2022年新教材高中數學第七章復數單元檢測（含解析）

單元素養(yǎng)檢測(二)(第七章)(120分鐘150分)一、單項選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.= ()A.1+2i B.12i C.2+i D.2i【解析】選D.===2i.2.若復數z2+3i=1i,則∣z∣= ()A.3 B.4 C.5 【解析】選C.由z2+3i=1i,得z=34i,|z|=5.3.復數z=在復平面上對應的點位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選C.因為復數z===1i,所以復數在復平面上對應的點(1,1)位于第三象限.【補償訓練】(2019·天津高二檢測)在復平面上,復數對應的點在 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選A.由題意,復數=1+i,所以復數對應的點的坐標為位于第一象限.4.(2019·全國卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,則z= ()A.1i B.1+i C.1i D.1+i【解題指南】等式兩邊同除以(1+i),表示出z,再利用復數的除法計算.【解析】選D.z(1+i)=2i,z===i(1i)=1+i.5.z是純虛數的一個充要條件是 ()A.z+≠0 B.z≠0C.z·≠0 D.=z(z≠0)【解析】選D.(1)設z=bi(b≠0),則=bi,所以z+=0,所以=z(z≠0).(2)設z=a+bi(z≠0),則=abi,因為=z,所以abi=(a+bi),即a=0,又z≠0,所以b≠0,所以z是純虛數,由(1),(2)知z是純虛數的一個充要條件是=z(z≠0).6.若關于x的方程x2+(1+2i)x+3m+i=0有實根,則實數m等于 ()A. B. C. D.【解析】選A.設方程的實數根為x=a(a為實數),則a2+(1+2i)·a+3m+i=0,所以所以7.若i為虛數單位,圖中復平面內點Z表示復數z,則表示復數的點是 ()A.E B.F C.G D.H【解析】選D.由圖可知z=3+i,所以====2i,對應復平面內的點H.8.已知i為虛數單位,a為實數,復數z=(a2i)(1+i)在復平面內對應的點為M,則“a=1”是“點M在第四象限”的 ()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】選A.z=(a2i)(1+i)=(a+2)+(a2)i,則點M的坐標為(a+2,a2),當a=1時,坐標為(3,1),即點M在第四象限,若點M在第四象限,而a=1卻不一定成立,故“a=1”是“點M在第四象限”的充分而不必要條件.二、多項選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.已知復數z=,則下列結論正確的是 ()A.z的虛部為i B.|z|2=2C.z2為純虛數 D.=1+i【解析】選BC.因為復數z===1+i,則z的虛部為1,A不正確.|z|2=2,B正確.z2=(1+i)2=2i為純虛數,C正確.=1i,D不正確.10.設z是復數,則下列命題中的真命題是 ()A.若z2≥0,則z是實數B.若z2<0,則z是虛數C.若z是虛數,則z2≥0D.若z是純虛數,則z2<0【解析】選ABD.設z=a+bi,a,b∈R?z2=a2b2+2abi.對選項A:若z2≥0,則b=0?z為實數,所以z為實數正確.對選項B:若z2<0,則a=0,且b≠0?z為純虛數,所以z為虛數正確.對選項C:若z為虛數,則z2不一定為實數,所以z2≥0錯誤.對選項D:若z為純虛數,則a=0,且b≠0?z2<0,所以z2<0正確.11.已知i為虛數單位,z∈C,下列命題為真命題的是 ()A.若z(3+2i)=i,則z=3+3iB.若z(3+4i)=25i,則z=4+3iC.若z+|z|=2+i,則z=+iD.若z·(2+i)=105i,則=34i【解析】選ABC.若z(3+2i)=i,則z=3+2i+i=3+3i,選項A是真命題.若z(3+4i)=25i,則z====4+3i,選項B是真命題.設z=x+yi(x,y∈R),則由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以解得所以z=+i,所以選項C是真命題.若z·(2+i)=105i,則z====34i,=3+4i,選項D是假命題.12.下列復數不可能與復數+i(a∈R)相等的是 ()A.2i B.a2+iC.3a2i D.3+a2i【解析】選ACD.由于+i不可能是純虛數,而2i是純虛數,故2i和+i不可能相等;當a2=,即a=1時,a2+i和+i相等;因為復數3a2i的虛部a2≤0,而+i的虛部為1,故二者不可能相等;若3+a2i和+i相等,則而此方程組無解,故二者不相等.三、填空題(本大題共4個小題,每小題5分,共20分.把答案填在題中的橫線上)13.定義運算=adbc,若復數x=,y=,則y=________.

【解析】依題意,y=4i(x+i)2xi=4i2+2xi=4+=4+=4+2=2.答案:214.若(a2i)i=bi,其中a,b∈R,i是虛數單位,z=(a+bi)2,則=________.

【解析】由(a2i)i=bi,得ai+2=bi,即(2b)+(a+1)i=0,得a=1,b=2,所以z=(a+bi)2=(1+2i)2=34i,=5.答案:515.已知=b+i(a,b∈R),其中i為虛數單位,則a+b=________.

【解析】因為=b+i,所以a+2i=bi1,所以所以a+b=1.答案:116.已知+i是實系數一元二次方程ax2+bx+1=0的一個根,則a=________,b=________.

【解析】把+i代入方程得a+b+1=0,即+i=0.所以即解得答案:1四、解答題(本大題共6個小題,共70分,解答時寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)復平面內有A,B,C三點,點A對應的復數是3+i,向量對應的復數是24i,向量對應的復數是4i,求B點對應的復數.【解析】因為向量對應的復數是24i,向量對應的復數是4i,所以表示的復數是(4+i)(2+4i)=23i,故=+對應的復數為(3+i)+(23i)=52i,所以B點對應的復數為52i.18.(12分)已知z是復數,z+2i,均為實數(i為虛數單位),對于復數w=(z+ai)2,當a為何值時,w為:(1)實數;(2)虛數;(3)純虛數.【解析】設z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由題意得y=2,==(x2i)(2+i)=(2x+2)+(x4)i.由題意得x=4,所以z=42i.因為w=(z+ai)2=(12+4aa2)+8(a2)i,(1)當w為實數時,令a2=0,所以a=2,(2)w為虛數,只要a2≠0,所以a≠2.(3)w為純虛數,只要12+4aa2=0且a2≠0,所以a=2或a=6.19.(12分)已知復數z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R).(1)若復數z在復平面上所對應的點在第二象限,求m的取值范圍;(2)求當m為何值時,|z|最小,并求|z|的最小值.【解析】(1)因為復數z=(1+2m)+(3+m)i(m∈R)在復平面上所對應的點在第二象限,所以解得3<m<,所以m的取值范圍是.(2)|z|2=(1+2m)2+(3+m)2=5m2+10m=5(m+1)2+5,所以當m=1時,|z|min=.20.(12分)已知z1=cosθ+isin2θ,z2=sinθ+icosθ,當θ為何值時:(1)z1=z2;(2)z1,z2對應點關于實軸對稱;(3)|z2|<.【解析】(1)因為z1=z2,所以即解得θ=2kπ+(k∈Z).(2)因為z1與z2對應點關于實軸對稱,所以即解得θ=2kπ+π(k∈Z).(3)因為|z2|<,所以<,即3sin2θ+cos2θ<2,化簡得sin2θ<,解得<sinθ<,所以kπ<θ<kπ+(k∈Z).21.(12分)已知復數z=(2+i)(其中i是虛數單位,x∈R).(1)若復數z是純虛數,求x的值;(2)若函數f(x)=|z|2與g(x)=mx+3的圖象有公共點,求實數m的取值范圍.【解析】(1)因為z=(2+i)=(2x)+(1x)i,且復數z為純虛數,所以解得x=2.(2)由(1)知函數f(x)=|z|2=(2x)2+(1x)2=2x26x+5,又函數f(x)與g(x)=mx+3的圖象有公共點,所以方程2x26x+5=mx+3有解,即方程2x2+(m6)x+2=0有解,所以Δ=(m6)24×2×2≥0,所以m≤2或m≥10.所以實數m的取值范圍是(∞,2]∪[10,+∞).【補償訓練】已知z1=x2+i,z2=x2+ai對于任意實數x,都有>恒成立,試求實數a的取值范圍.【解析】依題意,得|z1|=,|z2|=,|z1|>|z2|?|z1|2>|z2|2?x4+x2+1>x4+a2?x2+1>a2?1<a<1.所以實數a的取值范圍是(1,1).22.(12分)已知關于x的方程x2(tanθ+i)x(i+2)=0(θ∈R,x∈C)(1)若此方程有實數根,求銳角θ的值;(2)求證:對任意的實數θ(θ≠+