4.3.2.1等比數(shù)列的前n項和（知識梳理+例題+變式+練習）（解析版）

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，所以求Sn時要分奇數(shù)項與偶數(shù)項和，并且要注意對n是奇數(shù)和偶數(shù)時討論．【跟蹤訓練2】若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝eq\f(2,3)an＋eq\f(1,3)，則an＝________.【答案】(－2)n－1【解析】由an＝Sn－Sn－1(n≥2)得an＝－2an－1(n≥2)∴eq\f(an,an－1)＝－2(n≥2)又a1＝1，∴an＝(－2)n－1，經(jīng)檢驗當n＝1時，上式也適合，∴an＝(－2)n－1.【易錯辨析】忽略對公比q的討論致誤【例5】已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，a3＝________.【答案】2或8【解析】若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意，此時a3＝a1＝2.若q≠1時，則S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2，此時a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上a3的值為2或8.【易錯警示】1出錯原因忽略了對公比q的討論，直接使用了等比數(shù)列的前n項和公式Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)，從而漏解致誤.2.糾錯心得解答有關(guān)等比數(shù)列求和問題時，應考慮公比q兩種情況q＝1或q≠1，否則容易出錯.一、單選題1．已知等比數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A．-2或3 B．-2 C．3 D．【答案】C【分析】用等比數(shù)列的基本量表示出，然后代入條件計算得答案.【解析】由題可知，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴.故選：C.2．數(shù)列，滿足，，，則數(shù)列的前10項和為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題干所給條件寫出數(shù)列，的通項公式，并寫出數(shù)列，得知數(shù)列是等比數(shù)列，再用等比數(shù)列的前n項和公式即可.【解析】∵數(shù)列，滿足，，，∴數(shù)列是等差數(shù)列，首項是2且公差是2，是等比數(shù)列，首項是2且公比是2，∴數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為，則數(shù)列為，設(shè)，則，∴數(shù)列是等比數(shù)列，且公比為4，首項為4．則數(shù)列的前10項和為，即數(shù)列的前10項和為.故選：B.3．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，已知，，則公比（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)題干所給條件列式并聯(lián)立計算即可.【解析】設(shè)等比數(shù)列的第一項為，則，，因為，則，得①因為，則，得②式子①-②，得，顯然，，則.故選：B.4．數(shù)列中，，對任意，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】取，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，求得數(shù)列的通項公式，利用等比數(shù)列求和公式可得出關(guān)于的等式，由可求得的值.【解析】在等式中，令，可得，，所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，，，則，解得.故選：C.5．設(shè)數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題得（1），,（2），兩式相減求出即得解.【解析】由題得（1），又（2），（2）-（1）得適合.所以，所以數(shù)列是以為首項，以的等比數(shù)列，所以.故選：C6．定義表示不超過的最大整數(shù)，如，．若數(shù)列的通項公式為，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題可得當時，含有個數(shù)列中的項，又，再利用錯位相減法即求.【解析】由題知當時，含有個數(shù)列中的項，又，所以，兩邊同乘以，得，兩式相減，得，所以．故選：．7．給出命題：若（，，都是與無關(guān)的常數(shù)）等比數(shù)列的前項和，則.在這個命題的逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)公式得到原命題為真，故逆否命題為真，舉出反例恒等于得到逆命題和否命題為假，得到答案.【解析】因為，所以；當時，，由于是等比數(shù)列，所以對也適合，所以，化簡得，所以原命題是真命題，因此逆否命題也是真命題；反之，當時，滿足，但此時恒等于，不可能是等比數(shù)列的前項和，所以逆命題是假命題，因此，否命題也是假命題.故選：C.8．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，若對于任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題意求出，從而得到；再由對于任意的，不等式恒成立，得到不等式在時恒成立，從而得到，通過解不等式組即可求出實數(shù)的取值范圍.【解析】因為，所以時，，兩式相減，得，即，又時，，所以，因為也適合，所以.所以，因為對于任意的，不等式恒成立，所以對于任意的，不等式恒成立，即對于任意的，不等式恒成立，所以只需，即，解得或.所以實數(shù)的取值范圍為.故選：A.二、多選題9．在等比數(shù)列中，公比，是數(shù)列的前n項和，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C．數(shù)列是等比數(shù)列 D．數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列【答案】BC【分析】利用已知結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求公比，進而寫出通項公式、前n項和公式，結(jié)合各選項判斷正誤即可.【解析】由題設(shè)，，即，由可得：，∴，，∴且公差為；且.綜上，A、D錯誤，B、C正確.故選：BC10．分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形幾何具有自身相似性，從它的任何一個局部經(jīng)過放大，都可以得到一個和整體全等的圖形如下圖的雪花曲線，將一個邊長為的正三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作正三角形，并擦去中間一段，得圖（2），如此繼續(xù)下去，得圖（3），記為第個圖形的邊長，記為第個圖形的周長，為的前項和，則下列說法正確的是（）A．B．C．若，為中的不同兩項，且，則最小值是D．若恒成立，則的最小值為【答案】AD【分析】本題考查等比數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的應用，屬于較難題目．設(shè)第個圖形的邊數(shù)為，可得為等比數(shù)列，求得其通項公式，并求得的通項公式，進而得到和的通項公式，即可對，作出判定；利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到，進而求得的最小值，判斷C選項；根據(jù)的單調(diào)性和范圍求得單調(diào)性和范圍，從而求得的最小值，從而判斷D選項．【解析】由題意可知，下一個圖形的邊長是上一個圖邊長的，邊數(shù)是上一個圖形的4倍，

可得周長的遞推關(guān)系式為，由圖知，

，選項A正確；

從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，

所以數(shù)列是1為首項，為公比的等比數(shù)列，

所以，選項B錯誤；

由，得，

計算得

所以，當且僅當時取“=”.

因為題中要求，所以選項C錯誤；

根據(jù)選項B中的分析，，所以

即

設(shè)，則在上單調(diào)遞增.

所以時，

所以的最小值是.選項D正確.

故選：AD.

11．(多選題)如果有窮數(shù)列a1，a2，a3，…，am(m為正整數(shù))滿足a1＝am，a2＝am－1，…，即ai＝am－i＋1(i＝1，2，…，m)，我們稱其為“對稱數(shù)列”.例如，數(shù)列1，2，5，2，1與數(shù)列8，4，2，2，4，8都是“對稱數(shù)列”.設(shè){bn}是項數(shù)為2m(m>1，m∈N*)的“對稱數(shù)列”，且1，2，22，23，…，2m－1依次為該數(shù)列中連續(xù)的前m項，則數(shù)列{bn}的前100項和S100可能的取值為（）A．2100－1 B．251－2C．226－4 D．2m＋1－22m－100－1【答案】ABD【分析】依題意可得數(shù)列{bn}為1，2，22，23，…，，，…，23，22，2，1，再對分類討論，利用等比數(shù)列的求和公式計算可得；【解析】解：由題意知數(shù)列{bn}為1，2，22，23，…，，，…，23，22，2，1.若，則，故B正確；若，則，故D正確.若，則，故A正確.故選：ABD第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．若等比數(shù)列的前n項和為，且，則__________.【答案】5【分析】根據(jù)題意和等比數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合求和公式，即可求解.【解析】因為，若時，可得，故，所以，化簡得，整理得，解得或，因為，解得，所以.故答案為：.13．已知數(shù)列滿足，則的前項和__________.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的公式求出數(shù)列的通項，再利用分組求和法即可求出答案.【解析】解：∵，∴.故答案為：.14．在等比數(shù)列中，，，記數(shù)列的前項和?前項積分別為，，若對任意正整數(shù)都成立，則實數(shù)的最小值為___________.【答案】【分析】先求出，，再求出，即對任意正整數(shù)都成立，求出函數(shù)的最大值即得解.【解析】因為，，所以公比，所以，所以，，，，要，即對任意正整數(shù)都成立，只要，又，所以或時，取最大值，所以，的最小值為.故答案為：8四、解答題15．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，成等差數(shù)列，且滿足，數(shù)列的前n項和，且.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）()；()（2）()【分析】(1)設(shè)等比數(shù)列公比q，由給定條件求出q及a1即可得的通項；由結(jié)合“當時，”即可得的通項.(2)利用(1)的結(jié)論分類討論，借助分組求和方法及等差等比數(shù)列求和公式即可計算得解.（1）設(shè)正項等比數(shù)列公比q，因成等差數(shù)列，則，即，，而，解得，又，即，，解得，所以數(shù)列的通項公式是，；，數(shù)列的前n項和，當時，，整理得：，于是得數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則，得，所以數(shù)列的通項公式是，.（2）由(1)知，，當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的前n項和().【點睛】思路點睛：給出Sn與an的遞推關(guān)系，求an，常用思路是：一是轉(zhuǎn)化為an的遞推關(guān)系，再求其通項公式；二是轉(zhuǎn)化為Sn的遞推關(guān)系，先求出Sn與n之間的關(guān)系，再求an.16．科學數(shù)據(jù)證明，當前嚴重威脅人類生存與發(fā)展的氣候變化主要是工業(yè)革命以來人類活動造成的二氧化碳排放所致．應對氣候變化的關(guān)鍵在于“控碳”，其必由之路是先實現(xiàn)碳達峰，而后實現(xiàn)碳中和．2020年第七十五屆聯(lián)合國大會上，我國向世界鄭重承諾力爭在2030年前實現(xiàn)碳達峰，努力爭取在2060年前實現(xiàn)碳中和．2021年全國兩會的政府工作報告明確提出要扎實做好碳達峰和碳中和的各項工作，某地為響應國家號召，大力發(fā)展清潔電能，根據(jù)規(guī)劃，2021年度火電發(fā)電量為8億千瓦時，以后每年比上一年減少20%，2021年度清潔電能發(fā)電量為4億千瓦時，以后每年比上一年增長25%．（1）設(shè)從2021年開始的年內(nèi)火電發(fā)電總量為億千瓦時，清潔電能總發(fā)電量為億千瓦時，求，（約定時為2021年）；（2