2024年人教版初中數學八年級下冊二次根式的綜合應用-1教案

教案教學基本信息課題二次根式的綜合應用學科數學學段：第三學段年級初二年級教材書名：義務教育教科書八年級下冊出版社：人民教育出版社出版日期：教學目標及教學重點、難點教學目標：1.能夠將二次根式與相關知識進行適度的整合與拓展.2.運用二次根式的運算，解決簡單的實際問題.3.在問題解決的過程中，體會二次根式在解決實際問題中的重要作用，并提高分析問題、解決問題的能力.教學重點：二次根式與相關知識的整合與拓展教學難點：二次根式比較大小的方法與依據教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設置意圖引入引言：二次根式這個概念主要是從算術平方根的意義上去認識的，所以二次根式的概念更是算術平方根概念的一般化表示.到目前為止，我們已經學習了二次根式的概念、二次根式的性質、還有二次根式的運算。那從研究事物的思路來看，我們接下來應該研究二次根式的綜合應用。引例：若一個正方形的邊長為a，面積為S．你能說出a與S的數量關系？；問：這兩個式子有什么聯(lián)系與區(qū)別呢？學生可以從表示形式、計算結果分別討論分析。本章是初中階段“數與式”內容的最后一章。體會整理“數與式”的內容、方法和基本思想的必要性。從表示形式和計算結果兩個方面分析，體會開平方運算和平方運算是互逆關系，滲透函數的思想新課例正方形的邊長為acm,它的面積與長為96cm、寬為12cm的長方形的面積相等,求a的值.分析：從已知出發(fā)，看可知；從未知出發(fā)，找需知.等量關系：正方形的面積等于長方形的面積.總結解題思路是：方程模型數學問題實際問題方程模型數學問題實際問題列方程：總結：二次根式的化簡，一般先將被開方數進行因數分解或因式分解，然后將能開的盡方的因數或因式開出來，得到最簡二次根式.變式正方形的面積為32cm2四個角上的小正方形的面積均為2cm2,求圖中線段a的長度.分析：已知：大正方形的面積為32cm2，可知大正方形的邊長為根號32，已知四個小正方形的面積均為2cm2，可知四個小正方形的邊長為根號2，要求：圖中線段a的長度，只需要用大正方形的邊長－小正方形的邊長的2倍，即可求出。解：設大正方形的邊長為xcm,小正方形的邊長為ycm,總結列方程解決實際問題的解題步驟可以為：審題（分析已知，未知，找等量關系）設未知數（直接設，間接設）列方程（利用等量關系列方程）、解方程、檢驗（實際意義）、答題.例已知一個底面積為24cm2,長、寬、高的比為4：2：1的長方體，你能求出關于長方體的哪些量？如：（1）這個長方體的長、寬、高分別是多少？（2）長方體的表面積是多少？（3）長方體的體積是多少？抽象小結：抽象方程模型實際問題方程模型實際問題降次降次例解方程：解方程：解方程組：總結：1、系數含有二次根式的一元一次方程與我們原來接觸到一元一次方程解題步驟是一致,只在最后一步增加一個化為最簡形式.2、系數含有二次根式的二元一次方程組的解題過程的解題方法：代入法和消元法；核心思想：消元.例比較大?。?1\*GB3①___=2\*GB3②___平方運算=3\*GB3③___平方運算正方形面積比較大小二次根式比較大小正方形面積比較大小二次根式比較大小轉化思想轉化思想比較二次根式大小的思路步驟總結為：先將兩個二次根式分別平方，再比較兩個冪的大小，最后說明原數的大小。比較依據：當兩個數都為正數時，即a>0,b>0時，若a2>b2時，則a>b.；若a2〈b2時，則a〈b。例1是引例的變式，結合求一個數的算術平方根的運算，體會二次根式乘法的應用，簡化運算.總結二次根式化簡得步驟.例1的變式，結合求一個數的算術平方根，體會二次根式的加減運算.讓學生初步感受到二次根式計算在實際問題中的應用.這是一個開放性的問題，學生見比設未知數，通過題目中的等量關系可列方程。分別求出長寬高。進而可以求出長方體的表面積和體積。進一步拓展方程類型若x2=a,則即x為a的平方根總結:方程解法及依據，讓學生再次體會二次根式的運算在方程中的應用.通過二次根式與一元一次方程和二元一次方程組的整合，體會二次根式與整式的邏輯相容性.在前幾個例題都是從實際問題中抽象出方程模型，而比較大小可以把數學問題賦予一個實際背景轉化為實際問題。從而總結出平方法比較二次根式的大小練習若我想用一塊面積為400cm2的正方形紙片，沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長方形紙片，使它的長、寬比為3：2，不知道能否裁出來，你能幫我解決嗎？這是一道實際應用問題，是一道綜合題，既用到這節(jié)課拓展的方程，又用到了二次根式比較大小。通過回顧與反思將知識內化、方法遷移，以實現自身知識體系的再完善和再提升這道題具有診斷評價的作用.小結我們一起回顧一下這節(jié)課的主要內容，今天這節(jié)課把二次根式與方程、方程組進行適度的拓展與整合，并會用平方運算把比較二次根式的大小轉化解決簡單的實際問題，同時借助實際問題的背景下梳理舊知，并發(fā)現一種新的方程形如：x2=a（a≥0）的形式，可以利用開平方,降次直接解得.學生通過回顧與反思將知識內化、方法遷移