（新教材適用）高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用63平面向量基本定理及坐標(biāo)表示635平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課后習(xí)題

6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課后訓(xùn)練鞏固提升一、A組1.設(shè)a=(1,2),b=(3,4),c=(3,2),則(a+2b)·c等于()A.12 B.0 C.3 D.11解析:因?yàn)閍+2b=(1,2)+2(3,4)=(5,6),所以(a+2b)·c=5×3+6×2=3.答案:C2.已知向量a=(1,3),b=(3,x),且a與b的夾角為60°,則x等于()A.1 B.2 C.3 D.4解析:由cos60°=a·得-3+3x答案:C3.已知向量u=(x+2,3),v=(x,1),當(dāng)f(x)=u·v取得最小值時(shí),x的值為()A.0 B.1 C.2 D.1解析:f(x)=u·v=(x+2)x+3=x2+2x+3=(x+1)2+2,故當(dāng)x=1時(shí),f(x)取得最小值2.答案:B4.在?ABCD中,已知AC=(4,2),BD=(2,6),那么|2AB+AD|等于(A.55 B.25 C.210 D.解析:∵AB+AD=AC=(4,2),且AB=∴2AB+AD=AB+(AB+AD)∴|2AB+AD答案:D5.(多選題)已知向量a=(1,2),b=(2,1),則下列結(jié)論正確的是()A.a∥b B.a⊥bC.(a+b)⊥(ab) D.(2a+b)∥(a2b)解析:因?yàn)閍·b=0,故A不正確,B正確;由a+b=(1,3),ab=(3,1),易得(a+b)·(ab)=0,故(a+b)⊥(ab),故C正確;由2a+b=(0,5),a2b=(5,0),易得(2a+b)·(a2b)=0,故(2a+b)⊥(a2b),故D不正確.答案:BC6.若a·b=39,b=(12,5),則a在b上的投影向量是.

解析:因?yàn)閎=(12,5),所以與b方向相同的單位向量e=1213,513,設(shè)向量a,b的夾角為θ,則a在b上的投影向量為|a|cosθe=a·b答案:367.已知向量a=(1,0),b=(x,1),若a·b=2,則x=;|a+b|=.

解析:∵a·b=2,∴x=2.∵a+b=(3,1),∴|a+b|=10答案:2108.在以O(shè)A為邊,OB為對(duì)角線(xiàn)的矩形中,OA=(3,1),OB=(2,k),則實(shí)數(shù)k=.

解析:如圖所示,因?yàn)镺A=(3,1),OB=(2,k),所以AB=OB-OA=在矩形中,由OA⊥AB得OA·AB=0,所以(3,1)·(1,k1)=0,即3×1+1×(k答案:49.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.(1)求b與c;(2)若m=2ab,n=a+c,求向量m,n的夾角的大小.解:(1)∵a∥b,∴3x4×9=0,解得x=12.∵a⊥c,∴3×4+4y=0,解得y=3.即b=(9,12),c=(4,3).(2)設(shè)m與n的夾角為θ.∵m=2ab=(3,4),n=a+c=(7,1),∴cosθ=m·n|∵θ∈[0,π],∴θ=310.已知三個(gè)點(diǎn)A(2,1),B(3,2),D(1,4).(1)求證:AB⊥AD;(2)若四邊形ABCD為矩形,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及矩形ABCD兩對(duì)角線(xiàn)所夾的銳角的余弦值.(1)證明:∵A(2,1),B(3,2),D(1,4),∴AB=(1,1),AD=(3,3)又AB·AD=1×(3)+1×3∴AB⊥AD,∴AB(2)解:∵AB⊥AD∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x,y),則DC=(x+1,y4).又AB=(1,1),∴x+1=1∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,5).∴AC=(2,4),BD=∴|AC|=25,|BD|=25,AC·BD=8+設(shè)AC與BD的夾角為則cosθ=AC故矩形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)所夾的銳角的余弦值為4二、B組1.在四邊形ABCD中,AC=(1,2),BD=(4,2),則該四邊形的面積為()A.5 B.25 C.5 D.解析:∵AC·BD=(1,2)·(4,2)=4+∴AC∴S四邊形ABCD=12|AC||BD|=12×答案:C2.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(3,0),則|2ab|的最大值和最小值分別是()A.42,0 B.4,22 C.25,1 D.5,1解析:因?yàn)閨2ab|2=4|a|2+|b|24a·b=1312cosθ,又1≤cosθ≤1,易知1≤1312cosθ≤25,所以|2ab|的最大值和最小值分別是5,1,故選D.答案:D3.在矩形ABCD中,AB=23,AD=2,E為線(xiàn)段BC的中點(diǎn),F為線(xiàn)段CD上的動(dòng)點(diǎn),則AE·AF的取值范圍是(A.[2,14] B.[0,12] C.[0,6] D.[2,8]解析:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,A(0,0),E(23,1),設(shè)F(x,2)(0≤x≤23),則AE=(23,1),AF=(x,2),因此AE·AF=23x+2,設(shè)f(x)=23x+2(0≤x≤23),f(x)為增函數(shù),則f(0)=2,f(23)=14,故2≤f(x)≤14,AF的取值范圍是[2,14].答案:A4.若平面向量a=(1,2)與b的夾角是180°,且|b|=45,則b=.

解析:由題意可設(shè)b=λa=(λ,2λ),λ<0,則|b|2=λ2+4λ2=5λ2=80,解得λ=4,故b=4a=(4,8).答案:(4,8)5.已知向量a=(3,1),b是不平行于x軸的單位向量,且a·b=3,則b=.

解析:設(shè)b=(x,y).∵|b|=x2+y2=1,∴x2+y∵a·b=3x+y=3,∴x2+[3(1x)]2=1,即2x23x+1=0.解得x1=1,x2=12,則y1=0,y2=∵當(dāng)b=(1,0)時(shí),與x軸平行,∴b=1答案:16.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|ka+b|=3|akb|(k>0).(1)用k表示數(shù)量積a·b;(2)求a·b的最小值,并求出此時(shí)a與b的夾角θ.解:(1)由|ka+b|=3|akb|,得(ka+b)2=3(akb)2,∴k2a2+2ka·b+b2=3a26ka·b+3k2b2,∴(k23)a2+8ka·b+(13k2)b2=0.∵|a|=1,|b|=1,∴k23+8ka·b+13k2=0.∴a·b=2k2+28(2)a·b=k2+14由基本不等式可得k+1k≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)等號(hào)成立,即當(dāng)k=1時(shí),a·b設(shè)此時(shí)a與b的夾角為θ,則cosθ=a·b|a||b所以θ=π7.已知向量a=(1,2),b=(cosα,sinα),設(shè)m=a+tb(t∈R).(1)若α=π4,求當(dāng)|m|取最小值時(shí)實(shí)數(shù)t(2)若a⊥b,是否存在實(shí)數(shù)t,使得向量ab與向量m的夾角為π4?若存在,求出實(shí)數(shù)t