山西省長治市重點中學2025屆高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

山西省長治市重點中學2025屆高三最后一卷數(shù)學試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，雙曲線的左，右焦點分別是直線與雙曲線的兩條漸近線分別相交于兩點.若則雙曲線的離心率為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)（表示不超過x的最大整數(shù)），若有且僅有3個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．3．下列與的終邊相同的角的表達式中正確的是()A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)4．已知點P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關于原點O的對稱點為A，點P關于x軸的對稱點為Q，設，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．5．在一個數(shù)列中，如果，都有（為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，叫做這個數(shù)列的公積.已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，，公積為，則（）A． B． C． D．6．拋物線y2=ax(a>0)的準線與雙曲線C:x28A．8 B．6 C．4 D．27．若復數(shù)滿足，則對應的點位于復平面的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則公比的值為（

）A． B． C．或 D．或9．若，則的虛部是（）A． B． C． D．10．過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB，且，若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，則雙曲線C的離心率為（）A． B． C．2 D．11．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．12．如圖，在四邊形中，，，，，，則的長度為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計分析，近似服從正態(tài)分布，且，若該市有人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為_____．14．正方體的棱長為2,是它的內(nèi)切球的一條弦(我們把球面上任意兩點之間的線段稱為球的弦),為正方體表面上的動點,當弦的長度最大時,的取值范圍是______.15．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a216．已知，滿足不等式組，則的取值范圍為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長為2的菱形，點E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點，點G是棱SC靠近點C的四等分點.求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.18．（12分）已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當時，證明：對；（2）若函數(shù)在上存在極值，求實數(shù)的取值范圍。19．（12分）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）若在R上單調(diào)遞增，求正數(shù)a的取值范圍；（2）若f（x）在處導數(shù)相等，證明：；（3）當時，證明：對于任意，若，則直線與曲線有唯一公共點（注：當時，直線與曲線的交點在y軸兩側(cè)）.20．（12分）如圖，在四棱錐中，，，.（1）證明：平面；（2）若，，為線段上一點，且，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求角；（2）若，，求的面積.22．（10分）設，，其中．（1）當時，求的值；（2）對，證明：恒為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

易得，過B作x軸的垂線，垂足為T，在中，利用即可得到的方程.【詳解】由已知，得，過B作x軸的垂線，垂足為T，故，又所以，即，所以雙曲線的離心率.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率問題，在作雙曲線離心率問題時，最關鍵的是找到的方程或不等式，本題屬于容易題.2、A【解析】

根據(jù)[x]的定義先作出函數(shù)f（x）的圖象，利用函數(shù)與方程的關系轉(zhuǎn)化為f（x）與g（x）=ax有三個不同的交點，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，若有且僅有3個零點，則等價為有且僅有3個根，即與有三個不同的交點，作出函數(shù)和的圖象如圖，當a=1時，與有無數(shù)多個交點，當直線經(jīng)過點時，即，時，與有兩個交點，當直線經(jīng)過點時，即時，與有三個交點，要使與有三個不同的交點，則直線處在過和之間，即，故選：A．【點睛】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域(最值)問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.3、C【解析】

利用終邊相同的角的公式判斷即得正確答案.【詳解】與的終邊相同的角可以寫成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制與弧度制不能混用，所以只有答案C正確.故答案為C【點睛】（1）本題主要考查終邊相同的角的公式，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)與終邊相同的角=+其中.4、C【解析】

設，則，，，設，根據(jù)化簡得到，得到答案.【詳解】設，則，，，則，設，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉(zhuǎn)化能力.5、B【解析】

計算出的值，推導出，再由，結(jié)合數(shù)列的周期性可求得數(shù)列的前項和.【詳解】由題意可知，則對任意的，，則，，由，得，，，，因此，.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列求和，考查了數(shù)列的新定義，推導出數(shù)列的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.6、A【解析】

求得拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，解得兩交點，由三角形的面積公式，計算即可得到所求值．【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準線為x=-a4，雙曲線C:x28-y24【點睛】本題考查三角形的面積的求法，注意運用拋物線的準線方程和雙曲線的漸近線方程，考查運算能力，屬于基礎題．7、D【解析】

利用復數(shù)模的計算、復數(shù)的除法化簡復數(shù)，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義，即可得答案；【詳解】，對應的點，對應的點位于復平面的第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)模的計算、復數(shù)的除法、復數(shù)的幾何意義，考查運算求解能力，屬于基礎題.8、D【解析】

由成等差數(shù)列得，利用等比數(shù)列的通項公式展開即可得到公比q的方程.【詳解】由題意，∴2aq2=aq+a，∴2q2=q+1，∴q=1或q=故選：D．【點睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合，利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關鍵，對于等比數(shù)列的通項公式也要熟練．9、D【解析】

通過復數(shù)的乘除運算法則化簡求解復數(shù)為：的形式，即可得到復數(shù)的虛部.【詳解】由題可知，所以的虛部是1.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，復數(shù)的基本概念，屬于基礎題.10、C【解析】

由得F是弦AB的中點.進而得AB垂直于x軸，得，再結(jié)合關系求解即可【詳解】因為，所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點，所以，即，則，故.故選：C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查，是考查基本知識，屬于基礎題．11、B【解析】

由導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】函數(shù)，可得，時，，單調(diào)遞增，∵，故不等式的解集等價于不等式的解集．．∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，屬于中檔題.12、D【解析】

設，在中，由余弦定理得，從而求得，再由由正弦定理得，求得，然后在中，用余弦定理求解.【詳解】設，在中，由余弦定理得，則，從而，由正弦定理得，即，從而，在中，由余弦定理得：，則.故選：D【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

根據(jù)正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)，結(jié)合求得，即可得解.【詳解】根據(jù)正態(tài)分布，且，所以故該市有人參考，則估計成都市該次統(tǒng)考中成績大于分的人數(shù)為．故答案為：．【點睛】此題考查正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理解辨析，根據(jù)曲線的對稱性求解概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)求解成績大于114的人數(shù).14、【解析】

由弦的長度最大可知為球的直徑.由向量的線性運用表示出，即可由范圍求得的取值范圍.【詳解】連接，如下圖所示：設球心為,則當弦的長度最大時，為球的直徑，由向量線性運算可知正方體的棱長為2，則球的半徑為1，，所以，而所以，即故答案為：.【點睛】本題考查了空間向量線性運算與數(shù)量積的運算，正方體內(nèi)切球性質(zhì)應用，屬于中檔題.15、-2【解析】試題分析：∵a2考點：等比數(shù)列性質(zhì)及求和公式16、【解析】

畫出不等式組表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示，易知在點處取得最小值，即，所以由圖可知的取值范圍為．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點O,交EF于點H,連接GH,所以O為AC的中點,H為OC的中點,由E、F為DC、BC的中點,再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因為側(cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因為底面ABCD是菱形,所以,因為,所以平面SDB.【點睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）利用導數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，進而求得函數(shù)的最小值，得到要證明的結(jié)論；（2）問題轉(zhuǎn)化為導函數(shù)在區(qū)間上有解，法一：對a分類討論，分別研究a的不同取值下，導函數(shù)的單調(diào)性及值域，從而得到結(jié)論.法二：構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的值域，再利用零點存在定理說明函數(shù)存在極值．【詳解】(1)當時，，于是，.又因為，當時，且.故當時，，即.所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.因此，對，；(2)方法一：由題意在上存在極值，則在上存在零點，①當時，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，，為上的減函數(shù)；當時，，為上的增函數(shù)；所以為函數(shù)的極小值點；②當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞增，所以在上沒有極值；③當時，在上成立，所以在上單調(diào)遞減，所以在上沒有極值，綜上所述，使在上存在極值的的取值范圍是.方法二：由題意，函數(shù)在上存在極值，則在上存在零點.即在上存在零點.設，，則由單調(diào)性的性質(zhì)可得為上的減函數(shù).即的值域為，所以，當實數(shù)時，在上存在零點.下面證明，當時，函數(shù)在上存在極值.事實上，當時，為上的增函數(shù)，注意到，，所以，存在唯一實數(shù)，使得成立.于是，當時，，為上的減函數(shù)；當時，，為上的增函數(shù)；即為函數(shù)的極小值點.綜上所述，當時，函數(shù)在上存在極值.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，涉及函數(shù)的單調(diào)性，導數(shù)的應用，函數(shù)的最值的求法，考查構(gòu)造法的應用，是一道綜合題．19、（1）；（2）見解析；（3）見解析【解析】

（1）需滿足恒成立，只需即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性，構(gòu)造新函數(shù)，并令，根據(jù)的單調(diào)性即可得證；（3）將問題轉(zhuǎn)化為證明有唯一實數(shù)解，對求導，判斷其單調(diào)性，結(jié)合題目條件與不等式的放縮，即可得證．【詳解】；令，則恒成立；，；的取值范圍是；（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；；令，；則；令，則；；；（3）證明：，，要證明有唯一實數(shù)解；當時，；當時，；即對于任意實數(shù)，一定有解；；當時，有兩個極值點；函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又；只需，在時恒成立；只需；令，其中一個正解是；，；單調(diào)遞增，，（1）；；；綜上得證．【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化思想、不等式的放縮，屬難題．20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）利用線段長度得到與間的垂直關系，再根據(jù)線面垂直的判定定理完成證明；（2）以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，利用直線的方向向量與平面的法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值，計算出結(jié)果.【詳解】（1）∵，，∴，∴，∵，平面，∴平面（2）由（1）知，，又為坐標原點，分別以、、為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，，∵，∴，設是平面的一個法向量則，即，取得∴∴直線與平面所成的正弦值為【點睛】本題考查線面垂直的證明以及用向量法求解線面角的正弦，難度一般.用向量方法求解線面角的正弦值時，注意直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值的絕對值等于線面角的正弦值.21、（1）（2）【解析】

（1）利用余弦定理可求，從而得到的值.（2）利用誘導公式和正弦定理化簡題設中的邊角關系可得，得到值后利用面積公式可求.【詳解】（1）由，得.所以由余弦定理，得.又因為，所以.（2）由，得.由正弦定理，得，因為，所以.又因，所以.所以的面積.【點