浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市浙里特色聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本試題卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)．3.所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效．4.考試結(jié)束后，只需上交答題卷．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，不選、多選、錯(cuò)選均不得分.）1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是（）A.1 B. C.2024 D.【答案】B【解析】由復(fù)數(shù)的概念可得的虛部是.故選：B2.已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心坐標(biāo)為.故選：B3.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】若直線與垂直，則其斜率為，又該直線過，根據(jù)點(diǎn)斜式有，整理得.故選：C4.已知，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】由題意可得，即，解得.故選：C5.在四面體中，，點(diǎn)在上，且為的點(diǎn)，且，則等于（）A. B.C D.【答案】D【解析】易知，即.故選：D.6.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，的面積為，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，且的周長為12.則的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)橢圓的長半軸長與短半軸長分別為，結(jié)合題意可知橢圓方程為：，由條件得，又的周長為，所以，即橢圓方程為：.故選：A7.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，若切線斜率不存在時(shí)，則直線方程為，此時(shí)，圓心到直線的距離為，不合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的方程為，即，則有，整理可得，則，設(shè)兩切線的斜率分別為、，則、為關(guān)于的方程的兩根，由韋達(dá)定理可得，，所以，，所以，，由題意，，由，解得.故選：D.8.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在橢圓中，，，則，則，則橢圓的左焦點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為，由橢圓的定義可得，則.當(dāng)且僅當(dāng)、、、四點(diǎn)共線且、在線段上時(shí)，上述不等式兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立，故的最小值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中有多個(gè)是符合題目要求的，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，不選、錯(cuò)選得0分.）9.已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.B.橢圓的離心率為C.直線被橢圓截得的弦長為D.若，則的面積為4【答案】BCD【解析】因?yàn)闄E圓方程為：，則其長軸長、短軸長、焦距分別為，所以，即A錯(cuò)誤；B正確；當(dāng)時(shí)，與聯(lián)立得，即直線被橢圓截得的弦長為，故C正確；若，則，即，則的面積為，故D正確.故選：BCD10.在棱長為的正方體中，點(diǎn)、分別在線段和上（含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（）A.長的最小值為B.四棱錐的體積為定值C.有且僅有一條直線與垂直D.當(dāng)點(diǎn)、為線段中點(diǎn)時(shí)，則為等腰三角形【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由點(diǎn)所在線段分別在兩個(gè)平行平面、上，且為異面直線，其間距最小值為異面直線的距離，即兩個(gè)平面間的距離，即長的最小值為，A對(duì)；對(duì)于B，由，其中表示到平面的距離，顯然為定值，而的中，底與邊上的高均為定值，由此可知面積為定值，綜合上述，四面體的體積為定值，B對(duì)；對(duì)于C，點(diǎn)在平面上的射影的軌跡為線段，平面，平面，所以，則的一個(gè)充要條件，當(dāng)射影位于線段上的任意位置時(shí)，過作的垂線，所得垂足記為，則，根據(jù)以上垂直關(guān)系可知，，、平面，所以平面，平面，從而.于是這樣的直線不唯一，C錯(cuò)；對(duì)于D，以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)、分別為、的中點(diǎn)時(shí)，則、、，所以，，同理可得，，此時(shí)，為等腰三角形，D對(duì).故選：ABD.11.已知直線，下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.直線與直線垂直，則C.當(dāng)點(diǎn)到直線的距離取到最大時(shí)，此時(shí)D.直線與圓所截得的最短弦長為1【答案】BC【解析】對(duì)于A，由，令，即直線恒過定點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若直線與直線垂直，則有，所以，故B正確；對(duì)于C，易知點(diǎn)到直線的距離，即，解之得，故C正確；對(duì)于D，，即該圓圓心為，半徑為，則到的距離為，所以直線與圓所截得的弦長為，即越大，弦長越小，則弦長最小，故D錯(cuò)誤.故選：BC.非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每個(gè)空5分，共15分.）12.直線的傾斜角大小為______.【答案】【解析】由直線可知其斜率為，所以其傾斜角滿足，所以.故答案為：13.已知空間向量且與互相平行，則實(shí)數(shù)值______.【答案】2【解析】由條件可知，因?yàn)榕c互相平行，所以，解之得.故答案為：214.已知右焦點(diǎn)為的橢圓上的三點(diǎn)A，B，C滿足直線AB過坐標(biāo)原點(diǎn)，若于點(diǎn)，且，則的離心率是______.【答案】【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，

因?yàn)辄c(diǎn)平分，所以四邊形為平行四邊形，又因?yàn)椋运倪呅螢榫匦?，設(shè)，則，在直角中，，所以，整理可得，所以，在直角中，，所以，所以，所以.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC方程．解：（1）設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．（2）設(shè)，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．16.在平面直角坐標(biāo)系中，圓經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）易知和的中點(diǎn)，，則的中垂線方程為，聯(lián)立方程，即圓心坐標(biāo)為，易知，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）易知圓心C到直線的距離為，又直線被圓截得弦長為，所以，解之得或.17.如圖，正四棱柱中，設(shè)，點(diǎn)在線段上，且.（1）求三棱錐的體積；（2）直線與平面PBD所成角的正弦值.解：（1）根據(jù)題意可知，所以，；（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，易知，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，取，即，設(shè)直線與平面PBD所成角為，則.18.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：過點(diǎn)，且離心率為，斜率為的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）記以為直徑的圓的面積分別為的面積為S，求的最大值.解：（1）由題意可知，解之得，即橢圓方程為；（2）設(shè)，直線方程，與橢圓方程聯(lián)立得，所以，即有，易知，同理，則，由上知，即，而，O到直線的距離，即，顯然時(shí)，取得最大值1，即的最大值為.19.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù).主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有種.設(shè)，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）若，求之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，求的最大值；（3）已知點(diǎn)，是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直