《機械設(shè)計基礎(chǔ)》課件-第6章

第6章剪切和擠壓及扭轉(zhuǎn)6.1剪切和擠壓6.2扭轉(zhuǎn)變形

6.1剪切和擠壓

6.1.1剪切和擠壓的概念

剪切變形是工程中常見的基本變形之一，如螺栓、鉚釘、鍵等，都是構(gòu)件承受剪切變形的工程實例，這些聯(lián)接件的受力和變形均可簡化為如圖6-1(a)所示的鉚釘聯(lián)接。圖6-1剪切和擠壓示例構(gòu)件產(chǎn)生剪切變形時，發(fā)生相對錯動的截面稱為剪切

面(見圖6-2)。剪切面平行于外力的作用線，且在兩個反向

外力作用線之間。構(gòu)件中只有一個剪切面的剪切稱為單剪(圖6-1(a))。構(gòu)件中有兩個剪切面的剪切稱為雙剪，如圖

6-1(c)所示。圖6-2鉚釘受力分析6.1.2剪切和擠壓的實用計算

按此假設(shè)計算的剪切應(yīng)力為平均應(yīng)力，稱為名義剪應(yīng)力(或名義切應(yīng)力)，用τ表示。其計算公式為

(6-1)

為保證鉚釘在工作中不被剪斷，剪應(yīng)力應(yīng)不超過材料的許用剪應(yīng)力［τ］，即

(6-2)

工程中常用材料的許用剪應(yīng)力，可從有關(guān)手冊中查得。一般情況下，［τ］與許用應(yīng)力［σ］之間有如下關(guān)系：

［τ］＝(0.6～0.8)［σ］(塑性材料)

［τ］＝(0.8～1.0)［σ］(脆性材料)擠壓變形的擠壓力Fjy，嚴格來講是兩個接觸物體的約束力，因其特殊性(分布復(fù)雜、局部集中等)，工程上也采用實用計算法，用σjy表示擠壓正應(yīng)力，其計算公式為

(6-3)

同樣，擠壓的強度條件為

(6-4)式中，［σjy］是材料的許用擠壓應(yīng)力，它是通過擠壓破壞試驗并考慮一定的安全儲備確定的，可以從有關(guān)手冊中查取。一般情況下，［σjy］與許用拉應(yīng)力［σ］的關(guān)系如下：

［σjy］＝(1.5～2.5)［σ］(塑性材料)

［σjy］＝(0.9～1.5)［σ］(脆性材料)

當聯(lián)接件與被聯(lián)接件的材料不同時，應(yīng)以聯(lián)接中抵抗擠壓能力弱的構(gòu)件來進行擠壓強度計算。

剪切和擠壓的強度條件也可解決三類強度問題，即校核強度、設(shè)計截面和確定許可載荷。

例6-1兩塊鋼板用鉚釘聯(lián)接(圖6-3(a))，每塊鋼板厚度

t＝10mm，鉚釘?shù)脑S用切應(yīng)力［τ］=80MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=200MPa，鉚釘直徑d=18mm。求鉚釘所能承受的許可載荷。圖6-3鉚釘受力分析

解

(1)變形分析。由圖6-3(b)分析可知，鉚釘沿m—m截面發(fā)生剪切變形，其剪切面積A=；與孔壁接觸處發(fā)生擠壓變形，其擠壓面積Ajy=td。因此，要對鉚釘進行剪切和擠壓強度計算。

(2)按鉚釘?shù)募羟袕姸葪l件確定許可載荷［F1］。

根據(jù)式(6-2)，得

因

［F1］=FQ

所以

［F1］=20.4kN

(3)按鉚釘?shù)臄D壓強度條件確定許可載荷［F2

］。

根據(jù)式(6-4)，得

Fjy≤［σjy］·Ajy=200×10×18=36000N=36kN

因

［F2］=Fjy

所以

［F2］=36kN

對比可知［F1］＜［F2］,故?。跢］=［F1］=20.4kN。

例6-2某車床傳動軸與齒輪用平鍵聯(lián)接。已知軸的直徑d=62mm，鍵的尺寸為b×h×l=18mm×11mm×70mm

(圖6-4)，傳遞的力矩M=2kN·m。鍵的許用切應(yīng)力［τ］=

60MPa，許用擠壓應(yīng)力［σjy］=100MPa。試校核鍵聯(lián)接

的強度。圖6-4平鍵受力分析

解

(1)外力分析。取軸和鍵整體為研究對象，其受力圖如圖6-4(a)所示。

由

得

(2)變形分析。由圖6-4(b)、(c)可知，鍵沿m—m截面發(fā)生剪切變形，其剪切面積A=bl；與鍵槽接觸處發(fā)生擠壓變形，其擠壓面積Ajy=hl。因此，對鍵要進行剪切和擠壓強度計算。

(3)校核鍵的剪切強度。由式(6-2)，因FQ=FP，所以

則鍵的剪切強度足夠。

(4)校核鍵的擠壓強度。由式(6-4)，因Fjy=FP，所以

則鍵的擠壓強度不足。

例6-3沖床的最大沖力F=320kN，沖頭材料的許用應(yīng)力［σ］=440MPa，如圖6-5所示，鋼板的剪切強度極限τb=360MPa。求沖床能沖剪的最小孔徑d及鋼板的最大厚

度t。圖6-5沖床示例

解

(1)確定最小孔徑。沖頭能沖剪的最小孔徑d也就是沖頭的最小直徑。要保證沖頭正常工作，必須滿足沖頭的壓縮強度條件，即

則

故該沖頭能沖剪的最小孔徑為(取整)30mm。

(2)確定鋼板的最大厚度t。沖頭沖剪鋼板時，鋼板的剪切面為圓柱面，剪切面積A=πdt，剪切力為FQ＝F。為了能沖出圓孔，必須滿足條件：

得

F≥τb·A=τb·πdt

則

所以，該沖頭能沖剪的鋼板最大厚度為9mm。6.2扭轉(zhuǎn)變形

6.2.1扭轉(zhuǎn)變形的概念及內(nèi)力

1.扭轉(zhuǎn)變形的概念

工程上有許多構(gòu)件要承受扭轉(zhuǎn)變形，如汽車方向盤的轉(zhuǎn)向軸(圖6-6)、絲錐(圖6-7)等。把這些構(gòu)件的受力情況抽象為一個共同的力學(xué)模型，則如圖6-8所示。圖6-6方向盤圖6-7絲錐圖6-8扭轉(zhuǎn)軸示例

2.外力偶矩的計算

工程上作用于軸上的外力偶矩很少直接給出，而往往給出軸的轉(zhuǎn)速n和軸所傳遞的功率P，通過功率的有關(guān)公式推導(dǎo)，得出下列計算外力矩(又稱轉(zhuǎn)矩)的公式：

(6-5)

3.扭矩和扭矩圖

當求出作用于軸上的外力偶矩以后，即可用截面法計算截面上的內(nèi)力。

設(shè)一軸在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，如圖6-9(a)所示。在軸的任意截面n—n處將軸假想截開(圖6-9(b)、(c))。由于整個軸是平衡的，所以每一段軸都處于平衡狀態(tài)，這就使得n—n截面上分布的內(nèi)力必然構(gòu)成一個力偶，并以橫截面為其作用面，這個力偶矩稱為扭矩，以Mn表示。圖6-9截面法求扭矩取左段(圖6-10(b))，根據(jù)平衡條件，可得n—n截面上的扭矩為

∑Mn=0,

Mn－M=0

即

Mn=M

也可以以右段為對象，列平衡方程求扭矩，試對比有什么不同。扭矩的正負規(guī)定：截面上扭矩的轉(zhuǎn)向和截面外法向構(gòu)成右手系，扭矩為正，反之為負。也就是說，在截開后可見截面上(從截面外法向逆向看過去)，力偶轉(zhuǎn)向為逆時針時，

扭矩為正，順時針時為負。實用中經(jīng)常使用右手螺旋法則

來判斷扭矩的正負：以右手握住截面外法線，大拇指與外

法向相同，四指的繞向若與力偶的轉(zhuǎn)向相同，則扭矩為正(圖6-10(a))，反之為負(圖6-10(b))。圖6-10右手螺旋法則

例6-4傳動軸如圖6-11(a)所示。其轉(zhuǎn)速n＝300r/min，主動輪A上輸入的功率PA＝221kW，從動輪B和C上輸出的功率分別為PB=148kW，PC=73kW。試求軸上各截面的扭矩，并畫出軸的扭矩圖。圖6-11傳動軸解(1)計算外力偶矩。由式(6-5)可知，作用在A、B、C上的外力偶矩分別為

(2)計算扭矩。在軸AC段的任意截面1—1處將軸截開，取左段為研究對象(圖6-11(b))，以Mn1表示截面的扭矩，并假設(shè)其轉(zhuǎn)向為正向，根據(jù)平衡條件得

∑Mx=0，Mn1－MC=0

即

Mn1=MC=2324N·m同理，在AB段的任意截面2—2將軸截開，以Mn2表示

截面的扭矩，假設(shè)其轉(zhuǎn)向為負向，取右段為研究對象(圖

6-11(c)),由平衡條件得

∑Mx=0，Mn2－MB=0

Mn2=MB=4711N·m

注意：圖示方向與扭矩正向規(guī)定相反，該扭矩為負值。

(3)畫扭矩圖。根據(jù)所得的扭矩作扭矩圖(圖6-11(d))，可見，

|Mn|max=Mn2=4711N·m

(發(fā)生在AB段各截面上)6.2.2扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力分析

1.橫截面上的應(yīng)力

圓軸扭轉(zhuǎn)時，在確定了橫截面上的扭矩后，還應(yīng)進一步研究橫截面上的內(nèi)力分布規(guī)律，以便求得橫截面上的應(yīng)力。圖6-12圓周扭轉(zhuǎn)變形分析由平面假設(shè)可知，圓軸扭轉(zhuǎn)時，其橫截面上各點的剪應(yīng)變與該點到圓心的距離ρ成正比。根據(jù)剪切的虎克定律τ=Gγ可知：橫截面上的剪應(yīng)力沿半徑按線性分布，即τρ=kρ，其方向垂直于半徑指向，與扭矩的轉(zhuǎn)向一致。在與圓心等距的各點處，剪應(yīng)力的大小相等，如圖6-13(a)所示。

上述分析也完全適用于空心圓截面，如圖6-１３(b)所示。圖6-13扭轉(zhuǎn)圓截面內(nèi)力分布在圖6-14所示的截面上，在距離圓心為ρ處取一微面積dA，則τρdA為作用在微面積上的微剪力，它對圓心的微力矩為ρτρdA，整個截面上所有微力矩之和應(yīng)等于該截

面上的扭矩Mn，因此

(1)

將τρ=kρ代入式(1),得

(2)圖6-14軸橫截面內(nèi)力與外力的關(guān)系式(2)中,∫Aρ2dA為只與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，稱為橫截面對圓心的極慣性矩，以IP表示，即

其單位為m4，常用單位為mm4或cm4。將代入式(2),得

(6-6)

該式為圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任意一點的剪應(yīng)力計算公式。式中，Mn為欲求應(yīng)力的點所在橫截面上的扭矩，ρ為欲求應(yīng)力的點到圓心的距離，IP為橫截面對圓心的極慣性矩。由式(6-6)可知，當ρ=ρmax=R時，τρ=τmax，即在

橫截面最外邊緣處，剪應(yīng)力的值最大，即

若令

則

2.極慣性矩和抗扭截面模量的計算

在圖6-15所示的直徑為d的實心圓截面中，在距圓心ρ處，取厚度為dρ的微分圓環(huán)，其面積dA=2πρ·dρ，從而可得圓截面的極慣性矩為

(6-8)

其抗扭截面模量為

(6-9)用類似的方法可以計算出內(nèi)徑為d、外徑為D的空心圓截面的極慣性矩IP和抗扭截面模量WP分別為

(6-10)

(6-11)6.2.3圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算

為了保證圓軸扭轉(zhuǎn)時具有足夠的強度而不被破壞，必須限制軸的最大剪應(yīng)力不得超過材料的扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力。對于等截面圓軸，其最大剪應(yīng)力發(fā)生在扭矩值最大的截面(稱為危險截面)的外緣處，故圓軸扭轉(zhuǎn)的強度條件為

(6-12)式中，扭轉(zhuǎn)許用剪應(yīng)力［τ］是根據(jù)扭轉(zhuǎn)試驗，并考慮安全系數(shù)確定的。在靜載荷條件下，它與許用拉應(yīng)力［σ］有如下關(guān)系：

［τ］=(0.5~0.6)［σ］(塑性材料)

［τ］=(0.8~1.0)［σ