.(2);證明見解析.(3)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果;(2)設(shè),其中,由知;由可知或,分別討論兩種情況可的結(jié)果;(3)記,則,設(shè),由歸納推理可求得,從而得到,從而得到,可知存在元素滿足題意.【詳解】(1),,,.(2)設(shè),其中,則由題意:,故,即,考慮,可知:,或,若,則考慮,,,則,,但此時,,不滿足題意;若,此時,滿足題意,,其中為相異正整數(shù).(3)記,則,首先,,設(shè),其中,分別考慮和其他任一元素,由題意可得:也在中,而,,,對于,考慮,,其和大于,故其差,特別的,,,由,且,,以此類推:,,此時,故中存在元素,使得中所有元素均為的整數(shù)倍.【點睛】本題考查集合中的新定義問題的求解,關(guān)鍵是明確已知中所給的新定義的具體要求,根據(jù)集合元素的要求進行推理說明,對于學(xué)生分析和解決問題能力、邏輯推理能力有較高的要求,屬于較難題.21、(1);(2)證明見解析.【解析】
(1)根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)列出方程組,即可得出橢圓方程;(2)設(shè)點,,,由,,結(jié)合斜率公式化簡得出,,即,滿足,由的任意性,得出直線恒過一個定點.【詳解】(1)依題意得,解得即橢圓:;(2)設(shè)點,,其中,由,得,即,注意到,于是,因此,滿足由的任意性知,,,即直線恒過一個定點.【點睛】本題主要考查了
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