2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷28.1～28.2 階段性復(fù)習(xí)(含答案)-

2024-2025學(xué)年年七年級數(shù)學(xué)人教版下冊專題整合復(fù)習(xí)卷28.1～28.2階段性復(fù)習(xí)(含答案)-28.1～28.2階段性復(fù)習(xí)◆階段性內(nèi)容回顧1．如圖，在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對邊與斜邊的比，鄰邊與斜邊的比也隨之確定，∠A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記做_______，即sinA==．∠A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記做______．即cosA=．把∠A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記做_________．即tanA==．2．三角函數(shù)的定義：銳角A的正弦，余弦，正切都叫做∠A的______．3．特殊角的三角函數(shù)值．sinαcosαtanα30°45°60°4．解直角三角形．在直角三角形中，由已知_____（直角除外），求未知______的過程，叫做解直角三角形．5．直角三角形的有關(guān)性質(zhì)：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B為銳角，它們所對的邊分別為a，b，其中除直角∠C外，其余的5個元素之間有以下關(guān)系：（1）三邊之間的關(guān)系：_____________（2）銳角之間的關(guān)系：_____________（3）邊角之間的關(guān)系：_____________sinA=cosB=________；cosA=sinB=________；tanA=_________．（4）如果∠A=30°，那么a=或c=2a．6．仰角和俯角．（如圖1）（1）視線與水平線方向的夾角中，視線在水平線________的角叫做仰角．（2）視線在水平線_______的角叫做俯角．(1)(2)(3)7．坡度和坡角．（如圖2）（1）在筑壩、開渠、挖河和修路時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度，我們把坡面的垂直高度h與水平寬度L的比叫______，用字母表示為________．（2）把坡面與水平面的夾角叫做_______，記做_______．8．方向角．（如圖3）在水平面上，過觀測點O作一條水平線（向右為東）和一條鉛垂線（向上為北），則從O點出發(fā)的視線與水平線或鉛垂線所夾的角，叫做觀測的_______，圖中的方向是_________．◆階段性鞏固練習(xí)1．∠α為銳角，且sinα=，則tanα=________．2．在tan46°，sin46°，cos46°中最小的是_______．3．如果銳角A滿足2sin（A-15°）=，那么∠A=________．4．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A-∠B=30°，a=6，則c=_______．5．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=4，sinA=，則S△ABC=_______．6．如圖4所示，一棵樹BC高為10m，一只小鳥在地面上的A處沿著傾斜角為30°的方向飛向樹梢B處，則小鳥飛行的路程是_________．(4)(5)(6)7．如圖5所示，B，C是河岸邊的兩點，A是對岸上的一點，測得∠ABC=45°，∠ACB=45°，BC=60m，則點A到岸邊BC的距離是________m．8．在△ABC中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么sinA的值是（）．A．B．C．D．9．實數(shù)，sin30°，+1，2，（+1）0，│-2│中，有理數(shù)的個數(shù)是（）．A．2B．3C．4D．510．若0°<θ<90°，且│sin2θ-│+（cosθ-）2=0，則tanθ的值等于（）．A．B．C．D．11．若菱形的一個內(nèi)角為60°，較短的一條對角線的長為6，則這個菱形的面積為（）．A．24B．18C．36D．3612．如圖6所示，河堤的橫斷面為梯形，上底為4m，高為6m，斜坡AD的坡比為1：3，斜坡CB的坡角為45°，則河堤橫斷面的面積為（）．A．96m2B．48m2C．192m2D．84m213．已知a，b，c是△ABC的三邊a，b，c滿足等式（2b）2=4（c+a）（c-a），且5a-3c=0，求sinA+sinB+sinC的值．14．如圖所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC=1，D是AB上的一點，且DE⊥BC，垂足為E，直角邊ED交直角邊CA的延長線于點F，則D在AB邊上的何處時，△ADF與△BDE的面積之和最??？并求出它的最小值．15．如圖,數(shù)學(xué)趣聞：上世紀九十年代，國外有人傳說：“從月亮上看地球，長城是肉眼唯一看得見的建筑物．”設(shè)長城的厚度為10m，人的正常視力能看清的最小物體所形成的視角為1′，且已知月、地兩球之間的距離為380000km，試用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識，對這個傳說進行明確的判斷．（tan0.5′=0.0001454）答案:1．sinAcosAtanA2．銳角三角函數(shù)3．依次填：14．元素元素5．（1）a2+b2=c2（勾股定理）（2）∠A+∠B=90°（3）6．（1）上方（2）下方7．（1）坡度i=（2）坡角α8．方向角北偏東30°階段性鞏固練習(xí)1．2．cos46°3．75°（提示：sin（A-15°）=，∠A-15°=60°，∠A=75°．）4．4（提示：∠A+∠B=90°，∠A-∠B=30°．∴∠A=60°，∠B=30°，sinA=，c==4．）5．46．20m7．308．A9．C10．B11．B12．A13．∵（2b）2=4（a+c）（c-a），∴4b2=4（c2-a2），∴b2=c2-a2，∴a2+b2=c2．∴△ABC為直角三角形，且∠C=90°．

∵5a-3c=0，∴=，∴sinA=．設(shè)a=3k，b=5k，∴b==4k，∴sinB===．sinA+sinB+sinC=++1=．14．設(shè)AD=x，則DF=x，∴BD=1-x，DE=（1-x）．∴設(shè)y=S△ADF+S△DEB=AD·DF·sin45°+BD·DE·sin45°=x·x·+（1-x）·（1-x）·=（x-）2+當(dāng)x=時，y取最小值．∴當(dāng)AD=AB時，△ADF與△DEB的面積之和最小，最小值為．15．設(shè)∠AOB為正常視力觀察長城所形成的夾角，則AB=10m，∠AOB=1′，OD′⊥A′B′．在Rt△AOD中，tan∠AOD=，∵AD=AB=5，∠AOD=∠AOB=0.5′．∴OD=≈34387.89（m）≈34.4（km）．這就是說，按照人的最小視角1′觀察地球上長城的厚度，最遠的距離只能是34.4km，而月球與地球之間的距離為380000km，這個數(shù)字很大，它相當(dāng)于34.4km的11046倍，從這么遠看長城，根本無法看見．28.2解直角三角形達標訓(xùn)練一、基礎(chǔ)·鞏固達標1.如圖28.2－21，電線桿AB的中點C處有一標志物，在地面D點處測得標志物的仰角為45°，若點D到電線桿底部點B的距離為a，則電線桿AB的長可表示為()A.aB.2aC.D.圖28.2－21圖28.2－22(第3題)2.如圖28.2－22，梯形護坡石壩的斜坡AB的坡度i=1∶3，壩高BC為2米，則斜坡AB的長是()A.米B.米C.米D.6米3.AE、CF是銳角△ABC的兩條高，如果AE∶CF=3∶2，則sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶94.如圖28.2－23，等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長為10，則底邊上的高AD=________.圖28.2－23圖28.2－245.如圖28.2－24是一口直徑AB為4米，深BC為2米的圓柱形養(yǎng)蛙池，小青蛙們晚上經(jīng)常坐在池底中心O觀賞月亮，則它們看見月亮的最大視角∠COD=_______度(不考慮青蛙的身高).6.如圖28.2－25，小勇想估測家門前的一棵樹的高度，他站在窗戶C處，觀察到樹頂端A正好與C處在同一水平線上，小勇測得樹底B的俯角為60°，并發(fā)現(xiàn)B點距墻腳D之間恰好鋪設(shè)有六塊邊長為0.5米的正方形地磚，因此測算出B點到墻腳之間的距離為3米，請你幫助小勇算出樹的高度AB約多少米？(結(jié)果保留1位小數(shù))圖28.2－25二、綜合?應(yīng)用達標7.如圖28.2－26，天空中有一個靜止的廣告氣球C，從地面A點測得C點的仰角為45°，從地面B點測得C點的仰角為60°.已知AB=20米，點C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度(結(jié)果保留一位小數(shù)).圖28.2－268.初三(5)班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖28.2－27所示，A、D是人工湖邊的兩座雕塑，AB、BC是湖濱花園的小路，小東同學(xué)進行如下測量，B點在A點北偏東60°方向，C點在B點北偏東45°方向，C點在D點正東方向，且測得AB=20米，BC=40米，求AD的長.(結(jié)果精確到0.01米)圖28.2－279.如圖28.2－28，城市規(guī)劃期間，要拆除一電線桿AB，已知距電線桿水平距離14米的D處有一大壩，背水坡的坡度i=2∶1，壩高CF為2米，在壩頂C處測得桿頂A的仰角為30°，D、E之間是寬為2米的人行道.請問：在拆除電線桿AB時，為確保行人安全，是否需要將此人行道封上?請說明理由(在地面上，以點B為圓心，以AB長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域).圖28.2－28三、回顧?展望達標10.如圖28.2－29，某飛機于空中A處探測倒地面目標B，此時從飛機上看目標B的俯角α=30°，飛行高度AC=1200米，則飛機到目標B的距離AB為()A.1200米B.2400米C.米D.米圖28.2－29圖28.2－30圖28.2－3111.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡筆直滑下，滑下的距離s(米)與時間t(秒)間的關(guān)系為s=10t＋2t2，若滑到坡底的時間為4秒，則此人下降的高度為()A.72mB.36mC.36mD.m12.如圖28.2－31，測量隊為了測量某地區(qū)山頂P的海拔高度，選M點作為觀測點，從M點測量山頂P的仰角為30°，在比例尺為1∶50000的該地區(qū)等高線地形圖上，量得這兩點的圖上距離為6厘米，則山頂P的海拔高度為()A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米13.某商場門前的臺階截面積如圖28.2－32所示.已知每級臺階的席度(如CD)均為0.3m，高度(如BE)均為0.2m.現(xiàn)將此臺階改造成供輪椅行走的斜坡，并且設(shè)計斜坡的傾斜角∠A為9°，計算從斜坡的起點A到臺階前點B的距離(精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù)：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).圖28.2－3214.如圖28.2－33，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁.一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行,行至A點處測得P在它的北偏東60°的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45°方向.問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險?圖28.2－3315.如圖28.2－34，由山腳下的一點A測得山頂D的仰角是45°，從A沿傾斜角為30°的山坡前進1500米到B，再次測得山頂D的仰角為60°，求山高CD.圖28.2－3416.如圖28.2－35所示，A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直.現(xiàn)在要從E處開始鋪設(shè)通往村莊A、村莊B的一條電纜，共有如下兩種鋪設(shè)方案：方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.經(jīng)測量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下電纜的修建費為2萬元/千米，水下電纜的修建費為4萬元/千米.(1)求出河寬AD(結(jié)果保留根號)；(2)求出公路CD的長；(3)哪種方案鋪設(shè)電纜的費用低？請說明你的理由.圖28.2－3517.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.如圖28.2－36，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變.若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響.(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由.(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?圖28.2－36參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固達標1.如圖28.2－21，電線桿AB的中點C處有一標志物，在地面D點處測得標志物的仰角為45°，若點D到電線桿底部點B的距離為a，則電線桿AB的長可表示為()圖28.2－21A.aB.2aC.D.思路解析：直接用等腰直角三角形的性質(zhì).答案：B2.如圖28.2－22，梯形護坡石壩的斜坡AB的坡度i=1∶3，壩高BC為2米，則斜坡AB的長是()圖28.2－22A.米B.米C.米D.6米思路解析：坡度的定義，所以BC∶AC∶AB=1∶3∶.答案：B3.AE、CF是銳角△ABC的兩條高，如果AE∶CF=3∶2，則sinA∶sinC等于()A.3∶2B.2∶3C.9∶4D.4∶9思路解析：畫出圖形，在Rt△AFC中，sinA=；在Rt△AEC中，sinC=.所以sinA∶sinC==CF∶AE=2∶3.答案：B4.如圖28.2－23，等腰三角形ABC的頂角為120°，腰長為10，則底邊上的高AD=________.圖28.2－23思路解析：等腰三角形頂角平分線垂直平分底邊，Rt△ADC中，AC=10，∠DAC=60°.答案：55.如圖28.2－24是一口直徑AB為4米，深BC為2米的圓柱形養(yǎng)蛙池，小青蛙們晚上經(jīng)常坐在池底中心O觀賞月亮，則它們看見月亮的最大視角∠COD=_______度(不考慮青蛙的身高).圖28.2－24思路解析：在Rt△OBC中，OB=OC，可以得到∠BOC=45°，所以∠COD=2∠BOC=90°.答案：90°6.如圖28.2－25，小勇想估測家門前的一棵樹的高度，他站在窗戶C處，觀察到樹頂端A正好與C處在同一水平線上，小勇測得樹底B的俯角為60°，并發(fā)現(xiàn)B點距墻腳D之間恰好鋪設(shè)有六塊邊長為0.5米的正方形地磚，因此測算出B點到墻腳之間的距離為3米，請你幫助小勇算出樹的高度AB約多少米？(結(jié)果保留1位小數(shù))圖28.2－25思路解析：在Rt△ABC中，∠A=90°,∠BCA=60°，AC=3米，用正切函數(shù)關(guān)系求出AB的長.解：如圖，在Rt△ABC中，AC=BD=3米，tan∠BCA=，所以AB=AC×tan∠BCA=3×tan60°=3×≈5.2(米).答：樹的高度AB約為5.2米.二、綜合?應(yīng)用達標7.如圖28.2－26，天空中有一個靜止的廣告氣球C，從地面A點測得C點的仰角為45°，從地面B點測得C點的仰角為60°.已知AB=20米，點C和直線AB在同一鉛垂平面上，求氣球離地面的高度(結(jié)果保留一位小數(shù)).圖28.2－26思路解析：作出氣球離地面的高度，構(gòu)成了直角三角形，利用直角三角形求解.解：作CD⊥AB,垂足為D.設(shè)氣球離地面的高度是x米.在Rt△ACD中，∠CAD=45°，所以AD=CD=x.在Rt△CBD中，∠CBD=60°，所以tan60°=，BD=.因為AB=AD－BD，所以20=x－.解得x≈47.3(米).答：氣球離地面的高度約是47.3米.8.初三(5)班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖28.2－27所示，A、D是人工湖邊的兩座雕塑，AB、BC是湖濱花園的小路，小東同學(xué)進行如下測量，B點在A點北偏東60°方向，C點在B點北偏東45°方向，C點在D點正東方向，且測得AB=20米，BC=40米，求AD的長.(結(jié)果精確到0.01米)圖28.2－27思路解析：作高構(gòu)造直角三角形并尋找線段之間的關(guān)系.解：過點B作BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分別為E、F.由題意，知AD⊥CD.因為四邊形BFDE為矩形，所以BF=ED.在Rt△ABE中，AE=AB×cos∠EAB，在Rt△BCF中，BF=BC×cos∠FBC，所以AD=AE+BF=20×cos60°+40×cos45°=20×+40×=10+，即AD≈10+20×1.414=38.28(米).9.如圖28.2－28，城市規(guī)劃期間，要拆除一電線桿AB，已知距電線桿水平距離14米的D處有一大壩，背水坡的坡度i=2∶1，壩高CF為2米，在壩頂C處測得桿頂A的仰角為30°，D、E之間是寬為2米的人行道.請問：在拆除電線桿AB時，為確保行人安全，是否需要將此人行道封上?請說明理由(在地面上，以點B為圓心，以AB長為半徑的圓形區(qū)域為危險區(qū)域).圖28.2－28思路解析：有沒有必要將此人行道封上，就要看電線桿倒下時，能不能到達人行道上，若AB＞BE，則電線桿會倒到人行道上.只要計算出AB的長，利用30°仰角這個條件，可以在點Ｃ處作CH⊥AB，在Rt△AHC中解直角三角形.解：在拆除電線桿AB時，不需要將此人行道封上.理由如下：作CH⊥AB，垂足為H.在Rt△CDF中，I=，所以DF=CF=×2=1(米).所以HC=BF=BD+DF=14+1=15(米).在Rt△AHC中，tan∠ACH=，所以AH=HC×tan∠ACH=15×tan30°=15×≈8.7(米).因此AB=AH+HB=AH+CF=8.7+2=10.7(米).因為BE=BD－DE=14－2=12(米)，10.7<12,所以電線桿不會倒到人行道上，不需要將此人行道封上.三、回顧?展望達標10.如圖28.2－29，某飛機于空中A處探測倒地面目標B，此時從飛機上看目標B的俯角α=30°，飛行高度AC=1200米，則飛機到目標B的距離AB為()圖28.2－29A.1200米B.2400米C.米D.米思路解析：∠ABC=α，解直角三角形.答案：B11.一人乘雪橇沿坡比1∶的斜坡筆直滑下，滑下的距離s(米)與時間t(秒)間的關(guān)系為s=10t＋2t2，若滑到坡底的時間為4秒，則此人下降的高度為()圖28.2－30A.72mB.36mC.36mD.m思路解析：根據(jù)公式，算出斜坡的坡長，構(gòu)造斜邊為s的直角三角形，用坡比的定義解答.答案：C12.如圖28.2－31，測量隊為了測量某地區(qū)山頂P的海拔高度，選M點作為觀測點，從M點測量山頂P的仰角為30°，在比例尺為1∶50000的該地區(qū)等高線地形圖上，量得這兩點的圖上距離為6厘米，則山頂P的海拔高度為()圖28.2－31A.1732米B.1982米C.3000米D.3250米思路解析：等高線地圖上，兩點的圖上距離是指兩點的水平距離，山頂?shù)暮０胃叨仁侵窹點的豎直高度，畫出視線、兩點的水平距離、高度的示意圖，它們可以構(gòu)成直角三角形，通過解直角三角形求出.如圖，在Rt△POM中，∠O=90°，∠M=30°，OM=6×500=3000(米)，因為tanM=，所以O(shè)P=OM×tan30°=3000×≈1732(米).答案：A13.某商場門前的臺階截面積如圖28.2－32所示.已知每級臺階的席度(如CD)均為0.3m，高度(如BE)均為0.2m.現(xiàn)將此臺階改造成供輪椅行走的斜坡，并且設(shè)計斜坡的傾斜角∠A為9°，計算從斜坡的起點A到臺階前點B的距離(精確到0.1m)(參考數(shù)據(jù)：sin9°≈0.16，cos9°≈0.99，tan9°≈0.16).圖28.2－32思路解析：根據(jù)圖形，構(gòu)造直角三角形.解：如圖，過C作CF⊥AB交AB的延長線于F.由條件，得CF=0.8m，BF=0.9m.在Rt△CAF中，∵tanA=，∴AF≈=5(m).∴AB=AF－BF=5－0.9=4.1(m).答：從斜坡起點A到臺階前點B的距離約為4.1m.14.如圖28.2－33，海上有一燈塔P，在它周圍3海里處有暗礁.一艘客輪以9海里/時的速度由西向東航行,行至A點處測得P在它的北偏東60°的方向,繼續(xù)行駛20分鐘后,到達B處又測得燈塔P在它的北偏東45°方向.問客輪不改變方向繼續(xù)前進有無觸礁的危險?圖28.2－33思路解析：構(gòu)造直角三角形，用方程求解點P到AB的距離，若這個距離大于3海里，表明客輪在暗礁范圍外，客輪不會觸礁.解：過P作PC⊥AB于C點，據(jù)題意知:AB=9×=3.∵∠PCB=90°，∠PBC=90°－45°=45°,∴PC=BC.在Rt△PAC中，∠PAB=90°－60°=30°，∴tan30°=,即.∴.∴客輪不改變方向繼續(xù)前進無觸礁危險.15.如圖28.2－34，由山腳下的一點A測得山頂D的仰角是45°，從A沿傾斜角為30°的山坡前進1500米到B，再次測得山頂D的仰角為60°，求山高CD.圖28.2－34思路解析：題目中知道AB的長，需要把AB轉(zhuǎn)化到直角三角形中，考慮∠DBE=60°，過點B分別向AC、DC作垂線，構(gòu)成直角三角形.解：過點B作CD、AC的垂線，垂足分別為E、F.∵∠BAC=30°，AB=1500米,∴BF=EC=750米，AF=米.設(shè)FC=x米,∵∠DBE=60°,∴DE=米.又∵∠DAC=45°,∴AC=CD,即+x=750+米.得x=750.∴CD=(750+)米.答：山高CD為(750+)米.16.如圖28.2－35所示，A、B為兩個村莊，AB、BC、CD為公路，BD為田地，AD為河寬，且CD與AD互相垂直.現(xiàn)在要從E處開始鋪設(shè)通往村莊A、村莊B的一條電纜，共有如下兩種鋪設(shè)方案：圖28.2－35方案一：E→D→A→B;方案二：E→C→B→A.經(jīng)測量得AB=千米，BC=10千米，CE=6千米，∠BDC=45°，∠ABD=15°.已知：地下電纜的修建費為2萬元/千米，水下電纜的修建費為4萬元/千米.(1)求出河寬AD(結(jié)果保留根號)；(2)求出公路CD的長；(3)哪種方案鋪設(shè)電纜的費用低？請說明你的理由.思路解析：這是一道幾何應(yīng)用題，解題時要善于把實際問題抽象成幾何圖形，并領(lǐng)會圖形中的幾何元素代表的意義，由題意可分析出，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，會受臺風(fēng)影響，若過A作AD⊥BC于D，設(shè)E，F(xiàn)分別表示A市受臺風(fēng)影響的最初、最后時臺風(fēng)中心的位置，則AE=AF=160千米；當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市受臺風(fēng)影響的風(fēng)力最大.解：(1)如圖，經(jīng)過點A作AD⊥BC，垂足為D.在Rt△ABD中，AB=220，∠B=30°.所以AD=110(千米).由題意，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響.故該城市會受到這次臺風(fēng)的影響.(2)由題意，當(dāng)A點距臺風(fēng)中心不超過160千米時，將會受到臺風(fēng)的影響，由對稱性可以知道AE=AF=160千米.當(dāng)臺風(fēng)中心從E處移到F處時，該城市都會受到這次臺風(fēng)的影響.在Rt△ADE中，由勾股定理，得.所以EF=(千米).因為該臺風(fēng)中心以15千米／時的速度移動.所以這次臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間為(小時).(3)當(dāng)臺風(fēng)中心位于D處時，A市所受這次臺風(fēng)的風(fēng)力最大，其最大風(fēng)力為(級).17.臺風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強的破壞力.如圖28.2－36，據(jù)氣象觀測，距沿海某城市A的正南方向220千米B處有一臺風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級，每遠離臺風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會減弱一級，該臺風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時的速度沿北偏東30°方向往C移動，且臺風(fēng)中心風(fēng)力不變.若城市所受風(fēng)力達到或超過四級，則稱為受臺風(fēng)影響.圖28.2－36(1)該城市是否會受到這次臺風(fēng)的影響?請說明理由.(2)若會受到臺風(fēng)影響，那么臺風(fēng)影響該城市的持續(xù)時間有多長?(3)該城市受到臺風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級?思路解析：本題的實質(zhì)是解兩個非直角三角形，一般是適當(dāng)作高，運用特殊角解直角三角形.在△ABD中，過點B作AD邊的高，得到一個等腰直角三角形(大三角形)和一個含30°的特殊直角三角形.同理，CD的長也可以在△BCD中作高計算得到.比較兩個方案，就是計算兩種方案的鋪設(shè)費用大小，A→D需鋪設(shè)水下電纜.解：(1)過點B作BF⊥AD，交DA的延長線于F(如圖)，在Rt△ABF中，AB=,∠BAF=60°，所以BF=AB×sin60°==6(千米)，AF=AB×cos60°=(千米).在Rt△BDF中，DF=BF=6(千米)，所以BD=(千米).因此，河寬AD=DF－AF=6－(千米).(2)作BH⊥CD于點H.在Rt△BDH中，BH=HD=6千米，在Rt△CBH中，(千米).因此，公路CD=CH+HD=14(千米).(3)選擇方案二鋪設(shè)電纜的費用低.理由如下：方案一需要的費用：8×2+(6－)×4+×2=40(萬元)；方案二需要的費用：6×2＋10×2＋×2=22＋≈35.9(萬元).練習(xí)9解直角三角形一、自主學(xué)習(xí)圖28-31.如圖28-3所示，Rt△圖28-3(1)它三邊之間的關(guān)系是_________.(2)它兩銳角之間的關(guān)系是________.(3)它的邊角之間的關(guān)系是：__________________________,_____________________________；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；二、基礎(chǔ)鞏固2.等腰三角形的周長為2+，腰長為1，則它的底角等于________.3.在離地面5m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，則拉線的長為_______________.4.一個梯形的兩個下底角分別為30°和45°，較大的腰長為10cm，則它另一腰長為________.5.△ABC中，BC=2，AC=3+，∠C=30°，則sinA=_________.6.在高度為93m的建筑物上，觀察一樓房的頂端和底部的俯角分別為30°，60°，則這棟樓房的高度為___________m.7.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，則BC=________，cosB=________圖28-48.△ABC中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=，則S△ABC=圖28-49.如圖28-4所示，△ABC中，CD⊥AB于D點，且BD=2AD，若CD=，tan∠BCD=，則高AE=____.10.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AB=8cm，AC=cm，則AD=_____________cm.11.Rt△ABC中,∠C=90°，∠A、∠B、∠c所對的邊分別為a、b、c，若a=，b=，則c=________，∠A_______，∠B________.三、能力提高12.Rt△ABC斜邊上的中線CD長為1，周長是2+，則它的面積是()A.B.C.1D.13.正方形ABCD的邊長為5，E、F分別在邊BC、CD上，若△AEF為等邊三角形，則BE的長是()A.B.C.D.14.如圖28-5所示，一束平行的光線從教室窗射入教室，測得光線與地面所成的∠AMC=30°，窗戶的高在教室地面的影長MN=m，窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1m，(點M、N、C在同一直線上)，則窗戶高AB為()圖28-5圖28-6圖28-7A.mB.3mC.2mD.1.5m15.在平面直角坐標系內(nèi)，坐標原點為O，點M在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，則點M的坐標是()A.()B.()C.()D.()16.如圖28-6所示，在山坡上種樹，已知相鄰兩株樹的坡面距離AB為4m，∠B=60°，則這兩株樹的水平距離和高度差分別為()A.m，2mB.2m，mC.m，1mD.1m,m17.大風(fēng)刮斷一根廢棄的木電線桿，如圖28-7所示，桿的頂端B落到地面離其底部A的距離為m處，若兩截電線桿的夾角為30°，則電線桿刮斷前的高度為()A.6mB.mC.3+mD.m18.Rt△ABC中，∠C=90°，若AC的長等于斜邊上的中線長的，則較大銳角的余弦值是()A.B.C.D.19.如圖28-8所示，將-矩形紙片ABCD折起一個角，使點C恰好落在AB邊，若AD=m，∠CDE=α，則折痕DE=()A.B.C.D.圖28-8圖28-920.已知平行四邊形兩鄰邊長分別是cm和cm，一角為45°，則這個平行四邊形的較長對角線長是()A.cmB.cmC.cmD.cm21.如圖28-9所示，△ABC中，D為AB的中點，∠ACB=135°，AC⊥CD，則sinA=()A.B.C.D.四、模擬鏈接22.小明家在花園小區(qū)某棟樓AD內(nèi)，他家附近又新建了一座大廈BC，已知兩棟樓房間的水平距離為90m，AD樓高60m，小明爬上自家所在樓房頂測得大廈頂部C的仰角為30°，求大廈BC的高.(精確到1m，如圖28-10所示)圖28-1023.小華所在的學(xué)校A位于某工地O的正西方向，如圖28-11所示，且OA=200m.一拖拉機從工地O出發(fā)，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行駛，設(shè)拖拉機的噪音影響半徑為130m，問小華所在的學(xué)校A是否受拖拉機噪音影響?若受影響，請求出學(xué)校受拖拉機噪音影響的時間.(已知sin53°≈0.80、sin37°≈0.60)圖28-1124.閱讀下列材料，并解決后面的問題：在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，作AD⊥BC于D(如圖28-12)，則sinB=，sinC=，即AD=c·sinB，AD=b·sinC，于是c·sinB=b·sinC，即，同理有，即即：在一個銳角三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.[來源:學(xué)+科+網(wǎng)Z+X+X+K](1)在銳角三角形中，若已知三個元素a、b、∠A，運用上述結(jié)論和有關(guān)定理就可求出其余三個元素c、∠B、∠C，請按照下列步驟填空，完成求解過程.第一步：由條件a、b、∠A_________∠B；第二步：由條件∠A、∠B________∠C；第三步：由條件_________________∠c(2)一貨輪在C處測得燈塔A在其北偏西30°的方向上，隨后貨輪以284海里/時的速度沿北偏東45°的方向航行，半小時后到達B處，此時又測得燈塔在貨輪的北偏西70°的方向上(如圖28-13)，求此時貨輪距燈塔A的距離AB(結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：sin40°=0.643，sin65°=0.906，sin70°=0.940，sin75°=0.966).圖28-12圖28-13參考答案一、自主學(xué)習(xí)1.如圖28-3所示，Rt△ABC中(1)它三邊之間的關(guān)系是_________.(2)它兩銳角之間的關(guān)系是________.(3)它的邊角之間的關(guān)系是：__________________________,_____________________________；____________________________，__________________________；___________________________，_________________________；圖28-3答案：(1)a2+b2=c2(2)∠A+∠B=90°(3)sinA=，cosA=，tanA=cotA=，sinB=，cosB=，tanB=，cotB=二、基礎(chǔ)鞏固2.等腰三角形的周長為2+，腰長為1，則它的底角等于________.答案：30°3.在離地面5m處引拉線固定電線桿，拉線和地面成60°角，則拉線的長為_______________.答案：m4.一個梯形的兩個下底角分別為30°和45°，較大的腰長為10cm，則它另一腰長為________.答案：5.△ABC中，BC=2，AC=3+，∠C=30°，則sinA=_________.答案：6.在高度為93m的建筑物上，觀察一樓房的頂端和底部的俯角分別為30°，60°，則這棟樓房的高度為___________m.答案：627.Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，則BC=________，cosB=________答案：88.△ABC中，若∠ABC=45°，∠ACB=30°，AB=，則S△ABC=_________.答案：9.如圖28-4所示，△ABC中，CD⊥AB于D點，且BD=2AD，若CD=，tan∠BCD=，則高AE=__________.圖28-4答案：10.Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AB=8cm，AC=cm，則AD=_____________cm.答案：611.Rt△ABC中,∠C=90°，∠A、∠B、∠c所對的邊分別為a、b、c，若a=，b=，則c=________，∠A_______，∠B________.答案：30°60°三、能力提高12.Rt△ABC斜邊上的中線CD長為1，周長是2+，則它的面積是()A.B.C.1D.答案：B13.正方形ABCD的邊長為5，E、F分別在邊BC、CD上，若△AEF為等邊三角形，則BE的長是()A.B.C.D.答案：C14.如圖28-5所示，一束平行的光線從教室窗射入教室，測得光線與地面所成的∠AMC=30°，窗戶的高在教室地面的影長MN=m，窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1m，(點M、N、C在同一直線上)，則窗戶高AB為()圖28-5A.mB.3mC.2mD.1.5m答案：C15.在平面直角坐標系內(nèi)，坐標原點為O，點M在第四象限，且OM=1，∠MOx=30°，則點M的坐標是()A.()B.()C.()D.()答案：A16.如圖28-6所示，在山坡上種樹，已知相鄰兩株樹的坡面距離AB為4m，∠B=60°，則這兩株樹的水平距離和高度差分別為()A.m，2mB.2m，mC.m，1mD.1m,m圖28-6答案：A17.大風(fēng)刮斷一根廢棄的木電線桿，如圖28-7所示，桿的頂端B落到地面離其底部A的距離為m處，若兩截電線桿的夾角為30°，則電線桿刮斷前的高度為()A.6mB.mC.3+mD.m圖28-7答案：C18.Rt△ABC中，∠C=90°，若AC的長等于斜邊上的中線長的，則較大銳角的余弦值是()A.B.C.D.答案：D19.如圖28-8所示，將-矩形紙片ABCD折起一個角，使點C恰好落在AB邊，若AD=m，∠CDE=α，則折痕DE=()圖28-8A.B.C.D.答案：A20.已知平行四邊形兩鄰邊長分別是cm和cm，一角為45°，則這個平行四邊形的較長對角線長是()A.cmB.cmC.cmD.cm答案：D21.如圖28-9所示，△ABC中，D為AB的中點，∠ACB=135°，AC⊥CD，則sinA=()A.B.C.D.圖28-9答案：B四、模擬鏈接22.小明家在花園小區(qū)某棟樓AD內(nèi)，他家附近又新建了一座大廈BC，已知兩棟樓房間的水平距離為90m，AD樓高60m，小明爬上自家所在樓房頂測得大廈頂部C的仰角為30°，求大廈BC的高.(精確到1m，如圖28-10所示)圖28-10答案：112m23.小華所在的學(xué)校A位于某工地O的正西方向，如圖28-11所示，且OA=200m.一拖拉機從工地O出發(fā)，以5m/s的速度沿北偏西53°方向行駛，設(shè)拖拉機的噪音影響半徑為130m，問小華所在的學(xué)校A是否受拖拉機噪音影響?若受影響，請求出學(xué)校受拖拉機噪音影響的時間.(