2025屆江蘇省常州市高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷含解析

2025屆江蘇省常州市高考仿真模擬數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知的共軛復(fù)數(shù)是，且（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)，，則的值為（）A． B．C． D．3．復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．4．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為（）A． B． C． D．5．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．26．集合,則集合的真子集的個(gè)數(shù)是A．1個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．7個(gè)7．設(shè)，，是非零向量.若，則（）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，則（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知底面為正方形的四棱錐，其一條側(cè)棱垂直于底面，那么該四棱錐的三視圖可能是下列各圖中的（）A． B． C． D．10．已知點(diǎn)、．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，則使得的面積為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．11．等比數(shù)列若則（）A．±6 B．6 C．-6 D．12．如圖是甲、乙兩位同學(xué)在六次數(shù)學(xué)小測(cè)試（滿分100分）中得分情況的莖葉圖，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A．甲得分的平均數(shù)比乙大 B．甲得分的極差比乙大C．甲得分的方差比乙小 D．甲得分的中位數(shù)和乙相等二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在三棱錐中，三條側(cè)棱兩兩垂直，，則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.14．已知角的終邊過點(diǎn)，則______.15．已知函數(shù)的最大值為3，的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為2，則16．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，且滿足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面積為，，求和的值.18．（12分）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）過原點(diǎn)且傾斜角為的射線與曲線分別交于兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），求的取值范圍.19．（12分）[選修4-5：不等式選講]設(shè)函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）已知關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）（1）求曲線和曲線圍成圖形的面積；（2）化簡(jiǎn)求值：．21．（12分）如圖，在斜三棱柱中，已知為正三角形，D，E分別是，的中點(diǎn)，平面平面，.（1）求證：平面；（2）求證：平面.22．（10分）武漢有“九省通衢”之稱，也稱為“江城”，是國(guó)家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.（1）為了解“五·一”勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況，從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人，制成了如圖的頻率分布直方圖：現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中，采用分層抽樣的方法抽取10人，再?gòu)某槿〉?0人中隨機(jī)抽取4人，記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為，求；（2）為了給游客提供更舒適的旅游體驗(yàn)，該旅游景點(diǎn)游船中心計(jì)劃在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量（單位：萬人）都大于1.將每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個(gè)區(qū)間整理得表：勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)（年）244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個(gè)區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率，且每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用，但每年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量（單位：艘）要受當(dāng)日客流量（單位：萬人）的影響，其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表：勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入且被使用，則游船中心當(dāng)日可獲得利潤(rùn)3萬元；若某艘型游船勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用，則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬元.記（單位：萬元）表示該游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)，的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)越大，問該游船中心在2020年勞動(dòng)節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，所以，解得：，所以?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，此點(diǎn)位于第四象限.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)知識(shí)，考查了方程思想，屬于基礎(chǔ)題．2、D【解析】

利用倍角公式求得的值，利用誘導(dǎo)公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值，進(jìn)而求得的值，最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】，，，，，，，，故選：D.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有誘導(dǎo)公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，正切差角公式，屬于基礎(chǔ)題目.3、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力，是一道基礎(chǔ)題.4、A【解析】

根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓，根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離，由此求解出截面圓的半徑，從而截面面積可求.【詳解】如圖所示：設(shè)內(nèi)切球球心為，到平面的距離為，截面圓的半徑為，因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半，所以球的半徑為，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以截面圓的半徑，所以截面圓的面積為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算，難度一般.任何一個(gè)平面去截球，得到的截面一定是圓面，截面圓的半徑可通過球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.5、B【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，虛部的概念，屬于簡(jiǎn)單題.6、B【解析】

由題意，結(jié)合集合，求得集合，得到集合中元素的個(gè)數(shù)，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，集合，則，所以集合的真子集的個(gè)數(shù)為個(gè)，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的運(yùn)算和集合中真子集的個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)的求解，其中作出集合的運(yùn)算，得到集合，再由真子集個(gè)數(shù)的公式作出計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．7、D【解析】試題分析：由題意得：若，則；若，則由可知，，故也成立，故選D.考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積.【思路點(diǎn)睛】幾何圖形中向量的數(shù)量積問題是近幾年高考的又一熱點(diǎn)，作為一類既能考查向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及平面幾何知識(shí)，又能考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力及轉(zhuǎn)化與化歸能力的問題，實(shí)有其合理之處.解決此類問題的常用方法是：①利用已知條件，結(jié)合平面幾何知識(shí)及向量數(shù)量積的基本概念直接求解(較易)；②將條件通過向量的線性運(yùn)算進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用①求解(較難)；③建系，借助向量的坐標(biāo)運(yùn)算，此法對(duì)解含垂直關(guān)系的問題往往有很好效果.8、A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)直接計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)樗?故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、C【解析】試題分析：通過對(duì)以下四個(gè)四棱錐的三視圖對(duì)照可知，只有選項(xiàng)C是符合要求的.考點(diǎn)：三視圖10、C【解析】

設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，以為底結(jié)合的面積計(jì)算出點(diǎn)到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的方程，求出方程的解，即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，解得，另一方面，由點(diǎn)到直線的距離公式得，整理得或，，解得或或.綜上，滿足條件的點(diǎn)共有三個(gè)．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形面積的計(jì)算，涉及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題．11、B【解析】

根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.【詳解】由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，，所以，而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號(hào)特征，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由平均數(shù)、方差公式和極差、中位數(shù)概念，可得所求結(jié)論．【詳解】對(duì)于甲，；對(duì)于乙，，故正確；甲的極差為，乙的極差為，故錯(cuò)誤；對(duì)于甲，方差.5，對(duì)于乙，方差，故正確；甲得分的中位數(shù)為，乙得分的中位數(shù)為，故正確．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查平均數(shù)和方差等概念，培養(yǎng)計(jì)算能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設(shè)，可表示出，由三棱錐性質(zhì)得這三條棱長(zhǎng)的平方和等于外接球直徑的平方，從而半徑的最小值，得外接球表面積．【詳解】設(shè)則，由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長(zhǎng)的平方和等于其外接球的直徑的平方．記外接球半徑為，∴當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球表面積，解題關(guān)鍵是掌握三棱錐的性質(zhì)：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側(cè)棱的平方和．14、【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，求得的值．【詳解】解：∵角的終邊過點(diǎn)，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，兩角和差正弦公式，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).16、【解析】

由題意可在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立可得有兩個(gè)解，即可設(shè)，則，進(jìn)而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時(shí)，有兩個(gè)解.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題，還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】

（Ⅰ）運(yùn)用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡(jiǎn)，即可求出角的大小；（Ⅱ）通過面積公式和，可以求出，這樣用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系，可以求出，這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了運(yùn)算能力.18、（1），；（2）.【解析】

（1）先將曲線化為普通方程，再由直角坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系：，可得極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由已知可得出射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立和的極坐標(biāo)方程可得點(diǎn)A和點(diǎn)B的極坐標(biāo)，從而得出，由的范圍可求得的取值范圍.【詳解】（1）曲線的普通方程為，即，其極坐標(biāo)方程為；曲線的極坐標(biāo)方程為，即，其直角坐標(biāo)方程為；（2）射線的極坐標(biāo)方程為，聯(lián)立，聯(lián)立，的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查圓的參數(shù)方程與普通方程互化，圓，拋物線的極坐標(biāo)方程與普通方程的互化，以及在極坐標(biāo)下的直線與圓和拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.19、(1)(2)【解析】

（1）零點(diǎn)分段去絕對(duì)值解不等式即可（2）由題在上有解，去絕對(duì)值分離變量a即可.【詳解】（1）不等式，即等價(jià)于或或解得，所以原不等式的解集為；（2）當(dāng)時(shí)，不等式，即，所以在上有解即在上有解，所以，．【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式解法，不等式有解求參數(shù)，熟記零點(diǎn)分段，熟練處理不等式有解問題是關(guān)鍵，是中檔題.20、（1）（2）【解析】

（1）求曲線和曲線圍成的圖形面積，首先求出兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)0、1，然后求在區(qū)間上的定積分．（2）首先利用二倍角公式及兩角差的余弦公式計(jì)算出，然后再整體代入可得；【詳解】解：（1）聯(lián)立解得，，所以曲線和曲線圍成的圖形面積．（2）∴【點(diǎn)睛】本題考查定積分求曲邊形的面積以及三角恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）根據(jù)，分別是，的中點(diǎn)，即可證明，從而可證平面；（2）先根據(jù)為正三角形，且D是的中點(diǎn)，證出，再根據(jù)平面平面，得到平面，從而得到，結(jié)合，即可得證．【詳解】（1）∵，分別是，的中點(diǎn)∴∵平面，平面∴平面.（2）∵為正三角形，且D是的中點(diǎn)∴∵平面平面，且平面平面，平面∴平面∵平面∴∵且∴∵，平面，且∴平面.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定，面面垂直的性質(zhì)等，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，中檔題．22、（1）；（2）投入3艘型游船使其當(dāng)日獲得的總利潤(rùn)最大【解析】

（1）首先計(jì)算出在，內(nèi)抽取的人數(shù)，然后利用超幾何分布概率計(jì)算公式，計(jì)算出.（2）分別計(jì)算出投入艘游艇時(shí)，總利潤(rùn)的期望值，由此確定當(dāng)日游艇投放量.【詳解】（1）年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為150，年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為100；若