浙江省八校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省八校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若集合，則集合可用列舉法表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，則，所以.故選：D.2.學(xué)校開(kāi)運(yùn)動(dòng)會(huì)，設(shè)是參加100米跑的同學(xué)}，是參加200米跑的同學(xué)}，是參加400米跑的同學(xué)}．學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽．請(qǐng)你用集合的運(yùn)算說(shuō)明這項(xiàng)規(guī)定（）A. B.C. D.【答案】D【解析】學(xué)校規(guī)定，每個(gè)參加上述比賽的同學(xué)最多只能參加兩項(xiàng)比賽，故沒(méi)有同學(xué)參加三項(xiàng)比賽，即.故選：D.3.若、、，且，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?，由不等式的基本性質(zhì)可得，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由不等式的基本性質(zhì)可得，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，取，，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，取，，則，D錯(cuò).故選：A.4.若實(shí)數(shù)滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對(duì)于ABC，令，顯然滿足，同時(shí)，，，故ABC錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，故D正確.故選：D.5.函數(shù)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間分別是（）A.和 B.和C.和 D.和【答案】D【解析】定義域是函數(shù)自變量的取值，為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間有2個(gè)，不能用并集，并且單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，即.故選：D.6.已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則函數(shù)圖像過(guò)定點(diǎn)（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得且，解得，，令得，此時(shí)，故的圖像過(guò)定點(diǎn).故選：A.7.若“”是“”的一個(gè)充分不必要條件，則的取值范圍是（）A.或 B.或 C. D.【答案】A【解析】，解得或，由題意可知，或，得或，即或.故選：A.8.已知，，且，則的最小值為（）A.9 B.10 C.12 D.13【答案】D【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．9.下列敘述正確的是（）A.B.命題“”的否定是“或”C.設(shè)，則“且”是“”的必要不充分條件D.命題“”的否定是真命題【答案】ABD【解析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，所以為真命題，故A正確；對(duì)于B：命題“”的否定是“或”，故B正確；對(duì)于C：由且，可以推得出，故“且”是“”的充分條件，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：命題“”的否定為：，顯然，所以命題為真命題，故D正確.故選：ABD.10.已知，均為正實(shí)數(shù)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.【答案】AB【解析】對(duì)于A，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故A正確；對(duì)于B，，，故B正確；對(duì)于C，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，即，所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.給定數(shù)集，，方程①，則（）A.任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程①的解與對(duì)應(yīng)，則為函數(shù)B.任給，對(duì)應(yīng)關(guān)系使方程①的解與對(duì)應(yīng)，則為函數(shù)C.任給方程①的兩組不同解，，其中，，則D.存在方程①兩組不同解，，其中，，使得也是方程①的解【答案】AC【解析】對(duì)于A，由①可得，，對(duì)于任意的，都有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)，故為函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，由①可得，因，若取，則，此時(shí)不存在實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，若考慮虛數(shù)解，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)虛數(shù)與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，依題意，，，兩式相減，整理得，因且，則有，即得，展開(kāi)整理，即得，故C正確；對(duì)于D，由題意，，，假設(shè)也是方程①的解，則有（*），因，則，代入（*）式，整理得：，即得，這與題意不符，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12若，，則________.【答案】【解析】，，則.13.已知曲線且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為_(kāi)_____.【答案】16【解析】因?yàn)榍疫^(guò)定點(diǎn)，則k=1，，若且，則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16.14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，當(dāng)為兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)時(shí)，恒成立，若，，則不等式的解為_(kāi)___________________.【答案】【解析】設(shè)，則，，由，得，，即.設(shè)，則在上單調(diào)遞增，又為定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，得，則為上的奇函數(shù)，所以在上也單調(diào)遞增.由，得，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，即，解得，所以的解集為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．15.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．解：（1）設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．（2）設(shè)，則，解得．∴，∴．∴直線BC的方程為，即為．16.已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求a，b的值；（2）若方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求最小值.解：（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以方程的兩根為，所以由根與系數(shù)的關(guān)系可得，解得或.（2）因?yàn)榉匠虄H有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以，即，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.17.雞蛋在冰箱冷藏的環(huán)境下，可以有效減緩雞蛋內(nèi)部的變化速度，延長(zhǎng)其保質(zhì)期．已知新鮮雞蛋存儲(chǔ)溫度（單位：攝氏度）與保鮮時(shí)間（單位：小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式為．新鮮雞蛋在存儲(chǔ)溫度為8攝氏度的情況下，其保鮮時(shí)間約為432小時(shí)；在存儲(chǔ)溫度為6攝氏度的情況下，其保鮮時(shí)間約為576小時(shí)．（1）新鮮雞蛋在存儲(chǔ)溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時(shí)間約為多少小時(shí)；（2）已知新鮮雞蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保證新鮮雞蛋的保鮮時(shí)間不少于40天，則超市對(duì)新鮮雞蛋的存儲(chǔ)溫度設(shè)置應(yīng)該不高于多少攝氏度？（結(jié)果保留兩位小數(shù)）參考數(shù)據(jù)：解：（1）依題意得，則，當(dāng)時(shí)，，即該超市的新鮮雞蛋在存儲(chǔ)溫度為7攝氏度的情況下，其保鮮時(shí)間約為小時(shí).（2）由題意令，得，即，則，則，即，解得，故超市對(duì)新鮮雞蛋的存儲(chǔ)溫度設(shè)置應(yīng)該不高于攝氏度.18.已知函數(shù)，記集合為的定義域．（1）求集合；（2）判斷函數(shù)的奇偶性；（3）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．解：（1）由真數(shù)大于0可知，，.（2），可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，，故為奇函數(shù)．（3）令，對(duì)稱(chēng)軸，在上，，又在上遞減，故的值域是：．19.在中，角所對(duì)的邊分別是，．（1）求角B的大?。唬?）若，且邊上的兩條中線相交于點(diǎn)G，求的余弦值；（3）若為銳角三角形，且，記的外心和垂心分別為，連接的直線與線段都相交，求證：線段的長(zhǎng)度為．解：（1）由可得，故，由于,故，所以，由于B∈0,π，故（2）由余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去），因?yàn)榧礊橄蛄颗c的夾角，設(shè)，，則，因?yàn)椋?，所以，，故，，所以，故．?）先證明：設(shè)