2024年北京市朝陽區(qū)中考數(shù)學一模試卷附答案解析

2024年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學中考數(shù)學一模試卷

一、選擇題（共8小題，共16分）

I.（3分）如圖是某個幾何體的側(cè)面展開圖，則該幾何體為（）

2.（3分）實數(shù)小b,c在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

II?.....................................LfII?一

-5-4-3-2-10I2345

A.a+c>0B.間V|“C.bc>\D.ac>0

3.（3分）如圖，菱形48co的頂點B,C的坐標分別（0.2）,（2,I）,（4.2）,則頂點。的坐標是

4.（3分）若一個多邊形每一個內(nèi)角都為144?，則這個多邊形是（）邊形.

A.6B.8C.10D.12

5.（3分）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣m次，正面向上〃次，則二的值（）

m

A.一定是:

2

B.一定不是:

C.隨著，〃的增大，越來越接近5

D.隨著小的增大，在［附近擺動，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性

6.（3分）以下圖形繞點。旋轉(zhuǎn)一定角度后都能與原圖形重合，其中旋轉(zhuǎn)角最小的是（)

8.（3分）如圖，在△A8C中，ZC=90°,AC=5,BC=\O.動點M,N分別從A,C兩點同時出發(fā)，點

M從點4開始沿邊AC向點C以每秒1個單位長度的速度移動，點N從點C開始沿CB向點B以每秒

2個單位長度的速度移動.i殳運動時間為點M,C之間的距離為），，△MC州的面積為S,則），與r,

S與1滿足的函數(shù)關系分別是（）

A.正比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

B.正比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

C.一次困數(shù)關系，正比例函數(shù)關系

D.?次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

二、填空題（本大題共8小題）

9.（2分）函數(shù)），=K^=的自變量的取值范圍是_____________________.

Vl-2x

10.（2分）如果多項式a^+by2只能因式分解1為<3x+2y）<3x-2y）,則ab=.

11.（2分）寫出一個比次大且比0再小的整數(shù)是.

12.（2分）如果3./-.”1=0,那么代數(shù)式（2x+3）（2x-3）r（x+1）的值為.

13.（2分）如圖，在Ri△人BC中，/AC8=90°,BC=2.4C=2V3,P是以斜邊.4B為直徑的半圓上一

動點，M為PC的中點，連接8M,則8M的最小值為.

14.（2分）如圖，有兩張矩形紙片A8CD和EFGH.AB=EF=2cm,BC=FG=Scm,使重登部分為平行

四邊形，且點。與點G重合.當兩張紙片交叉所成的角a最小時重在部分的面積等

于.

15.（2分）在平面直角坐標系xOy中，已知點（/?-2,ri）,（/?-I.yz）?（〃+1,yj）在拋物線y=tur-

2aX-2（?<0）上.若OU"V1.則），I.”，”的大小關系為.（用“V”表示）

16.（2分）如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓人、慶C作為職工宿舍，每橫宿舍樓之間均有

筆直的公路相連，且BC>AC>AB.已知廠房O到每條公路的距離相等.

（1）則點。為△回，三條的交點（填寫：角平分線或中線或面線:：

（2）如圖設BC=a,AC=b,AB=c,OB=y,OC=z,現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下班后，返回廠房

停放，那么最短路線長是.

三、解答惠（第17-22題各5分，第23-26題各6分，第27、28題各7分.共68分）

17.（5分）計算：0）一1一兀一20200+|代一2|-3tan300.

2（x—1）<x+2

18.（5分）解不等式組：x+1

I—<x

19.（5分）關于x的一元二次方程A2-，心+2剛-4=0.

（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根：

（2）若方程有一個根小于1,求加的取值范圍.

20.（5分）卜面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°.

已知：如圖，△ABC,求證：NA+N8+NC=I8O°.

方法一方法二

證明:如圖，過點A作。上〃3C.證明:如圖,過點。作CDZM/L

A

，D

21.（5分）如圖，四邊形44CO是平行四邊形，AC.8。相交:點。，后為A8的中點，連接?！?過點E

作EF_L8c于點F,過點。作OGJ_8c于點G.

（I）求證：四邊形EFGO是矩形：

（2）若四邊形八BC。是菱形，AB=\O.BO=16,求0G的長.

22.（5分）在平面直角坐標系x0v中，一次函數(shù)，=h+方（AW。）的圖象由函數(shù)y=-.r的圖象平移得到,

且經(jīng)過點（0,1）.

（1）求這個一次函數(shù)的表達式；

（2）當xV-1時，對于x的每一個值，函數(shù)），=〃。（"#0）的值小于一次函數(shù)），=心+8**0）的值，

直接寫出川的取值范圍.

23.（6分）為進一步熠強中小學生“知危險會避險"的意識，某校初三年級開展了系列交通安全知識競賽，

從中隨機抽取30名學生兩次知識競賽的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行收集、整理、描述和分

析.下面給出了部分信息.

?.這30名學生第一次競賽成績和第二次競賽成績得分情況統(tǒng)計圖:

A第二次成績/分

100-

■

95-,...：

?■??

???

90-.???

??

85-.??

80-

說一京―京一磁一—金一次成績/分

b.這30名學生兩次知識競賽獲獎情況相關統(tǒng)計表，

參與獎優(yōu)秀獎卓越獎

第一次競賽人數(shù)101010

平均分828?95

第二次競賽人數(shù)21216

平均分848?93

（規(guī)定：分數(shù)290,獲卓越獎：85V分數(shù)<90,獲優(yōu)秀獎：分數(shù)V85,獲參與獎）

t.第二次競賽獲卓越獎的學生成績?nèi)缦拢?/p>

90909191919192939394949495959698

d.兩次競賽成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如卜表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競賽m87.5

第二次競賽90n91

根據(jù)以上信息，回答卜.列問題：

（1）小松同學第?次競賽成績是89分,第一次竟賽成績是91分.在困中用“O”圈山代表小松同學

的點；

（2）直接寫出加，〃的值：

<3）哪一次競賽中初三年級全體學生的成績水平較高？請說明你的理由（至少兩個方面）.

24.（6分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，

若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米.

d01234

（米）

h0.51.251.51.250.5

（米）

根據(jù)上述信息，解決以下問題：

（1）在如卜網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担⒏鶕?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示h與d函數(shù)關系的圖象：

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為加米，則“=：

（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱

下方通過，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距

離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應將水管露出湖

面的高度（噴水頭忽略不計）（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

25.（8分）如圖，在矩形48co中，八B=6"C=8,點4在直線/上,A。與直線/相交所得的銳角為60。.點

戶在直線/上，"=8,￡T_L直線/,垂足為點尸且七尸=6,在"的左側(cè)作半圓O,點時是半圓。上

任一點.

發(fā)現(xiàn)：AM的最小值為.4M的最大值為,08與直線/的位置關系

是.

思考：矩形A8CO保持不動，半圓。沿直線/向左平移，當點？落在A。邊上時，重疊部分面積為多少？

26.（10分）如圖，AB是的一條弦，E是A8的中點，過點8作。。的切線交CE的延長線于點D

（I）求證：DB=DEx

（2）若AB=12,BD=5.求0O的半徑.

o

27.(10分)在△ABC?和△AOK中，BA=BC,DA=DE,點￡在aAHC?的內(nèi)部，連接EC,m和￡O,設

EC=k*BD（丘0）.

(1)當NA3C=NADE=60°時,如圖I,請求出)值,

(2)當/乂8。=/八。七=90°時:

①如圖2,(1)中的女值是否發(fā)生變化，如無變化：如有變化，芾求出入值并說明理由：

②如圖3,當。，E,C三點共線，HE為OC.中點時，請求出lan/必C的值.

28.(10分)如圖，在平面直角坐標系,Qy中，點S(-I,0),7(1,0)(0°VaW1800),將一個圖形

先繞點S順時釗旋轉(zhuǎn)a,再繞點T逆時到旋轉(zhuǎn)?.

(1)點R在線段S7上，則在點八(1,-1)，8(3,-2),C(2,-2),D(0.-2)中，有可能是

由點/?經(jīng)過一次“90°對稱旋轉(zhuǎn)”后得到的點是:

(2)x軸上的一點戶經(jīng)過一次“a對?稱旋緯”得到點Q.

①當a=60'時,PQ=：

②當a=30°時，若Q7_Lx軸，求點P的坐標：

(3)以點。為圓心作半徑為1的圓.若在0。上存在點M,使得點M經(jīng)過一次“a對稱旋轉(zhuǎn)”后得到

的點在x軸上，直接寫出a的取值范圍.

備用圖

2024年北京市朝陽區(qū)陳經(jīng)綸中學中考數(shù)學一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題，共16分）

I.（3分）如圖是某個幾何體的側(cè)面展開圖，則該幾何體為（）

【解答】解：由圖可知展開側(cè)面為三角形，則該幾何體為極錐

故選：C.

2.（3分）實數(shù)a,b,。在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（）

II?..................................LfII?一

-5-4-3-2-1012345

A.?+c>0B.同<網(wǎng)C.bc>\D.ac>0

【解答】解：由數(shù)軸可以發(fā)現(xiàn)a<0<6<c,而間>同>|〃|,

?'?a+cVO,|?|>|Z?|.acVO

又由數(shù)軸可發(fā)現(xiàn)1V6<2,2<e<3

.'.bc>I正確.

故送：C.

3.（3分）如圖，菱形八8co的頂點A,B,C的坐標分別（0,2）,（2,I）,（4,2〕，則頂點。的坐標是

【解答】解：如圖，連接AC、B。交于點E,

?.?四邊形ABCD是菱形，

：.AC±BD,AE=CE.BE=DE,

?.?菱形八8C。的頂點4,B.C的坐標分別(0,2),(2,I),(4,2),

.\AC±y^,4C〃x軸，OA=2,

."D〃)，軸，BE=DE=2-1=1,

，頂點。的坐標是(2,2+1).

即⑵3),

故選:D.

4.（3分）若一個多邊形每一個內(nèi)角都為144',則這個多邊形是（〉邊形.

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：???一個多邊形每一個內(nèi)角都為144°,

???外角為180°-144*=36°,

.?.多邊形的邊數(shù)為360°+36°=10,

故選:C.

5.13分）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣加次，正面向上”次，則巴的值（）

m

A.一定是:

2

B.一定不是:

2

c.隨著〃?的增大，越來越接近;

D.隨著〃J的增大，在［附近擺動，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性

【解答】解：投擲一枚腹地均勻的硬幣加次，正面向上“次，隨若加的增加，1■的值會在:附近擺動,

呈現(xiàn)出一定的穩(wěn)定性，

故選:D.

6.（3分）以下圖形繞點O旋轉(zhuǎn)一定角度后都能與原圖形重合，其中旋轉(zhuǎn)角最小的是（）

A.AB.

【第答】解：A、最小旋轉(zhuǎn)角度=挈=120°:

8、最小旋轉(zhuǎn)角度=苧=90°：

C、最小旋轉(zhuǎn)角度=誓=72°；

。、最小旋轉(zhuǎn)角度=嗒=60°：

故送：D.

7.13分）下列圖形中，對稱軸條數(shù)最少的是（）

【能答】解：A、有3數(shù)條對稱軸，

3、有2條對稱軸，

C、有無數(shù)條對稱軸，

D、有1條對稱軸，

所以對稱軸條數(shù)最少的是選項。.

故選：D.

8.（3分）如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=10.動點M,N分別從小C兩點同時出發(fā)，點

M從點4開始沿邊AC向點C以每秒1個小位長度的速度移動，點N從點C開始沿CB向點B以每秒

2個單位長度的速度移動.設運動時間為r，點M，C之間的距離為y,△MCN的面積為S,則〉，與r,

S與，滿足的函數(shù)關系分別是（）

A.正比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系

B.正比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系

C.一次函數(shù)關系，正比例函數(shù)關系

D.一次函數(shù)關系,二次函數(shù)關系

【顰答】解：由題戲得，AM=t,CN=2t,

：.MC=AC-AM=5-1,

即y=5-t,

1，

，S=和C?CN=5r-

因此)，是/的一次函數(shù)，S是，的二次函數(shù)，

故選:D.

二、填空題(本大題共8小題)

9.(2分)函數(shù))=下^的自變量的取值范圍是

【解答】解：由題意得：I-2x>0,

解得：xV：

故答案為：xV；.

10.(2分)如果多項式—+力2只能因式分新為(3x+2y)(3x-2.v),則ab=-36.

【能答】解：根據(jù)題意可得，

ar2*〃/=(3x+2y)(3x-2y),

0?十川一9『-4y，，

.,.“=9,b=-4,

.?.而=9X(-4)=-36.

故答案為：-36.

11.(2分)寫出一個比百大且比兩小的整數(shù)是2或3.

【逑答】解：..?6v"<VT^,

,.?a〈g<VTU,

.?.2<3<師

比6大且比g小的整數(shù)是2或3.

12.(2分)如果3/7-1=0,那么代數(shù)式(2v+3)(Zv-3)-x(.v+1)的值為-8.

【解答】解：-1=0,

3c-x=l,

：.?2r+3)(2x-3)-x(AS-I)

=4/-9-A-2-x

=3r-x-9

=1-9

=-8.

故答案為：-8.

13.（2分）如圖，在中，/ACB=90",BC=2,AC=2^3,P是以斜邊八8為直徑的半網(wǎng)上一

動點，歷為PC的中點，連接8M,則8M的最小值為—百一1_.

【解答】解：取AB的中點O、AC的中點E、8c的中點尸，連接OC、OP、OM.OE.OF、EF,如圖,

在R1ZXA8C中，/4C8=90°,BC=2,AC=2>/3,

：.AB=>/AC2+BC2=4,

：.0C=^AB=2,0P=^AB=2,

為PC的中點,

：.OMA.PC.

.../CMO=90°,

點M在以OC為直徑的圓上，

當點尸點在A點時，點在E點：點P點在8點時，M點在尸點，

取。C的中點O',連接8。交0。于M’,

則'的長度即為BM的最小值，

延長BO'交。O'TG,連接/'M',

*：￡FBM'=/GBC,ZFM'B=/GCB,

SMGC,

.BFBMf

??9

BGBC

解得：BM'=V5-1（負值舍去）,

故8A，/的最小值為：V3-1,

故答案為：V3-1.

P

14.(2分)如圖，有兩張矩形紙片A8CD和芯柘從Ali=E/-=2cm,BC=FG=^cm,使重疊部分為平行

四邊形，且點。與點G重合.當兩張紙片交叉所成的角a最小時重疊部分的面積等于—土.

A

【解答】解：設AD交EH于K,如圖所示：

,/四邊形AHCD和四邊形EI-GH是矩形，

/.ZADC=ZHDF=9Q°,CD=AB=EF=DH=2cm,N〃=/C=90°,

，ZCDN=ZHDK,

：.LCDN^/\HDK(ASA),

：.ND=KD.

???四邊形DNMK是平行四邊形，

...平行四邊形ONMK是菱形，

:.MN=DN,

???將兩紙片按如圖所示疊放，使點。與點G重合，且重段部分為平行四邊形,

...當點8與點七重合時，兩張紙片交叉所成的角a展小，

：.FM=DN=4,

設DN=MN=acm,則CN=(8-<J)cm,

?.?。儲=。。2+。人巴

：.(r=22+(8-a)2.

解得：。=芋(.cm),

.'.DN=cm,

J.重在部分的面枳一?x2

17

故答案為：

A

15.(2分)在平面直角坐標系X。、，中，已知點(n-2,yi),(n-I,y2),5+1,”)在拋物線y=a?-

lax-2(?<0)上，若OV”V1,則yi,y:?)3的大小關系為viV\'2Vv3.(用“V”表示)

【辭答】解：?.?拋物線產(chǎn)蘇-2奴-2(?<0),

???拋物線開口向下，對稱軸為直線戶-愣=1,

VO<n<l,

/.-2<n-2<-I,-\<n-I<0,l<n-H<2.

.?.點(〃-2,yi)到對稱軸的距離最大，(,什1,到對稱軸距離最短，

.*.yi<y2<>,3.

故答案為：

16.(2分)如圖，雙驕制衣廠在廠房。的周圍租了三幢樓八、B、C作為職工宿舍，每悔宿舍樓之間均彳j

筆直的公路相連，旦BOAOA&已知廠房。到每條公路的距離相等.

<1)則點。為三條向平分線的交點(填寫：角平分線或中線或高線)：

(2)如圖設BC=a,AC=h.AB=c,OB=y,OC=z,現(xiàn)要用汽車每天接送職工上下班后，返回廠房

停放，那么最短路線長是v+c+b+z.

【解答】解：(1)???點。到每條公路的點禹相等,

.?.點O是△人BC的角平分線的交點.

故答案為：角平分線：

(2)設QA=x,

共布?6條線路：di=x+c+a+z,d2=x+b^a+y,d3=y+c+/>+z,di=y+a+/>+x,ds=z+b+c+y,(l6=z+a+c+x,

在C8上截取CE=CA，連接OE,

在AACO和△ECO中，

(CA=CE

\z.ACO=Z.ECO,

(C0=CO

：.^ACO^^ECO(SAS),

：.OA=OE,

在4EB。中，

y~x<a-b,

：.di-d\<0,

同理d\-42Vo.d\-d4V0,di-d5Vo.d\-d6V0,

??dy最短，

故答案為：

三、解答惠(第17-22題各5分，第23-26題各6分，第27、28題各7分.共68分)

17.(5分)計算：(3-1—；1-2020°+|6-2|-3亡即30°.

【解答】解：?T一n一2020°+|V3-2|-3tan30°

=3-"1+2-6-3x印

=4-”215.

2(x-l)<r+2

18.（5分）解不等式組:x+1.

—<X

2(x-l)<x+2@

【解答】解:

由①得：xV4,

由②得：*>1,

則不等式組的解集為lVx<4.

19.（5分）關于x的??元二次方程『-〃四+2陽-4=0.

(I)求證：方程總有兩個實數(shù)根：

(2)若方程有一個極小于I,求，〃的取值范圍.

【第答】(1)證明：Vfl=1.h=-in,c=2m-4,

A=b2-

—t-〃】)2-4(2/w-4)

=〃2-8〃1+l6

=?/?-4)22o,

.??此方程總有兩個實數(shù)根.

(2)解：VA=(w-4)2妾0,

._-b±^b2-4ac_7n+|m-4|

??*=2R=-2-

'.x\=m-2,xi=2.

?.?此方程有一個根小于I.

A/n-2<l.

/./n<3.

20.(5分)下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明.

三角形內(nèi)先和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180”.

己知：如圖，△ABC,求證：/A+/8+/C=180°.

方法一方法二

證明：如圖，過點4作。七〃3c證明：如圖，過點。作8〃48.

B

A

：./B=NBAD,NC=NCA￡,

Vzfi4￡>+Zfi4C+ZC4E=180°,

.，/R+/R4dNC=180>?

方法二：-：CD//AB,

：.ZA=ZACD.NB+N8CZ)=180°,

.?.N8+N4CB+NA=18(T.

21.(5分)如圖，四邊形A3CD是平行四邊形，AC.3。相交于點。，E為A8的中點，連接OE,過點E

作￡EL〃C于點F,過點O作OGLBC于點G.

(1)求證：四邊形以七。是矩形：

(2)若四邊形八8c。是菱形，A8=10,BD=T6,求。G的長.

【解答】(I)證明：???四邊形A8CD是平行四邊形,

：.OA=OC,

為A8的中點,

：.OE是△4HC的中位線.

：.OE//BC,

,：EF1BC,OGJ.BC,

：.EF//OG,/EFG=90°,

，四邊形EFGO是平行四邊形，

又YNERAg。。，

???平行四邊形EFGO是矩形：

（2）解：???四邊形ABCD是菱形,BD=16.

.,.BC=A8=10,OA^OC,OB=OD=1?D=8,AC1BD.

/.ZBOC=90",

：.0C=VSC2-OB2=V102-82=6,

由11）可知，四邊形￡7七。是矩形，

.?.NOG產(chǎn)=90°,

：.OG1BC,

：.S,.OBC=暴C?OG=^OB*OC,

即OG的長為4.8.

22.（5分）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)（人聲0）的圖象由函數(shù)y=-x的圖象平移得到,

且經(jīng)過點（0，I）.

（I）求這個一次函數(shù)的表達式；

（2）當xV-1時，對于x的每一個值,函數(shù)），=""（〃岸0）的值小于一次函數(shù)y=-bUW0）的值，

直接寫出〃，的取值范圍.

【解答】解：（1）?.??次函數(shù)），=心+“a*0）的圖象由函數(shù)y=-x的圖象平移得到，

：.k=-I.

?.?一次函數(shù)y=-x+/＞的圖象過點（0，1）,

：,h=\

工這個一次函數(shù)的表達式為y=-x+l.

（2）?.?當xV-l時，對于x的每一個值，函數(shù)y=〃a（mW0）的值小于一次函數(shù)y=-x+1的值，

-1.

23.（6分）為進一步增強中小學生“知危險會避險”的意識，某校初三年級開展了系列交通安全知識競賽,

從中隨機抽取30名學生兩次知識競賽的成績（百分制），并對數(shù)據(jù)（成績）進行收集、整理、描述和分

析.下面給出了部分信息.

?.這30名學生第一次競賽成績和第二次竟賽成績得分情況統(tǒng)計圖:

A第二次成績/分

100-

95-,...：

???

???

90-???.

??

85-.??

80-

說一京—京一東一—立一次成績/分

b.這30名學生兩次知識競賽獲獎情況相關統(tǒng)計表：

參與獎優(yōu)秀獎卓越獎

第一次競賽人數(shù)101010

平均分828?95

第二次競賽人數(shù)21216

平均分848793

（規(guī)定：分數(shù)290,獲卓越獎：85＜分數(shù)＜90,獲優(yōu)秀獎：分數(shù)V85,獲參與獎）

c第二次競賽獲卓越獎的學生成績?nèi)绮?：

90909191919192939394949495959698

d.兩次競賽成績樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)

第一次競賽m87.588

第二次競賽90n91

根擄以上信息，回答下列問題：

（I）小松同學第一次競賽成績是89分，第二次競賽成績是91分，在圖中用“O”圈出代表小松同學

的點:

（2）直接寫出“，〃的值:

（3）哪一次競賽中初三年級全體學生的成績水平較高？請說明你的理由（至少兩個方面）.

【解答】解：（1）如圖所示.

“第二次成績分

100

95..

*

??<

90.

??

??

??

85.??

80

8085—9095一100十成績分

82x10+87x10+95x10

(2)in=30=88,

?.?第二次競賽獲卓越獎的學生有16人,成績從小到大排列為：909091919191929393

94949495959698,

第一和第二個數(shù)是30名學生成績中第15和第16個數(shù)，

（90+90）=90,

?*.,/i=88?〃=90；

（3）可以推斷出第二次競賽中初三年級全體學生的成績水平較高，理由是：第二次競賽學生成績的平

均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都高于第一次競賽.

24.（6分）某公園在人工湖里安裝一個噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，

若記水柱上某一位置與水管的水平距離為d米，與湖面的垂直高度為h米.

d01234

（米）

h0.51.251.51.250.5

（米）

根茹上述信息，解決以下問題：

（I）在如下網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并根?jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示人與〃函數(shù)關系的圖象：

（2）若水柱最高點距離湖面的高度為，”米，則〃尸L5:

（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設立新的游玩項目，準備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從水柱

下方通過，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從水柱下方中間通過時，頂棚上任意一點到水柱的豎直距

離均不小于0.5米，己知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為1.5米，那么公園應將水管露出湖

面的高度（噴水頭忽略不計）（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

圖1圖2

【解答】解：(I)以噴泉與湖面的交點為京點，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標系，如圖1

(2)根據(jù)題意可知，該拋物線的對稱釉為x-2,此時展而，

即?=1.5?

故答案為：1.5：

(3)根據(jù)圖象可設二次函數(shù)的解析式為：h=a(d?2)2+1.5,

1

-

將*0,0.5)代入〃=a(J-2)2+1.5,得0=4

...拋物線的解析式為：仁-#+"0.5,

設調(diào)節(jié)后的水管噴出的地物線的解析式為：力=-3/2+d+O.5+〃，

由題意可知，當橫坐標為2+9=4寸，縱坐標的值大「1.5+05=2,

177

-X?I--

4X22

解得，26，

.?.水管高度至少向上調(diào)節(jié)二米,

16

.,.0.5+1^=y1(米)，

公園應符水管露出湖面的高度（噴水義忽略不計》至少調(diào)節(jié)到77米才能符合要求.

25.（8分）如圖，在矩形A8CO中，AB=6,8c=8,點A在直線/上,AO與直線/相交所得的銳角為60".點

尸在直線/上，"=8,￡T_L直線/,垂足為點尸且EF=6,在EF的左側(cè)作半圓。，點M是半惻OH

任一點.

發(fā)現(xiàn)：八M的最小值為_舊一3_,人M的最大值為10.OB與直線/的位置關系是平行.

思考：矩形八8c。保持不動，半圓O沿直線/向左平移，當點￡落在A。邊上時，重段部分面積為多少？

AFI

【解答】解：發(fā)現(xiàn)：如圖1.連接40、AE.BO,作5尸_LA產(chǎn)于H

由題意知，EF=6,A尸=8,ZD4F=60n.

：.OM=OF=3,

當人、M、。三點共線時，AM最小，

由勾股定理得，A0=yfAF2+OF2=V82+32=V73.

.?.AM的最小值為g-3：

當M、E重合時，八M最大，

由勾股定理得，AE=\!AF2+EF2=V82+62=10.

...AM的最大值為10：

?.,四邊形48。力是矩形，AB=6.

：.ZBAD=90°,

：.ZBAP=30",

:.BP=；A3=3=OR

義,：BP〃OF,

.??四邊形8PF。是平行四邊形，

：.OB//PF,即08〃/：

故答案為：V73-3：10：平行：

思考：如圖2,連接OG,作OH_LA力于H,

VZDAF=60°,EF1AF,

ZAEF=30a.

3

O"；OE-2

'：OE=OG.

，/EOG=120",GE=2EH=2\fOE2-OH2=>-(j)2=3V3

13廠

120rr-32

竽

--=一

ASM*=5MIUEOG-S&ECA~360-22

圖1

26.(10分)如圖，八8是。。的一條弦，月是八B的中點，過點B作。。的切線交CE的延長線于點/5.

(I)求證：DB=DE：

(2)若A8=12,BD=5,求0。的半徑.

【解答】(1)證明：???8。是。O的切線，

：.ZOBD=90°,即/084+/￡8。=90：,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

'：ZOAB+ZCEA=\SOa-NACE=90°,/CEA=/BED,

；./EBD=NBED,

:.DB=DE；

(2)解：如圖，連接O￡作OF_LA8于凡

?E是A8的中點,AB=12,DB=DE,

：.OELAB,AE=EB=6,EF=^BE=3.

由勾股定理得，DF=<DE2-EF2=4.

'：ZAOE+ZOAE=90a,ZCEA+ZOAE=90°./CEA=/BED,

:.NAOE=NBED,

APDF64

AsmzJlOE=9=sin乙DEF=歷，UP—=g,

解得，。4=芋，

，OO的半徑為

27.（10分）在△ABC和△AOE中，BA=BC,￡%=￡）￡點E在△ABC的內(nèi)部，連接EC,E8和E。，設

EC=k,BD(�).圖1圖2圖3

(1)當/ABC=/4DE=6(r時，如圖1,請求出比值,

(2)當/八8C=/AOE=90°時：

①如圖2,(1)中的人?值是否發(fā)生變化，如無變化：如有變化，請求出★值并說明理由:

②如圖3,當。.E,C三點共線，且E為。C中點時，請求出tan/EAC的值.

【解答】解：(I)k=\,

理由如下：如圖I,ZABC=ZADE=6Qa,BA=BC,DA=DE,

.?.△48C和△AOE都是等邊三角形，

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=6r,

：.ZDAB=ZEAC.

在△OAB和△EC中，

(AD=AE

{/.DAB=NEAC，

(AB=AC

.?.△OA度△EAC(SAS),

：.EC=DB,即A=l；

<2)①人值發(fā)生變化，/c=V2,

VZARC=^ADE=90",BA=BC,DA=DE,

叢ABC和△AOK都是等腰直角三角形,

AE[―AC/—

:-=72,—=72,ZDAE=ZBAC=450,

ADAB

AEAC

，一=—.ZDAB=ZEAC,

ADAB

.'.^EAC^^DAli,

ECAEr-「

—=-=v2.t即inEC=V2FD.

BDAD

:.k=&：

圖3

設AD=DE=a,則/IE=五a.

■:點E為DC中點,

：.CD=2a,

由勾股定理得，AC=V/1D2+CD2=75a.

VZCFE=ZC