四川省眉山市仁壽縣2025屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省眉山市仁壽縣2025屆高三11月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，所以，又，所以.故選：C2.已知為虛數(shù)單位，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)楣蔬x：B.3.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以是奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以排除A，B.因?yàn)?，排除D.故選：C.4.已知向量，，若，則（）A. B.1 C. D.2【答案】B【解析】由題意可知，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，即，解?所以.故選：B.5.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若，，則（）A.49 B.63 C.70 D.126【答案】B【解析】因是等差數(shù)列，故，于是故選：B6.命題在上為減函數(shù)，命題在為增函數(shù)，則命題是命題的（）條件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分又不必要【答案】A【解析】要在上單調(diào)遞減，則，解得，在為增函數(shù)，則，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故命題是命題的充分不必要條件.故選：A7.已知正四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且該球的體積為，若正四棱錐的高與底面正方形的邊長(zhǎng)相等，則該正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G，易知正四棱錐的外接球球心在上，不妨設(shè)球半徑，該球的體積為，即，又正四棱錐的高與底面正方形的邊長(zhǎng)相等，則，即.故選：C8.已知，，若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，設(shè)，則，，當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分；如果標(biāo)準(zhǔn)答案有3個(gè)，選對(duì)1個(gè)得2分，選對(duì)2個(gè)得4分；如果標(biāo)準(zhǔn)答案有2個(gè)，選對(duì)1個(gè)得3分；錯(cuò)選或不選得0分.9.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則B.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則C.已知一組數(shù)據(jù)為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，則它的第70百分位數(shù)為7D.若事件滿足，則事件相互獨(dú)立【答案】AD【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，故A正確；因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，則對(duì)稱(chēng)軸為，，故B錯(cuò)誤；這組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，所以事件相互?dú)立.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.與有相同的最小值C.直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D.將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像【答案】ABD【解析】因?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：的最小正周期，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：與的最小值均為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，可知直線不為圖象的對(duì)稱(chēng)軸，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：將的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到，故D正確.故選：ABD.11.我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）A.函數(shù)的值域?yàn)锽.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形C.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.若函數(shù)滿足為奇函數(shù)，且其圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)，記為，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，顯然的定義域?yàn)镽，，則，即函數(shù)的值域?yàn)?，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，即函數(shù)是奇函數(shù)，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)圖形，B正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)B知，，即，兩邊求導(dǎo)得，即，因此函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C正確；對(duì)于D，由函數(shù)滿足為奇函數(shù)，得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，由選項(xiàng)B知，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有2024個(gè)交點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，因此，D正確.故選：BCD三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)則______．【答案】【解析】.故答案為：13.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．【答案】60【解析】解：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令，解得，所以的二項(xiàng)展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.14.對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)_________.【答案】【解析】由題意可知：且成立，則，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，也即在上恒成立，記，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，則，所以，解得：；當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；當(dāng)時(shí)，，即在恒成立，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以時(shí)，，解得：，因?yàn)閷?duì)任意的，不等式恒成立，則綜上可知：實(shí)數(shù)的值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．解:（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，若，則對(duì)任意x∈R恒成立，可知R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為1,+∞解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，可知在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為1,+∞16.為研究“眼睛近視是否與長(zhǎng)時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)”的問(wèn)題，對(duì)某班同學(xué)的近視情況和看電子產(chǎn)品的時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下的列聯(lián)表：近視情況每天看電子產(chǎn)品的時(shí)間合計(jì)超過(guò)一小時(shí)一小時(shí)內(nèi)近視10人5人15人不近視10人25人35人合計(jì)20人30人50人附表：0.10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷眼睛近視是否與長(zhǎng)時(shí)間看電子產(chǎn)品有關(guān)；（2）在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的概率是多少？（3）以頻率估計(jì)概率，在該班所在學(xué)校隨機(jī)抽取2人，記其中近視的人數(shù)為X，每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的人數(shù)為Y，求的值．解:（1）零假設(shè)為：學(xué)生眼睛近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品無(wú)關(guān)．計(jì)算可得，，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為眼睛近視與長(zhǎng)時(shí)間使用電子產(chǎn)品有關(guān)．（2）每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的人數(shù)為，則，所以在該班近視的同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，則至少有兩人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)的概率是．（3）依題意，，，事件包含兩種情況：①其中一人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)且近視，另一人既不近視，每天看電子產(chǎn)品也沒(méi)超過(guò)一小時(shí)；②其中一人每天看電子產(chǎn)品超過(guò)一小時(shí)且不近視，另一人近視且每天看電子產(chǎn)品沒(méi)超過(guò)一小時(shí)，于是，所以．17.在三棱臺(tái)中，平面，，且，，為的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，且.（1）若，求證：平面；（2）已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時(shí)，求平面與平面所成夾角的余弦值；（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.解:（1）∵，且是的中點(diǎn)，則.∵平面，平面，∴.又，，平面，∴平面，因?yàn)槠矫?，?①在中，，所以，在中，，所以，所以②∵，，平面，∴由①②知平面（2）由題意得，平面，∴平面.由（1）可知，故為坐標(biāo)原點(diǎn).如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.∵，∴，.∴，，，.∵，∴由棱臺(tái)的性質(zhì)得，，∴，∴∴.由（1）可知平面的一個(gè)法向量為，且.直線與平面的所成角的正弦值為，∴，即，解得.∴平面的一個(gè)法向量為，且.平面的法向量為.∵，,，即，當(dāng)時(shí)，，∴平面的一個(gè)法向量為..∴平面與平面所成夾角的余弦值.（3），所以點(diǎn)到平面的距離為.18.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且滿足.（1）求角的大??；（2）若且的面積為，求邊.（3）若，且，求的值.解:（1）由得：，，，即，，，即，又，.（2）由及得：，解得：.（3），，所以由得：，所以.19.定義：若數(shù)列滿足，則稱(chēng)數(shù)列為“線性數(shù)