《自動(dòng)控制原理》課件第11章

第十一章李亞普諾夫穩(wěn)定性分析11.1李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義

11.2李亞普諾夫第一方法

11.3李亞普諾夫第二方法

11.4線(xiàn)性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析小結(jié)習(xí)題11.1李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義

設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(11.1)式中,x是系統(tǒng)的n維狀態(tài)向量;f(x,t)是以狀態(tài)xi(i=1,2,…,n)和時(shí)間t為變量的n維函數(shù)向量。假設(shè)在給定的初始條件下,式(11.1)有唯一解x=x(t,x0,t0),且x0=x(t0,x0,t0),其中t0,x0分別為初始時(shí)刻和初始狀態(tài)向量。

在式(11.1)所描述的系統(tǒng)中,對(duì)所有t,如果總存在

(11.2)則稱(chēng)xe為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)?？梢?jiàn)若已知狀態(tài)方程,令x=0所求出的解就是系統(tǒng)的平衡狀態(tài)。對(duì)于線(xiàn)性定常系統(tǒng),f(x,t)=Ax,當(dāng)A為非奇異矩陣時(shí),系統(tǒng)只有一個(gè)平衡狀態(tài),即原點(diǎn);當(dāng)A為奇異矩陣時(shí),系統(tǒng)有無(wú)窮多個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng),可以有一個(gè)或多個(gè)平衡狀態(tài)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性就是研究平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。由于任意一個(gè)平衡狀態(tài)xe都可以通過(guò)坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)移到原點(diǎn),因此為了研究方便,研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性一律認(rèn)為平衡狀態(tài)為系統(tǒng)原點(diǎn)。

.以平衡狀態(tài)xe為中心,半徑為k的球域可用下式表示

.(11.3)式中‖x-xe‖稱(chēng)為歐幾里德范數(shù),其表達(dá)式為

設(shè)S(δ)是由滿(mǎn)足‖x0-xe‖≤δ的所有點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)球域;而S(ε)是由所有滿(mǎn)足‖x-xe‖≤ε(t≥t0)的點(diǎn)構(gòu)成的一個(gè)球域,其中δ,ε是給定的常數(shù)。t0,x0分別為初始時(shí)刻和初始狀態(tài)向量。

定義10-1

如果系統(tǒng)x=f(x,t)對(duì)于任意選定的ε＞0,存在一個(gè)δ(ε,t0),使得當(dāng)‖x0-xe‖≤δ(t=t0)時(shí),恒有‖x-xe‖≤ε(t0≤t≤∞),則稱(chēng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是穩(wěn)定的。此定義說(shuō)明,對(duì)于每一個(gè)球域S(ε),若存在一個(gè)球域S(δ),在t→∞的過(guò)程中,從球域S(δ)出發(fā)的軌跡不離開(kāi)球域S(ε),則稱(chēng)此系統(tǒng)的平衡狀態(tài)在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的(如圖11-1(a)所示)。.

定義10-2

如果平衡狀態(tài)xe在李亞普諾夫意義下是穩(wěn)定的,即從S(δ)球域出發(fā)的每一條運(yùn)動(dòng)軌跡x(t,x0,t0),當(dāng)t→∞時(shí),都不離開(kāi)S(ε)球域,且最后都能收斂于xe附近,即

其中μ為任意選定的小量。則稱(chēng)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定性是個(gè)局部穩(wěn)定的概念,圖11-1(b)中的球域S(δ)是漸近穩(wěn)定的范圍。

定義10-3

對(duì)所有的狀態(tài)(狀態(tài)空間的所有點(diǎn)),如果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性,則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe是大范圍漸近穩(wěn)定的。即如果狀態(tài)方程(11.1)在任意初始條件下的解,當(dāng)t→∞時(shí)都收斂于xe,則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe稱(chēng)為大范圍漸近穩(wěn)定(見(jiàn)圖11-1(c)中的軌跡曲線(xiàn)(1))。大范圍穩(wěn)定是全局性的穩(wěn)定,其必要條件是在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。對(duì)于線(xiàn)性系統(tǒng)如果平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的,則必為大范圍漸近穩(wěn)定的。對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng),一般能使平衡狀態(tài)為漸近穩(wěn)定的球域S(δ)是不大的,稱(chēng)為小范圍漸近穩(wěn)定。

定義10-4

如果從球域S(δ)出發(fā)的軌跡,無(wú)論球域S(δ)取得多么小,只要其中有一條軌跡脫離S(ε)球域,則稱(chēng)平衡狀態(tài)xe為不穩(wěn)定的(見(jiàn)圖11-1(c)中的軌跡曲線(xiàn)(2))。

圖

11-1系統(tǒng)的穩(wěn)定性

11.2李亞普諾夫第一方法

李亞普諾夫第一方法又稱(chēng)為間接法。它適用于線(xiàn)性定常系統(tǒng)和非線(xiàn)性不很?chē)?yán)重的實(shí)際系統(tǒng)。對(duì)于非線(xiàn)性系統(tǒng),首先要進(jìn)行線(xiàn)性化,得到一個(gè)線(xiàn)性化模型,然后按線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件分析穩(wěn)定性。李亞普諾夫第一方法的主要結(jié)論如下:(1)線(xiàn)性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是,系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部。

(2)若線(xiàn)性化系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部,則實(shí)際系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。線(xiàn)性化過(guò)程中忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性沒(méi)有影響。

(3)在系統(tǒng)矩陣A的特征值中,只要有一個(gè)實(shí)部為正的特征值,則實(shí)際系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的,并且與被忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)無(wú)關(guān)。

(4)在系統(tǒng)矩陣A的特征值中,即使只有一個(gè)實(shí)部為零,其余的都具有負(fù)實(shí)部,那么實(shí)際系統(tǒng)的穩(wěn)定性就不能由線(xiàn)性化模型的穩(wěn)定性判定。這時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將與線(xiàn)性化過(guò)程中被忽略的高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)有關(guān)。為了判定原系統(tǒng)的穩(wěn)定性,必須分析原始的非線(xiàn)性模型?？梢?jiàn),李亞普諾夫第一方法是通過(guò)判定系統(tǒng)矩陣的特征值實(shí)部的符號(hào)來(lái)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性的,因此又稱(chēng)為特征值判據(jù)。

11.3李亞普諾夫第二方法

李亞普諾夫第二方法是基于若系統(tǒng)的內(nèi)部能量隨時(shí)間推移而衰減,則系統(tǒng)最終將達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)這個(gè)思想而建立起來(lái)的穩(wěn)定判據(jù)。即如果系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài),則當(dāng)系統(tǒng)向平衡狀態(tài)附近運(yùn)動(dòng)時(shí),系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移應(yīng)逐漸衰減,到達(dá)系統(tǒng)平衡狀態(tài)處時(shí),能量衰減到最小值。因此,如能找到系統(tǒng)的能量函數(shù),只要能量函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是負(fù)的,則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)就是漸近穩(wěn)定的。由于系統(tǒng)的形式是多種多樣的,難以找到一種定義“能量函數(shù)”的統(tǒng)一形式和簡(jiǎn)單方法。為克服這一困難,李亞普諾夫引入一個(gè)虛構(gòu)的能量函數(shù),稱(chēng)為李雅普諾夫函數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)李氏函數(shù)。此函數(shù)量綱不一定是能量量綱,但反映能量關(guān)系。李氏函數(shù)是標(biāo)量函數(shù),用V(x)表示,必須是正定的,通常選用狀態(tài)變量的二次型函數(shù)作為李亞普諾夫函數(shù)。

1.標(biāo)量函數(shù)的正定性和負(fù)定性

李亞普諾夫穩(wěn)定性定理是以標(biāo)量函數(shù)的正定和負(fù)定為基礎(chǔ)的。設(shè)V(x)是向量x的標(biāo)量函數(shù),Ω是狀態(tài)空間中包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域(x∈Ω)。

1)正定性如果對(duì)于所有Ω域中非零的x,有V(x)＞0,且在x=0處有V(x)=0,則稱(chēng)標(biāo)量函數(shù)V(x)在Ω域內(nèi)是正定的。例如, 。只有x1=x2=0時(shí),V(x)=0;其他情況V(x)＞0,所以V(x)是正定的。

2)半正定性如果在Ω域內(nèi),標(biāo)量函數(shù)V(x)除在狀態(tài)空間原點(diǎn)和某些狀態(tài)處V(x)=0外,對(duì)于其他所有狀態(tài)均有V(x)＞0,則稱(chēng)V(x)是半正定的。例如,V(x)=(x1+x2)2,x=［x1

x2］T,當(dāng)x1=x2=0或x1+x2=0時(shí),V(x)=0,其余情況都有V(x)＞0,因此V(x)是半正定的。

3)負(fù)定性如果V(x)是正定的,則稱(chēng)-V(x)為負(fù)定的。

4)半負(fù)定性

如果V(x)是半正定的,則稱(chēng)-V(x)為半負(fù)定的。

5)不定性如果無(wú)論Ω域取多么小,標(biāo)量函數(shù)V(x)可正可負(fù),則稱(chēng)這類(lèi)標(biāo)量函數(shù)為不定的。例如, 為不定的。因?yàn)閷?duì)于x=［a-b］T一類(lèi)狀態(tài),在a＞b＞0和b＞a＞0時(shí),V(x)分別為負(fù)數(shù)和正數(shù)。設(shè)V(x)為一個(gè)二次型函數(shù),則其可表示為

式中,P為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,即pij=pji。根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)知識(shí),

當(dāng)P的順序主子式全大于零,即

成立時(shí),稱(chēng)矩陣P是正定矩陣,并可以證明V(x)是正定的。當(dāng)P的所有主子行列式為非負(fù)時(shí),則V(x)是半正定的。

2.李亞普諾夫穩(wěn)定性定理李亞普諾夫第二方法的基本思想是用能量變化的觀點(diǎn)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。若系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)間的推移逐漸減少,則系統(tǒng)穩(wěn)定;反之,若系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,不斷從外界吸收能量,使其儲(chǔ)能越來(lái)越大,則系統(tǒng)就不能穩(wěn)定。用一個(gè)大于零的標(biāo)量函數(shù)V(x)表示系統(tǒng)的“能量”,稱(chēng)V(x)為李亞普諾函數(shù)。用V(x)就可表示系統(tǒng)能量的變化率,并且當(dāng)V(x)＜0時(shí),表明系統(tǒng)的能量在運(yùn)動(dòng)中隨時(shí)間的推移而減少;當(dāng)V(x)＞0時(shí)表明能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中隨時(shí)間的推移而增加。

...

李亞普諾夫函數(shù)最簡(jiǎn)單的形式為二次型,但也不一定都是二次型。任何一個(gè)標(biāo)量函數(shù),只要滿(mǎn)足李亞普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)所假設(shè)的條件,都可以作為李亞普諾夫函數(shù)。對(duì)于給定的系統(tǒng),V(x)不是唯一的。所以,正確地確定李亞普諾夫函數(shù)是利用李亞普諾夫直接法的主要問(wèn)題。李亞普諾夫直接法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)可以敘述如下:定理

11-1(李亞普諾夫穩(wěn)定性定理)設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

當(dāng)選定x≠0(相當(dāng)于系統(tǒng)受到擾動(dòng)后的初始狀態(tài)),V(x)＞0后

(1)若V(x)＜0,則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的(如果隨著‖x‖→∞,有V(x)→∞,則系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的);(2)若V(x)＞0,則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的;(3)若V(x)≤0,但V(x)不恒等于零(除了V(0)=0以外),則系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的;但是若V(x)恒等于零,按照李亞普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的定義,系統(tǒng)是穩(wěn)定的,但不是漸近穩(wěn)定的。系統(tǒng)將保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)。

......【例

11-1】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

先構(gòu)造一個(gè)正定的能量函數(shù),例如:則有

顯然,V(x)＜0,所以系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。而且選擇的V(x)確實(shí)是一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)。

.

需要指出的是,關(guān)于李亞普諾夫第二方法的穩(wěn)定判據(jù)只是充分條件,而不是必要條件。關(guān)于這一點(diǎn)可以解釋如下:構(gòu)造一個(gè)能量函數(shù),令V(x)＞0,若V(x)＜0,系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的;若V(x)＞0,系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的,這個(gè)能量函數(shù)可以作為李亞普諾夫函數(shù)。如果構(gòu)造的能量函數(shù)不滿(mǎn)足上述定理的假設(shè)條件(例如V(x)是不定的),那么就不能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,因?yàn)楹芸赡苁沁€沒(méi)有構(gòu)成李亞普諾夫函數(shù)。此時(shí),一方面可以繼續(xù)尋求合適的李亞普諾夫函數(shù),另一方面應(yīng)考慮采用其他的方法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

...【例

11-2】設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試判斷其穩(wěn)定性。

解

假設(shè)選擇能量函數(shù)為

它是正定的,但是

是不定的,因此不能立刻判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。繼續(xù)尋找李亞普諾夫函數(shù),假設(shè)選

它是正定的,而

是一個(gè)半負(fù)定的標(biāo)量函數(shù),即V(x)≤0,但是V(x)不恒等于零,因?yàn)閷?duì)于

..的x1,x2有

由狀態(tài)方程有

可知,只要x1≠0,即使x2=0,也不會(huì)等于零。即在x1≠0時(shí),x2不會(huì)恒等于零,則V(x)不恒等于零。根據(jù)定理11-1的條件(3)可確定系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。假設(shè)選取正定標(biāo)量函數(shù)

.則有

因此系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

另外,根據(jù)系統(tǒng)矩陣的特征值 ,由李亞普諾夫第一方法可知系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。上述例子表明,應(yīng)用李亞普諾夫第二方法確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,關(guān)鍵在于如何找到李亞普諾夫函數(shù)。但是李亞普諾夫穩(wěn)定性理論并沒(méi)有提供構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)的方法。上面的例子還說(shuō)明,對(duì)于給定系統(tǒng),如果存在李亞普諾夫函數(shù),它不是唯一的。

11.4線(xiàn)性定常系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

11.4.1線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析設(shè)線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(11.4)設(shè)所選取的李亞普諾夫函數(shù)為二次型函數(shù),即

其中,P為n×n實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣,x為n×1列向量。

則有

其中,則有

(11.5)

如果能夠找到滿(mǎn)足式(11.5)的正定矩陣P和Q,那么有V(x)＞0,V(x)＜0,系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。式(11.5)是一個(gè)矩陣代數(shù)方程,稱(chēng)為李亞普諾夫方程。

根據(jù)上面的推導(dǎo)可知,判斷線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟應(yīng)該是先假定一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣P,然后利用式(11.5)計(jì)算Q,如果Q是正定的,則表明系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。但是上述的計(jì)算步驟在實(shí)際使用中是比較麻煩的,所以在實(shí)際應(yīng)用時(shí),通常是取一個(gè)正定的實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣Q,而且為了簡(jiǎn)便,常取Q＝I,然后根據(jù)式(11.5)求出矩陣P(求解時(shí)可設(shè)P為對(duì)稱(chēng)矩陣),然后判斷P是否為正定來(lái)確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此有如下定理:

定理11-2

線(xiàn)性定常連續(xù)系統(tǒng)(11.4)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是:給定一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q,存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣P,使其滿(mǎn)足李亞普諾夫方程(即式(11.5)):且標(biāo)量函數(shù)V(x)=xTPx是系統(tǒng)的一個(gè)李亞普諾夫函數(shù)。

【例

11-3】判斷系統(tǒng)

的穩(wěn)定性。

解

選Q＝I,設(shè)P為對(duì)稱(chēng)矩陣。根據(jù)式(11.5)有

展開(kāi)求解上述矩陣方程可得

因?yàn)榫仃嘝的各階主子行列式均大于零,所以P是正定的,從而給定的系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

【例11-4】

判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

選Q＝I,設(shè)P為對(duì)稱(chēng)矩陣。根據(jù)式(11.5)可求得

因?yàn)榫仃嘝為非正定的,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定(P的一階主子行列式小于零,而二階主子行列式大于零,因此P是負(fù)定的)。上面的例子也可以用系數(shù)矩陣A的特征值來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

11.4.2線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的李亞普諾夫穩(wěn)定性分析

對(duì)于線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)也可以用李亞普諾夫第二方法分析其穩(wěn)定性。設(shè)線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

取正定二次型函數(shù)

設(shè)

對(duì)于離散系統(tǒng),用ΔV［x(k)］代替連續(xù)系統(tǒng)中的V(x),只要ΔV［x(k)］是負(fù)定的,系統(tǒng)就是漸近穩(wěn)定的。

令

(11.7)則有

Q矩陣正定意味著ΔV［x(k)］負(fù)定,即系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。并稱(chēng)V［x(k)］為系統(tǒng)的一個(gè)李亞普諾夫函數(shù),式(11.7)稱(chēng)為離散的李亞普諾夫方程。

定理11-3

線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)(11.6)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是:給定一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣Q,存在一個(gè)正定對(duì)稱(chēng)矩陣P,使其滿(mǎn)足離散的李亞普諾夫方程,即式(11.7)。

【例

11-5】線(xiàn)性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

選Q＝I,設(shè)P為對(duì)稱(chēng)矩陣。

根據(jù)式(11.7)可求得

顯見(jiàn),矩陣P是正定的,從而系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

11.4.3用MATLAB分析線(xiàn)性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性

【例

11-6】

試用MATLAB分析例11-3系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解取Q＝I,求取對(duì)稱(chēng)矩陣P的程序?yàn)?/p>

%ex-11-6A=［-44;2-6］;A=A′;Q=［10;01］;P=lyap(A,Q)運(yùn)行結(jié)果為

P=0.17500.10000.10000.1500【例11-7】

試用MATLAB分析例11-5系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解取Q＝I,求取對(duì)稱(chēng)矩陣P的程序?yàn)?/p>

%ex-11-7A=［01;0.50］;A=A′;Q=［10;01］;P=dlyap(A,Q)運(yùn)行結(jié)果為

P=1.66670.00000.00002.6667由于P是正定的,所以系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。

小

結(jié)

本章進(jìn)一步討論了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,采用李亞普諾夫方法分析了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李亞普諾夫?qū)⑴袛嘞到y(tǒng)穩(wěn)定性的方法分為兩類(lèi):第一方法(間接法)和第二方法(直接法)。本章就系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題研究了以下主要內(nèi)容:(1)李亞普諾夫意義下穩(wěn)定和漸近穩(wěn)定的含義