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安徽六安市皖西高中教學(xué)聯(lián)盟2025屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知奇函數(shù)是上的減函數(shù),若滿足不等式組,則的最小值為()A.-4 B.-2 C.0 D.42.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.3.已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位,),則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.已知拋物線的焦點(diǎn)為,為拋物線上一點(diǎn),,當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),所在直線的斜率為()A. B. C. D.5.甲、乙、丙、丁四人通過(guò)抓鬮的方式選出一人周末值班(抓到“值”字的人值班).抓完鬮后,甲說(shuō):“我沒(méi)抓到.”乙說(shuō):“丙抓到了.”丙說(shuō):“丁抓到了”丁說(shuō):“我沒(méi)抓到."已知他們四人中只有一人說(shuō)了真話,根據(jù)他們的說(shuō)法,可以斷定值班的人是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁6.點(diǎn)在所在的平面內(nèi),,,,,且,則()A. B. C. D.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知橢圓的右焦點(diǎn)為,若F到直線的距離為,則E的離心率為()A. B. C. D.8.已知函數(shù),為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.9.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.10.近年來(lái),隨著網(wǎng)絡(luò)的普及和智能手機(jī)的更新?lián)Q代,各種方便的相繼出世,其功能也是五花八門(mén).某大學(xué)為了調(diào)查在校大學(xué)生使用的主要用途,隨機(jī)抽取了名大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,各主要用途與對(duì)應(yīng)人數(shù)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示,現(xiàn)有如下說(shuō)法:①可以估計(jì)使用主要聽(tīng)音樂(lè)的大學(xué)生人數(shù)多于主要看社區(qū)、新聞、資訊的大學(xué)生人數(shù);②可以估計(jì)不足的大學(xué)生使用主要玩游戲;③可以估計(jì)使用主要找人聊天的大學(xué)生超過(guò)總數(shù)的.其中正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.11.某幾何體的三視圖如圖所示,若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是A. B. C. D.12.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)()是純虛數(shù),則m的值為()A. B. C.1 D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.能說(shuō)明“若對(duì)于任意的都成立,則在上是減函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是________.14.已知為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作直線與圓相切于點(diǎn),且與雙曲線的右支相交于點(diǎn),若是上的一個(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),且,則四邊形的面積為_(kāi)______.15.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.16.設(shè)滿足約束條件,則的取值范圍是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實(shí)數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知函數(shù),.(1)證明:函數(shù)的極小值點(diǎn)為1;(2)若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),證明:.19.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對(duì)稱軸方程.20.(12分)已知數(shù)列,滿足.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)分別求數(shù)列,的前項(xiàng)和,.21.(12分)已知函數(shù),它的導(dǎo)函數(shù)為.(1)當(dāng)時(shí),求的零點(diǎn);(2)當(dāng)時(shí),證明:.22.(10分)已知函數(shù),曲線在點(diǎn)處的切線在y軸上的截距為.(1)求a;(2)討論函數(shù)和的單調(diào)性;(3)設(shè),求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到可行域,畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義平移得到答案.【詳解】奇函數(shù)是上的減函數(shù),則,且,畫(huà)出可行域和目標(biāo)函數(shù),,即,表示直線與軸截距的相反數(shù),根據(jù)平移得到:當(dāng)直線過(guò)點(diǎn),即時(shí),有最小值為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,線性規(guī)劃問(wèn)題,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力,畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.2、D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.3、B【解析】
分別比較復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部與0的大小關(guān)系,可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】因?yàn)闀r(shí),所以,,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長(zhǎng)最小時(shí)A,P位于同一水平線上,計(jì)算點(diǎn)P的坐標(biāo),計(jì)算斜率,即可.【詳解】結(jié)合題意,繪制圖像要計(jì)算三角形PAF周長(zhǎng)最小值,即計(jì)算PA+PF最小值,結(jié)合拋物線性質(zhì)可知,PF=PN,所以,故當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)處,三角形周長(zhǎng)最小,故此時(shí)M的坐標(biāo)為,所以斜率為,故選A.【點(diǎn)睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì),難度中等.5、A【解析】
可采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理,即可得到結(jié)論.【詳解】由題意,假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是真的,乙:丙抓到了,則丙:丁抓到了是假的,?。何覜](méi)有抓到就是真的,與他們四人中只有一個(gè)人抓到是矛盾的;假設(shè)甲:我沒(méi)有抓到是假的,那么?。何覜](méi)有抓到就是真的,乙:丙抓到了,丙:丁抓到了是假的,成立,所以可以斷定值班人是甲.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了合情推理及其應(yīng)用,其中解答中合理采用假設(shè)法進(jìn)行討論推理是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與分析判斷能力,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
確定點(diǎn)為外心,代入化簡(jiǎn)得到,,再根據(jù)計(jì)算得到答案.【詳解】由可知,點(diǎn)為外心,則,,又,所以①因?yàn)?,②?lián)立方程①②可得,,,因?yàn)?,所以,即.故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量模長(zhǎng)的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.7、A【解析】
由已知可得到直線的傾斜角為,有,再利用即可解決.【詳解】由F到直線的距離為,得直線的傾斜角為,所以,即,解得.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的問(wèn)題,一般求橢圓離心率的問(wèn)題時(shí),通常是構(gòu)造關(guān)于的方程或不等式,本題是一道容易題.8、B【解析】
由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗(yàn)的這個(gè)值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點(diǎn),為圖象的對(duì)稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時(shí),由為圖象的對(duì)稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點(diǎn),同時(shí)也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對(duì)稱性,屬于中檔題.9、C【解析】
先求導(dǎo)得(),由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過(guò)分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因?yàn)?設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來(lái)求參數(shù)取值范圍,以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計(jì)算能力,有一定的難度.10、C【解析】
根據(jù)利用主要聽(tīng)音樂(lè)的人數(shù)和使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)作大小比較,可判斷①的正誤;計(jì)算使用主要玩游戲的大學(xué)生所占的比例,可判斷②的正誤;計(jì)算使用主要找人聊天的大學(xué)生所占的比例,可判斷③的正誤.綜合得出結(jié)論.【詳解】使用主要聽(tīng)音樂(lè)的人數(shù)為,使用主要看社區(qū)、新聞、資訊的人數(shù)為,所以①正確;使用主要玩游戲的人數(shù)為,而調(diào)查的總?cè)藬?shù)為,,故超過(guò)的大學(xué)生使用主要玩游戲,所以②錯(cuò)誤;使用主要找人聊天的大學(xué)生人數(shù)為,因?yàn)?,所以③正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)中相關(guān)命題真假的判斷,計(jì)算出相應(yīng)的頻數(shù)與頻率是關(guān)鍵,考查數(shù)據(jù)處理能力,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體,其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形,圓錐的高為4,底面半徑為2,則其體積為,.故選B點(diǎn)睛:由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法:1、首先看俯視圖,根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖;2、觀察正視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度;3、畫(huà)出整體,然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.12、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算化簡(jiǎn),結(jié)合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,因?yàn)槭羌兲摂?shù),所以,∴,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的概念和除法運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、答案不唯一,如【解析】
根據(jù)對(duì)基本函數(shù)的理解可得到滿足條件的函數(shù).【詳解】由題意,不妨設(shè),則在都成立,但是在是單調(diào)遞增的,在是單調(diào)遞減的,說(shuō)明原命題是假命題.所以本題答案為,答案不唯一,符合條件即可.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)基本初等函數(shù)的圖像和性質(zhì)的理解,關(guān)鍵是假設(shè)出一個(gè)在上不是單調(diào)遞減的函數(shù),再檢驗(yàn)是否滿足命題中的條件,屬基礎(chǔ)題.14、60【解析】
根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得與,再在中,由余弦定理求解得,繼而得到各邊的長(zhǎng)度,再根據(jù)計(jì)算求解即可.【詳解】如圖所示:設(shè)雙曲線的半焦距為.因?yàn)?,,所以由勾股定理,得.所以.因?yàn)槭巧弦粋€(gè)靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),是的中點(diǎn),所以.由雙曲線的定義可知:,所以.在中,由余弦定理可得,所以,整理可得.所以,解得.所以.則.則,得.則的底邊上的高為.所以.故答案為:60【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長(zhǎng)度與面積的方法,需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長(zhǎng)度,再在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量的關(guān)系.屬于難題.15、31【解析】
由二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式得通項(xiàng)公式得:因?yàn)榈恼归_(kāi)式得通項(xiàng)為,則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:,得解.【詳解】解:,則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:31.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù),考查計(jì)算能力.16、【解析】
作出可行域,將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或,分別計(jì)算出與,再由不等式的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,顯然當(dāng)時(shí),z=0;當(dāng)時(shí)將目標(biāo)函數(shù)整理為可視為可行解與的斜率,則由圖可知或顯然,聯(lián)立,所以則或,故或綜上所述,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題,屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)利用零點(diǎn)分段討論法把函數(shù)改寫(xiě)成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對(duì)值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因?yàn)?,又(?dāng)時(shí)等號(hào)成立),依題意,,,有,則,解之得,故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查由存在性問(wèn)題求參數(shù)的范圍、零點(diǎn)分段討論法解絕對(duì)值不等式、利用絕對(duì)值三角不等式和均值不等式求最值;考查運(yùn)算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.18、(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的增減.(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間有兩解,令通過(guò)二次求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性證明參數(shù)范圍.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)?,?dāng)時(shí),,,所以在區(qū)間遞減;當(dāng)時(shí),,所以,所以在區(qū)間遞增;且,所以函數(shù)的極小值點(diǎn)為1(2)函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn),即方程在區(qū)間有兩解,令,則令,則,所以在單調(diào)遞增,又,故存在唯一的,使得,即,所以在單調(diào)遞減,在區(qū)間單調(diào)遞增,且,又因?yàn)?,所以,方程關(guān)于的方程在有兩個(gè)零點(diǎn),由的圖象可知,,即.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,確定函數(shù)的極值,利用二次求導(dǎo),零點(diǎn)存在性定理確定參數(shù)范圍,屬于難題.19、(1),;(2),,.【解析】
(1)直接利用同角三角函數(shù)關(guān)系式的變換的應(yīng)用求出結(jié)果.(2)首先把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù),進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對(duì)稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn):三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎(chǔ)題型.20、(1)(2);【解析】
(1),,可得為公比為2的等比數(shù)列,可得為公差為1的等差數(shù)列,再算出,的通項(xiàng)公式,解方程組即可;(2)利用分組求和法解決.【詳解】(1)依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列,為公差為1的等差數(shù)列,由,得解得故數(shù)列,的通項(xiàng)公式分別為.(2),.【點(diǎn)睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和,考查學(xué)生的計(jì)算能力,是一道中檔題.21、(1)見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析.【解析】
當(dāng)時(shí),求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,計(jì)算即為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),分類討論x的范圍,可令新函數(shù),計(jì)算新函數(shù)的最值可證明.【詳解】(1)的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,,易知為上的增函數(shù),又,所以是的唯一零點(diǎn);(2
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