2024-2025學年年八年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷18.2 勾股定理的逆定理(2)(含答案)-

2024-2025學年年八年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷18.2勾股定理的逆定理(2)(含答案)-18.2勾股定理的逆定理（2）知識領航1．應用勾股定理及其逆定理解決簡單的實際問題，建立數(shù)學模型．2．體會從“形”到“數(shù)”和從“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)轉(zhuǎn)化、推理的能力.AMENCB【例】如圖，南北向MN為我國領域，即MN以西為我國領海，以東為公海.上午9時50分，我反走私A艇發(fā)現(xiàn)正東方向有一走私艇C以13海里/時的速度偷偷向我領海開來，便立即通知正在MN線上巡邏的我國反走私艇B.已知A、C兩艇的距離是13海里，A、B兩艇的距離是5海里；反走私艇測得離CAMENCB分析：為減小思考問題的“跨度”，可將原問題分解成下述“子問題”：（1）△ABC是什么類型的三角形？（2）走私艇C進入我領海的最近距離是多少？（3）走私艇C最早會在什么時間進入？這樣問題就可迎刃而解.解：設MN交AC于E，則∠BEC=900.又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2，∴△ABC是直角三角形，∠ABC=900.又∵MN⊥CE，∴走私艇C進入我領海的最近距離是CE，則CE2+BE2=144，（13-CE）2+BE2=25，得26CE=288，∴CE=.÷≈0.85（小時），0.85×60=51（分）.9時50分+51分=10時41分.答：走私艇最早在10時41分進入我國領海.練習提高一、仔細讀題，一定要選擇最佳答案喲！1.如果下列各組數(shù)是三角形的三邊，那么不能組成直角三角形的一組數(shù)是()A.7,24,25B.3,4,5C.3,4,5D.4,7,82．在下列說法中是錯誤的（）A．在△ABC中，∠C＝∠A一∠B，則△ABC為直角三角形.B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝5：2：3，則△ABC為直角三角形.C．在△ABC中，若a＝c，b＝c，則△ABC為直角三角形.D．在△ABC中，若a：b：c＝2：2：4，則△ABC為直角三角形.3.有六根細木棒，它們的長度分別為2，4，6，8，10，12（單位：cm），從中取出三根首尾順次連接搭成一個直角三角形，則這根木棒的長度分別為（）A．2，4，8B.4,8,10C.6,8,10D.8,10,124．將勾股數(shù)3，4，5擴大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股數(shù)6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，則我們把3，4，5這樣的勾股數(shù)稱為基本勾股數(shù)，請你也寫出三組基本勾股數(shù),,.5．若三角形的兩邊長為4和5，要使其成為直角三角形，則第三邊的長為.6．若一個三角形的三邊之比為5：12：13，且周長為60cm，則它的面積為.二、認真解答，一定要細心喲！DBCA7．如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=20cm，D是腰AB上一點，且CD=16cm，BD=12cmDBCA8．如圖，三個村莊A、B、C之間的距離分別為AB=5km,BC=12km,AC=13km.要從B修一條公路BD直達AC.已知公路的造價為26000元/km，求修這條公路的最低造價是多少？BB125C13DA9．如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹高AB.BBACD.ACPB10．如圖，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，P是△ABC內(nèi)的一點，且PB=1，PC=2，PA=3，求ACPB答案：1.B2.D3.C4.5，12，13;8，15，17;11，60，61（此題答案不唯一）5.3或6.120cm27.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥ABACPBE第10題圖又AC=AB=BD+ADACPBE第10題圖在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故△ABC的周長為2AB+BC=cm8.由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，由面積關系可求出公路的最短距離BD=km，∴最低造價為120000元9.設AD=x米，則AB為（10+x）米，AC為（15-x）米，BC為5米，∴(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，∴10+x=12（米）10．如圖，將△APC繞點C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE為等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+PB2=BE2,則∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.18.2勾股定理的逆定理◆回顧歸納1．如果△ABC的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，則△ABC是______三角形，_____=90°，這個定理叫做_______．2．一個命題成立，那么它的逆命題_______成立．◆課堂測控測試點一勾股定理的逆定理1．已知△ABC的三邊長a，b，c分別為6，8，10，則△ABC______（填“是”或“不是”）直角三角形．2．△ABC中，AB=7，AC=24，BC=25，則∠A=______．3．△ABC的三邊分別為下列各組值，其中不是直角三角形三邊的是（）A．a(chǎn)=41，b=40，c=9B．a(chǎn)=1.2，b=1.6，c=2C．a(chǎn)=，b=，c=D．a(chǎn)=，b=，c=14．（分析判斷題）在解答“判斷由長為，2，的線段組成的三角形是不是直角三角形”一題中，小明是這樣做的：解：設a=，b=2，c=．因為a2+b2=（）2+22==c2．所以由a，b，c組成的三角形不是直角三角形，你認為小明的解答正確嗎？請說明理由．測試點二逆命題與逆定理5．下列各命題都成立，寫出它們的逆命題，這些逆命題成立嗎？（1）內(nèi)錯角相等，兩直線平行；（2）對頂角相等；（3）全等三角形的對應角相等；（4）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等．◆課后測控1．以下列數(shù)組為三角形的邊長：（1）5，12，13；（2）10，12，13；（3）7，24，25；（4）6，8，10，其中能構(gòu)成直角三角形的有（）A．4組B．3組C．2組D．1組2．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，如圖，其中正確的是（）3．下列命題中，真命題是（）A．如果三角形三個角的度數(shù)比是3：4：5，那么這個三角形是直角三角形B．如果直角三角形兩直角邊的長分別為a和b，那么斜邊的長為a2+b2C．若三角形三邊長的比為1：2：3，則這個三角形是直角三角形D．如果直角三角形兩直角邊分別為a和b，斜邊為c，那么斜邊上的高h的長為4．下列命題的逆命題是真命題的是（）A．若a=b，則a2=b2B．全等三角形的周長相等C．若a=0，則ab=0D．有兩邊相等的三角形是等腰三角形5．△ABC中，BC=n2－1，AC=2n，AB=n2+1（n>1），則這個三角形是______．6．如果三角形的三邊長為1.5，2，2.5，那么這個三角形最短邊上的高為______．7．A，B，C三地的位置及兩兩之間的距離如圖所示，則點C在點B的方位是_____．8．如圖所示，四邊形ABCD中，BA⊥DA，AB=2，AD=2，CD=3，BC=5，求∠ADC的度數(shù)．9．寫出下列命題的逆命題，并判斷真假．（1）如果a=0，那么ab=0；（2）如果x=4，那么x2=16；（3）面積相等的三角形是全等三角形；（4）如果三角形有一個內(nèi)角是鈍角，則其余兩個角是銳角；（5）在一個三角形中，等角對等邊．10．如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，問過3秒時，△BPQ的面積為多少？◆拓展創(chuàng)新3，4，532+42=525，12，1352+122=1327，24，2572+242=2529，40，4192+402=412……17，b，c172+b2=c211．能夠成為直角三角形三邊長的三個正整數(shù)，我們稱之為一組勾股數(shù)，觀察下列表格所給出的三個數(shù)a，b，c，a<b<c．（1）試找出它們的共同點，并證明你的結(jié)論．（2）寫出當a=17時，b，c的值．答案回顧歸納1．直角，∠C，勾股定理的逆定理2．不一定課堂測控1．是2．90°點撥：BC2=AB2+AC23．C點撥：計算兩短邊的平方和與最長邊的平方比較．4．不正確．因為<2，<2，且（）2+（）2=22，即a2+c2=b2，所以此三角形為直角三角形．5．（1）兩直線平行，內(nèi)錯角相等．成立．（2）如果兩個角相等，那么它們是對頂角，不成立．（3）如果兩個三角形的對應角相等，則它們?nèi)龋怀闪ⅲ?）如果兩個實數(shù)的絕對值相等，那么它們相等，不成立．課后測控1．B點撥：有（1）（3）（4）三組．2．C3．D4．D5．直角三角形點撥：BC2+AC2=AB2．6．7．正南方向8．∵AB⊥AD，AB=2，AD=2，∴BD==4，∴AB=BD，∠ADB=30°，∵BD2+DC2=42+32=52，∴BD2+DC2=BC2．∴∠BDC=90°，∴∠ADC=120°．9．（1）的逆命題是：如果ab=0，那么a=0，它是一個假命題．（2）的逆命題是：如果x2=16，那么x=4，它是一個假命題．（3）的逆命題是：全等三角形的面積相等．它是一個真命題．（4）的逆命題是：如果三角形有兩個內(nèi)角是銳角，那么另一個內(nèi)角是鈍角，它是一個假命題．（5）的逆命題是：在一個三角形中，等邊對等角，它是一個真命題．10．先求AB=9，BC=12，AC=15，由AB2+BC2=AC2可得△ABC是直角三角形．所以S△PBQ=BP·BQ=×（9－3）×6=18cm2．拓展創(chuàng)新11．（1）以上各組數(shù)的共同點可以從以下方面分析：①以上各組數(shù)均滿足a2+b2=c2；②最小的數(shù)（a）是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)是連續(xù)的正整數(shù)；③最小奇數(shù)的平方等于另兩個連續(xù)整數(shù)的和，如32=9=4+5，52=25=12+13，72=49=24+25，92=81=40+41…由以上特點我們可猜想并證明這樣一個結(jié)論：設m為大于1的奇數(shù)，將m2拆分為兩個連續(xù)的整數(shù)之和，即m2=n+（n+1），則m，n，n+1就構(gòu)成一組簡單的勾股數(shù)．證明：∵m2=n+（n+1）（m為大于1的奇數(shù)），∴m2+n2=2n+1+n2=（n+1）2，∴m，n，（n+1）是一組勾股數(shù)．（2）運用以上結(jié)論，當a=17時，∵172=289=144+145，∴b=144，c=145．18.2勾股定理的逆定理(一)一、判斷題(每小題3分,共12分)1.在一個三角形中，如果一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這條邊所對的角是直角.()2.命題：“在一個三角形中，有一個角是30°，那么它所對的邊是另一邊的一半.”的逆命題是真命題.()3.勾股定理的逆定理是：如果兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.()4.△ABC的三邊之比是1：1：，則△ABC是直角三角形.()二、認真選一選(每小題5分,共25分)1.△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（）A.如果∠C－∠B=∠A，則△ABC是直角三角形B.如果c2=b2—a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90°C.如果（c＋a）（c－a）=b2，則△ABC是直角三角形D.如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形2.下列四條線段不能組成直角三角形的是（）A.a=8，b=15，c=17B.a=9，b=12，c=15C.a=，b=，c=D.a：b：c=2：3：43.以下面每組中的三條線段為邊的三角形中，是直角三角形的是（）A.5cm，12cm，13cmB.5cm，8cm，11cmC.5cm，13cm，11cmD.8cm，13cm，11cm4.⊿ABC中，如果三邊滿足關系=+，則⊿ABC的直角是（）A.∠CB.∠AC.∠BD.不能確定5.三角形的三邊長a、b、c滿足，則此三角形是（）A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形二、請你填一填(每小題5分,共25分)1.若一個三角形的三邊長分別是m+1，m+2，m+3，則當m=，它是直角三角形.2.在⊿ABC中，若，則最大邊上的高為.3.一個三角形的三邊之比為，且周長為60cm，則它的面積是.4.三角形的兩邊長為5和4，要使它成為直角三角形，則第三邊的平方為.5.小強在操場上向東走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小強在操場上向東走了80m后，又走60m的方向是.四、解答題(共38分)1.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？⑴a=，b=，c=;⑵a=5，b=7，c=9;⑶a=2，b=，c=;⑷a=5，b=，c=1.2.（10分）如圖，在操場上豎直立著一根長為2米的測影竿，早晨測得它的影長為4米，中午測得它的影長為1米，則A、B、C三點能否構(gòu)成直角三角形？為什么？3.（10分）如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘后同時到達C地將其攔截。已知甲巡邏艇每小時航行120海里，乙巡邏艇每小時航行50海里，航向為北偏西40°，問：甲巡邏艇的航向？18.2勾股定理的逆定理(二)一、敘述下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否正確(每小題4分,共16分)1.如果a3＞0，那么a2＞0.2.如果三角形有一個角小于90°，那么這個三角形是銳角三角形.3.如果兩個三角形全等，那么它們的對應角相等4.關于某條直線對稱的兩條線段一定相等二、請你填一填(每小題5分,共25分)1.任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有.2.“兩直線平行，內(nèi)錯角相等?！钡哪娑ɡ硎?3.在△ABC中，若a2=b2－c2，則△ABC是三角形，是直角；若a2＜b2－c2，則∠B是.4.若在△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2＋n2，則△ABC是三角形.5.一根24米繩子，折成三邊為三個連續(xù)偶數(shù)的三角形，則三邊長分別為，此三角形的形狀為.三、解答題(共59分)1.已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，分別為下列長度，判斷該三角形是否是直角三角形？并指出那一個角是直角？⑴a=9，b=41，c=40；⑵a=15，b=16，c=6；⑶a=2，b=，c=4；⑷a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）2.（8分）鐵絲AC=15米，AD=13米，又測得地面上B、C兩點之間距離是9米，B、D兩點之間距離是5米，則電線桿和地面是否垂直，為什么？3.（6分）若△ABC的三邊a、b、c，滿足a：b：c=1：1：，判斷△ABC的形狀.4.（8分）已知：如圖，四邊形ABCD，AB=1，BC=，CD=，AD=3，且AB⊥BC.求：四邊形ABCD的面積.5.（8分）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，且CD2=AD·BD.求證：△ABC中是直角三角形.6.（9分）如圖，小明的爸爸在魚池邊開了一塊四邊形土地種了一些蔬菜，爸爸讓小明計算一下土地的面積，以便計算一下產(chǎn)量。小明找了一卷米尺，測得AB=4米，BC=3