二次函數(shù)教案

2.4二次函數(shù)的應(yīng)用（1）教學(xué)目標(biāo)：1、經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程。2、會(huì)運(yùn)用二次函數(shù)求實(shí)際問(wèn)題中的最大值或最小值。3、體會(huì)二次函數(shù)是一類最優(yōu)化問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)模型，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：二次函數(shù)在最優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用。難點(diǎn)：例1是從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中建立二次函數(shù)模型，學(xué)生較難理解。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)教學(xué)輔助：投影片教學(xué)過(guò)程：一、創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題出示引例（將作業(yè)題第3題作為引例）給你長(zhǎng)8m的鋁合金條，設(shè)問(wèn)：①你能用它制成一矩形窗框嗎？②怎樣設(shè)計(jì)，窗框的透光面積最大？③如何驗(yàn)證？二、觀察分析，研究問(wèn)題演示動(dòng)畫，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、發(fā)現(xiàn)：當(dāng)矩形的一邊變化時(shí)，另一邊和面積也隨之改變。深入探究如設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x米，則另一邊長(zhǎng)為(4-x)米，再設(shè)面積為ym2,則它們的函數(shù)關(guān)系式為并當(dāng)x=2時(shí)（屬于范圍）即當(dāng)設(shè)計(jì)為正方形時(shí)，面積最大=4(m2)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，確定問(wèn)題的解決方法：在一些涉及到變量的最大值或最小值的應(yīng)用問(wèn)題中，可以考慮利用二次函數(shù)最值方面的性質(zhì)去解決。步驟：第一步設(shè)自變量；第二步建立函數(shù)的解析式；第三步確定自變量的取值范圍；第四步根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式或配方法求出最大值或最小值（在自變量的取值范圍內(nèi)）。三、例練應(yīng)用，解決問(wèn)題在上面的矩形中加上一條與寬平行的線段，出示圖形設(shè)問(wèn)：用長(zhǎng)為8m的鋁合金條制成如圖形狀的矩形窗框，問(wèn)窗框的寬和高各是多少米時(shí)，窗戶的透光面積最大？最大面積是多少？引導(dǎo)學(xué)生分析，板書解題過(guò)程。變式（即課本例1）：現(xiàn)在用長(zhǎng)為8米的鋁合金條制成如圖所示的窗框（把矩形的窗框改為上部分是由4個(gè)全等扇形組成的半圓，下部分是矩形），那么如何設(shè)計(jì)使窗框的透光面積最大？（結(jié)果精確到0.01米）練習(xí)：課本作業(yè)題第4題四、知識(shí)整理，形成系統(tǒng)這節(jié)課學(xué)習(xí)了用什么知識(shí)解決哪類問(wèn)題？解決問(wèn)題的一般步驟是什么？應(yīng)注意哪些問(wèn)題？學(xué)到了哪些思考問(wèn)題的方法？五、布置作業(yè)：作業(yè)本板書設(shè)計(jì)：例1解：練習(xí)教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)生對(duì)對(duì)函數(shù)值的最值求法掌握很好。學(xué)生對(duì)表達(dá)格式表述不規(guī)范，有待于今后教學(xué)多強(qiáng)調(diào)。2.4二次函數(shù)的應(yīng)用(2)教學(xué)目標(biāo)：1、繼續(xù)經(jīng)歷利用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問(wèn)題的過(guò)程。2、會(huì)綜合運(yùn)用二次函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決如有關(guān)距離等函數(shù)最值問(wèn)題。3、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)地分析，即用數(shù)學(xué)的方式表示問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題。難點(diǎn)：例2將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，情景比較復(fù)雜。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)教學(xué)輔助：多媒體教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)：1、利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決許多生活和生產(chǎn)實(shí)際中的最大和最小值的問(wèn)題，它的一般方法是：(1)列出二次函數(shù)的解析式，列解析式時(shí)，要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍。(2)在自變量取值范圍內(nèi)，運(yùn)用公式或配方法求出二次函數(shù)的最大值和最小值。2、上節(jié)課我們討論了用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最值問(wèn)題。出示上節(jié)課的引例的動(dòng)態(tài)圖形（在周長(zhǎng)為8米的矩形中）（多媒體動(dòng)態(tài)顯示）設(shè)問(wèn)：（1）對(duì)角線（L）與邊長(zhǎng)（x）有什何關(guān)系？（2）對(duì)角線（L）是否也有最值？如果有怎樣求？L與x并不是二次函數(shù)關(guān)系，而被開(kāi)方數(shù)卻可看成是關(guān)于x的二次函數(shù)，并且有最小值。引導(dǎo)學(xué)生回憶算術(shù)平方根的性質(zhì)：被開(kāi)方數(shù)越大（?。﹦t它的算術(shù)平方根也越大（?。Ｖ赋觯寒?dāng)被開(kāi)方數(shù)取最小值時(shí)，對(duì)角線也為最小值。二、例題講解例題2：B船位于A船正東26km處，現(xiàn)在A、B兩船同時(shí)出發(fā)，A船發(fā)每小時(shí)12km的速度朝正北方向行駛，B船發(fā)每小時(shí)多媒體動(dòng)態(tài)演示，提出思考問(wèn)題：（1）兩船的距離隨著什么的變化而變化？(2)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后，兩船的行程是多少？?jī)纱木嚯x如何用t來(lái)表示？設(shè)經(jīng)過(guò)t小時(shí)后AB兩船分別到達(dá)A’，B’，兩船之間距離為A’B’=EQ\R(,AB'2+AA'2)=EQ\R(,(26-5t)2+(12t)2)=EQ\R(,169t2-260t+676)。（這里估計(jì)學(xué)生會(huì)聯(lián)想剛才解決類似的問(wèn)題）因此只要求出被開(kāi)方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出兩船之間的距離s的最小值。解:設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)后，A，BAB兩船分別到達(dá)A’，B’，兩船之間距離為S=A’B’=EQ\R(,AB'2+AA'2)=EQ\R(,(26-5t)2+(12t)2)=EQ\R(,169t2-260t+676)=EQ\R(,169（t-EQ\F(10,13)）2+576)（t>0）當(dāng)t=EQ\F(10,13)時(shí)，被開(kāi)方式169（t-EQ\F(10,13)）2+576有最小值576。所以當(dāng)t=EQ\F(10,13)時(shí)，S最小值=EQ\R(,576)=24（km）答：經(jīng)過(guò)EQ\F(10,13)時(shí)，兩船之間的距離最近，最近距離為24km練習(xí)：直角三角形的兩條直角邊的和為2，求斜邊的最小值。三、課堂小結(jié)應(yīng)用二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟布置作業(yè)見(jiàn)作業(yè)本板書設(shè)計(jì)：解：練習(xí)練習(xí)教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)生對(duì)函數(shù)值的最值求法掌握很好。2.4二次函數(shù)的應(yīng)用(3)教學(xué)目標(biāo)：1、繼續(xù)經(jīng)歷利用二次函數(shù)解決實(shí)際最值問(wèn)題的過(guò)程。2、會(huì)綜合運(yùn)用二次函數(shù)和其他數(shù)學(xué)知識(shí)解決如有關(guān)距離等函數(shù)最值問(wèn)題。3、發(fā)展應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：利用二次函數(shù)的知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)地分析，即用數(shù)學(xué)的方式表示問(wèn)題以及用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題。難點(diǎn)：例3將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題數(shù)學(xué)化，情景比較復(fù)雜。教學(xué)方法：類比啟發(fā)教學(xué)輔助：多媒體投影片教學(xué)過(guò)程：1、例3某飲料經(jīng)營(yíng)部每天的固定成本為200元,某銷售的飲料每瓶進(jìn)價(jià)為5元。銷售單價(jià)(元)6789101112日均銷售量(瓶)480440400360320280240(1)若記銷售單價(jià)比每瓶進(jìn)價(jià)多x元時(shí)，日均毛利潤(rùn)(毛利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)－固定成本)為y元，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；(2)若要使日均毛利潤(rùn)達(dá)到最大，銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元(精確到0.1元)？最大日均毛利潤(rùn)為多少？2、練習(xí)：P47課內(nèi)練習(xí)3、課本55頁(yè)T164、小結(jié)5、作業(yè)：課本48頁(yè)T1-T5板書設(shè)計(jì)：解：練習(xí)練習(xí)教學(xué)反思：本節(jié)課學(xué)生對(duì)表格的分析理解不了，致使無(wú)法求解。有待于今后教學(xué)多給予滲透。2.4二次函數(shù)的應(yīng)用(4)教學(xué)目標(biāo)：(1)會(huì)運(yùn)用一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與x軸或平行于x軸的直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并用來(lái)解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。(2)會(huì)用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解或近似解。(3)進(jìn)一步體驗(yàn)在問(wèn)題解決的過(guò)程中函數(shù)與方程兩種數(shù)學(xué)模式經(jīng)常需要相互轉(zhuǎn)換。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：重點(diǎn)：?jiǎn)栴}解決過(guò)程中二次函數(shù)與一元二次方程兩種數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)換。難點(diǎn)：例4涉及較多的“科學(xué)”知識(shí)，解題思路不易形成，是本節(jié)教學(xué)的難點(diǎn)。教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)法演示法教學(xué)輔助：多媒體教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)引入：1.利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想方法？解題步驟？“二次函數(shù)應(yīng)用”的思路(1)理解問(wèn)題;(2)分析問(wèn)題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系;(3)用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系;(4)做數(shù)學(xué)求解;(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,拓展等.二、例題講評(píng)例4:一個(gè)球從地面上豎直向上彈起時(shí)的速度為10m/s，經(jīng)過(guò)t(s)時(shí)求的高度為h(m)。已知物體豎直上拋運(yùn)動(dòng)中，h＝v0t－eq\f(1,2)gt2(v0表示物體運(yùn)動(dòng)上彈開(kāi)始時(shí)的速度，g表示重力系數(shù)，取g＝10m/s2)。問(wèn)球從彈起至回到地面需多少時(shí)間？經(jīng)多少時(shí)間球的高度達(dá)到3.75m?分析：根據(jù)已知條件，易求出函數(shù)解析式和畫出函數(shù)圖象。從圖象可以看到圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)0和2分別就是球從地面彈起后回到地面的時(shí)間，此時(shí)h＝0,所以也是一元二次方程10t－5t2＝0的兩個(gè)根。這兩個(gè)時(shí)間差即為所求。同樣，我們只要取h＝3.75m，的一元二次方程10t－5t2＝3.75，求出它的根，就得到球達(dá)到3.75m高度時(shí)所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。結(jié)論：從上例我們看到，可以利用解一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與橫軸(或平行于橫軸的直線)的交點(diǎn)坐標(biāo)。反過(guò)來(lái)，也可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解。例5利用二次函數(shù)的圖象求方程x2＋x－1＝0的近似解。分析：設(shè)y＝x2＋x－1，則方程的解就是該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)?？梢援嫵霾輬D，求出近似解。結(jié)論：我們知道，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩個(gè)根。因此我們可以通過(guò)解方程ax2＋bx＋c＝0來(lái)求拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；反過(guò)來(lái)，也可以由y＝ax2＋bx＋c的圖象來(lái)求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解。兩種方法：上述是一種方法；也可以求拋物線y＝ax2與直線y＝－bx－c的交點(diǎn)橫坐標(biāo).練習(xí)：P50課內(nèi)練習(xí)、探究活動(dòng)補(bǔ)充練習(xí)：1．某跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行10米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)，身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)路線是如圖所示坐標(biāo)系下經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的一條拋物線（圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)為已知條件）。在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下，該運(yùn)動(dòng)員在空中的最高處距水面10eq\f(2,3)米，入水處距池邊的距離為4米，同時(shí)，運(yùn)動(dòng)員在距水面高度為5米以前，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作，并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤。（1）求這條拋物線的解析式；（2）在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中的運(yùn)動(dòng)路線是（1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中調(diào)整好人水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離為3eq\f(3,5)分析：挖掘已知條件，由已知條件和圖形可以知道拋物線過(guò)（0，0）（2，-10），頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為eq\f(2,3)。解：（1）如圖，在給定的直角坐標(biāo)系下，設(shè)最高點(diǎn)為A，入水點(diǎn)為B，拋物線的解析式為y=ax2+bx+c，由題意知，O、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)依次為（0，0）（2，-10），且頂點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f(2,3)?！唷唷邟佄锞€對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴eq\f(-b,2a)>0，又∵拋物線開(kāi)口向下，∴a<0,b>0，∴a=－eq\f(25,6)，b=eq\f(10,3)，c=0∴拋物線的解析式為：y=－eq\f(25,6)x2+eq\f(10,3)x（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)員在空中距池邊的水平距離為3eq\f(3,5)時(shí)，即x=3eq\f(3,5)-2=eq\f(8,5)時(shí)，y=(－eq\f(25,6))×(eq\f(8,5))2+eq\f(10,3)×eq\f(8,5)=－eq\f(16,3)，∴此時(shí)運(yùn)動(dòng)員距水面高為：10－eq\f(16,3)=eq\f(14,3)<5，因此，此次試跳會(huì)出現(xiàn)失誤。2(2006年寧波課改區(qū)).利用圖象解一元二次方程x2－2x－1＝0時(shí)，我們采用的一種方法是：在直角坐標(biāo)系中畫出拋物線y＝x2和直線y＝2x＋1，兩圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該方程的解。(1)請(qǐng)?jiān)俳o出一種利用圖象求方程x2－2x－1＝0的解的方法。(2)已知函數(shù)y＝x3的圖象，求方程x3－x－2＝0的解。(結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字)三、小結(jié)1.利用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想：“二次函數(shù)應(yīng)用”的思路(1)理解問(wèn)題;(2)分析問(wèn)題中的變量和常量,以及它們之間的關(guān)系;(3)用數(shù)學(xué)的方式表示出它們之間的關(guān)系;(4)做數(shù)學(xué)求解;(5)檢驗(yàn)結(jié)果的合理性,拓展等.2.利用解一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與橫軸(或平行于橫軸的直線)的交點(diǎn)坐標(biāo)。反過(guò)來(lái)，也可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的解。3.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2就是一元二次方程ax2＋b