現(xiàn)代控制理論-第九章-現(xiàn)代控制理論-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第一節(jié)狀態(tài)空間表達(dá)式第九章狀態(tài)空間分析法

“三域”模型及其相互關(guān)系對控制系統(tǒng)的分析（根軌跡法和頻率響應(yīng)法），都以傳遞函數(shù)或頻率特性的形式來描述控制系統(tǒng)。方法的局限性：傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)輸出與輸入間的關(guān)系，不涉及到系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的信息，因而這種描述不完整；傳遞函數(shù)的概念主要適用零初始條件于單輸入單輸出系統(tǒng)。無法表示時變系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)以及非零初始條件的線性定常系統(tǒng)。以傳函方法表示控制系統(tǒng)，有時達(dá)不到系統(tǒng)最優(yōu)性能。狀態(tài)空間表達(dá)式：

通過輸入，狀態(tài)變量和輸出來描述系統(tǒng)；

通過將高階微分方程或傳遞函數(shù)改寫成一階微分方程組，即系統(tǒng)的狀態(tài)方程。狀態(tài)方程可以用向量和矩陣的形式來表示，使模型簡單，易于計算，分析。9.1.1線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述系統(tǒng)描述中常用的基本概念系統(tǒng)的外部描述傳遞函數(shù)

系統(tǒng)的內(nèi)部描述狀態(tài)空間描述一、狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間解：以作為中間變量，列寫該回路的微分方程

求解這個微分方程組，出現(xiàn)兩個積分常數(shù)。它們由初始條件狀態(tài)變量：系統(tǒng)的狀態(tài)變量就是確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量。（或完全表征系統(tǒng)運動狀態(tài)的最小一組變量。）和就可以表征這個電路的行為。若將和視為一組信息量，則這樣一組信息量就稱為狀態(tài)。這組信息量中的每個變量均是該電路的狀態(tài)變量。狀態(tài):表征系統(tǒng)運動的信息和行為。如果知道這些變量在任意時刻t0的值以及t≧t0的系統(tǒng)的輸入，便能完整地確定系統(tǒng)在時刻t的狀態(tài)。這樣一組最小的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。這里所說的“完整”是指系統(tǒng)所有可能的運動情況都能表示出來；所謂“最小”既是變量的個數(shù)最少。一個系統(tǒng)有幾個儲能元件，就有幾個狀態(tài)變量。補充：

定義2

設(shè)α1，α2，…，αm是一組n維向量，如果存在m個不全為0的常數(shù)k1，k2，…，km使得k1α1+k2α2+…+kmαm=0，則稱向量組α1，α2，…，αm線性相關(guān)(linearlydependent)；否則，稱向量組α1，α2，…，αm

線性無關(guān)。定義1

設(shè)α1，α2，…，αm

，β是一組n維向量，若存在m個實數(shù)k1，k2，…，km使得β=k1α1+k2α2+…+kmαm

，則稱β可以由α1，α2，…，αm線性表示(linearrepresentation)?；蚍Qα1，α2，…，αm線性表示(lineargenerate)β。狀態(tài)空間：以選擇的一組狀態(tài)變量為坐標(biāo)軸而構(gòu)成的正交空間，稱為狀態(tài)空間。系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)可以用狀態(tài)空間中的一個點來表示。例如t1時刻的狀態(tài)，在狀態(tài)空間中的表示為二、狀態(tài)空間表達(dá)式這個方程組描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系，稱為電路的狀態(tài)方程。這個方程組描述了系統(tǒng)狀態(tài)變量和輸出量之間的關(guān)系，稱為電路的輸出方程。一般情況：其中，線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)圖：三、狀態(tài)變量的選取視研究的問題性質(zhì)和輸入特性而定。

對一個物理系統(tǒng)而言，通?？蛇x擇系統(tǒng)中反映獨立儲能元件狀態(tài)的特征量為狀態(tài)變量。例如電路中電容兩端的電壓，流過電感的電流，機械系統(tǒng)中的速度和位置（轉(zhuǎn)角）均可作為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。狀態(tài)變量的選取不唯一。狀態(tài)變量的數(shù)目是唯一的。四、狀態(tài)空間表達(dá)式的建立舉例例1求圖示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式外力

位移

牛頓力學(xué)定律令---彈性系數(shù)阻尼系數(shù)動態(tài)方程如下狀態(tài)空間表達(dá)式為：

例2求圖示RLC電路系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

為系統(tǒng)兩狀態(tài)變量，則原方程可化成寫成矩陣—向量的形式為：

令為狀態(tài)向量則：9.1.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式1.由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式1）系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項選?。籂顟B(tài)空間表達(dá)式：例

設(shè)

求系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式。

解：選

則：

狀態(tài)空間表達(dá)式為2.系統(tǒng)輸入量中含有導(dǎo)數(shù)項如果單輸入—單輸出系統(tǒng)的微分方程為：一般輸入量中導(dǎo)數(shù)項的次數(shù)小于或等于系統(tǒng)的次數(shù)n。為了避免在狀態(tài)方程中出現(xiàn)u的導(dǎo)數(shù)項，可以選擇如下的一組狀態(tài)變量。

設(shè)，選?。簽榱擞脿顟B(tài)空間分析系統(tǒng)，對于已知由傳遞函數(shù)（或微分方程）描述的系統(tǒng)，就需要先將它們轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的動態(tài)防城，且不改變系統(tǒng)的輸入—輸出特性，這樣求得的動態(tài)方程稱為系統(tǒng)的一個狀態(tài)空間實現(xiàn)。動態(tài)方程多種不同形式，實現(xiàn)的方法也多種，這里介紹最常見的四種標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)：能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)，能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)對角標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)，約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)

2.由傳遞函數(shù)列寫動態(tài)方程（狀態(tài)空間表達(dá)式）

設(shè)單輸入/輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：

其中，。為傳遞函數(shù)的一般形式。傳遞函數(shù)中存在著有零、極點對消和沒有零、極點對消情況。這里所討論的實現(xiàn)是沒有零、極點對消的情況，據(jù)此求得的動態(tài)方程，其狀態(tài)變量數(shù)量少，相應(yīng)矩陣的維數(shù)也最小。若構(gòu)成硬件系統(tǒng)時，所需積分器的個數(shù)也最少，故這種實現(xiàn)有最小實現(xiàn)之稱。（一）能控標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)1傳遞函數(shù)無零點矩陣特點說明p336圖9-5傳遞函數(shù)無零點時的能控標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)圖例9-3已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達(dá)式。2傳遞函數(shù)有零點（1）串聯(lián)分解的形式dy(s)y2(s)y1(s)

選取狀態(tài)變量則狀態(tài)方程為：輸出方程為：寫成向量-矩陣形式為：例9-4已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出能控標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達(dá)式。(二)能觀標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)

寫成向量-矩陣形式為：圖9-8能觀標(biāo)準(zhǔn)形狀態(tài)圖（三）對角標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)

并聯(lián)分解（對角標(biāo)準(zhǔn)形）把傳遞函數(shù)展開成部分分式求取狀態(tài)空間表達(dá)式只含單實極點，設(shè)可分解為：其中為系統(tǒng)的單實極點則：其中：

為極點的留數(shù)a.選取狀態(tài)變量:將上式整理，并進行拉氏變換，可得狀態(tài)方程再將代入：展開：

特點：傳函極點全1

對應(yīng)極點的留數(shù)

b.選取狀態(tài)變量:

狀態(tài)變量圖（并聯(lián)結(jié)構(gòu)）

對角標(biāo)準(zhǔn)形(a)對角標(biāo)準(zhǔn)形(b)例9-5已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出對角標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達(dá)式。（四）約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形實現(xiàn)當(dāng)

含重實極點為了簡單起見，設(shè)T(s)只有r重極點，則傳遞函數(shù)的部分式展開式為：.狀態(tài)空間表達(dá)式..

其中.狀態(tài)變量圖例9-6已知一系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試寫出約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的狀態(tài)空間表達(dá)式。例：設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：試求其狀態(tài)空間表達(dá)式。解：分母三重極點用部分分式為：

狀態(tài)空間表達(dá)式3由動態(tài)方程求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣定義：初始條件為零時，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換之間的傳遞關(guān)系傳遞函數(shù)矩陣（簡稱傳遞矩陣）表達(dá)式：設(shè)動態(tài)方程令初始條件為零，求拉氏變換式：則系統(tǒng)傳遞矩陣表達(dá)式為：例9-6已知系統(tǒng)的動態(tài)方程式為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。

9.2線性變換前面已指出一個給定的動態(tài)系統(tǒng)、狀態(tài)變量的選取有許多方法。因此一個系統(tǒng)有許不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。狀態(tài)變量的不同選取，其實是狀態(tài)向量的一種線性變換。

一個給定的動態(tài)系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取有許多不同的方法（如前面的電路），因此狀態(tài)空間表達(dá)式也不同，即一個系統(tǒng)有許多不同的狀態(tài)空間表達(dá)式來描述。

狀態(tài)變量的不同選取狀態(tài)向量的線性變換（或坐標(biāo)變換）

1.系統(tǒng)狀態(tài)的線性變換目的：便于揭示系統(tǒng)特性及分析計算且不會改變系統(tǒng)的性質(zhì)如果是一組由個狀態(tài)變量構(gòu)成的維狀態(tài)向量，則的線性組合也完全可以作為一組新的狀態(tài)變量，構(gòu)成新的狀態(tài)向量，在與之間存在如下的非奇異線性變換關(guān)系：或其中是非奇異變換矩陣于是有：雖然狀態(tài)變量和狀態(tài)表達(dá)式不同，但和都是描述同一系統(tǒng)動態(tài)行為的描述。設(shè)線性常定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)為令則其中例：設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為：取變換矩陣則

取變換矩陣則