2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷27.2.2 相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用舉例 課后能力提升專練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷27.2.2相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用舉例課后能力提升專練(含答案)第2課時(shí)相似三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用舉例1．已知平行四邊形ABCD與平行四邊形A′B′C′D′相似，AB＝3，對(duì)應(yīng)邊A′B′＝4，若平行四邊形ABCD的面積為18，則平行四邊形A′B′C′D′的面積為()A.eq\f(27,2)B.eq\f(81,8)C．24D．322．若把△ABC的各邊長(zhǎng)分別擴(kuò)大為原來的5倍，得到△A′B′C′，則下列結(jié)論不可能成立的是()A．△ABC∽△A′B′C′B．△ABC與△A′B′C′的相似比為eq\f(1,6)C．△ABC與△A′B′C′的各對(duì)應(yīng)角相等D．△ABC與△A′B′C′的相似比為eq\f(1,5)3．如圖27-2-24，球從A處射出，經(jīng)球臺(tái)邊擋板CD反射到B，已知AC＝10cm，BD＝15cm，CD＝50cm，則點(diǎn)E距離點(diǎn)C()A．40cmB．30cmC．20cmD．10cm圖27-2-24圖27-2-254．已知△ABC和△DEF相似且對(duì)應(yīng)中線的比為3∶4，則△ABC和△DEF的周長(zhǎng)比為____________．5．高為3米的木箱在地面上的影長(zhǎng)為12米，此時(shí)測(cè)得一建筑物在水面上的影長(zhǎng)為36米，則該建筑物的高度為______米．6．如圖27-2-25，在等腰梯形ABCD中，AD∥CB，且AD＝eq\f(1,2)BC，E為AD上一點(diǎn)，AC與BE交于點(diǎn)F，若AE∶DE＝2∶1，則eq\f(S△AEF,S△CBF)＝________.7．如圖27-2-26，直立在B處的標(biāo)桿AB＝2.4m，直立在F處的觀測(cè)者從E處看到標(biāo)桿頂A、樹頂C在同一條直線上(點(diǎn)F，B，D也在同一條直線上)．已知BD＝8m，F(xiàn)B＝2.5m，人高EF＝1.5m，求樹高CD.圖27-2-268．如圖27-2-27是測(cè)量旗桿的方法，已知AB是標(biāo)桿，BC表示AB在太陽光下的影子，下列敘述錯(cuò)誤的是()A．可以利用在同一時(shí)刻，不同物體與其影長(zhǎng)的比相等來計(jì)算旗桿的高B．只需測(cè)量出標(biāo)桿和旗桿的影長(zhǎng)就可計(jì)算出旗桿的高C．可以利用△ABC∽△EDB，來計(jì)算旗桿的高D．需要測(cè)量出AB，BC和DB的長(zhǎng)，才能計(jì)算出旗桿的高圖27-2-27圖27-2-289．如圖27-2-28，在?ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，DE＝eq\f(1,2)CD.(1)求證：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面積為2，求?ABCD的面積．10．(2011年廣東中考改編)如圖27-2-29(1)，將一個(gè)正六邊形各邊延長(zhǎng)，構(gòu)成一個(gè)正六角星形AFBDCE，它的面積為1；(1)取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如圖27-2-29(2)中陰影部分，求正六角星形A1F1B1D1C1E1的面積；(2)取△A1B1C1和△D1E1F1各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如圖27-2-29(3)中陰影部分，求正六角星形A2F2B2D2C2E2的面積.(3)取△A2B2C2和△D2E2F2各邊中點(diǎn)，連接成正六角星形A3F3B3D3C3E3，依此法進(jìn)行下去，試推測(cè)正六角星形AnFnBnDnCnEn的面積.圖27-2-29參考答案1．D2.B3.C4．3∶45.96.eq\f(1,9)7．解法一：如圖D57，過點(diǎn)E作EG⊥CD，交CD于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)H.圖D57因?yàn)锳B⊥FD，CD⊥FD，所以四邊形EFBH、EFDG是矩形．所以EF＝HB＝GD＝1.5，EH＝FB＝2.5，AH＝AB－HB＝2.4－1.5＝0.9，CG＝CD－GD＝CD－1.5，EG＝FD＝FB＋BD＝2.5＋8＝10.5.因?yàn)锳B∥CD，所以△EHA∽△EGC.所以eq\f(EH,EG)＝eq\f(AH,CG)，即CG＝eq\f(AH·EG,EH)＝eq\f(0.9×10.5,2.5)＝3.78.所以CD＝CG＋GD＝3.78＋1.5＝5.28，故樹高CD為5.28m.解法二：如圖D58，延長(zhǎng)CE，交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.圖D58設(shè)PF＝x，因?yàn)镋F∥AB，所以△PEF∽△PAB.所以eq\f(PF,PB)＝eq\f(EF,AB)，即eq\f(x,x＋2.5)＝eq\f(1.5,2.4)，解得x＝eq\f(25,6)，即PF＝eq\f(25,6).因?yàn)镋F∥CD，所以△PFE∽△PDC.所以eq\f(PF,PD)＝eq\f(EF,CD)，即eq\f(PF,PF＋FB＋BD)＝eq\f(EF,CD)，eq\f(\f(25,6),\f(25,6)＋2.5＋8)＝eq\f(1.5,CD).解得CD＝5.28.故樹高CD為5.28m.8．B9．(1)證明：∵AB∥CE，∴∠ABF＝∠E.∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠A＝∠C，∴△ABF∽△CEB.(2)解：∵DE＝eq\f(1,2)CD，∴DE＝eq\f(1,3)EC.由DF∥BC，得△EFD∽△EBC.∴eq\f(S△EFD,S△EBC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,EC)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).∴S△EBC＝9S△EFD＝9×2＝18.S四邊形BCDF＝S△EBC－S△EFD＝18－2＝16.由AB∥DE，得△ABF∽△DEF.∴eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DE,AB)))2＝eq\f(1,4).∴S△ABF＝4S△DEF＝4×2＝8.∴S四邊形ABCD＝S△ABF＋S四邊形BCDF＝8＋16＝24.10．解：(1)∵正六角星形A1F1B1D1C1E1是取△ABC和△DEF各邊中點(diǎn)構(gòu)成的，∴正六角星形AFBDCE∽正六角星形A1F1B1D1C1E1，且相似比為2∶1.∴＝＝22.∴＝eq\f(1,4).(2)同(1)，得＝4，∴＝eq\f(1,16).(3)＝eq\f(1,4n).27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.在同一時(shí)刻同一個(gè)地點(diǎn)物體的高度與自身的影長(zhǎng)的關(guān)系是()A.成反比例B.成正比例C.相等D.不成比例2.如圖27-2-2-1,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12m,EC=15m,BC=30m,則AB=____m.圖27-2-2-1圖27-2-2-2圖27-2-2-33.已知A,B兩地相距300km,在地圖上量得兩地相距15cm,則圖上距離與實(shí)際距離之比為___________.4.某一時(shí)刻,測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)為8m,李明測(cè)得小芳的影長(zhǎng)為1m,已知小芳的身高為1.5m,則旗桿的高度是_______________m.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.如圖27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件:(1)∠APB=∠EPC;(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中點(diǎn);(4)BP∶BC=2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)2.如圖27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,DB=2,則DE∶BC的值為()A.B.C.D.3.圖27-2-2-4所示是用杠桿撬石頭的示意圖,C是支點(diǎn),當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí),杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),另一端B向上翹起,石頭就會(huì)被撬動(dòng).現(xiàn)有一塊石頭,要使其滾動(dòng),杠桿的B端必須向上翹起10cm,已知杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為5∶1,則要使這塊石頭滾動(dòng),至少要將杠桿的A端下壓()A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm圖27-2-2-4圖27-2-2-5圖27-2-2-64.如圖27-2-2-5所示,要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A,B的距離,先從B處出發(fā)與AB成90°角方向,向前走80米到C處立一標(biāo)桿,然后方向不變向前走50米至D處,在D處轉(zhuǎn)90°,沿DE方向走30米,到E處,使A(目標(biāo)物),C(標(biāo)桿)與E在同一條直線上,那么可測(cè)得A,B間的距離是_______.5.如圖27-2-2-6,為了測(cè)量一棵樹CD的高度,測(cè)量者在B點(diǎn)立一高為2米的標(biāo)桿,觀測(cè)者從E處可以看到桿頂A,樹頂C在同一條直線上.若測(cè)得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求樹高.6.如圖27-2-2-7,一圓柱形油桶,高1.5米,用一根長(zhǎng)2米的木棒從桶蓋小口A處斜插桶內(nèi)另一端的B處,抽出木棒后,量得上面沒浸油的部分為1.2米,求桶內(nèi)油面的高度.圖27-2-2-7三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.如圖27-2-2-8,電燈P在橫桿AB的正上方,AB在燈光下的影子為CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,點(diǎn)P到CD的距離是3m,則P到AB的距離是()圖27-2-2-8A.mB.mC.mD.m2.如圖27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的長(zhǎng).圖27-2-2-93.如圖27-2-2-10,射擊瞄準(zhǔn)時(shí),要求槍的標(biāo)尺缺口上沿中央A,準(zhǔn)星尖B和瞄準(zhǔn)點(diǎn)C在一條直線上,這樣才能命中目標(biāo).已知某種沖鋒槍基線AB長(zhǎng)38.5cm,如果射擊距離AC=100m,當(dāng)準(zhǔn)星尖在缺口內(nèi)偏差BB′為1mm時(shí),彈著偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)圖27-2-2-104.如圖27-2-2-11,AB是斜靠在墻壁上的長(zhǎng)梯,梯腳B距墻80cm,梯上點(diǎn)D距墻70cm,BD長(zhǎng)55cm,求梯子的長(zhǎng).圖27-2-2-115.一條河的兩岸有一段是平行的,在河的這岸每隔5米有一棵樹,在河的對(duì)岸每隔50米有一根電線桿,在這一岸離開岸邊25米處看到對(duì)岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住,并且在這兩棵樹之間還有三棵樹,求河寬.圖27-2-2-126.一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高AB,他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1米,樹影長(zhǎng)0.9米,但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí),因樹靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墻上,如圖27-2-2-13,他先測(cè)得地面部分的影子長(zhǎng)2.7米,又測(cè)得墻上的影高CD為1.2米,試問樹有多高?圖27-2-2-137.如圖27-2-2-14所示,大江的一側(cè)有甲,乙兩個(gè)工廠,它們有垂直于江邊的小路,長(zhǎng)度分別為m千米及n千米,設(shè)兩條小路相距l(xiāng)千米.現(xiàn)在要在江邊建立一個(gè)抽水站,把水送到甲,乙兩廠去,欲使供水管路最短,抽水站應(yīng)建在哪里?圖27-2-2-148.圖27-2-2-15,一人拿著一個(gè)刻有厘米分度的小尺,站在距離電線桿約30米的地方,把手臂向前伸直,小尺豎直,看到尺上的12個(gè)分度恰好遮住電線桿,已知手臂長(zhǎng)約60厘米,求電線桿的高.圖27-2-2-159.晨曉想用鏡子測(cè)量一棵古松樹的高,但因樹旁有一條小河,不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離,于是他兩次利用鏡子,如圖27-2-2-16,第一次他把鏡子放在C點(diǎn),人在F點(diǎn)正好看到樹尖A;第二次他把鏡子放在C′處,人在F′處正好看到樹尖A,已知晨曉眼睛距地面1.70m,量得CC′為12m,CF長(zhǎng)1.8m,C′F′為3.84m,求這棵古松樹的高.圖27-2-2-1610.如圖27-2-217,河邊有一條筆直的公路l,公路兩側(cè)是平坦的草地,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師要求測(cè)量對(duì)岸B點(diǎn)到公路的距離,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案.要求:①列出你測(cè)量所使用的工具;②畫出測(cè)量的示意圖,寫出測(cè)量的步驟;③用字母表示的測(cè)量的數(shù)據(jù),求點(diǎn)B與公路之間的距離.圖27-2-2-17參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.在同一時(shí)刻同一個(gè)地點(diǎn)物體的高度與自身的影長(zhǎng)的關(guān)系是()A.成反比例B.成正比例C.相等D.不成比例解析：因太陽光線是平行的,所以同時(shí)同地光線,物高,影長(zhǎng)組成的三角形都相似.答案：B2.如圖27-2-2-1,DE⊥EB,AB⊥EB,∠DCE=∠ACB,DE=12m,EC=15m,BC=30m,則AB=____m.圖27-2-2-1解析：∵△ABC∽△DEC,∴AB=24.答案：243.已知A,B兩地相距300km,在地圖上量得兩地相距15cm,則圖上距離與實(shí)際距離之比為___________.解析：AB=300km=30000000cm,所以圖上距離∶實(shí)際距離=1∶2000000.答案：1∶20000004.某一時(shí)刻,測(cè)得旗桿的影長(zhǎng)為8m,李明測(cè)得小芳的影長(zhǎng)為1m,已知小芳的身高為1.5m,則旗桿的高度是_______________m.解：如圖所示,△ABC∽△DEF,∴.∴DF=12m.答案：12二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.如圖27-2-2-2所示,ABCD是正方形,E是CD的中點(diǎn),P是BC邊上的一點(diǎn),下列條件:(1)∠APB=∠EPC;(2)∠APE=90°;(3)P是BC的中點(diǎn);(4)BP∶BC=2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)圖27-2-2-2解析：①中因?yàn)椤螧=∠C,∠APB=∠EPC,所以△ABP∽△ECP;④中因?yàn)锽P∶BC=2∶3,所以BP=BC,PC=BC.所以=2,且∠B=∠C=90°.所以△ABP∽△ECP.故選C.注意三角形的對(duì)應(yīng)順序.答案：C2.如圖27-2-2-3,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,DB=2,則DE∶BC的值為()圖27-2-2-3A.B.C.D.解析：因△ADE∽△ABC,故.答案：A3.圖27-2-2-4所示是用杠桿撬石頭的示意圖,C是支點(diǎn),當(dāng)用力壓杠桿的A端時(shí),杠桿繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng),另一端B向上翹起,石頭就會(huì)被撬動(dòng).現(xiàn)有一塊石頭,要使其滾動(dòng),杠桿的B端必須向上翹起10cm,已知杠桿的動(dòng)力臂AC與阻力臂BC之比為5∶1,則要使這塊石頭滾動(dòng),至少要將杠桿的A端下壓()圖27-2-2-4A.100cmB.60cmC.50cmD.10cm解析：杠桿運(yùn)動(dòng)過程中構(gòu)成的三角形相似.答案：C4.如圖27-2-2-5所示,要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A,B的距離,先從B處出發(fā)與AB成90°角方向,向前走80米到C處立一標(biāo)桿,然后方向不變向前走50米至D處,在D處轉(zhuǎn)90°,沿DE方向走30米,到E處,使A(目標(biāo)物),C(標(biāo)桿)與E在同一條直線上,那么可測(cè)得A,B間的距離是_______.圖27-2-2-5解析：因?yàn)椤鰽BC∽△EDC,所以.答案：48米5.如圖27-2-2-6,為了測(cè)量一棵樹CD的高度,測(cè)量者在B點(diǎn)立一高為2米的標(biāo)桿,觀測(cè)者從E處可以看到桿頂A,樹頂C在同一條直線上.若測(cè)得BD=23.6米,FB=3.2米,EF=1.6米,求樹高.圖27-2-2-6解：由題意得△AEM∽△CEN,∴.而AM=0.4,EM=3.2,EN=26.8,∴CN=3.35.∴CD=4.95(米).答:樹高4.95米.6.如圖27-2-2-7,一圓柱形油桶,高1.5米,用一根長(zhǎng)2米的木棒從桶蓋小口A處斜插桶內(nèi)另一端的B處,抽出木棒后,量得上面沒浸油的部分為1.2米,求桶內(nèi)油面的高度.圖27-2-2-7解：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型,如右圖,AD=1.2米,AB=2米,AC=1.5米,DE∥BC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC.∴.∴∴AE=0.9(米).∴EC=AC-AE=1.5-0.9=0.6(米).三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.如圖27-2-2-8,電燈P在橫桿AB的正上方,AB在燈光下的影子為CD,AB∥CD,AB=2m,CD=5m,點(diǎn)P到CD的距離是3m,則P到AB的距離是()圖27-2-2-8A.mB.mC.mD.m解析：設(shè)P到AB的距離為x米,則有.x=1.2(m).答案：C2.如圖27-2-2-9,BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,AE∥BD,若BE=1.7米,AB=3米,BC=12米,求CD的長(zhǎng).圖27-2-2-9解：∵BE⊥AC于B,CD⊥AC于C,∴∠ABE=∠BCD=90°.∵AE∥BD,∴∠A=∠CBD.∴△ABE∽△BCD.∴,即.∴CD=6.8(米).∴CD的長(zhǎng)為6.8米.3.如圖27-2-2-10,射擊瞄準(zhǔn)時(shí),要求槍的標(biāo)尺缺口上沿中央A,準(zhǔn)星尖B和瞄準(zhǔn)點(diǎn)C在一條直線上,這樣才能命中目標(biāo).已知某種沖鋒槍基線AB長(zhǎng)38.5cm,如果射擊距離AC=100m,當(dāng)準(zhǔn)星尖在缺口內(nèi)偏差BB′為1mm時(shí),彈著偏差CC′是多少?(BB′∥CC′)圖27-2-2-10解：∵BB′∥CC′,∴△ABB′∽△ACC′.∴.∴CC′=(m).即彈著偏差m.4.如圖27-2-2-11,AB是斜靠在墻壁上的長(zhǎng)梯,梯腳B距墻80cm,梯上點(diǎn)D距墻70cm,BD長(zhǎng)55cm,求梯子的長(zhǎng).圖27-2-2-11解：∵△ADE∽△ABF,∴.設(shè)梯子長(zhǎng)為xcm,則有,解得x=440.經(jīng)檢驗(yàn)x=440為所列方程的根,所以梯長(zhǎng)為440cm.5.一條河的兩岸有一段是平行的,在河的這岸每隔5米有一棵樹,在河的對(duì)岸每隔50米有一根電線桿,在這一岸離開岸邊25米處看到對(duì)岸相鄰的兩根電線桿恰好被這岸的兩棵樹遮住,并且在這兩棵樹之間還有三棵樹,求河寬.圖27-2-2-12解：根據(jù)題意,畫出圖形,其中AB=50米,CD=5×4=20米,GE⊥CD,GF⊥AB,點(diǎn)G,E,F共線,GE=25米.∵AB∥CD,∴∠DCG=∠BAG,∠CDG=∠ABG.∴△GCD∽△GAB.又∵GE⊥CD,GF⊥AB,∴(相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比).∴GF==62.5(米).∴河寬EF=GF-GE=62.5-25=37.5(米).6.一位同學(xué)想利用樹影測(cè)量樹高AB,他在某一時(shí)刻測(cè)得小樹高為1米,樹影長(zhǎng)0.9米,但當(dāng)他馬上測(cè)量樹影時(shí),因樹靠近建筑物,影子不全落在地上,有一部分落在墻上,如圖27-2-2-13,他先測(cè)得地面部分的影子長(zhǎng)2.7米,又測(cè)得墻上的影高CD為1.2米,試問樹有多高?圖27-2-2-13解法一：如圖,延長(zhǎng)AD,BE相交于點(diǎn)C,則CE就是樹影長(zhǎng)的一部分,,即.∴CE=1.08(m).∴BC=BE+EC=2.7+1.08=3.78(m).∴,即.∴AB=4.2(m).解法二：過E作EF∥AD,交AB于F.,即.∴BF=3m.AB=AF+BF=3+1.2=4.2(m)7.如圖27-2-2-14所示,大江的一側(cè)有甲,乙兩個(gè)工廠,它們有垂直于江邊的小路,長(zhǎng)度分別為m千米及n千米,設(shè)兩條小路相距l(xiāng)千米.現(xiàn)在要在江邊建立一個(gè)抽水站,把水送到甲,乙兩廠去,欲使供水管路最短,抽水站應(yīng)建在哪里?圖27-2-2-14解：如圖所示,AD垂直于江邊于D,BE垂直于江邊于E,則AD=m千米,BE=n千米,DE=l千米.延長(zhǎng)BE至F,使EF=BE.連結(jié)AF交DE于C,則在C點(diǎn)建抽水站,到甲,乙兩廠的供水管路AC+CB為最短.設(shè)CD=x千米,因?yàn)镽t△ADC∽R(shí)t△FEC,所以,即,解得x=(米).8.圖27-2-2-15,一人拿著一個(gè)刻有厘米分度的小尺,站在距離電線桿約30米的地方,把手臂向前伸直,小尺豎直,看到尺上的12個(gè)分度恰好遮住電線桿,已知手臂長(zhǎng)約60厘米,求電線桿的高.圖27-2-2-15解：設(shè)電線桿高xm,因?yàn)閮扇切蜗嗨?則有,解得x=6,經(jīng)檢驗(yàn)x=6為原分式方程的根,所以電線桿高6m.9.晨曉想用鏡子測(cè)量一棵古松樹的高,但因樹旁有一條小河,不能測(cè)量鏡子與樹之間的距離,于是他兩次利用鏡子,如圖27-2-2-16,第一次他把鏡子放在C點(diǎn),人在F點(diǎn)正好看到樹尖A;第二次他把鏡子放在C′處,人在F′處正好看到樹尖A,已知晨曉眼睛距地面1.70m,量得CC′為12m,CF長(zhǎng)1.8m,C′F′為3.84m,求這棵古松樹的高.圖27-2-2-16解：設(shè)BC=ym,AB=xm,作CM⊥BF,C′M′⊥BF′.由物理學(xué)中光的反射定理,得∠ACM=∠ECM,∠AC′M′=∠E′C′M′,所以∠ACB=∠ECF,∠AC′B=∠E′C′F′.因?yàn)椤螦BC=∠EFC=90°,∠ABC=∠E′F′C′=90°,所以△ABC∽△EFC,△ABC′∽△E′F′C′.所以.所以,①.②解①②組成的方程組,得所以這棵古松樹的高為10米.10.如圖27-2-217,河邊有一條筆直的公路l,公路兩側(cè)是平坦的草地,在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上,老師要求測(cè)量對(duì)岸B點(diǎn)到公路的距離,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案.要求:圖27-2-2-17①列出你測(cè)量所使用的工具;②畫出測(cè)量的示意圖,寫出測(cè)量的步驟;③用字母表示的測(cè)量的數(shù)據(jù),求點(diǎn)B與公路之間的距離.解：(1)皮尺;(2)具體步驟如下:①在公路上任取兩個(gè)不同點(diǎn)A,C,在草地上取兩點(diǎn)D,E,使BAD在一條直線上,且BCE在一條直線上,DE∥AC.②測(cè)量AC,AD,DE的長(zhǎng).③∵△BAC∽△BDE,∴.∴BA=.27.2.2相似三角形應(yīng)用舉例（1）新穎題賞析如右圖，在等邊△ABC的邊BC上取點(diǎn)D，使=，作CH⊥AD，H為垂足，連結(jié)BH，求證：∠DBH=∠DAB．證明：過A作AM⊥BC于M，在Rt△ADM和Rt△CDH中，∠ADM=∠CDH，∠AMD=∠CHD=990°，所以△CDH∽△ADM，所以，CD=2BD，DM=BD，所以．因?yàn)椤螦DB=∠BDH，所以△ADB∽△BDH，所以∠DBH=∠DAB．一、基礎(chǔ)練習(xí)1．在同一時(shí)刻，小R量得小D的身高是1.5m，其影長(zhǎng)是1m，旗桿的影長(zhǎng)是8m，則旗桿高度是________m．2．如圖1，測(cè)量小玻璃管口徑的量具ABC上，AB長(zhǎng)為5mm，AC被分為50等分，如果小管口DE正好對(duì)著量具上29份處（DE∥AB），那么小管口徑就是________mm．（1）（2）3．如圖2，測(cè)得QS=40m，ST=100m，QR=60m，則河寬PQ約為_______m．4．如圖3，測(cè)得BD=10m，DC=40m，EC=30m，則河寬AB約為______m．（3）（4）（5）5．如圖4，測(cè)得BO=6m，OD=3.4m，CD=1.7m，則旗桿AB高約為______m．6．如圖5，測(cè)得CD=1.7m，DE=3.4m，BD=6m，則旗桿AB高約為______m．7．將兩塊完全相同的等腰直角三角形的三角板擺放如圖6，假設(shè)圖形中的所有的點(diǎn)，線都在同一平面內(nèi)，則圖形中相似但又不全等的三角形是________．（6）（7）8．如圖7，請(qǐng)你設(shè)計(jì)幾種不同的方法，將一個(gè)Rt△ABC分割成四個(gè)小三角形，使得每一個(gè)小三角形都與原直角三角形相似．設(shè)計(jì)好以后，請(qǐng)你想一想，將一個(gè)銳角△ABC（或鈍角三角形）分割成四個(gè)小三角形，使得每一個(gè)小三角形都與原直角三角形相似，你能夠嗎？二、整合練習(xí)1．圖中的每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，將三個(gè)正方形并排組成一個(gè)矩形．（1）求證：△BCE∽△BED；（2）求證：∠BEC+∠BED=45°2．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，E是BC邊上一點(diǎn)，且EC=2BE，將正方形折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，折痕為MN，若四邊形BCMN的面積和四邊形ADMN的面積分別為S1和S2，求S1：S2．答案：一、基礎(chǔ)練習(xí)1．122．2.93．604．755．3（∠AOB=∠COD）6．4.77．△BDE∽△CDB∽△ABE8．圖（1）、（2）分別取斜邊和直角邊的中點(diǎn)，結(jié)果分割成四個(gè)小三角形均全等，分別與原三角形相似．圖（3）、（4）、（5）、（6）、（7）依次作直角三角形斜邊上的高．當(dāng)△ABC由Rt△變成銳角三角形或鈍角三角形時(shí)，只要順次連結(jié)原三角形三邊的中點(diǎn)所得的圖形符合要求．如圖（8）、（9）．（運(yùn)用依次作直角三角形斜邊上的高的方法，可將Rt△分成n個(gè)小三角形其每一個(gè)小三角形都與原直角三角形相似）二、整合練習(xí)1．（1）在△BCE和△BED中，BE=，BC=1，BD=2，因?yàn)椤螩BE=∠EBD．，所以△BCE∽△BED．（2）因?yàn)椤鰾CE∽△BED，所以∠BCE=∠BED，∠BEC+∠BED=∠BEC+∠BCE=∠ABE=45°2．設(shè)MN與AE相交于點(diǎn)F，BC=3，EC=2BE=2，BE=1，AE=，MN垂直平分AE，△AFM∽△ABE，，AM=AE2=，BM=，過N作NH⊥AB于H，△MNH≌△EAB．MH=BE=