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安徽省池州市重點中學2025屆高考仿真卷數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè),分別是橢圓的左、右焦點,過的直線交橢圓于,兩點,且,,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.已知非零向量滿足,若夾角的余弦值為,且,則實數(shù)的值為()A. B. C.或 D.3.已知,,為圓上的動點,,過點作與垂直的直線交直線于點,若點的橫坐標為,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.在中,為邊上的中點,且,則()A. B. C. D.5.已知拋物線上的點到其焦點的距離比點到軸的距離大,則拋物線的標準方程為()A. B. C. D.6.已知正項等比數(shù)列中,存在兩項,使得,,則的最小值是()A. B. C. D.7.已知是平面內(nèi)互不相等的兩個非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位),則z的虛部為()A.2 B. C.4 D.9.已知若(1-ai)(3+2i)為純虛數(shù),則a的值為()A. B. C. D.10.將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖像,若為奇函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.11.過直線上一點作圓的兩條切線,,,為切點,當直線,關(guān)于直線對稱時,()A. B. C. D.12.已知菱形的邊長為2,,則()A.4 B.6 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:℃)依次為8,,,0,2,則該組數(shù)據(jù)的標準差為_______.14.從2、3、5、7、11、13這六個質(zhì)數(shù)中任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)15.已知數(shù)列的前項滿足,則______.16.如圖梯形為直角梯形,,圖中陰影部分為曲線與直線圍成的平面圖形,向直角梯形內(nèi)投入一質(zhì)點,質(zhì)點落入陰影部分的概率是_____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)棉花的纖維長度是評價棉花質(zhì)量的重要指標,某農(nóng)科所的專家在土壤環(huán)境不同的甲、乙兩塊實驗地分別種植某品種的棉花,為了評價該品種的棉花質(zhì)量,在棉花成熟后,分別從甲、乙兩地的棉花中各隨機抽取21根棉花纖維進行統(tǒng)計,結(jié)果如下表:(記纖維長度不低于311的為“長纖維”,其余為“短纖維”)纖維長度甲地(根數(shù))34454乙地(根數(shù))112116(1)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù),填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯誤概率不超過1.125的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.甲地乙地總計長纖維短纖維總計附:(1);(2)臨界值表;1.111.151.1251.1111.1151.1112.7163.8415.1246.6357.87911.828(2)現(xiàn)從上述41根纖維中,按纖維長度是否為“長纖維”還是“短纖維”采用分層抽樣的方法抽取8根進行檢測,在這8根纖維中,記乙地“短纖維”的根數(shù)為,求的分布列及數(shù)學期望.18.(12分)如圖,四棱錐中,底面ABCD為菱形,平面ABCD,BD交AC于點E,F(xiàn)是線段PC中點,G為線段EC中點.Ⅰ求證:平面PBD;Ⅱ求證:.19.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,且PA=AD,E,F(xiàn)分別是棱AB,PC的中點.求證:(1)EF//平面PAD;(2)平面PCE⊥平面PCD.20.(12分)在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),以為極點,軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.(1)求直線和曲線的極坐標方程;(2)已知射線與曲線交于兩點,射線與直線交于點,若的面積為1,求的值和弦長.21.(12分)已知圓O經(jīng)過橢圓C:的兩個焦點以及兩個頂點,且點在橢圓C上.求橢圓C的方程;若直線l與圓O相切,與橢圓C交于M、N兩點,且,求直線l的傾斜角.22.(10分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大?。唬?)在棱上確定一點,使二面角的平面角的余弦值為.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
根據(jù)表示出線段長度,由勾股定理,解出每條線段的長度,再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系,求出離心率.【詳解】設(shè),則由橢圓的定義,可以得到,在中,有,解得在中,有整理得,故選C項.【點睛】本題考查幾何法求橢圓離心率,是求橢圓離心率的一個常用方法,通過幾何關(guān)系,構(gòu)造出關(guān)系,得到離心率.屬于中檔題.2、D【解析】
根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零,結(jié)合以及夾角的余弦值,即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意,得,即.將代入可得,,解得(舍去).故選:D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應(yīng)用,涉及由向量垂直求參數(shù)值,屬基礎(chǔ)題.3、A【解析】
由題意得,即可得點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,根據(jù)雙曲線的性質(zhì)即可得解.【詳解】如圖,連接OP,AM,由題意得,點M的軌跡為以A,B為左、右焦點,的雙曲線,.故選:A.【點睛】本題考查了雙曲線定義的應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.4、A【解析】
由為邊上的中點,表示出,然后用向量模的計算公式求模.【詳解】解:為邊上的中點,,故選:A【點睛】在三角形中,考查中點向量公式和向量模的求法,是基礎(chǔ)題.5、B【解析】
由拋物線的定義轉(zhuǎn)化,列出方程求出p,即可得到拋物線方程.【詳解】由拋物線y2=2px(p>0)上的點M到其焦點F的距離比點M到y(tǒng)軸的距離大,根據(jù)拋物線的定義可得,,所以拋物線的標準方程為:y2=2x.故選B.【點睛】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,拋物線方程的求法,屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】
由已知求出等比數(shù)列的公比,進而求出,嘗試用基本不等式,但取不到等號,所以考慮直接取的值代入比較即可.【詳解】,,或(舍).,,.當,時;當,時;當,時,,所以最小值為.故選:C.【點睛】本題考查等比數(shù)列通項公式基本量的計算及最小值,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析:如下圖所示,則,因為與的夾角為,即,所以,設(shè),則,在三角形中,由正弦定理得,所以,所以,故選C.考點:1.向量加減法的幾何意義;2.正弦定理;3.正弦函數(shù)性質(zhì).8、A【解析】
對復(fù)數(shù)進行乘法運算,并計算得到,從而得到虛部為2.【詳解】因為,所以z的虛部為2.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運算及虛部的概念,計算過程要注意.9、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算法則化簡可得,根據(jù)純虛數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】由題可知原式為,該復(fù)數(shù)為純虛數(shù),所以.故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的分類,屬基礎(chǔ)題.10、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的變換規(guī)則表示出,根據(jù)是奇函數(shù),可得的取值,再求其最小值.【詳解】解:由題意知,將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度,得,再將圖像上各點的橫坐標伸長到原來的6倍(縱坐標不變),得到函數(shù)的圖像,,因為是奇函數(shù),所以,解得,因為,所以的最小值為.故選:【點睛】本題考查三角函數(shù)的變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】
判斷圓心與直線的關(guān)系,確定直線,關(guān)于直線對稱的充要條件是與直線垂直,從而等于到直線的距離,由切線性質(zhì)求出,得,從而得.【詳解】如圖,設(shè)圓的圓心為,半徑為,點不在直線上,要滿足直線,關(guān)于直線對稱,則必垂直于直線,∴,設(shè),則,,∴,.故選:C.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,考查直線的對稱性,解題關(guān)鍵是由圓的兩條切線關(guān)于直線對稱,得出與直線垂直,從而得就是圓心到直線的距離,這樣在直角三角形中可求得角.12、B【解析】
根據(jù)菱形中的邊角關(guān)系,利用余弦定理和數(shù)量積公式,即可求出結(jié)果.【詳解】如圖所示,菱形形的邊長為2,,∴,∴,∴,且,∴,故選B.【點睛】本題主要考查了平面向量的數(shù)量積和余弦定理的應(yīng)用問題,屬于基礎(chǔ)題..二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),再求出這組數(shù)據(jù)的方差,由此能求出該組數(shù)據(jù)的標準差.【詳解】解:某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫(單位:依次為8,,,0,2,平均數(shù)為:,該組數(shù)據(jù)的方差為:,該組數(shù)據(jù)的標準差為1.故答案為:1.【點睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標準差的求法,考查平均數(shù)、方差、標準差的定義等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
依據(jù)古典概型的計算公式,分別求“任取兩個數(shù)”和“任取兩個數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù),計算即可。【詳解】“任取兩個數(shù)”的事件數(shù)為,“任取兩個數(shù),和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,3),(2,5),(2,11)共3個,所以任取兩個數(shù),這兩個數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是?!军c睛】本題主要考查古典概型的概率求法。15、【解析】
由已知寫出用代替的等式,兩式相減后可得結(jié)論,同時要注意的求解方法.【詳解】∵①,∴時,②,①-②得,∴,又,∴().故答案為:.【點睛】本題考查求數(shù)列通項公式,由已知條件.類比已知求的解題方法求解.16、【解析】
聯(lián)立直線與拋物線方程求出交點坐標,再利用定積分求出陰影部分的面積,利用梯形的面積公式求出,最后根據(jù)幾何概型的概率公式計算可得;【詳解】解:聯(lián)立解得或,即,,,,,故答案為:【點睛】本題考查幾何概型的概率公式的應(yīng)用以及利用微積分基本定理求曲邊形的面積,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(2)見解析【解析】試題分析:(1)可以根據(jù)所給表格填出列聯(lián)表,利用列聯(lián)表求出,結(jié)合所給數(shù)據(jù),應(yīng)用獨立性檢驗知識可作出判斷;(2)寫出的所有可能取值,并求出對應(yīng)的概率,可列出分布列并進一步求出的數(shù)學期望.試題解析:(Ⅰ)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表:甲地乙地總計長纖維91625短纖維11415總計212141根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可得所以,在犯錯誤概率不超過的前提下認為“纖維長度與土壤環(huán)境有關(guān)系”.(Ⅱ)由表可知在8根中乙地“短纖維”的根數(shù)為,的可能取值為:1,1,2,3,,,,.∴的分布列為:1123∴.18、(1)見解析;(2)見解析.【解析】分析:(1)先證明,再證明FG//平面PBD.(2)先證明平面,再證明BD⊥FG.詳解:證明:(1)連結(jié)PE,因為G.、F為EC和PC的中點,,又平面,平面,所以平面(II)因為菱形ABCD,所以,又PA⊥面ABCD,平面,所以,因為平面,平面,且,平面,平面,∴BD⊥FG.點睛:(1)本題主要考查空間位置關(guān)系的證明,意在考查學生對這些基礎(chǔ)知識的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系,一般有幾何法和向量法,本題利用幾何法比較方便.19、(1)見解析;(2)見解析【解析】
(1)取的中點構(gòu)造平行四邊形,得到,從而證出平面;(2)先證平面,再利用面面垂直的判定定理得到平面平面.【詳解】證明:(1)如圖,取的中點,連接,,是棱的中點,底面是矩形,,且,又,分別是棱,的中點,,且,,且,四邊形為平行四邊形,,又平面,平面,平面;(2),點是棱的中點,,又,,平面,平面,,底面是矩形,,平面,平面,且,平面,又平面,,,,又平面,平面,且,平面,又平面,平面平面.【點睛】本題主要考查線面平行的判定,面面垂直的判定,首選判定定理,是中檔題.20、(1),;(2).【解析】
(1)先把直線和曲線的參數(shù)方程化成普通方程,再化成極坐標方程;(2)聯(lián)立極坐標方程,根據(jù)極徑的幾何意義可得,再由面積可解得極角,從而可得.【詳解】(1)直線的參數(shù)方程是為參數(shù)),消去參數(shù)得直角坐標方程為:.轉(zhuǎn)換為極坐標方程為:,即.曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)),轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為:,化為一般式得化為極坐標方程為:.
(2)由于,得,.所以,所以,由于,所以,所以.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化、直角坐標方程與極坐標方程的互化,熟記公式即可,屬于??碱}型.21、(1);(2)或【解析】
(1)先由題意得出,可得出與的等量關(guān)系,然后將點的坐標代入橢圓的方程,可求出與的值,從而得出橢圓的方程;(2)對直線的斜率是否存在進行分類討論,當直線的斜率不存在時,可求出,然后進行檢驗;當直線的斜率存在時,可設(shè)直線的方程為,設(shè)點,先由直線與圓相切得出與之間的關(guān)系,再將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,由韋達定理,利用弦長公式并結(jié)合條件得出的值,從而求出直線的傾斜角.【詳解】(1)由題可知圓只能經(jīng)過橢圓的上下頂點,所以橢圓焦距等于短軸長,可得,又點在橢圓上,所以,解得,即橢圓的方程為.(2)圓的方程為,當直線不存在斜率時,解得,不符合題意;當直線存在斜率時,設(shè)其方程為,因為直線與圓相切,所以,即.將直線與橢圓的方程聯(lián)立,得:,判別式,即,設(shè),則,所以,解得,所以直線的傾斜角為或.【點睛】求橢圓標準方程的方法一般為待定系數(shù)法,根據(jù)條件確定關(guān)于的方程組,解出,從而寫出橢圓的標準
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