《機械設(shè)計基礎(chǔ)》課件-第7章

第7章彎曲7.1平面彎曲的概念7.2平面彎曲梁的內(nèi)力、內(nèi)力圖7.3純彎曲時的正應(yīng)力7.4梁彎曲時的強度計算7.5提高梁抗彎能力的措施7.6梁的剛度概念

7.1平面彎曲的概念

7.1.1彎曲的概念

在機械工程中常遇到發(fā)生彎曲變形的構(gòu)件，如車輛的車軸(圖7-1)、橋式起重機的主梁(圖7-2)、電動機軸與橋梁等。這類構(gòu)件受力與變形的主要特點是：在構(gòu)件軸線平面內(nèi)承受力偶作用，或受垂直于軸線方向的外力作用，使構(gòu)件的軸線彎曲成曲線，這種變形形式稱為彎曲。以彎曲變形為主要變形的構(gòu)件，通稱為梁。圖7-1火車車軸圖7-2橋式起重機7.1.2平面彎曲

在工程實際中常見的梁，它們的橫截面一般都具有一個對稱軸，如圖7-3(a)所示。

梁在平面彎曲時，按照支座對梁的約束情況，可將梁簡化為如下三種典型形式：

(1)簡支梁。

(2)外伸梁。

(3)懸臂梁。圖7-3彎曲梁基本概念作用于梁上的載荷，可以簡化成三種類型：

(1)集中載荷F：作用于構(gòu)件上一點的集中力或集中載荷，其單位是N(牛)或kN(千牛)；

(2)集中力偶M：作用于梁某截面內(nèi)的力偶，其單位是N·m(牛·米)或N·mm(?！ず撩?；

(3)均布載荷q：在梁上一段長度內(nèi)作用的分布力，載

荷集度不隨截面位置變化的稱為均布載荷，其單位是N/m

(牛/米)或kN/m(千牛/米)。

7.2平面彎曲梁的內(nèi)力、內(nèi)力圖

7.2.1梁的內(nèi)力——剪力和彎矩

為了對梁進行強度和剛度計算，必須首先確定梁在載荷作用下任一橫截面上的內(nèi)力。

例如圖7-4所示的簡支梁，其上作用的集中載荷F、幾何尺寸均已知，求m—m截面的內(nèi)力。圖7-4梁的截面法求內(nèi)力示例

解采用截面法，以橫截面m—m將梁切為左、右兩段。由平衡條件可知，在m—m截面上存在一個集中力FQ和一個集中力偶M。集中力使梁產(chǎn)生剪切變形，故稱為剪力；集中力偶使梁產(chǎn)生彎曲變形，所以稱為彎矩。

(1)利用靜力學(xué)方法求出梁A、B端的支座反力：

(2)求梁的內(nèi)力。對于梁的左段，列平衡方程，有

∑Fy=0,

FA－FQ=0

得(1)再以左段橫截面形心C為矩心，列平衡方程，有

∑MC=0，Mx－FA·x=0

得彎矩

(2)

對于橫截面m—m上的剪力FQ和彎矩M，也可以用同樣的方法由梁的右段的平衡方程求得，但方向與由左段求得的相反。為了使由左段或右段求得的同一截面上的剪力和彎矩不但在數(shù)值上相等，而且在符號上也相同，將剪力和彎矩的正負符號規(guī)定如下：對于所切梁的橫截面m—m的微段變形，若使之發(fā)生左側(cè)截面向上、右側(cè)截面向下的相對錯動，則剪

力為正(圖7-5(b))，反之為負；若使橫截面m—m處的彎曲變形呈上凹下凸，則彎矩為正(圖7-5(c))，反之為負。圖7-5梁內(nèi)力的正負規(guī)定

例7-1懸臂梁受均布載荷，如圖7-6(a)所示。試求x截面上的剪力和彎矩。

解方法一：

(1)求支座反力。取AB梁為研究對象，畫出A端固定約束的約束反力，如圖7-6(b)所示。由平衡條件得

(2)求剪力。根據(jù)平衡條件，有

∑Fy=0，F(xiàn)Ay－FQ－q·x=0

得

FQ=FAy－qx=q(l－x)

(0<x<l)

(3)求彎矩。對界面形心C點取矩，得方法二：

取x截面以右為研究對象，如圖7-6(c)所示，求得剪力和彎矩表達式為

得圖7-6均布載荷作用下的懸臂梁7.2.2剪力圖和彎矩圖

由例7-1可以看出，梁橫截面上的彎矩一般是隨著截面位置而變化的。為了描述其變化規(guī)律，用坐標(biāo)x表示橫截面沿梁軸線的位置，將梁各橫截面上的剪力和彎矩表示為坐標(biāo)x的函數(shù)，即

FQ=FQ(x)

M=M(x)

以上函數(shù)表達式分別稱為剪力方程和彎矩方程。

例7-2圖7-7(a)所示為簡支梁AB，其上受均布載荷q的作用，試畫出梁的剪力圖和彎矩圖。

解

(1)求支座反力。 已知均布載荷合力為q·l，作用在梁的中點，由此得

(2)求剪力。如圖7-7(b)所示，有

∑Fy=0,

FA－FQ－qx=0

(0<x<l)圖7-7均布載荷作用下的簡支梁

(3)求彎矩。取截面形心C為矩心，則有

(4)畫剪力圖和彎矩圖。本例拋物線開口向下，其最大值點在梁跨度中點，即x=l/2處。而在兩端點A、B處，即在x=0、x=1處，M=0：

畫出彎矩圖，如圖7-7(d)所示。

例7-3圖7-8所示為一長度為l的簡支梁，在C點處受集中力F作用，試畫該梁的剪力圖和彎矩圖。圖7-8簡支梁在集中力作用下的內(nèi)力圖

解

(1)求梁的支座反力:

(2)求剪力。梁被集中力F分為兩部分，分別就AC、CB進行計算。

AC段，如圖7-8(b)所示，有

∑Fy=0,

FA－FQ1=0

CB段，如圖7-8(c)所示，有

(3)求彎矩。同理，AC段，矩心為C1。

CB段，矩心為C2。此處注意x2坐標(biāo)的方向。這樣建立的坐標(biāo)，是為了求解步驟的簡化，并不影響求解的結(jié)果。

(4)畫出剪力圖，如圖7-8(d)所示、彎矩圖如圖7-8(e)所示。

由于在截面C處作用有集中力F，因此剪力圖在C點不連續(xù)，即AC、CB段在C點不相等；而彎矩圖在C點有轉(zhuǎn)折，即AC、CB兩段在C點的彎矩相等，即

例7-4圖7-9(a)所示為一簡支梁，在C點處受到矩為M的集中力偶作用，試畫該梁的剪力圖和彎矩圖。

解

(1)求支座反力?？紤]到簡支梁受力偶系作用，所以FA、FB構(gòu)成力偶，如圖7-9(a)所示，且圖7-9簡支梁在力偶作用下的內(nèi)力圖

(2)求剪力、彎矩方程。由于集中力偶作用，梁被分成兩段，現(xiàn)分別求解。

AC段：如圖7-9(b)所示，剪力方程為

∑Fy=0，F(xiàn)A－FQ1=0

得彎矩方程為

CB段：如圖7-9(c)所示，剪力方程為

∑Fy=0，F(xiàn)A－FQ2=0

得彎矩方程為

(3)畫剪力圖，如圖7-9(d)所示，彎矩圖如圖7-9(e)所示。

7.3純彎曲時的正應(yīng)力

7.3.1純彎曲的概念

一般情況下，梁在發(fā)生彎曲變形時，其橫截面上既有彎矩又有剪力，這種彎曲變形稱為剪切彎曲(也稱橫力彎曲)。若梁的橫截面上只有彎矩而無剪力(剪力為零)，則這類彎曲變形稱為純彎曲。圖7-10純彎曲的概念為了研究純彎曲梁的變形及橫截面上的應(yīng)力，我們?nèi)∫痪匦谓孛媪?，在梁的?cè)面畫上平行于軸線和垂直于軸線的直線，形成許多正方形的網(wǎng)格，如圖7-11(a)所示，然后在梁的兩端施加一對矩為M的力偶，使之產(chǎn)生純彎曲變形，如圖

7-11(b)所示。圖7-11純彎曲變形分析由于變形的連續(xù)性，在伸長纖維和縮短纖維之間必存在一層既不伸長也不縮短的纖維層，這一縱向纖維層稱為中性層，如圖7-12中的陰影部分。圖7-12中性層與中性軸7.3.2純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力

為了研究純彎曲梁橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律，從梁上截取任意微段dx，如圖7-13(a)所示(可參看圖7-11(a))。

假設(shè)變形后如圖7-13(b)所示。橫截面1—1和2—2變形后仍為平面，但兩者形成dθ的夾角；中性層O1O2長度不變，但變成曲線(面)，ρ為其曲率半徑。圖7-13彎曲應(yīng)力分析距中性層y處的縱向線(層)a1a2也由直線變?yōu)榍€，其絕對變形為

其相對變形(應(yīng)變)為

(a)式(a)表明：純彎曲時橫截面上各點的縱向線應(yīng)變ε與各點到中性軸的距離y成正比。將式(a)代入虎克定律表達式σ=Eε，得

(b)

式(b)表明：截面上任一點的正應(yīng)力與該點到中性軸的距離成正比。在中性軸等遠處各點的正應(yīng)力相等，正應(yīng)力的分布如圖7-14所示。圖7-14梁橫截面上的正應(yīng)力分布在中性軸(y＝0處)上各點的正應(yīng)力為零，在中性軸的兩側(cè)，其各點的應(yīng)力分別為拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。在離中性軸最遠處(y=ymax)，產(chǎn)生最大的正應(yīng)力σmax。

根據(jù)正應(yīng)力的分布規(guī)律(圖7-14)，可得

或

(c)7.3.3最大正應(yīng)力的計算公式

橫截面上的彎矩M是截面上各部分內(nèi)力對中性軸z的力矩之和。在圖7-15中任意微面積dA上的微內(nèi)力為σ·dA，它對中性軸z的力矩為σ·dA·y，于是橫截面上的彎矩M為

將式(c)代入上式，則有圖7-15彎曲正應(yīng)力與彎矩的關(guān)系令

(7-1)

則橫截面上的最大彎曲正應(yīng)力為

(7-2)

式中，M為橫截面上的彎矩，ymax為橫截面上最遠點到中性軸的距離。式中，M為橫截面上的彎矩，ymax為橫截面上最遠點到中性軸的距離。

將式(7-1)可以改寫為

(7-3)

式中，

(7-4)7.3.4截面的軸慣性矩Iz和抗彎截面模量Wz

構(gòu)件的承載能力與截面的幾何性質(zhì)有密切的關(guān)系。例如在拉伸與壓縮的應(yīng)力及變形的計算中，要用到橫截面面積A；在扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力與變形計算中，要用到橫截面對圓心的極慣性矩IP和抗扭截面模量WP。彎曲應(yīng)力計算中要用到截面的軸慣性矩Iz和抗彎截面模量Wz等幾何量。為了便于計算時查用，將常用梁截面的軸慣性矩和抗彎截面模量列于表7-1中。

1.矩形截面慣性矩的計算方法

簡單截面圖形的慣性矩可以通過積分方法求得。設(shè)矩形截面高為h，寬為b，如圖7-16所示。取微面積dA=bdy，則圖7-16矩形截面慣性矩的計算

2.組合截面的慣性矩

工程實際中梁的截面形狀可能很復(fù)雜，這些復(fù)雜截面通常是由幾個簡單的截面形狀組合構(gòu)成的。組合截面的中性軸的慣性矩等于各個組成部分的中性軸的慣性矩的代數(shù)和。即

(7-5)

3.平行移軸公式

組合截面的中性軸通常并不是截面的對稱軸，所以各個組成截面對中性軸的慣性矩需要用到平行移軸公式：

IzC=Iz+A·d2

(7-6)

式中，z為組成部分截面的中性軸，zC為平行于z軸的任一軸，A為截面的面積，d為zC和z之間的距離。上式說明：截面對其任一軸的慣性矩等于它對平行于該軸的形心軸的慣性矩再加上截面面積和兩軸距離平方的乘積。

例7-5求如圖7-17(a)所示矩形截面對z1軸的慣性矩和圖7-17(b)截面對y軸的慣性矩。圖7-17矩形截面及偏心圓截面慣性矩求解示例

解

(1)由以上所述(或表7-1查得)，矩形對其通過形心軸z的慣性矩為

矩形面積A=hb，而z1軸平行于z軸且距離為，由平行移軸公式(7-6)得

(2)由表7-1查得，圓形截面對形心軸的慣性矩為鏤空部分直徑D1=對y軸的慣性矩可由平行移軸公式求得，即

由公式(7-5)可得

7.4梁彎曲時的強度計算

等截面梁彎曲時，最大正應(yīng)力發(fā)生在最大彎矩所在截面上，這一截面稱為危險截面。在危險截面上、下邊緣處的正應(yīng)力最大，這些點首先發(fā)生破壞，故稱為危險點。必須首先保證這些危險點的安全。由于橫截面上、下邊緣各點處于單向拉伸或壓縮狀態(tài)，因此，應(yīng)按彎曲正應(yīng)力建立梁的強度條件：最大彎曲正應(yīng)力不得超過材料的許用彎曲正應(yīng)力，即

(7-7)許用彎曲應(yīng)力的數(shù)值可從有關(guān)規(guī)范中查得。

應(yīng)該指出，式(7-7)只適用于抗拉和抗壓強度相等的材料。對于像鑄鐵等脆性材料制成的梁，因材料的抗壓強度遠高于抗拉強度，故其相應(yīng)強度條件為

σ+max≤［σ+］

(7-8a)

σ－max≤［σ－］

(7-8b)

例7-6如圖7-18(a)所示的車軸，已知a=310mm，l=1440mm，F(xiàn)=15.15kN，［σ］=100MPa，若車軸的橫截面為圓環(huán)形，外徑D=100mm，內(nèi)徑d=80mm，試校核車軸的強度。

解

(1)畫彎矩圖，確定最大彎矩。車軸的力學(xué)模型可簡化為如圖7-18(b)所示的簡支梁。其彎矩圖如7-18(c)所示，由彎矩圖可以看出，最大彎矩發(fā)生在CD段。

Mmax=F·a=15.15×103×310

=4696.5×103N·mm

(2)校核車軸的強度。已知車軸為圓環(huán)形截面，從表7-1查得其抗彎截面模量為

代入數(shù)值，得

Wz=58×103mm3

計算車軸的最大應(yīng)力，并校核其強度:

車軸的強度足夠。圖7-18車軸

例7-7如圖7-19(a)所示螺旋壓板裝置，已知壓板的許用彎曲應(yīng)力［σ］=140MPa，a=50mm，試計算壓板給工件的最大允許壓緊力F。

解

(1)壓板簡化為簡支梁，如圖7-19(b)所示，F(xiàn)B即壓緊力F。由靜力學(xué)關(guān)系可求得

∑MA=0，F(xiàn)B·3a－FC·2a=0

即圖7-19螺旋壓板裝置

(2)畫壓板的彎矩圖，如圖7-19(c)所示。最大彎矩發(fā)生在C截面上：

Mmax=FB·a

(3)由強度條件，確定許可載荷。

計算C截面的抗彎截面模量：根據(jù)壓板的強度條件:

可得

Mmax=FB·a≤［σ］·Wz

故有

壓板給工件的最大壓緊力不得超過2996N，其方向與FB相反。

7.5提高梁抗彎能力的措施

等直梁上的最大彎曲正應(yīng)力為

式中，σmax和梁上的最大彎矩M成正比，和抗彎截面模量Wz成反比。提高梁的抗彎能力必須降低彎矩、增大抗彎截面

模量。7.5.1合理布置梁的支座

當(dāng)梁的尺寸和截面形狀已確定時，合理安排梁的支座或增加約束，可以縮小梁的跨度、降低梁上的最大彎矩。如圖7-20所示，受均布載荷的簡支梁，若能改為兩端外伸梁，則梁上的最大彎矩將大為降低。圖7-20改變支座位置7.5.2合理布置載荷

當(dāng)載荷已確定時，合理地布置載荷可以減小梁上的最大彎矩，提高梁的承載能力。例如，圖7-21所示橋梁可簡化成一簡支梁，其額定最大承載能力是載荷在橋中間時的最大值，超出額定載荷的物體要過橋時，采用長平板車將集中載荷分為幾個載荷，就能安全過橋。吊車采用副梁可以起吊更重的物體也是這個道理。圖7-21拆分集中力比較圖7-21(a)、(b)和圖7-22的最大彎矩可知，在結(jié)構(gòu)允許的條件下，應(yīng)盡可能把載荷安排得靠近支座，以降低彎矩的最大值。圖7-22移動力的位置7.5.3合理選擇梁的截面

1.形狀和面積相同的截面，采用不同的放置方式，則Wz值可能不相同

如圖7-23所示矩形截面梁(h>b)，豎放時抗彎截面模量大，承載能力強，不易彎曲；而平放時抗彎截面模量小，承載能力差，易彎曲。工字鋼、槽鋼等梁放置方式不同，其抗彎截面模量不同，承載能力也不同。圖7-23矩形截面

2.面積相等而形狀不同的截面，其抗彎截面模量不相同

例如，在使用同樣多材料時(橫截面面積相等)，工字鋼和槽鋼的抗彎截面模量最大，空心圓截面次之，實心圓截面的抗彎截面模量最小，承載能力最差。

3.截面形狀應(yīng)與材料特性相適應(yīng)

對抗拉和抗壓強度相等的塑性材料，宜采用中性軸對稱的截面，如圓