江蘇無錫市東林中學2024-2025學年九上數(shù)學第15周階段性訓練模擬練習【含答案】

江蘇無錫市東林中學2024-2025學年九上數(shù)學第15周階段性訓練模擬練習一．選擇題（共6小題）1．如圖，已知⊙O的半徑為1，AB與⊙O相切于點A，OB與⊙O交于點C，CD⊥OA，垂足為D，則cos∠AOB的值等于（）A．OD B．OA C．CD D．AB2．已知點P（﹣2，y1），Q（4，y2），M（m，y3）均在拋物線y＝ax2+bx+c上，其中2am+b＝0．若y3≥y2＞y1，則m的取值范圍是（）A．m＜﹣2 B．m＞1 C．﹣2＜m＜1 D．1＜m＜43．如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E、F是AD邊上的兩個動點，且AE＝FD，連接BE、CF、BD，CF與BD交于點G，連接AG交BE于點H，連接DH，下列結論正確的個數(shù)是（）①AG⊥BE；②HD平分∠EHG；③△ABG∽△FDG；④S△HDG：S△HBG＝tan∠DAG；⑤線段DH的最小值是5?12；⑥當E、F重合時，延長AG交CD于M，則tan∠EBMA．5個 B．4個 C．3個 D．2個

4．如圖，在?ABCD中，E是AB上一點，且BE＝2AE，連接DE交AC于點F，已知S△AFE＝1，則S△ADC的值是（）A．9 B．10 C．12 D．145．如圖，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在格點上，則∠ACB的正弦值是（）A．31010 B．655 C．6．已知⊙O的半徑為3，AB、AC是⊙O的兩條弦，AB＝32，AC＝3，則∠BAC的度數(shù)是（）A．75°或105° B．15°或105° C．15°或75° D．30°或90°二．填空題（共7小題）7．若直線y＝ax+b（ab≠0）經(jīng)過第一、二、三象限，那么拋物線y＝ax2+bx頂點在第象限．8．如圖，AB是半圓O的弦，DE是直徑，過點B的切線BC與⊙O相切于點B，與DE的延長線交于點C，連接BD，若四邊形OABC為平行四邊形，則∠BDC的度數(shù)為．

9．如圖，在邊長1正網(wǎng)格中，A、B、C都在網(wǎng)格線上，AB與CD相交于點D，則sin∠ADC＝．10．如圖AB為⊙O的直徑，點P為AB延長線上的點，過點P作⊙O的切線PE，切點為M，過A、B兩點分別作PE垂線AC、BD，垂足分為C、D，連接AM，則下列結論正確的是（寫所有正確結論的序號）．①AM平分∠CAB；②ACAM=AMAB；③若AB＝4，∠APE＝30°，則BM的長為π3；④若AC＝311．如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝40°，則∠DAC的度數(shù)是．12．如圖，在△ABC中，點D在AB上，AD：DB＝2：3，點E是CD的中點，連接AE并延長，交BC于點F，則BF：FC＝．

13．在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（0，1）、（0，5），點C在x軸正半軸上，且∠ACB＝30°，則點C的坐標是．三．解答題（共3小題）14．如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，作∠FAC＝∠BAC，過點C作CF⊥AF于點F．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若sin∠CAB=25，求S

15．如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣1，0）、B（3，0），與y軸交于點C，頂點為D，對稱軸交x軸于點Q，過C、D兩點作直線CD．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，連接CQ、CB，點P是拋物線上一點，當∠DCP＝∠BCQ時，求點P的坐標；（3）若點M是拋物線的對稱軸上的一點，以點M為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，且與直線CD相切，求點M的坐標．

16．【問題】老師上完《7.3特殊角的三角函數(shù)》一課后，提出了一個問題，讓同學們嘗試去探究75°的正弦值．小明和小華經(jīng)過思考與討論，作了如下探索：【方案一】小明構造了圖1，在△ABC中，AC＝2，∠B＝30°，∠C＝45°．第一步：延長BA，過點C作CD⊥BA，垂足為D，求出DC的長；第二步：在Rt△ADC中，計算sin75°．【方案二】小華構造了圖2，邊長為a的正方形ABCD的頂點A在直線EF上，且∠DAF＝30°．第一步：連接AC，過點C作CG⊥EF，垂足為G，用含a的代數(shù)式表示AC和CG的長；第二步：在Rt△AGC中，計算sin75°．請分別按照小明和小華的思路，完成解答過程．

參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）1．【解答】解：∵AB與⊙O相切于點A，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴cos∠AOB=OA∵CD⊥OA，∴∠ODC＝90°，∴cos∠DOC=ODOC故選：A．2．【解答】解：∵2am+b＝0，∴m=?b∴點M（m，y3）是該拋物線的頂點，∴拋物線的對稱軸為x＝m，∵點P（﹣2，y1），Q（4，y2）均在拋物線y＝ax2+bx+c上，且y3≥y2＞y1，∴m＞?2+4解得m＞1，故選：B．3．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，在△ABE和△DCF中，AB=CD∠BAD=∠ADC∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠ABE＝∠DCF，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADB=∠CDB∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠DAG＝∠DCF，∴∠ABE＝∠DAG，∵∠DAG+∠BAH＝90°，∴∠ABE+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝90°，∴AG⊥BE，故①正確；同法可證：△AGB≌△CGB，∵DF∥CB，∴△CBG∽△FDG，∴△ABG∽△FDG，故③正確；∵S△HDG：S△HBG＝DG：BG＝DF：BC＝DF：CD＝tan∠FCD，又∵∠DAG＝∠FCD，∴S△HDG：S△HBG＝tan∠FCD＝tan∠DAG，故④正確；取AB的中點O，連接OD、OH，∵正方形的邊長為1，∴AO＝OH=12×由勾股定理得，OD=AO∵OH+DH≥OD，∴O、D、H三點共線時，DH最小，∴DH最小=5?12如圖，當E、F重合時，則點E是AD的中點，設EC與BM的交于點N，∵AD∥BC，∴△DEG∽△BCG，∴DEBC∵AB∥CD，∴DMAB∴DM=12AB∴CM=12又∵BC＝CD，∠BCM＝∠CDE＝90°，∴△DCE≌△CBM（SAS），∴∠CBM＝∠DCE，BM＝CE，∵∠DCE+∠BCE＝90°，∴∠BCE+∠CBM＝90°，∴∠CNB＝90°，∵BM=BC∴CE=5∵S△BCM=12×BC×CM=1∴CN=5∴EN=3∵tan∠CBM=CN∴BN=2∴tan∠EBM=ENBN=如圖，連接AC交BE于K，連接KD，由正方形的對稱性質可得KB＝KD，∴∠KBD＝∠KDB，在點E的運動過程中，當∠EBD＝22，5°時，∠EBD＝∠KDB＝∠KDE＝22.5°＞∠EDH，∵∠DEH＝∠BED，∴∠DHE＞∠BDE，即∠DHE＞45°，此時DH不平分∠EHG，故②錯誤；故選：A．4．【解答】解：在?ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，∴△AEF∽△CDF，∴S△AEFS△CDF=（∵BE＝2AE，∴AB＝CD＝3AE，∴S△AEFS△CDF=（AECD）2＝（∵S△AFE＝1，∴S△CDF＝9，∵△AEF∽△CDF，∴EFFD∴S△AEF∴S△ADF＝3，∴S△ADC＝S△CDF+S△ADF＝9+3＝12．故選：C．5．【解答】解：如圖，連接格點B、D．∵BC=22+42=25AC=22+22=22∴AB＝BC．∵CD=2=∴BD⊥AC．在Rt△BCD中，sin∠ACB=BD故選：A．6．【解答】解：分為兩種情況：①當圓心O在∠BAC的內部時，如圖所示，過O作OE⊥AB于E，OD⊥AC于D，連接OA，∵OE⊥AB，OE過圓心O，AB＝32，∴AE＝BE=3由勾股定理得：OE=O即OE＝AE，∴∠BAO＝45°，∵OD⊥AB，OD過圓心O，AC＝3，∴AD＝CD=3∵OA＝3，∴AD=12∴∠AOD＝30°，∴∠CAO＝60°，∴∠BAC＝∠BAO+∠CAO＝45°+60°＝105°；②當O在∠BAC的外部時，由①得：∠CAO＝60°，∠BAO＝45°，所以∠BAC＝∠CAO﹣∠BAO＝60°﹣45°＝15°；故選：B．二．填空題（共7小題）7．【解答】解：∵直線y＝ax+b（ab≠0）經(jīng)過第一、二、三象限，∴a＞0，b＞0；∴拋物線y＝ax2+bx，開口向上，對稱軸在y軸左側，并經(jīng)過原點，∴拋物線y＝ax2+bx頂點在第三象限，故答案為：三．8．【解答】解：∵CB為⊙O的切線，∴OB⊥CB，∴∠OBC＝90°，∵四邊形OABC為平行四邊形，∴OA＝BC，而OA＝OB，∴OB＝BC，∴△OBC為等腰直角三角形，∴∠BOC＝45°，∴∠BDC=12∠故答案為：22.5°．9．【解答】解：如圖，延長CD到點E，連接BE，由題意得：DE2＝12+12＝2，EB2＝22+22＝8，BD2＝12+32＝10，∴DE2+EB2＝BD2，∴△DEB是直角三角形，∴sin∠EDB=EB∵∠ADC＝∠EDB，∴sin∠ADC=2故答案為：2510．【解答】解：連接OM，BM，∵PE為⊙O的切線，∴OM⊥PC，∵AC⊥PC，∴OM∥AC，∴∠CAM＝∠AMO，∵OA＝OM，∴∠OAM＝∠AMO，∴∠CAM＝∠OAM，即AM平分∠CAB，故①正確；∵AB為⊙O的直徑，∴∠AMB＝90°，∵∠CAM＝∠MAB，∠ACM＝∠AMB，∴△ACM∽△AMB，∴ACAM=AM∵∠APE＝30°，∴∠MOP＝∠OMP﹣∠APE＝90°﹣30°＝60°，∵AB＝4，∴OB＝2，∴BM的長為60×π×2180=2π∵BD⊥PC，AC⊥PC，∴BD∥AC，∴PBPA∴PB=13∴PB=12∴PB＝OB＝OA，∵sin∠OPM=OM∴∠OPM＝30°，∴∠CAP＝60°，∵AM平分∠CAP，∴∠MAP＝30°，∴tan∠MAP=33，故故答案為：①②④．11．【解答】解：∵∠CBE＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝140°，∵四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠D+∠ABC＝180°，∴∠D＝40°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA=12（180°﹣∠故答案為：70°．12．【解答】解：過D作DG∥AF交BC于G，∴BGGF∵AD：DB＝2：3，∴BGGF∵DG∥EF，∴CFFG∵點E是CD的中點，∴CFGF∴CF＝GF，∴BF：FC＝5：2，故答案為：5：2．13．【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，∵點A、B的坐標分別為（0，1）、（0，5），∴AB＝5﹣1＝4，設C點坐標為（x，0），在Rt△AOC中，AC=x在Rt△BOC中，BC=x∵AD⊥BC，且∠ACB＝30°，∴AD=12AC∴12AB?OC=12BC12×4x整理，可得x4﹣36x2+25＝0，解得：x＝23±7，∴C點坐標為（23+7，0）或（2故答案為：（23+7，0）或（2三．解答題（共3小題）14．【解答】（1）證明：∵AO＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠FAC＝∠ACO，∴∠FAC＝∠ACO，∴OC∥AF，∵CF⊥AF，∴OC⊥FC，∵OC為半徑，∴CF是⊙O的切線；（2）解：∵過點C作⊙O的切線CF，過A作AF⊥CF，∴∠OCF＝90°，∠AFC＝90°，∴∠ACO+∠ACF＝90°，∠CAO+∠ACE＝90°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠ACF＝∠ACE，在△ACF和△ACE中，∠AFC=∠AEC∠ACF=∠ACE∴△ACF≌△ACE（AAS），∴S△ACE＝S△ACF，∵弦CD⊥AB，∴BD=∴∠BCD＝∠CAB，∵sin∠CAB=2∴sin∠ECB=2設BE＝2a，則CB＝5a，∴CE=BC∴AC=52∴AE=AC∴S△BCD故答案為：82115．【解答】解：（1）將點A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，∴?1?b+c=0?9+3b+c=0∴c=3b=2∴y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，則y＝3，∴C（0，3），∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴D（1，4），對稱軸為直線x＝1，∴Q（1，0），設直線CD的解析式為y＝kx+b，∴b=3k+b=4∴k=1b=3∴y＝x+3，如圖1，過C點作CH垂直對稱軸交于點H，連接CP交對稱軸與點G，∵CH＝1，DH＝1，∴∠DCH＝45°，∵OC＝BO＝3，∴∠BCO＝45°，∵∠DCP＝∠BCQ，∴∠GCH＝∠OCQ，∵tan∠OCQ=1∴GH=1∴G（1，103設直線GC的解析式為y＝k'x+b'，∴k′+b′=10∴k′=1∴y=13聯(lián)立y=1∴x=5∴P（53，32（3）過點M作MK⊥CD交于點K，∵∠KDM＝45°，∴KM＝KD，∴DM=2MK∵A（﹣1，0），Q（1，0），∴AQ＝2，∵以點M為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，∴AM2＝MQ2+AQ2，即QM2＝AM2﹣4，∵圓M與直線CD相切，∴MK＝AM，∴QD＝DM+QM=2AM+∴AM＝42±23，∴DM＝8±26，∴QM＝﹣4+26或QM＝﹣4﹣26，∴M點的坐標為（1，﹣4+26）或（1，﹣4﹣26