《機(jī)械設(shè)計(jì)基礎(chǔ)》課件-第5章

第5章軸向拉伸與壓縮5.1軸向拉伸（壓縮）時(shí)橫截面上的內(nèi)力5.2軸向拉伸（壓縮）時(shí)橫截面上的應(yīng)力5.3桿件拉伸與壓縮時(shí)的變形5.4材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能5.5拉伸與壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

5.1軸向拉伸(壓縮)時(shí)橫截面上的內(nèi)力

5.1.1軸向拉伸(壓縮)的概念

在工程上，許多構(gòu)件都會(huì)發(fā)生軸向拉伸或壓縮變形。這類構(gòu)件的受力特點(diǎn)是：桿件承受的外力(或外力合力)的作用線與桿件軸線重合。這類構(gòu)件的變形特點(diǎn)是：桿件沿軸向方向伸長(zhǎng)或縮短。這種變形形式稱為軸向拉伸或壓縮。產(chǎn)生軸向拉伸(或壓縮)變形的桿件，簡(jiǎn)稱拉(壓)桿。5.1.2截面法求軸力

在材料力學(xué)中，分析、求解軸力通常采用截面法，其步驟主要有三步：

(1)切一刀：假想在需要求解內(nèi)力的截面上，將桿件截開(kāi)為兩段。

(2)取一半：取任意一段作為研究對(duì)象，并用內(nèi)力的合力代替另一段的作用。

(3)求平衡：由靜力學(xué)平衡方程求出該橫截面的內(nèi)力。下面我們通過(guò)一個(gè)例題，解釋截面法求解軸力的具體過(guò)程。

例5-1設(shè)直桿AB上作用有一對(duì)反向力F，如圖5-1(a)所示，試計(jì)算截面m—m處的軸力。圖5-1截面法求內(nèi)力

解

(1)將直桿AB在m—m截面處假想截開(kāi)，分為AC、CB兩段，即Ⅰ、Ⅱ兩部分,如圖5-1(a)所示。

(2)取AC段，并畫出m—m截面(C截面)上的內(nèi)力FN(CB段對(duì)AC段的作用力),如圖5-1(b)所示。

(3)由于AB桿上所有力都在水平方向，故取向右為x軸正向(豎直向上為y軸，此處可不必畫出)，建立坐標(biāo)系，如圖

5-1(b)所示。由靜力學(xué)平衡方程有

∑Fx=0，F(xiàn)N－F=0

解得

FN=F5.1.3軸力圖

例5-2等截面直桿AD受力如圖5-2(a)所示。已知F1=

10kN，F(xiàn)2=20kN，F(xiàn)3=16kN，試作AD桿的軸力圖。

解

(1)為了求解方便，先求出A點(diǎn)的約束反力，畫AB桿受力圖如圖5-2(b)所示，建立坐標(biāo)系，列平衡方程：

∑Fx=0，－FA+F1－F2+F3=0

得

FA=F1－F2+F3=10－20+16=6kN

(2)求各段軸力，各截面均假設(shè)為受拉，軸力為正，坐標(biāo)系與上同。

AB段1—1截面：應(yīng)用截面法(以下各段同)，取左側(cè)為研究對(duì)象，如圖5-2(c)所示，列平衡方程：

∑Fx=0，F(xiàn)N1－FA=0

得

FN1=FA=6kN

BC段2—2截面：沿2—2截面截開(kāi)，如圖5-2(d)所示，取左側(cè)為研究對(duì)象，列平衡方程：

∑Fx=0，F(xiàn)N2+F1－FA=0

得

FN2=FA－F1=6－10=－4kN

負(fù)號(hào)說(shuō)明圖中FN2的方向與實(shí)際方向相反，即2—2截面受壓，或BC段壓縮變形。

CD段3—3截面：沿3—3截面截開(kāi)，如圖5-2(e)所示，取右側(cè)為研究對(duì)象，列平衡方程

∑Fx=0，F(xiàn)3－FN3=0

得

FN3=F3=16kN

(3)作軸力圖：軸力圖如圖5-2(f)所示。

從圖中可直觀地看出：桿件AB、CD段軸力為正，是拉伸變形，BC段軸力為負(fù)，是壓縮變形；最大軸力在CD段，其值為16kN。圖5-2截面法求內(nèi)力

5.2軸向拉伸(壓縮)時(shí)橫截面上的應(yīng)力

5.2.1應(yīng)力的概念

我們知道，相同的拉力作用在材料相同、粗細(xì)不等的兩根直桿上時(shí)，隨著外力的增加，總是較細(xì)的桿先被拉斷?？梢?jiàn)，桿件是否破壞不僅與內(nèi)力有關(guān)，還與桿橫截面的面積有關(guān)。我們這樣定義：內(nèi)力在橫截面的分布集度稱為應(yīng)力。在截面m—m上圍繞任意點(diǎn)K取微面積ΔA，如圖5-3(a)所示。設(shè)ΔA上的內(nèi)力為ΔF，則微面積ΔA上的平均應(yīng)力Pm為

(5-1)

當(dāng)微面積ΔA趨近于零時(shí)，平均應(yīng)力Pm的極限值越接近K點(diǎn)的應(yīng)力，故K點(diǎn)的應(yīng)力可表示為

(5-2)應(yīng)力是單位面積上的內(nèi)力。應(yīng)力是矢量。通常將其分解為垂直于截面的分量σ及與截面相切的分量τ。垂直于截面的應(yīng)力σ稱為正應(yīng)力，相切于截面的應(yīng)力τ稱為切應(yīng)力(也稱剪應(yīng)力)，如圖5-3(b)所示。

應(yīng)力的國(guó)際單位是帕斯卡，記作Pa(帕)，1Pa=1N/m2。圖5-3應(yīng)力的概念5.2.2拉伸(壓縮)桿橫截面上的應(yīng)力

確定橫截面上的應(yīng)力，必須研究橫截面上內(nèi)力的分布規(guī)律。因?yàn)榱εc變形有關(guān)，所以先觀察并分析拉伸(壓縮)桿的變形。取一等截面直桿，在其表面畫兩條與桿軸線垂直的橫向線ab和cd，在ab和cd間畫與軸線平行的縱向線(圖5-4(a))。然后在桿兩端沿軸線施加拉力F(圖5-4(b))，桿發(fā)生拉伸變形。可觀察其變化(圖5-4(b))：①所有縱向線伸長(zhǎng)，且伸長(zhǎng)量相等；②橫向線ab和cd分別沿軸線相對(duì)平移到a′b′和c′d′，仍為直線，且仍與縱向線垂直。根據(jù)這一現(xiàn)象可作如下假設(shè)：變形前為平面的橫截面，變形后還是平面，且仍與軸線垂直，只是沿軸向發(fā)生了平移，此假設(shè)稱為平面假設(shè)。根據(jù)平面假設(shè)，任意兩橫截面間的各縱向線的伸長(zhǎng)量均相同，即變形是相同、均勻的。由材料的均勻連續(xù)假設(shè)可知：若各縱向線的變形相同，它們的受力也應(yīng)相等，故軸力在橫截面上是均勻分布的

(圖5-4(c))，即橫截面上各點(diǎn)的應(yīng)力大小相等，方向與軸力FN相同，垂直于橫截面。綜上所述，拉(壓)桿橫截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式為

(5-3)式中：σ為橫截面上的正應(yīng)力，F(xiàn)N為橫截面上的軸力，A為橫截面面積。由于帕(Pa)單位太小，故工程中應(yīng)力的單位常采用兆帕(MPa)或吉帕(GPa)。

1GPa=103MPa

1MPa=103kPa=106Pa=1N/mm2圖5-4直桿變形示例

例5-3一正方形磚柱分上、下兩層，其尺寸和受載荷情況如圖5-5(a)所示，已知F=100kN，試求磚柱的最大工作應(yīng)力。圖5-5磚柱

解

(1)首先畫出磚柱的軸力圖，如圖5-5(b)所示。

(2)由于磚柱是由兩段不同截面的等截面桿組成的，所以要求出各段的應(yīng)力，然后比較，才能確定其最大工作應(yīng)力究竟在哪一段以及其具體值。

AB段應(yīng)力：

由公式(5-3)得

同理，BC段應(yīng)力為

由此可見(jiàn)，最大應(yīng)力發(fā)生在AB段，σmax=10MPa，為壓應(yīng)力。

5.3桿件拉伸與壓縮時(shí)的變形

5.3.1桿件拉伸與壓縮時(shí)的變形和應(yīng)變

當(dāng)將桿件沿桿軸線拉伸時(shí)，其橫向截面將減小(圖5-6(a))；將桿件壓縮時(shí)則相反，軸線縮短時(shí)，橫向截面增大(圖5-6(b))。設(shè)桿的原長(zhǎng)為L(zhǎng)，直徑為d，變形后的長(zhǎng)度為L(zhǎng)1，直徑為d1，則桿的絕對(duì)變形為

ΔL=L1－L(軸向絕對(duì)變形)

(5-4)

Δd=d1－d(橫向絕對(duì)變形) (5-5)

拉伸時(shí)ΔL為正，Δd為負(fù)；壓縮時(shí)則相反。圖5-6等截面直桿變形示例絕對(duì)變形與桿件的原尺寸有關(guān)，不能準(zhǔn)確衡量桿件的變形程度。因此，為了消除原尺寸的影響，用單位長(zhǎng)度內(nèi)桿的變形即線應(yīng)變(或相對(duì)變形)來(lái)反映桿的變形程度，則桿的相對(duì)變形為

(軸向線應(yīng)變)

(5-6)

(橫向線應(yīng)變)

(5-7)

ε和ε′都是無(wú)量綱的量，它們的正負(fù)號(hào)分別與ΔL和Δd的正負(fù)號(hào)一致。5.3.2泊松比

試驗(yàn)表明，當(dāng)應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，橫向線應(yīng)變e′和軸向線應(yīng)變e之間存在以下關(guān)系：

e′=－me

(5-8)

式中，m稱為橫向變形系數(shù)或泊松比，是無(wú)量綱的量。5.3.3虎克定律

軸向拉伸和壓縮試驗(yàn)表明，當(dāng)桿橫截面的應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，桿的絕對(duì)變形ΔL與軸力FN和桿長(zhǎng)L成正比，與桿橫截面的面積A成反比，即

(5-9)

式中，常數(shù)E稱為彈性模量，常用單位為GPa。在應(yīng)用式(5-9)時(shí)，在長(zhǎng)度L內(nèi)，其FN、E及A均為常量。分析式(5-9)可知，當(dāng)FN、L及A為確定的數(shù)值時(shí)，E值越大，ΔL就越小，說(shuō)明E值反映了材料抵抗拉伸(壓縮)變形的能力，是材料的剛度指標(biāo)；當(dāng)FN和L為確定的數(shù)值時(shí)，EA值越大，ΔL就越小，說(shuō)明EA值反映了桿件抵抗拉伸(壓縮)變形的能力，稱為桿件的抗拉(壓)剛度。若將和代入式(5-9)，可以得到虎克定律的另一種表達(dá)式：

σ=Eε

或

(5-10)

式(5-10)表明，當(dāng)桿橫截面的應(yīng)力不超過(guò)某一限度時(shí)，應(yīng)力與應(yīng)變成正比關(guān)系。

彈性模量與泊松比都是反映材料彈性的常量，可通過(guò)試驗(yàn)測(cè)定。幾種常用材料的E和μ值見(jiàn)表5-1。

例5-4圖5-7(a)所示為階梯形鋼桿，已知F1=20kN，F(xiàn)2=8kN。各段桿的橫截面面積分別為A1=400mm2，A2=

200mm2，桿長(zhǎng)l1=l2=80mm，l3=100mm，材料的彈性模量E=200GPa。試求桿的最大應(yīng)力、桿的絕對(duì)變形。圖5-7階梯形鋼桿

解

(1)求各截面內(nèi)力，畫軸力圖。

BD段內(nèi)力：

FNBD=F2=8kN

AB段內(nèi)力：

FNAB=F2－F1=8－20=－12kN

(2)求最大應(yīng)力。因?yàn)锳B、BC段面積相同，但AB段內(nèi)力比BC段大，所以只計(jì)算AB段應(yīng)力，然后和CD段應(yīng)力比較，找出最大值。

由公式(5-3)可知：

可以看出，最大應(yīng)力發(fā)生在CD段，且σmax=40MPa。

(3)求桿的絕對(duì)變形。由公式(5-9)得總絕對(duì)變形量為

整個(gè)桿件伸長(zhǎng)了0.016mm。

5.4材料在拉伸與壓縮時(shí)的力學(xué)性能

5.4.1低碳鋼的拉伸試驗(yàn)

靜載荷拉伸和壓縮試驗(yàn)是研究材料的力學(xué)性能最常用

的試驗(yàn)。試驗(yàn)用的材料，須按國(guó)標(biāo)規(guī)定加工成標(biāo)準(zhǔn)試件

(圖5-8)，標(biāo)準(zhǔn)試件的相關(guān)規(guī)格可參閱有關(guān)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)。圖5-8拉伸試件試驗(yàn)在萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行。試驗(yàn)時(shí)，將試件的兩端裝卡在上、下夾頭中，然后對(duì)其緩慢加載，直到把試件拉斷為止。一般試驗(yàn)機(jī)均有自動(dòng)繪圖裝置，在試驗(yàn)過(guò)程中能自動(dòng)繪制拉力F和對(duì)應(yīng)的絕對(duì)變形ΔL的關(guān)系曲線，此曲線稱為F－ΔL曲線或拉伸圖。圖5-9為低碳鋼Q235的FN－ΔL曲線。圖5-9低碳鋼拉伸時(shí)的FN-ΔL曲線由于試件標(biāo)距L0和橫截面面積影響ΔL的大小，因此，當(dāng)試件規(guī)格不同時(shí)，即使是同一材料，其拉伸圖也不同。為了消除試件幾何尺寸的影響，反映材料本身的力學(xué)性能，將載荷F除以橫截面面積A得到應(yīng)力σ，將絕對(duì)變形ΔL除以試件標(biāo)距L得到應(yīng)變?chǔ)?，這樣得到的就是σ－ε曲線或稱應(yīng)力—應(yīng)變圖。圖5-10為低碳鋼Q235的σ－ε曲線。圖5-10低碳鋼拉伸時(shí)的σ－ε曲線

1.彈性階段Oa′

由圖5-10可看出，Oa是直線，這說(shuō)明在該段范圍內(nèi)應(yīng)力與應(yīng)變成正比，材料符合虎克定律，即σ=Eε。彈性模量E為直線的斜率，E=σ/ε=tanα。直線部分的最高點(diǎn)a對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值σp稱為材料的比例極限。Q235鋼的比例極限σp≈

200MPa。

2.屈服階段bc

當(dāng)應(yīng)力超過(guò)彈性極限后，σ-ε曲線上出現(xiàn)了一段接近水平的鋸齒形線段bc，說(shuō)明這一階段應(yīng)力雖有小的波動(dòng)，但不再增大，而應(yīng)變卻迅速增長(zhǎng)，好像材料失去了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服。bc段即為屈服階段。屈服階段的最低應(yīng)力值σs稱為材料的屈服點(diǎn)應(yīng)力或

屈服極限。Q235鋼的屈服極限σs≈235MPa。圖5-11滑移線

3.強(qiáng)化階段cd

屈服階段后，出現(xiàn)上凸的曲線cd，表明要使材料繼續(xù)變形，必須增加應(yīng)力，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力。這種現(xiàn)象稱為材料的強(qiáng)化。cd段稱為材料的強(qiáng)化階段。曲線最高點(diǎn)d所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力是試件斷裂前所能承受的最大應(yīng)力值σb，稱為材料的強(qiáng)度極限。強(qiáng)度極限是衡量材料強(qiáng)度的另一個(gè)重要指標(biāo)。Q235鋼的強(qiáng)度極限σb≈400MPa。

4.頸縮階段de

材料達(dá)到強(qiáng)度極限前，試件的變形是均勻的。而在此之后，變形將集中在試件薄弱的局部，縱向變形顯著增加，橫向收縮也顯著加劇，出現(xiàn)頸縮現(xiàn)象(圖5-12)。由于頸縮處橫截面面積急速減小，所以試件很快被拉斷。圖5-12頸縮

5.塑性指標(biāo)

試件被拉斷后，彈性變形完全消失，殘留下的是塑性變形，工程中用這種塑性變形來(lái)衡量材料的塑性。常用的塑性指標(biāo)有兩個(gè)：伸長(zhǎng)率δ和斷面收縮率ψ，即

(5-11)

(5-12)

6.冷作硬化

試驗(yàn)表明，如將試件拉伸到強(qiáng)化階段內(nèi)任一點(diǎn)f停止加載，并緩慢卸載至零，σ－ε曲線將沿著與Oa′近似平行的直線fg回到g點(diǎn)(圖5-13(a))，圖中g(shù)h表示消失的彈性應(yīng)變，

Og表示殘留的塑性應(yīng)變。若試件卸載后短期內(nèi)重新加載，則σ－ε曲線先沿著gf

上升至f點(diǎn)，再沿著原來(lái)的曲線fde直到試件被拉斷(圖5-13(b))。圖5-13冷作硬化5.4.2低碳鋼的壓縮試驗(yàn)

金屬材料的壓縮試件一般做成短圓柱體，其高度為直徑的1.5～3倍，以防止試驗(yàn)時(shí)被壓彎。圖5-14為低碳鋼的壓縮(實(shí)線表示)和拉伸(虛線表示)時(shí)的σ－ε曲線。圖5-14低碳鋼壓縮時(shí)的σ－ε曲線5.4.3其他塑性材料的拉伸試驗(yàn)

通過(guò)對(duì)比低碳鋼與其他塑性材料拉伸時(shí)的σ－ε曲線(圖5-15)，可以發(fā)現(xiàn)它們的力學(xué)性能的一些異同。在拉伸的開(kāi)始階段，還有直線部分(青銅除外)，說(shuō)明應(yīng)力與應(yīng)變?nèi)猿烧龋匣⒖硕?，但這些塑性材料并沒(méi)有明顯的屈服階段。對(duì)于沒(méi)有明顯屈服階段的塑性材料，工程上常采用名義屈服極限σ0.2作為其強(qiáng)度指標(biāo)。σ0.2是產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變時(shí)所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值(圖5-16)。圖5-15其他材料的σ－ε曲線圖5-16名義屈服極限5.4.4鑄鐵的拉伸與壓縮試驗(yàn)

1.鑄鐵的拉伸試驗(yàn)

鑄鐵拉伸時(shí)的σ－ε曲線是一段微彎的曲線(圖5-17)。圖5-17鑄鐵拉伸時(shí)的σ－ε曲線

2.鑄鐵的壓縮試驗(yàn)

對(duì)比鑄鐵壓縮和拉伸時(shí)的σ－ε曲線(圖5-18)，可知，壓縮時(shí)也無(wú)明顯的直線部分和屈服階段，說(shuō)明壓縮時(shí)也是近似地符合虎克定律，且不存在屈服極限；變形很小時(shí)突然斷裂，其破壞斷面與軸線大約成45°角。試件斷裂前所能承受的最大應(yīng)力值σbc稱為材料的抗壓強(qiáng)度，也是衡量鑄鐵強(qiáng)度的重要指標(biāo)。鑄鐵的抗壓強(qiáng)度約是抗拉強(qiáng)度的4～5倍，塑性變形也較拉伸時(shí)有所提高。因此，工程中鑄鐵等脆性材料常做成受壓構(gòu)件。

表5-2列出了幾種常用材料的力學(xué)性能。圖5-18鑄鐵壓縮時(shí)的σ－ε曲線

5.5拉伸與壓縮時(shí)的強(qiáng)度計(jì)算

5.5.1材料的許用應(yīng)力

材料能承受的應(yīng)力都是有限度的，材料喪失正常工作能力時(shí)的應(yīng)力即為極限應(yīng)力。在工程實(shí)際中，因構(gòu)件所受的載荷難以精確計(jì)算，材料的不均勻，采用近似的計(jì)算方法和構(gòu)件的重要程度等因素的影響，構(gòu)件的工作應(yīng)力必須小于材料的極限應(yīng)力。也就是說(shuō)，為保證構(gòu)件在工作時(shí)安全可靠，應(yīng)

為構(gòu)件留有一定的強(qiáng)度儲(chǔ)備。構(gòu)件在安全工作時(shí)所允許的最大工作應(yīng)力稱為許用應(yīng)力，用［σ］表示。材料的極限應(yīng)力除以大于1的安全系數(shù)n即得到材料的許用應(yīng)力：

(塑性材料)

(5-13)

(脆性材料)

(5-14)應(yīng)確定恰當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)，以解決工程實(shí)際中安全性和經(jīng)濟(jì)性之間的矛盾。不同工作條件下的安全系數(shù)可從有關(guān)工程手冊(cè)中查找。對(duì)于一般機(jī)械，安全系數(shù)為

ns=1.2~