專題09 函數(shù)的應(yīng)用（考點清單+知識導(dǎo)圖+ 12個考點清單-題型解讀）（原卷版）-25學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（人教A版必修一）

清單09集合及其運(yùn)算（12個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】函數(shù)零點的概念1、函數(shù)零點的概念對于一般函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.幾何定義:函數(shù)的零點就是方程的實數(shù)解,也就是函數(shù)的圖象與軸的公共點的橫坐標(biāo).

這樣：方程有實數(shù)解函數(shù)有零點函數(shù)的圖象與軸有公共點2、已學(xué)基本初等函數(shù)的零點①一次函數(shù)只有一個零點；②反比例函數(shù)沒有零點；③指數(shù)函數(shù)（且）沒有零點；④對數(shù)函數(shù)（且）只有一個零點1；⑤冪函數(shù)當(dāng)時，有一個零點0；當(dāng)時，無零點?！厩鍐?2】函數(shù)零點存在定理及其應(yīng)用1、函數(shù)零點存在定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程的解.說明：定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的;②.兩個條件缺一不可.2、函數(shù)零點的求法①代數(shù)法：根據(jù)零點定義，求出方程的實數(shù)解;②數(shù)形結(jié)合法：作出函數(shù)圖象，利用函數(shù)性質(zhì)求解3、函數(shù)零點個數(shù)的判斷①利用代數(shù)法，求出所有零點；②數(shù)形結(jié)合，通過作圖，找出圖象與軸交點的個數(shù)；③數(shù)形結(jié)合，通過分離，將原函數(shù)拆分成兩個函數(shù)，找到兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù)；④函數(shù)零點唯一：函數(shù)存在零點+函數(shù)單調(diào).【清單03】二次函數(shù)的零點問題一元二次方程的實數(shù)根也稱為函數(shù)的零點.當(dāng)時，一元二次方程的實數(shù)根、二次函數(shù)的零點之間的關(guān)系如下表所示：的實數(shù)根（其中）方程無實數(shù)根的圖象的零點函數(shù)無零點【清單04】區(qū)間中點對于區(qū)間，其中點【清單05】二分法1、二分法的概念對于在區(qū)間上圖象連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷的把它的零點所在區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法（bisection)2、用二分法求零點的近似值給定精確度，用二分法求函數(shù)零點的近似值的一般步驟如下：（1）確定零點的初始區(qū)間，驗證；（2）求區(qū)間的中點（3）計算;①若（此時)，則就是函數(shù)的零點；②若（此時)，則令；③若（此時)，則令；（4）判斷是否達(dá)到精確度，若，則得到零點近似值(或)，否則重復(fù)2--4【清單06】常見函數(shù)模型1、一次函數(shù)模型（，為常數(shù)）2、反比例函數(shù)模型（）3、二次函數(shù)模型（）4、指數(shù)函數(shù)模型（且，）5、對數(shù)函數(shù)模型（且，）6、冪函數(shù)模型（，）7、分段函數(shù)模型：兩種或兩種以上上述六種模型的綜合8、對勾函數(shù)模型：【考點題型一】求函數(shù)的零點核心方法：令（注意零點不是點，零點是數(shù)）【例1】（24-25高三上·上海松江·期中）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點是.【變式1-1】（23-24高一上·福建三明·期中）函數(shù)的零點為（

）A． B． C．0 D．1【變式1-2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則（

）A． B． C． D．【變式1-3】（24-25高一上·云南昆明·期中）函數(shù)的兩個零點為，則=【考點題型二】求函數(shù)零點個數(shù)【例2】（23-24高一下·貴州遵義）函數(shù)的零點個數(shù)為.【變式2-1】（多選）（23-24高一下·河北石家莊）下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且存在零點的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（24-25高一上·北京）函數(shù)的零點有個．【考點題型三】判斷函數(shù)零點所在區(qū)間核心方法：零點存在性定理【例3】（24-25高三上·湖北·期中）已知函數(shù)，那么在下列區(qū)間中含有函數(shù)零點的是（

）A． B． C． D．【變式3-1】（23-24高一下·四川達(dá)州·期中）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式3-2】（23-24高一下·海南·階段練習(xí)）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（

）A．0,1 B． C．2,3 D．【考點題型四】已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍（核心考點）核心方法：圖象法【例4】（24-25高二上·寧夏·期中）定義為a，b的最大值，函數(shù)的最小值為c．函數(shù)，如果函數(shù)有三個零點，則實數(shù)k的取值范圍為．【變式4-1】（24-25高一上·北京·期中）已知函數(shù)，則使方程有解的實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)至少有一個零點在區(qū)間內(nèi)，求實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C． D．或【考點題型五】根據(jù)零點（根）所在區(qū)間求參數(shù)核心方法：零點存在性定理【例5】（23-24高一下·云南玉溪）若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是.【變式5-1】（23-24高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知函數(shù)在上有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式5-2】（24-25高一上·江蘇淮安·階段練習(xí)）若函數(shù)的零點在區(qū)間，內(nèi)，則．【考點題型六】用二分法求函數(shù)的零點的近似值核心方法：二分法【例6】（23-24高一上·江西吉安·期末）用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算發(fā)現(xiàn)，，可得其中一個零點，則第二次還需計算函數(shù)值（

）A． B． C． D．【變式6-1】（22-23高一下·浙江杭州·期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點的是（

）A． B． C． D．【變式6-2】（24-25高一上·北京·期中）用二分法求函數(shù)的零點，經(jīng)過若干次運(yùn)算后函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，當(dāng)（為精確度）時，函數(shù)零點的近似值與真實零點的誤差的取值范圍為（

）A． B． C． D．【考點題型七】指數(shù)函數(shù)模型【例7】（24-25高一上·江蘇常州·期中）教室通風(fēng)的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進(jìn)室外的新鮮空氣.按照國家標(biāo)準(zhǔn)，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為，經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風(fēng)后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達(dá)到國家標(biāo)準(zhǔn)需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（

）（參考數(shù)據(jù)，）A．6 B．7 C．10 D．11【變式7-1】（24-25高三上·四川成都·階段練習(xí)）核燃料是重要的能量來源之一，在使用核燃料時，為了冷卻熔化的核燃料，可以不斷向反應(yīng)堆注入水，但會產(chǎn)生大量放射性核元素污染的冷卻水，稱為核廢水.核廢水中含有一種放射性同位素氚，它有可能用輻射損傷細(xì)胞和組織，影響生物的繁殖和生態(tài)平衡.已知氚的半衰期約為12年，則氚含量變成初始量的大約需要經(jīng)過（

）年.（）A．155 B．159 C．162 D．166【變式7-2】（24-25高三上·陜西咸陽·期中）酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：血液中酒精含量達(dá)到的駕駛員即為酒后駕車，g及以上認(rèn)定為醉酒駕車.假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量會以每小時的速度減少，那么他大約經(jīng)過小時才能駕駛.（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【考點題型八】對數(shù)函數(shù)數(shù)模型【例8】（24-25高三上·江蘇泰州·期中）盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)對地震有所了解，例如，地震時釋放出來的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級之間的關(guān)系為．黃海是我國東部中強(qiáng)地震多發(fā)區(qū)之一，2013年4月21日，黃海海域發(fā)生里氏5.0級地震，2015年8月6日黃海海域發(fā)生里氏4.0級地震，前一次地震所釋放出來的能量約是后一次的（

）倍．（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：，，，）A．29 B．30 C．31 D．32【變式8-1】（24-25高一上·浙江寧波·期中）中國5G技術(shù)領(lǐng)先世界，其數(shù)學(xué)原理之一便是香農(nóng)公式：，它表示：在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速率取決于信道帶寬、信道內(nèi)信號的平均功率、信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫信噪比.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，將信噪比從2000提升至10000，則大約增加了（

）A． B． C． D．【變式8-2】（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級(單位：dB)與聲音強(qiáng)度x(單位：)滿足.噴氣式飛機(jī)起飛時，聲音的等級約為140dB．若噴氣式飛機(jī)起飛時聲音強(qiáng)度約為一般說話時聲音強(qiáng)度的倍，則一般說話時聲音的等級約為（

）A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB【考點題型九】擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題【例9】（24-25高一上·重慶·期中）為了緩解交通壓力，需要限定汽車速度，交管部門對某路段作了調(diào)研，得到了某時間段內(nèi)的車流量（千輛/小時）和汽車平均速度（千米/小時）的下列數(shù)據(jù)：10304060700.8684.83.5為了描述車流量和汽車平均速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：，，(1)選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，請說明理由并計算的值；(2)計算該路段最大車流量及最大車流量時汽車的平均速度．【變式9-1】（24-25高一上·四川成都·期中）某工藝品售賣店，為了更好地進(jìn)行工藝品售賣，進(jìn)行了銷售情況的調(diào)查研究．通過對每天銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn)：該工藝品在過去一個月（以30天計），每件的銷售價格（單位：元）與時間第天的函數(shù)關(guān)系近似滿足，（），日銷售量（單位：件）與時間第天的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日銷售收入為505元．(1)求的值；(2)給出以下三個函數(shù)模型：①；②；③．根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)模型來描述在過去一個月內(nèi)日銷售量與時間第天的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)解析式及定義域；(3)設(shè)在過去一個月內(nèi)該工藝品的日銷售收入為（單位：元），求的最小值．【變式9-2】（24-25高三上·上海·期中）茶是中華民族的舉國之飲，發(fā)于神農(nóng)，聞于魯周公，始于唐朝，興于宋代，中國茶文化起源久遠(yuǎn)，歷史悠久，文化底蘊(yùn)深厚，是我國文化中的一朵瑰寶！我國人民歷來就有“客來敬茶”的習(xí)慣，這充分反映出中華民族的文明和禮貌.現(xiàn)代研究成果顯示，茶水的口感與水的溫度有關(guān).經(jīng)實驗表明，用的水泡制，待茶水溫度降至?xí)r，飲用口感最佳.東雅中學(xué)利用課余時間開設(shè)了活動探究課《中國茶文化》，某實驗小組為探究室溫下剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時間，每隔1min測量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時間變化的數(shù)據(jù)如下表：時間012345水溫1009182.978.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從經(jīng)過后溫度變?yōu)?，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出最符合上述實驗的函數(shù)模型，并根據(jù)前3組數(shù)據(jù)求出該解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時間（精確到0.01）（參考數(shù)據(jù)：）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實，求進(jìn)行實驗時的室溫約為多少.【考點題型十】零點個數(shù)問題（解答題）【例10】（24-25高一上·寧夏銀川·期中）已知函數(shù)的解析式為(1)畫出這個函數(shù)的圖象，并解不等式；(2)若直線（為常數(shù)）與函數(shù)的圖象有兩個公共點，直接寫出的范圍．【變式10-1】（18-19高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上有最大值，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)在上有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.【變式10-2】（24-25高一上·湖北宜昌·期中）若函數(shù)在區(qū)間上的值域恰為，則稱區(qū)間為的一個“倒域區(qū)間”.已知定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.(1)求的解析式；(2)若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的根，求的取值范圍；(3)求函數(shù)在定義域內(nèi)的所有“倒域區(qū)間”.【考點題型十一】零點代數(shù)和問題【例11】（24-25高一上·江蘇·期中）記函數(shù)的兩個零點為，．(1)若，，求m的取值范圍；(2)若，求的最值．【變式11-1】（24-25高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，(1)求的表達(dá)式；(2)若函數(shù)的圖象與直線有四個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍；(3)在（2）的條件下，設(shè)四個交點的橫坐標(biāo)分別為，，，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【變式11-2】（23-24高一上·重慶·期中）函數(shù)，其中為常數(shù)，有這5個不同的實數(shù)解，并且有．(1)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，并求的取值范圍（用表示）；(2)若，求的最小值．【考點題型十二】函數(shù)與方程綜合【例12-1】（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù).(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若方程有兩個不等實根，，且，求的取值范圍.【例12-2】（23-24高一上·江蘇泰州·期中）對于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，且，滿足，則稱為“弱偶函數(shù)”.若在定義域內(nèi)存在實數(shù)，滿足，則稱為“弱奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“弱奇函數(shù)”或“弱偶函數(shù)”；（直接寫出結(jié)論）(2)已知函數(shù)，試判斷為其定義域上的“弱奇函數(shù)”，若是，求出所有滿足的的值，若不是，請說明理由；(3)若為其定義域上的“弱奇函數(shù)”.求實數(shù)取值范圍.【變式12-1】（24-25高一上·上海徐匯·期中）利用數(shù)形結(jié)合，構(gòu)造函數(shù)研究方程與不等式問題是解決抽象代數(shù)問題的捷徑.(1)已知函數(shù),若對任意，恒成立，求：實數(shù)的取值范圍.(2)設(shè)，若存在定義域為的函數(shù)同時滿足①，②兩個條件，求：a的取值范圍.①對于任意，的值為或；②關(guān)于的方程無實數(shù)解．(3)已知函數(shù)，若方程有實根，求：集合的元素的可能個數(shù).【變式12-2】（24-25高一上·上?！て谥校┮阎?(1)若，證明：，并指出等號成立的條件;(2)已知，設(shè)關(guān)于的方程的兩個非零實數(shù)根為，問是否存在，使得對任意以及恒成立，若存在請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高一上·遼寧撫順·期中）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，一定包含零點的區(qū)間的是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·河南新鄉(xiāng)·期中）某花店銷售某品種鮮花，當(dāng)每束鮮花的售價為50元時，花店每天可以賣出18束鮮花；當(dāng)每束鮮花的售價每降低1元時，花店當(dāng)天可以多賣出1束鮮花．要使得該店該品種鮮花的日銷售額最大，則每束鮮花的售價應(yīng)為（

）A．16元 B．18元 C．32元 D．34元3．（24-25高一上·江西·期中）單位時間內(nèi)通過道路上指定斷面的車輛數(shù)被稱為“道路容量”，與道路設(shè)施、交通服務(wù)、環(huán)境、氣候等諸多條件相關(guān).假設(shè)某條道路一小時通過的車輛數(shù)滿足關(guān)系，其中為安全距離，為車速.當(dāng)安全距離取40m時，該道路一小時“道路容量”的最大值約為（

）A．110 B．116 C．119 D．1224．（24-25高一上·遼寧·期中）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·北京·期中）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．36．（24-25高三上·河南·期中）放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律為：，其中指初始質(zhì)量，為衰變時間，為半衰期，為衰變后剩余的質(zhì)量.已知甲、乙兩種放射性物質(zhì)的半衰期分別為（單位：天），若兩種物質(zhì)的初始質(zhì)量相同，1024天后發(fā)現(xiàn)甲的質(zhì)量是乙的質(zhì)量的8倍，則（

）A． B． C． D．7．（24-25高三上·遼寧·期中）已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的兩個點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·福建龍巖·期中）已知是上的偶函數(shù)，對于任意的，都有成立，且，當(dāng)且時，都有成立.現(xiàn)給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在上為嚴(yán)格增函數(shù)；④方程在上有4個根.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4二、多選題9．（24-25高三上·山東菏澤·期中）已知函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．10．（24-25高一上·陜西榆林·期中）定義域和值域均為?a,a的函數(shù)y=fx和y=gx的圖象如圖所示，其中，則（

A．方程有且僅有3個解 B．方程有且僅有3個解C．方程有且僅有5個解 D．方程有且僅有1個解三、填空題11．（24-25高一上·山東·期中）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程至少有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.12．（24-25高一上·浙江寧波·期中）已知函數(shù)，若，，滿足，記，則的取值范圍為．四、解答題13．（24-25高一上·山東·期中）某物流基地今年初用49萬元購進(jìn)一臺大型運(yùn)輸車用于運(yùn)輸.若該基地預(yù)計從第1年到第n年花在該臺運(yùn)輸車上的維護(hù)費用總計為萬元，該車每年運(yùn)輸收入為23萬元.(1)該車運(yùn)輸幾年開始盈利?（即總收入減去成本及維護(hù)費用的差為正值）(2)若該車運(yùn)輸若干年后，處理方案有兩種：①當(dāng)年平均盈利達(dá)到最大值時，以17萬元的價格賣出；②當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時，以8萬元的價格賣出.哪一種方案較為合算?請說明理由.14．（24-25高一上·陜西西安·期中）設(shè)函數(shù)，(1)在坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；(2)討論方程，解的情況.15．（24-25高一上