函數(shù)的單調(diào)性與最值

#函數(shù)的單調(diào)性與最值最新考綱考情考向分析.理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義..會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間及函數(shù)最值的確定與應用；強化對函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想的考查，題型既有選擇、填空題，又有解答題.基礎知識自主學習 回扣星批知識訓母星科近目一■知識梳理.函數(shù)單調(diào)性的定義增函數(shù)減函數(shù)定義設函數(shù)y=f(x)的定義域為A,區(qū)間MMA，如果取區(qū)間M中任意兩個值x1，x2,改變量Ax=x2—x/O,則當A.y=f(x2)—f(xJ>0時，就稱函數(shù)y-f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)A.y=fx2)—f(x])<0時，就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)圖象.. *'郢)自左向右看圖象是上升的：yUi)通珀-~i； x自左向右看圖象是下降的.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果一個函數(shù)在某個區(qū)間M上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間M上具有單調(diào)性，區(qū)間M稱為單調(diào)區(qū)間..函數(shù)的最值前提設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的xeI，都有f(x)WM；(2)存在x0eI，使得fx0巨M(3)對于任意的xeI，都有f(x)2M；(4)存在x0eI，使得fx0巨M結(jié)論M為最大值M為最小值【概念方法微思考】.在判斷函數(shù)的單調(diào)性時，你還知道哪些等價結(jié)論?提示對V%1,%2-'+”>0=f(%)在D上是增函數(shù),減函數(shù)類似?.寫出對勾函數(shù)y=%+a(a>0)的增區(qū)間.提示(一8,一，a］和［為:a,+8).■基礎自測題組一思考辨析.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)(1)若定義在R上的函數(shù)f(%)，有f(—1)<(3),則函數(shù)f(%)在R上為增函數(shù).(X)(2)函數(shù)y=f(%)在［1,+8)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+8).(X)(3)函數(shù)y=1的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,0)U(0,+8).(X)%(4)如果一個函數(shù)在定義域內(nèi)的某幾個子區(qū)間上都是增函數(shù)，則這個函數(shù)在定義域上是增函數(shù).(X)⑸所有的單調(diào)函數(shù)都有最值.(X)題組二教材改編.函數(shù)f(%)=%2—2%的單調(diào)遞增區(qū)間是..函數(shù)y=之在［［2,,3］］上的最大值是 .%—1答案2.若函數(shù)f(%)=%2—2m%+1在［2,+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是.答案(一8,2］解析由題意知，［2,+8)C［m,+8), mW2.題組三易錯自糾.函數(shù)y=10g1(%2—4)的單調(diào)遞減區(qū)間為..若函數(shù)f(%)=1%—a1+1的增區(qū)間是［2,+8),則a=..函數(shù)y=f(%)是定義在［［—2,,,2川上的減函數(shù)，且f(a+1)<f(2a)，則實數(shù)a的取值范圍是.P，%力，.函數(shù)f(%)=1% 的最大值為 .、一%2+2,%<1題型分類深度剖析司亞身迎渾度剖析瑩點電點塞維探究題型一確定函數(shù)的單調(diào)性命題點1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例1(1)函數(shù)f(%)=ln(%2-2x—8)的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A.(—8,-2) B.(—8,1)C.(1,+8) D.(4,+8)(2)函數(shù)y=—%2+21%1+3的單調(diào)遞減區(qū)間是.命題點2討論函數(shù)的單調(diào)性例2判斷并證明函數(shù)f(x尸ax2+1(其中1<a<3)在[[1,,2]]]上的單調(diào)性.x引申探究如何用導數(shù)法求解本例？2ax3—1解f(x)=2ax-x2= x2 ，因為1WxW2,所以1Wx3W8,又1<a<3,所以2ax3—1>0,所以f(x)>0,所以函數(shù)f(x尸ax2+1(其中1<a<3)在[1,2]上是增函數(shù).x思維升華確定函數(shù)單調(diào)性的方法：(1)定義法和導數(shù)法，證明函數(shù)單調(diào)性只能用定義法和導數(shù)法；(2)復合函數(shù)法，復合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律是“同增異減”；(3)圖象法，圖象不連續(xù)的單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接.(4)具有單調(diào)性函數(shù)的加減.跟蹤訓練1(1)下列函數(shù)中，滿足“Vx1,x2G(0,+8)且x1Wx2,(x1—xJfx1)—f(x2)]<0"的是()A.f(x)=2x B.f(x)=1x—11,C.f(x)=x—x D.f(x)=ln(x+1)

(2)函數(shù)f(x)=(a—1)x+2在R上單調(diào)遞增，則函數(shù)g(x)=ax-21的單調(diào)遞減區(qū)間是(3)函數(shù)f(x)=1x—21x的單調(diào)遞減區(qū)間是.題型二函數(shù)的最值 三x2—1?函數(shù)y=二二的值域為 ?x2+1.函數(shù)尸x+3—2的最大值為..函數(shù)y=1x+11+1x—21的值域為4.4.函數(shù)尸盤一的值域為.函數(shù)f(x)=(3)x—log2(x+2)在區(qū)間[[—1,,1川上的最大值為.若函數(shù)f(x)=x2+ax+b在區(qū)間[[0,,1]]]上的最大值是M，最小值是m，則M—m()A.與a有關，且與b有關.與a有關，但與b無關C.與a無關，且與b無關D.與a無關，但與b有關思維升華求函數(shù)最值的五種常用方法及其思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值.(3)換元法：對比較復雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，再用相應的方法求最值.cx+d(4)分離常數(shù)法：形如求y=-TT(ac士0)的函數(shù)的值域或最值常用分離常數(shù)法求解.ax+b命題點1比較函數(shù)值的大小多維

探究(5)均值不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等命題點1比較函數(shù)值的大小多維

探究例3已知函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個單位后關于y軸對稱，當x2>x1>1時，[[f(x2)—f(x/Mx2—x1)<0恒成立，設a=人一b=f⑵，c=f(3)，則a,b,c的大小關系為( )A.c>a>bB.c>b>aC.a>c>bD.b>a>c命題點2解函數(shù)不等式例4設函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在(0,+8)內(nèi)是增函數(shù)，又f(—3)=0,則f(x)<0的解集是(){x|—3<x<0或x>3}{xIx<—3或0<x<3}{xIx<—3或x>3}{xI—3<x<0或0<x<3}

命題點3求參數(shù)的取值范圍例5(1)(2018.全國11)若f(x)=cosx—sinx在［［［0,a］］上是減函數(shù)，則a的最大值是( )A.；B.2C.3nD.nI- 乙 I-一1(2)已知函數(shù)f(x)=<x2+a——(2)已知函數(shù)f(x)=<2 若f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍為〔ax—a,x>1,⑶(2018呼倫貝爾模擬)已知函數(shù)f(x)=log2(x2—ax+3a)在［2,+8)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是思維升華函數(shù)單調(diào)性應用問題的常見類型及解題策略(1)比較大小.(2)解不等式.利用函數(shù)的單調(diào)性將“f”符號脫掉，轉(zhuǎn)化為具體的不等式求解，應注意函數(shù)的定義域.(3)利用單調(diào)性求參數(shù).①依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較；②需注意若函數(shù)在區(qū)間［a，b］上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的；③分段函數(shù)的單調(diào)性，除注意各段的單調(diào)性外，還要注意銜接點的取值.(2—a)x+1,x<1, f(x)—f(x\跟蹤訓練2(1)如果函數(shù)f(x)=/ 、 滿足對任意xwx，都有xqx2>0成立，那么a的取值范圍是ax,x?1 1 2 x1—x2(2)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間［0,+8)上的函數(shù)，且在該區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足f(2x—1)<砂的x的取值范圍是課時作業(yè)力基礎保分練1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+8)上為增函數(shù)的是()y—ln(x+2) B.y——\'x+1

C.2.已知函數(shù)f(x)=\x22-2xC.2.已知函數(shù)f(x)=\x22-2x-3，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A.8，1]B.[3，+8)C.8，-1]D.[1，+83.設偶函數(shù)fx)的定義域為R，當x￡[0，+8)時)f(x)是增函數(shù)，則f-2)，fn)，f^-3)的大小關系是()A.fg>f—3)>(-2)f(n)決-2)>(-3)f(n)<(-3)<(-2)f(n)<f-2)<f-3)則則a的取值范圍是()4.已知函數(shù)fx)=

(1-2a)x，xW1,」,1 「logax+3，x>1，B13，c(0，1昭，3]5.一2—x函數(shù)f(x)—x+1，xe(m，九]的最小值為0則m的取值范圍是(A.(1,2)B.(-1,2)C.[1,2)D.[-1,2)6.已知函數(shù)f(x)=log2x，x+c,x<1則“C=—1”是“函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增”的( )A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件7.已知奇函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).若a—，b—flog24.1)，c—f(20.8)，則a，b，c的大小關系為8.已知函數(shù)y=log2(ax-1)在(1,2)上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是,9?記min{a,b}―若f(x)—min{x+2,10-x}(x20)9?記min{a,b}―10.設函數(shù)f(x)―—x2+4x，10.設函數(shù)f(x)―嗔x，x>4,若函數(shù)日(x)在區(qū)間(a，a+1)上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是一， x.11.已知f(x)—x-a(x豐a).

(1)若a=-2,試證f(x)在(一8,-2)上單調(diào)遞增；了(x),x>0,

-fx),x<0.了(x),x>0,

-fx),x<0.12.(2018-盤錦調(diào)研)設函數(shù)f(x尸ax2+bx+1(a,bGR),F(x尸(1)若f(-1)=0,且對任意實數(shù)x均有f(x)20成立，求F(x)的解析式；(2)在(1)的條件下，當xG[[[-2,,2]]]時，g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍.力技能提升練13.已知函數(shù)f(x)=x3,x13.已知函數(shù)f(x)=x3,xW0,ln(x+1),x>0若f(2-x2)>f(x)，則實數(shù)x的取值范圍是()A.8,-1)U(2,+8)B.(-8,-2)U(1-8)C.(-1,2)D.(-2,1)14.已知f(x)=x2-4x+3,xW0,—x2-2x+3,x>0,不等式f(x+a)>f(2a-x)在[