陜西省安康市2025屆高三上學期開學學情摸底考試數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1陜西省安康市2025屆高三上學期開學學情摸底考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，若，則（）A. B.0 C.2 D.【答案】C【解析】集合，而，則，經(jīng)驗證a=2符合題意，所以.故選：C2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設復數(shù)，所以，又因為復數(shù)滿足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故選：A.3.已知平面向量．若向量與共線，則實數(shù)的值為（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】，，因為向量與共線，所以，解得，故選：B.4.已知為奇函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為為奇函數(shù)，且定義域為，所以，即，所以，經(jīng)檢驗符合題意，則，曲線y=fx在點處的切線斜率為，又所以曲線y=fx在點處的切線方程為，即.故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故選：D6.已知直線經(jīng)過點且斜率大于0，若圓的圓心與直線上一動點之間距離的最小值為，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圓的圓心為1,0，設直線的方程為，，即，因為圓心與直線上一動點之間距離的最小值為，即，整理可得，解得或（舍去），故選：B.7.風箏的發(fā)明是中國古代勞動人民智慧的結晶，距今已有2000多年的歷史.風箏多為軸對稱圖形，如圖.在平面幾何中，我們把一條對角線所在直線為對稱軸的四邊形叫做箏形.在箏形中，對角線所在直線為對稱軸，是邊長為2的等邊三角形，是等腰直角三角形.將該箏形沿對角線折疊，使得，形成四面體，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，，，取為中點，則，連接，則，因，所以，所以，又，且平面，平面，所以平面，又E為直角三角形的外心，所以四面體外接球球心在上，設外接球的半徑為，則在中，，即，解得，所以四面體外接球的表面積為，故選：C.8.在平面直角坐標系中，為雙曲線的左頂點，為雙曲線上位于第一象限內的一點，點關于軸對稱的點為，記，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】設，則，，，則，①則，所以，，所以，②將①代入②得，，因為，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.一個不透明的盒子中裝有大小和質地都相同的編號分別為1，2，3，4的4個小球，從中任意摸出兩個球．設事件“摸出的兩個球的編號之和小于5”，事件“摸出的兩個球的編號都大于2”，事件“摸出的兩個球中有編號為3的球”，則（）A.事件與事件是互斥事件 B.事件與事件是對立事件C.事件與事件是相互獨立事件 D.事件與事件是互斥事件【答案】ACD【解析】列舉各事件如下：，，，A：由互斥事件同時發(fā)生的概率為0，即，故A正確；B：由對立事件的概率和為1，，，，故B錯誤；C：因為，故C正確；D：事件，事件，為互斥事件，不可能同時發(fā)生，故D正確；故選：ACD.10.在平面直角坐標系中，一動點從點開始，以的角速度逆時針繞坐標原點做勻速圓周運動，后到達點的位置．設，記，則（）A.B.當時，取得最小值C.點是曲線的一個對稱中心D.當時，的單調遞增區(qū)間為【答案】AC【解析】依題意，后，質點走過的弧度數(shù)為，則，對于A，，A正確；對于B，為的最大值，B錯誤；對于C，，點是曲線的一個對稱中心，C正確；對于D，當時，為的最大值，而，因此在上不單調，D錯誤.故選：AC11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，且，當時，，且，則下列說法正確的是（）A.為偶函數(shù) B.C.在上單調遞增 D.【答案】BCD【解析】對于A，取，得，解得，取，則，即，又，因此為奇函數(shù)，A錯誤；對于B，，解得，因此，B正確；對于C，，則，，，函數(shù)在R上單調遞增，C正確；對于D，取，則，求導得，于是，解得，由，求導得，則，，又函數(shù)的周期為4，，所以，D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.的展開式中的系數(shù)為______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】第二個括號的通項為，所以當前面括號出時，后面為，當前面括號出時，后面出，當前面括號出時，后面沒有可出項，所以的系數(shù)為，故答案為：.13.已知的內角的對邊分別為，若的面積為，則______．【答案】或【解析】的面積為，所以，解得，因為，所以或，當時，由余弦定理可得，即，當時，由余弦定理可得，即，綜上或，故答案為：或.14.已知為坐標原點，橢圓，圓，圓，點，射線交圓，橢圓，圓分別于點，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意可得的半徑為，的半徑為，其位置關系如下：由圖可得，設，因為點同時在橢圓與射線上，所以，，解得，則，若圓與圓圍成的圖形的面積大于圓的面積，即，可得所以，設，，則，設此式等于，求導可得，因為，所以導數(shù)恒大于零，故在時為增函數(shù)，所以取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某農場收獲的蘋果按三個蘋果等級進行裝箱，已知蘋果的箱數(shù)非常多，且三個等級蘋果的箱數(shù)之比為6∶3∶1（1）現(xiàn)從這批蘋果中隨機選出3箱，若選到任何一箱蘋果是等可能的，求至少選到2箱A級蘋果的概率；（2）若用分層隨機抽樣的方法從該農場收獲的A，B，C三個等級蘋果中選取10箱蘋果，假設某游客要從這10箱蘋果中隨機購買3箱，記購買的A級蘋果有X箱，求X的分布列與數(shù)學期望．解：（1）設事件“至少選到2箱級蘋果”，由題意知選到1箱級蘋果的概率為，選到1箱非級蘋果的概率為，所以，故至少選到2箱A級蘋果的概率為.（2）因為用分層隨機抽樣的方法從該農場收獲的A，B，C三個等級蘋果中選取10箱蘋果，所以A級蘋果有6箱，級蘋果共有4箱，隨機變量的所有可能取值為,則，，，所以X的分布列為0123.16.已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且．（1）求的通項公式；（2）令，記，求．解：（1）設正項等比數(shù)列an的公比為，由，得，解得，所以an的通項公式為.（2）由（1）知，，則，于是，兩式相減得，所以.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一點滿足平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：在四棱錐中，底面為矩形，則，由平面，平面，得，而平面，則平面，又平面，所以平面平面.（2）解：依題意，直線兩兩垂直，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，由，得，令，則有，即，，，由平面，得存在實數(shù)使，即，解得，，，設平面的法向量，則，令，，設平面的法向量，則，令，，所以平面與平面夾角的余弦值為.18.已知動圓的圓心在軸上，且該動圓經(jīng)過點．（1）求點的軌跡的方程；（2）設過點的直線交軌跡于兩點，若為軌跡上位于點之間的一點，點關于軸的對稱點為點，過點作，交于點，求的最大值．解：（1）因為動圓的圓心在軸上，所以設圓心坐標為，半徑為，由題意可得，即，又圓心是點的中點，由中點坐標公式可得，代入上式可得，所以點的軌跡的方程為；（2）由題意知在拋物線C上，則，即，由于過點的直線交軌跡于兩點，則直線l的斜率為，故l的方程為，聯(lián)立，得，解得或，則，則B關于x軸的對稱點為，由題意知直線AQ的斜率存在，設為k，直線的斜率為，則，設直線，因為點Q在拋物線C上，故聯(lián)立，得，得，則，,又，故直線BM的方程為，聯(lián)立，解得,因為，故當時，即時，取到最大值，最大值為.19.定理：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在開區(qū)間內每一點存在導數(shù)，且，那么在區(qū)間內至少存在一點，使得這是以法國數(shù)學家米歇爾·羅爾的名字命名的一個重要定理，稱之為羅爾定理，其在數(shù)學和物理上有著廣泛的應用．（1）設，記的導數(shù)為，試用上述定理，說明方程根的個數(shù)，并指出它們所在的區(qū)間；（2）如果在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的曲線，且在開區(qū)間內每一點存在導數(shù)，記的導數(shù)為，試用上述定理證明：在開區(qū)間內至少存在一點，使得；（3）利用（2）中的結論，證明：當時，．（e為自然對數(shù)的底數(shù)）解：（1）函數(shù)的定義域為R，函數(shù)在R上的圖象連續(xù)不斷，求導得，顯然，在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的，在開區(qū)間內每一點存在導數(shù)，且，由羅爾定理，在開區(qū)間內至少存在一點，使得；同理在開區(qū)間內至少存在一點，使得；在開區(qū)間內至少存在一點，使得，因此方程至少有3個根，又函數(shù)是三次